高中数学 2.3变量间的相关关系教学案必修3

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高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案

高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案教案名称：高中数学23变量间的相关关系一、二全册精品教案教材版本：新人教A版必修3教学目标：1.掌握变量之间的相关关系的概念；2.理解相关系数的含义和计算方法；3.能够应用相关关系解决实际问题；4.培养学生分析和解决问题的能力。

教学重点：1.相关系数的计算方法；2.相关关系的实际应用。

教学难点：1.相关系数的计算和解释；2.相关关系在实际问题中的应用。

教学准备：1.教师准备板书工具，包括黑板、彩色粉笔等；2.教师准备教学用具，如教学课件、实验仪器等。

教学过程：第一课时：1.导入（5分钟）教师通过引入相关关系在日常生活中的例子，引起学生的思考和兴趣，如“你有没有觉得吃得越多睡得越香？”、“你觉得天气越热人们购买冷饮的数量会有什么变化？”等。

2.引入（10分钟）教师通过示意图和简单的计算，引导学生理解变量之间的相关关系，并介绍相关系数的定义和计算方法。

3.基础知识讲解（25分钟）3.1相关系数的含义和计算方法：教师通过示例和公式解释相关系数的含义和计算方法，让学生掌握相关系数的计算公式。

3.2相关系数的性质和意义：教师讲解相关系数的性质和意义，引导学生理解相关系数与变量之间的线性关系程度的关系。

4.练习（10分钟）教师布置一些相关系数的计算练习题，让学生进行个人或小组练习。

第二课时：5.复习（5分钟）回顾上节课学习的内容，教师提问学生相关系数的计算方法及其含义，并解答学生疑惑。

6.拓展（15分钟）6.1相关系数的解读：教师通过实例和图表解释如何解读相关系数的大小和正负号。

6.2相关系数的应用：教师介绍相关系数在实际问题中的应用，如市场调研、经济预测等。

7.实验（20分钟）教师组织学生进行相关系数实验，通过观察和数据统计，让学生进一步理解相关系数的计算方法和含义。

8.总结归纳（10分钟）教师引导学生总结相关系数的计算方法、含义和应用，并与学生一起完成相关关系的概念思维导图。

高中数学 2.3变量间的相关关系教案新人教A版必修3

高一数学必修3导学案(教师版)〖复习回顾〗标准差的公式为：______________________________________________________〖创设情境〗1、函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系2、在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。

”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3、“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？〖新知探究〗思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？一、相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。

【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。

思考探究：1、有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。

吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。

你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。

上面提到了很多相关关系，那它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。

人教A版高中数学必修3《二章统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系》优质课教案_17

《变量间的相关关系》教学设计(2课时)一、教材分析学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用。

教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。

为以后更好地研究选修2-3第三章3.2节回归分析思想的应用奠定基础。

结合教材特点及学情，特制定三维教学目标如下：二、教学目标1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及2回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解2 、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。

②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。

3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。

利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。

三、教学重点、难点重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。

教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

四、教学媒体设计本节课涉及大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，故我主要采用电子表格和几何画板，通过学生动手操作、教师动画演示、师生合作交流来突出重点、突破难点。

学生学习效果有明显提高。

五、教学设计（具体如下表）（一）、创设情境导入新课1、相关关系的理解师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。

生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？让学生举例，教师总结如：生：不是。

人教A版高中数学必修3《二章统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系》优质课教案_1

第二章统计2.3 变量间的相关关系一．教学目标1.知识与技能：理解变量间的相关关系，能够根据数据绘制散点图，理解正相关和负相关的概念，会利用最小二乘法求出回归方程。

2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法，培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3.情感态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程进行分析和预测的意识，体会研究此类问题在现实生活中的重要性。

二．教学重、难点：重点：利用散点图直观认识两个变量的线性关系，用最小二乘法计算线性回归方程。

难点: 利用最小二乘法计算线性回归方程。

三．教法、学法、课前准备教法分析：1.采用“问答探究”式的教学方法，层层深入。

2.发挥教师的主导作用，让学生成为教学活动的主体。

学法分析：从贴近实际生活的例子中理解相关关系的概念，并理解与函数关系的区别，绘制散点图并由散点图直观的认识正相关、负相关的概念，特别注意最小二乘法中各个符号的含义，体会这一方法对于实际生活的意义。

课前准备：打开多媒体，让学生准备好直尺四．教学过程：【新课导入】思考:我们以前有没有学过描述变量间的关系的工具呢？函数关系：圆的面积与半径的关系：2r=π。

正方体的体积与s⋅棱长的关系：3aV=，2y+=x。

3两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系。

（1）生活中，施肥量与农作物产量之间的关系：一般来说，施肥量越多，农作物产量越高，施肥量越少，农作物产量越低。

但农作物的产量还要受到土壤质量，降雨量，田间管理水平等多方面因素的影响。

（2）学生的数学成绩与物理成绩的关系，一般来说，数学成绩越高，物理成绩也相对越高，数学成绩越低，物理成绩相对越低，但数学成绩不能完全决定物理成绩。

物理成绩的好坏还与学生是否喜欢物理，用在物理上的学习时间等因素有关系。

像这种两个变量之间相关，但这种关系又不能用函数关系精确的表达出来，这样的两个变量之间的关系应当被称作是什么关系呢？【新课讲授】1.相关关系的定义：当自变量的取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，两个变量之间的关系称为相关关系。

人教版高中数学必修三教案 2.3变量间的相关关系

2.3 变量间的相关关系从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）应用示例例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系解析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.答案：②④（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．拓展提升以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积（m2）115 110 80 135 105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）画出数据对应的散点图；（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？解：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关. （3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系.课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.作业之间就有线性相关关系）（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. （4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.（5）如下图：从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.)1(,)())((2121121x byax nxyx nyxxxyyxxbniiniiiniiniii其中，b是回归方程的斜率，a是截距.推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)，且所求回归方程是^y=bx+a,其中a、b是待定参数.当变量x取x i(i=1,2,…,n)时可以得到^y=bx i+a(i=1,2,…,n),它与实际收集到的y i之间的偏差是y i-^y=y i-(bx i+a)(i=1,2,…,n).这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y i-^y）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用∑=-niiiyy1^||来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(y n-bx n-a)2②来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square）.（7）利用计算机求回归直线的方程.根据最小二乘法的思想和公式①，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程.以Excel软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤如下：①在Excel中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图（如下图）,在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框.②单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归直线.③双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,得到回归直线的回归方程^y=0.577x-0.448.（8）利用计算器求回归直线的方程.用计算器求这个回归方程的过程如下：所以回归方程为^y=0.577x-0.448.正像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到了它们之间关系的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的.直线回归方程的应用:①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系.②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计,即可得到个体Y值的容许区间.③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度.应用示例例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏-5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 温度/℃156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 热饮杯数（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：性相关关系,说明理由；(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．(2)计算相应的数据之和：∑=81iix=1 031，∑=81iiy=71.6,∑=812iix=137 835，∑=81iiiyx=9 611.7.将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1,所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1.知能训练1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高答案：Ｄ2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（）A.^y=5.75-1.75x B.^y=1.75+5.75xC.^y=1.75-5.75x D.^y=5.75+1.75x答案：Ｄ3．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）,有如下统计资料：使用年限x2 3 4 5 6维修费用y2．2 3．8 5．5 6．5 7．0 设y对x呈线性相关关系．试求：（1）线性回归方程^y=bx+a的回归系数a,b；（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38.4．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下：模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．（1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值；（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18；模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.（2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是确定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型．5．以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：房屋大小x（m2）80 105 110 115 135销售价格y（万元）18.4 22 21.6 24.8 29.2（1）画出数据的散点图；（2）用最小二乘法估计求线性回归方程.解：（1）散点图如下图.。

高中数学变量间的相关关系教案新人教版必修3

2.3 变量间的相关关系(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系．2．过程与方法明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．3．情感、态度与价值观通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想．●重点难点重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；(2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．难点：(1)变量之间相关关系的理解；(2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析，向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点．通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点．(教师用书独具)●教学建议结合本节课的教学内容和学生的认知水平，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“散点图”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，通过例题和变式训练进一步巩固本节知识，将自己所学知识应用于对现实生活的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境引入问题：人体内脂肪的含量与年龄之间有何关系？⇒引导学生结合必修一中函数图象的画法将对应点在坐标系中描出，观察比较，分析这些点的特征⇒错误!⇒错误!⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握线性回归方程的求法⇒研究现实生活中的实际问题，应用本节知识完成例3及变式能够对总体进行估计⇒归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈矫正(见学生用书第41页)课标解读1.理解两个变量的相关关系的概念．(难点)2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点) 3．会求回归直线方程．(重点)4．相关关系与函数关系．(易混点)变量间的相关关系【问题导思】下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045 水稻产量3203303604104604704801.将上述数据制成散点图．【提示】散点图如下：2．施化肥量与水稻产量有关系吗？【提示】有关系．1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．2．散点图：将样本中几个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．回归直线方程【问题导思】一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺1198 5陷的零件数y(件)1.在平面直角坐标系中作出散点图．【提示】2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？【提示】有．3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？【提示】可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．3．最小二乘法求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．求回归方程若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则所求的回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中a ∧，b ∧为待定的参数，由最小二乘法得：⎩⎪⎨⎪⎧b ∧＝∑i ＝1nx i－x y i－y ∑i ＝1nx i－x 2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ∧＝y －b ∧x .b ∧是回归直线斜率，a ∧是回归直线在y 轴上的截距．(见学生用书第41页)线性相关关系的判断以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：房屋面积x(m2)11511080135105 销售价格y(万元)24.821.619.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？【思路探究】涉及两个变量房屋面积与销售价格，以房屋面积为自变量，考察销售价格的变化趋势从而做出判断．【自主解答】(1)数据对应的散点图如图所示：(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．两个随机变量x和y相关关系的确定方法：1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断．2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断．3．经验法：借助积累的经验进行分析判断．5个学生的数学和物理成绩如下表：学生A B C D E成绩学科数学8075706560物理7066686462 画出散点图，并判断它们是否具有线性相关关系．【解】以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示，由散点图可知，两者之间具有线性相关关系，且是正相关．求回归直线方程一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．【思路探究】画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程【自主解答】 (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系． (2)列表、计算：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 x i y i62016025034044505007408 40105012200x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110＝x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668， a ∧＝y －b ∧x ＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为：y ∧＝0.668x ＋54.96.用公式求回归方程的一般步骤： 1．列表x i ，y i ，x i y i ；2．计算x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ； 3．代入公式计算b ∧、a ∧的值； 4．写出回归方程．从某一行业随机抽取12家企业，它们的生产产量与生产费用的数据如下表：企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12产量x /台 40 42 50 55 85 78 84 100 116 125 130 140费用y /万元130150155140150154165170167180175185(1)绘制生产产量x 和生产费用y 的散点图；(2)如果两个变量之间是线性相关关系，请用最小二乘法求出其回归直线方程．【解】 (1)两个变量x 和y 之间的关系的散点图如图所示．(2)根据散点图可知，两个变量x 和y 之间的关系是线性相关关系．下面用最小二乘法求回归直线方程．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合40 42 50 55 85 78 84 100 116 125 130 140 1 130 150 155 140 150 154 165 170 167 180 175 185 1 5200 6300 7750 7700 12750 12012 13860 17000 19372 22500 22750 25900 17160017642500325722560847056 10000 13456 15625 16900 19600 10x ≈87.08，y ≈160.1，n x y ＝167 298.096，n x 2≈90 995.116 8设所求的回归直线方程是y ∧＝b ∧x ＋a ∧，所以b ∧＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝173 094－167 298.096104 835－90 995.116 8＝5 795.90413 839.883 2≈0.42，a ∧＝y －b ∧x ＝160.1－0.42×87.08≈123.53.所求的回归直线方程是y ∧＝0.42x ＋123.53.利用回归方程对总体进行估计(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【思路探究】 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ∧，a ∧的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的y 的值．【自主解答】 (1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ∧＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ∧＝y －b ∧x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．1．回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．2．只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的几种对应数据如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121 y(分)10020021185155135170205235125(1)作出散点图，判断冶炼时间y对钢水含碳量x是否线性相关；(2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时应冶炼多少分钟．【解】 (1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关． (2)列表如下：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125y i 1040036000399003274522785180902550039155479401512x ＝159.8，y ＝172，∑i ＝110x 2i ＝265 448，∑i ＝110x i y i ＝287 640设所求的回归直线方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧.b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝287 640－10×159.8×172265 448－10×159.82≈1.27，a ∧＝y －b ∧x ≈172－1.27×159.8≈－30.95，即所求的回归直线方程为y ∧＝1.27x －30.95.(3)当x ＝160时，y ∧＝1.27×160－30.95≈172(分)，即大约冶炼172分钟.(见学生用书第43页)数形结合在线性相关性中的应用(12分)下表数据是退水温度x(℃)对黄硐延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．x(℃)300400500600700800y (%) 40 50 55 60 67 70(1)画出散点图；(2)指出x ，y 是否线性相关；(3)若线性相关，求y 关于x 的线性回归方程； (4)估计退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性的情况．【思路点拨】根据所给数据画出散点图，然后可借助函数的思想分析．【规范解答】 (1)散点图如图所示．4分(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y 与x 线性相关. (3)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．i 12 3 4 5 6 x i 300 400 500 600 700 800 y i 40 50 55 60 67 70 x i y i 12000 20000 27500 36000 46900 56000 x 2i 90000 160000 250000 360000 490000 640000x ＝550，y ＝57，∑i ＝16x 2i ＝1 990 000，∑i ＝16x i y i ＝198 400于是可得：b ∧＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x 2＝198 400－6×550×571 990 000－6×5502 ≈0.058 857，a ∧＝y －b ∧x ＝57－0.058 857×550＝24.628 65.9分因此所求的线性回归方程为y ∧＝0.058 857x ＋24.628 65.(4)将x ＝1 000代入回归方程得y ∧＝0.058 857×1 000＋24.628 65＝83.486，即退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性大约是83.486%.1．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间具有相关关系；(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系．2．利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，体现了数形结合思想的作用，而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用．1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ∧，b ∧的值时，要先算出b ∧，然后才能算出a ∧.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，则x ＝x 0处的估计值为y ∧0＝b ∧x 0＋a ∧.由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸，所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．(见学生用书第44页)1．下列变量之间的关系是相关关系的是( ) A ．正方体的表面积与体积 B ．光照时间与果树产量C ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D ．中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩【解析】 A 、C 是函数关系，D 无相关关系．【答案】 B2．设一个回归方程y ∧＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位【解析】由b ＝1.2>0，故选A. 【答案】 A3．若施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ∧＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．【解析】当x ＝80时，y ∧＝400＋250＝650. 【答案】 6504．某公司利润y (单位：千万元)与销售总额x (单位：千万元)之间有如下表对应数据：x 10 15 17 20 25 28 32 y11.31.822.62.73.3(1)画出散点图；(2)判断y 与x 是否具有线性相关关系．【解】 (1)散点图如下：(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关.(见学生用书第105页)一、选择题1．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是( )【解析】 A 、B 为函数关系，D 无相关关系．【答案】 C2．(2013·广州高一检测)已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 4 y13579则y 与x 的线性回归方程y ∧＝bx ＋a 必过点( ) A ．(1,2) B ．(5,2) C ．(2,5) D ．(2.5,5)【解析】线性回归方程一定过样本中心(x ，y )．由x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝1＋3＋5＋7＋95＝5.故必过点(2,5)．【答案】 C3．(2013·长沙高一检测)某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)呈负相关，其回归方程可能是( )A.y ∧＝－10x ＋200 B.y ∧＝10x ＋200C.y ∧＝－10x －200 D.y ∧＝10x －200【解析】由于y 与x 呈负相关，∴x 的系数为负，又y 不能为负值，∴常数必须是正值．【答案】 A4．两个相关变量满足如下关系：x 10 15 20 25 30 y1 0031 0051 0101 0111 014两变量的回归直线方程为( )A.y ∧＝0.56x ＋997.4 B.y ∧＝0.63x －231.2C.y ∧＝50.2x ＋501.4 D.y ∧＝60.4x ＋400.7 【解析】 x ＝15(10＋15＋20＋25＋30)＝20，y ＝15(1 003＋1 005＋1 010＋1 011＋1 014)＝1 008.6，代入所给选项A 符合．【答案】 A5．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ∧＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg【解析】由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本中心点(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．【答案】 D 二、填空题6．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ∧＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】由于y ∧＝0.254x ＋0.321知，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元．【答案】 0.2547．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x (℃) 17 13 8 2 月销售量y (件)24234055由表中数据算出线性回归方程中的b ∧＝－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．【解析】样本中心点是(10,35.5)，则a ∧＝y －－b ∧x －＝35.5－(－2)×10＝55.5，故线性回归方程为y ∧＝－2x ＋55.5，将x ＝6代入得y ∧＝－2×6＋55.5＝43.5≈44. 【答案】 448．某公司的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y 与x 呈线性相关关系)：x 2 4 5 6 8 y3040605070根据上表提供的数据得到回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧中的b ∧＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．【解析】 x ＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y ＝15(30＋40＋60＋50＋70)＝50，由b ∧＝6.5知，a ∧＝y －b ∧·x ＝50－6.5×5＝17.5，∴y ∧＝17.5＋6.5x ，当y ∧＝115时，解得x ＝15. 【答案】 15 三、解答题9．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x (千件) 2 3 5 6 成本y (万元)78912(1)画出散点图；(2)求成本y 与产量x 之间的线性回归方程．(结果保留两位小数) 【解】 (1)散点图如图所示．(2)设y 与产量x 的线性回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝7＋8＋9＋124＝9， b ∧＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4－4x yx 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x2＝1110＝1.10， a ∧＝y －b ∧x ＝9－1.10×4＝4.60.∴回归方程为：y ∧＝1.10x ＋4.60.10．高三(1)班的10名学生每周用于数学学习的时间x (h)与数学成绩y (分)之间有如下对应数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y92799789644783687159如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程．(保留2位小数) 【解】列出下表，并用科学计算器进行有关计算．i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y i 92799789 64 4783687159 x i y i 2 208 1 185 2 231 1 6911 024517 1 660 1 088 1 207767x ＝17.4，y ＝74.9，∑i ＝110x 2i ＝3 182，∑i ＝110x i y i＝13 578b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x·y∑i ＝110x 2i －10x2＝545.4154.4≈3.53， a ∧＝y －b ∧x ＝74.9－3.53×17.4≈13.48，∴所求的回归方程是y ∧＝3.53x ＋13.48.11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份 2004 2006 2008 2010 2012 需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：年份－2008 －4 －2 0 2 4 需求量－257－21－111929对预处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ∧＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5， a ∧＝y －b ∧x ＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ∧－257＝b ∧(x －2 006)＋a ∧＝6.5(x －2 006)＋3.2. 即y ∧＝6.5×(x －2 006)＋260.2.(2)利用所求得的回归方程，可预测2014年的粮食需求量为 6．5×(2 014－2 006)＋260.2＝6.5×8＋260.2＝312.2(万吨)．(教师用书独具)一般地，一个人的身高越高，他的手就越大．为了调查这一问题，对10名高三男生的身高与右手一拃长测量得如下数据(单位：cm)：身高 168 170 171 172 174 176 178 178 180 181一拃长 19.020.0 21.0 21.5 21.0 22.0 24.0 23.0 22.5 23.0(1)根据上述数据制作散点图，能发现两者有何近似关系吗？ (2)如果两个变量近似成线性关系，求线性回归方程； (3)如果一个学生身高185 cm ，估计他的右手一拃长．【思路探究】作散点图→判断→求a ∧，b ∧→得回归方程→估计【自主解答】 (1)以横轴表示身高，以纵轴表示一拃长，作散点图．由散点图可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．(2)设线性回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧.用计算器计算可得b ∧≈0.303，a ∧≈－31.246，∴回归方程为y ∧＝0.303x －31.246.(3)当x ＝185时，y ∧＝24.809.即一个学生身高185 cm ，估计他的右手一拃长24.809 cm.在10年间，某城市居民的年收入x (万元)与某种商品的销售额y (万元)之间的关系有如下数据：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10市居民年收入 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0商品销售额25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程．【解】 (1)散点图如图所示：(2)列表如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46. 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.i 8059331118.61324.61446.9 1558 1 638 1892 2140.8 234x －＝37.97，y －＝39.1，∑i ＝110x 2i ＝14 663.67，∑i ＝110x i y i ＝15 202.9b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10 x 2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972＝356.63246.461≈1.447， a ∧＝y －－b ∧x －＝39.1－1.447×37.97≈－15.843，因此所求的回归直线方程是y ∧＝b ∧x ＋a ∧＝1.447x －15.843.(见学生用书第45页)抽样方法的应用随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样这三种．三种方法的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的机会相同，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法．在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法．当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，常采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样．实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法．某装订厂平均每小时装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书检验其质量情况，请设计一个抽样方案．【思路点拨】因为总体容量比较大，样本容量也比较大，所以可用系统抽样的方法抽样．【规范解答】第一步：把这些图书分成40个小组，由于362÷40的商是9，余数是2，所以每个组有9册书，还剩余2册书，这时抽样间距就是9；第二步：先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取2册书，不进行检查；第三步：将剩下的书进行编号，编号分别为0,1， (359)第四步：从第一组(编号为0,1，…，8)书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，设其编号为k；第五步：抽取编号分别为下面数字的书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9，这样就抽取了有40个个体的样本．某工厂平均每天生产某种机器零件大约10 000件，要求产品检验员每天抽取50件零件检查其质量状况，假设一天的生产时间中生产机器零件的件数是均等的，请你设计一个抽样方案．【解】第一步：按生产时间将一天分为50个时间段，也就是说，每个时间段大约生产10 00050＝200件产品，这时抽样间距就是200；第二步：将一天中生产的零件进行顺序编号，比如第一个生产出来的零件就是0号，第二个生产出来的零件就是1号等等；第三步：从第一个时间段中按照简单随机抽样的方法抽取一个产品，比如是第k 号零件；第四步：顺次地抽取编号分别为下列数字的零件：k ＋200，k ＋400，k ＋600，…，k ＋9 800，这样就抽取了一个容量为50的样本．用样本的频率分布估计总体分布本专题主要利用统计表、统计图分析估计总体的分布规律．要熟练掌握绘制统计图表的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键．从图形与图表中获取有关信息加以整理，是近年来高考命题的热点问题．(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到，二是便于记录和表示，但数据位数较多时不方便．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：组别频数频率145.5～149.580.16149.5～153.560.12153.5～157.5140.28157.5～161.5100.20161.5～165.580.16165.5～169.5m n合计M N(1)求出表中字母m，n，M，N所对应的数值；(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？【思路点拨】利用频率分布表的特征求出m，n，M，N，根据画频率分布直方图的步骤画出频率分布直方图，最后利用图形估计总体的分布．【规范解答】(1)由题意M＝80.16＝50，落在区间165.5～169.5内数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，频率为n＝0.08，总频率N＝1.00.(2)(3)该所学校高一女生身高在149.5～165.5 cm之间的比例为0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76＝342(人)．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)区间[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142) 人数58102233区间[142,146)[146,150)[150,154)[154,158]人数20116 5(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比．【解】(1)列出样本频率分布表：分组频数频率[122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158) 5 0.04 合计120 1.00(2)画出频率分布直方图，如下图所示．(3)因为样本中身高低于134 cm 的人数的频率为 5＋8＋10120＝23120≈0.19. 所以估计身高低于134 cm 的人数约占总人数的19%.用样本的数字特征估计总体的数字特征总体的平均数与标准差往往通过样本的平均数、标准差来估计．一般地，样本容量越大，对总体的估计越精确．平均数描述集中趋势，方差、标准差描述波动大小，也可以说方差、标准差反映各个数据与其平均数的离散程度．一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大．方差的单位是原数据单位的平方，标准差的单位与原单位相同．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99乙：110,115,90,85,75,115,110(1)这种抽样方法是哪一种？(2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定．【思路点拨】(1)由简单随机抽样的特点判断．(2)“茎”上写十位或百位，“叶”上写个位．(3)计算方差的大小比较稳定性．【规范解答】(1)根据三种抽样的特点可知为系统抽样．(2)茎叶图为：(3)x 甲＝17(102＋101＋99＋103＋98＋99＋98)＝100，x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，所以x 甲＝x 乙＝100.s 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2]≈3.428 6，s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]≈228.571 4.由于x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲车间产品较稳定．如图2－1是甲、乙两个数字网站在24天中每天的点击量统计的茎叶图，据图回答下列各题：(1)请说明哪个网站更受欢迎；(2)若每次点击给网站带来0.2元的收益，则甲、乙网站每天的平均收益各约为多少元？甲乙 9 9 9 9 2 3 7 7 79 9 4 4 4 4 4 5 4 4 4 4 1 5 1 3 3 7 7 3 6 5 5 5 5 5 5 7 3 2 7 0 3 3 3 3 3 3 93 380 6 6。

高中数学第2章统计 2.3 变量间的相关关系(教师用书)教案新人教A版必修3-新人教A版高一必

2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关学习目标核心素养1．了解变量间的相关关系，会画散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点)2．了解线性回归思想，会求回归直线方程．(难点)1．通过对数据的分析、统计，培养数据分析素养．2．借助变量间相关关系的研究，提升数学运算素养.1．变量间的相关关系 (1)相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．(2)散点图将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图． (3)正相关与负相关①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．2．回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法：求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝i ＝1n (x i－x )(y i－y )i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中，b ^是线性回归方程的斜率，a ^是线性回归方程在y 轴上的截距．1．以下两个变量具有相关关系的是( ) A ．角度和它的余弦值 B ．圆的半径和该圆的面积 C ．正n 边形的边数和它的内角和 D ．居民的收入与存款D [A 、B 、C 中两变量是确定的函数关系．]2．变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如下图，那么其回归方程可能为( )A.y ^x ＋2 B.y ^x ＋2 C.y ^x －2 D.y ^x －2B [由散点图知，变量x ，y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，故只有B 选项符合．]3．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表：学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理7066686462那么数学成绩与物理成绩之间( ) A ．是函数关系B ．是相关关系，但相关性很弱C ．具有较好的相关关系，且是正相关D ．具有较好的相关关系，且是负相关 C [数学成绩x 和物理成绩y 的散点图如下图．从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关．]4．设有一个回归方程为y ^x ，那么变量x 每增加1个单位时，y 平均减少________个单位． 1.5[因为y ^x ，所以变量x 每增加1个单位时，y 1－y 2＝[2－1.5(xx )＝－1.5，所以y 平均减少1.5个单位．]相关关系及判断【例1】某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．年龄x (岁) 1 2 3 4 5 6 身高y (cm) 788798108115120(1)画出散点图；(2)判断y 与x 是否具有线性相关关系． [解] (1)散点图如下图．(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y 与x 具有线性相关关系．相关关系的判断方法(1)两个变量x 和y 具有相关关系的判断方法①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断.(2)判断两个变量x 和y 之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.[跟进训练]1．以下关系中，属于相关关系的是________(填序号)． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．②④[在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]求回归方程1．任意两个统计数据是否均可以作出散点图？ [提示]任意两个统计数据均可以作出散点图．2．任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？[提示]用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系，否那么求回归方程是无意义的．3．回归系数b ^的含义是什么？[提示](1)b ^代表x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数． (2)当b ^>0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b ^个单位数；当b ^<0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b ^个单位数．【例2】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：零件数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y (分)626875818995102108115122(1)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程．思路点拨：画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程． [解] (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系． (2)列表、计算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 x i y i6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110＝x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950求回归直线方程的步骤(1)收集样本数据，设为(x i，y i)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.[跟进训练]2．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)(2)求回归方程．[解](1)散点图如下图．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i 30 40 60 50 70 x i y i 60 160 300 300 560 x 2i4162536 64x ＝5，y ＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380于是可得，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ×5＝17.5. 于是所求的回归方程是y ^x ＋17.5.回归方程的应用响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5 y86542x 和y (1)求x ，y ；(2)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)假设年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．[解] (1)计算可得x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝8＋6＋5＋4＋25＝5.因为线性回归直线过(x ，y )，那么a ^＝y －b ^x ×3)＝9.2，故y 关于x 的线性回归方程是y ^x ＋9.2. (3)当x ＝4.5时，y ^×4.5＋9.2＝2.9(千元/吨)．利用线性回归方程解题的常见思路及注意点(1)利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据. (2)利用回归方程中系数b ^的意义，分析实际问题.(3)利用回归直线进行预测，此时需关注两点；①所得的值只是一个估计值，不是精确值；②变量x 与y 成线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否那么即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的.[跟进训练]3．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (吨)之间的一组数据为价格x 2 需求量y1210753(1)根据上表数据，求出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)试根据(1)中求出的回归方程预估当价格为1.9万元时，需求量大约是多少吨？[解] (1)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否那么应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^，b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．假设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.1．判断以下结论的正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系．( ) (2)回归直线方程一定过样本中心点．( )(3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同．( )[答案](1)× (2)√ (3)×2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0D ．只能小于0C [当b ^＝0时，不具有相关关系，b ^可以大于0，也可以小于0.]3．假设施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．650[当x ＝80时，y ^＝400＋250＝650.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：如果y 与x 是线性相关的，求回归方程．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)[解] 依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ^＝y －b ^x ＝0.81， ∴y ^x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^x ＋0.81.。

新人教版高中数学必修三 2.3：变量间的相关关系学案

高中二年级（上）数学必修3 第二章：统计——2.3：变量间的相关关系一：知识点讲解（一）：变量间的相关关系相关关系的定义：变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系。

常见的两个变量之间的关系分为和。

散点图：将样本中n 个数据点()i i y x ，（i ＝1、2、……、n ）描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图。

正相关与负相关：✧ 正相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为。

✧ 负相关：如果一个变量的值由小变大，另一个变量的值由大变小，这种相关称为。

（二）：两个变量的线性相关最小二乘法：设x 、y 的一组观察值为()i i y x ，（i ＝1、2、……、n ），且回归直线方程为x b a y ˆˆˆ+=。

当x 取值i x （i ＝1、2、……、n ）时，y 的观察值为i y ，则i iy y ˆ- （i ＝1、2、……、n ）刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点的纵坐标之间的离差（偏离程度），通常用离差的平方和，即Q ＝作为总离差，并使之达到。

回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条。

由于平方又叫二乘方，所以这种使“ ”的方法，叫做最小二乘法。

回归直线方程：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程简称回归方程。

例1：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

1) ( )相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系。

2) ( )“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的学业水平成正相关关系。

3) ( )某同学研究卖出的热饮杯数y （杯）与气温x （℃）之间的关系，得到回归方程767.147352.2ˆ+-=x y，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮。

高二数学教案 2.3.1变量之间的相关关系教案人教版_必修3

2.3.1变量之间的相关关系教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

【探究新知】一、创设情景：举一些现实生活中存在的许多相关关系的例子。

（P84）二、讲授新课：1相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系，其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.【概念辨析】1、下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是 ( )A. 小麦产量与施肥值B. 球的体积与表面积C. 蛋鸭产蛋个数与饲养天数D. 甘蔗的含糖量与生长期的日照天数2、下面现象间的关系属于线性相关关系的是( )A. 圆的周长和它的半径之间的关系B. 价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系C. 家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势D. 正方形面积和它的边长之间的关系3、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系？（）A、角度和它的余弦值B、正方形边长和面积C、正n边形的边数和顶点角度之和D、人的年龄和身高观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现的不是很真切，需要对数据进行分析.我们可以作统计图、表，以便对两者有一个直观的印象和判断.散点图是研究相关关系最常用的一种统计图.2 散点图我们把表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图.上例的散点图如图.量 x 54321从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，可见散点图能形象地反映各对数据的密切程度.从散点图可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域，这种相关关系称作 .若因变量随自变量的增大而减小则称作，负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域.练习（09海南高考）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

人教A版高中数学必修3《二章统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系》优质课教案_3

变量间的相关关系一、教材分析学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。

教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。

为以后更好地研究选修2-3第三章3.2节回归分析思想的应用奠定基础。

二、教学目标1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。

2 、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。

②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。

三、教学重点、难点重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。

难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

四、教学设计）（一）、创设情境导入新课1、相关关系的理解我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。

生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。

这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。

生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”。

通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。

让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。

感受数学来源于生活。

（二）、初步探索，直观感知1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。

高中数学必修3第二章第三节《变量间的相关关系》全套教案

2.3.变量间的相关关系2.3.1变量间的相关关系【教学目标】（1）了解变量之间的相关关系。

（2）会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。

（3）会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。

【教学重点难点】1、变量之间的相关关系。

2、会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。

3、会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。

【学前准备】：多媒体，预习例题个准确的函数来表示，广告费（自变量x）一定时销售额（因变量y）并没有确定，而是因为受多种因素的影响带有一定的随机性。

2、你能试着总结一下相关关系的定义吗？变量间的相关关系定义：自变婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。

上面提到了很多相关关系，那它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。

散点图.2.3.2两个变量的线性相关【教学目标】（1）了解最小二乘法的思想及回归直线方程的推导过程；（2）通过实例加强对回归直线方程含义的理解。

【教学重难点】重点：利用散点图直观地判断两个变量之间的线性相关关系，了解统计学中，数据处理的经典方法——最小二乘法，掌握回归方程系数公式求回归方程，且进行实际预测。

难点:通过代数的方法刻画“从整体上看，各点与回归直线的距离最小”的几何特征，让学生了解最小二乘法思想，形成回归分析思想。

【学前准备】：多媒体，预习例题学生预分类情况:分类1：分成三组（1）（5），（2）（3（4）（8），其中（1）（5）图中的点分布在一条直线上；（3）（6）（7）图中的点大部分的点落在某条直线附近，呈带状分布；（4）（8）图中的点分布比2.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用(千元) 1.0 4.0 6.0 10.0 14.销售额(千元) 19.0 44.0 40.0 52.0 53.（1）画出散点图。

高中数学必修3-2.3变量间的相关关系学案

2.3变量间的相关关系学习目标1．通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。

2．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系3．两个变量具有线性相关关系时，会在数点图中作出线性回归直线，会用线性回归进行预测。

请同学们阅读教材P 84—P 91内容 1．如果散点图中的分布从整体上看我们就称这两个变量之间具有 __ 这条直线中2.求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“ ”如何实现这一目标呢？3．小结求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数______________.第二步，求和____________________.第三步，计算____________________.第四步，写出回归方程 ______________.4.利用计算器或计算机，如何求回归方程？5.线性回归直线a x b y +=的几何意义是：x 每增加一个单位，y 就相应或个单位，而不是倍。

二、新课导学※ 探索新知新知1：线性相关如果散点图中的点分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系。

新知2：回归直线两个变量具有线性相关关系时，它们的散点图在一条直线附近，则这条直线称为回归直线。

新知3：回归直线方程分析与求法：分析：一是所求的回归直线方程只是“大体上”上接近了回归方程而且方程不唯一，可信度不高：二是没有从几何直观和代数精确上对回归直线作刻画，不能作合理的可靠的数学解释。

求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数；，y x 第二步，求和；，∑∑==n i i n i ii x y x 121第三步，计算;)())((1221121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i ini i i -=--=---=∑∑∑∑====，第四步，写出回归方程 .a bx y +=∧※ 典型例题例1.下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系（）A ．角度和它的余弦值B ．正方形的边长和面积C ．正n 边形的边数和内角度数之和D ．人的年龄与身高例2.下列两个变量中具有相关关系的是（）A ．正方形的体积与边长B ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力例 3.由一组10个数据(x i ，y i )算得,10,5==y x ,292,583121==∑∑==ni i n i i i x y x则b = ,a = ,回归方程为_____________________.※ 动手试试练1.下列那些变量是相关关系（）A.出租车与行驶里程B.房屋面积与房屋造价C.身高与体重D.铁球的体积大小与其体重练2.工人月工资y 与劳动生产率x 变化的回归方程y=50+80x ，下列判断正确的是（） ①劳动生产率为1千克每小时时，工资为130元.②劳动生产率提高1千克每小时时，工资提高80元.③劳动生产率提高1千克每小时时，工资提高130元.④劳动生产率为2千克每小时时，工资为210元.A .①②B .①②④C. ②④ D . ①②③④练3.下列说法中不正确的是（）A.两个变量具有线性相关关系时，求出的回归方程才有意义B.散点图能直观的反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.回归直线y=ax+b 一定经过(i x ,i y )(i=1,2,…,n)中的某些点三、总结提升1．通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。

人教课标版高中数学必修三《变量间的相关关系》教案-新版

第二章统计2.3 变量间的相关关系一、教学目标1．核心素养通过本节学习，让学生初步形成数据处能理.2．学习目标（1）两个变量之间的相关关系的理解；（2）利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．（2）根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．3．学习重点根据线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.4．学习难点回归思想的建立，对回归直线与观测数据关系的理解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读P84－P91，思考：两个变量的关系有哪些？如何发现两个变量的关系？任务2写出线性回归直线方程的系数公式，明白公式各部分的意义2．预习自测1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A．圆的半径和它的面积B．正方形边长和它的面积C．正n边形的边数和内角和D．人的年龄和身高解：D2．设有一个回归方程为y^＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时，y平均() A．增加1.5个单位B．增加2个单位C．减少1.5个单位D．减少2个单位解：C3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23解：C（二）课堂设计1．知识回顾（1）频率分布表，频率分布直方图，频率分布折线图，密度曲线．（2）中数，众数，平均数，方差，标准差．2．问题探究问题探究一两个变量之间有哪些关系，如何呈现？（★▲）●活动一创设情景，感知相关关系考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？（1）商品销售收入与广告支出经费（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.（1）（2）（3）都不是函数关系，因为前者的好坏或多与少还由其它因素来确定. 述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，也即是说自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.●活动二增设反例，深化相关关系的理解下列两个变量间，哪些是函数关系？哪些是相关关系？①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac;②光照时间和果树亩产量；③每亩施用肥料量和粮食产量.它们之间的关系是函数关系的有①，是相关关系的有②③.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化.问题探究二在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据:50494541392723年龄28.226.327.525.921.217.89.5脂肪61605857565453年龄34.635.233.530.831.430.229.6脂肪其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数. ●活动一初识案例，感知两个变量间的关系思考1：观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？随着年龄的增加，人体脂及含量在增加.思考2：以x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域两个变量成负相关. ●活动二再析案例，用直线拟合两变量的关系有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点大致分布在一条直线附近.称这两个变量线性相关.思考3：对于一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线呢？●活动三回归直线方程的求法在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.回归直线与散点图中各点的位置整体上最接近 .如何求回归直线呢？思考4：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设其回归方程为a bx y +=∧可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？.)(||2a bx y y y y y i i i i i i +=--∧∧∧其中，或可以用21ˆ()ni i i Q y y==-∑2221122()()()n n y bx a y bx a y bx a =--+--++--为了从整体上反映n 个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？根据有关数学原理分析，当1122211()(),()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑时，总体偏差21)ˆ(∑=-=ni i yy Q 最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.回归方程中，a ，b 的几何意义分别是什么？因此利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为48.0577.0-=x y ，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为20.9% 问题探究三例1.四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【知识点：正相关、负相关】解 D ：由回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^>0时，y 与x 正相关，当b ^<0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误.例2.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x ，y )C.若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【知识点：回归方程的简单应用】解：D ∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确；∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确；∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85，∴C 正确.例 3.某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？【知识点：回归方程】解：(1)散点图如图.(2)由表中数据得：x ＝3.5，y ＝3.5 ∴b ^＝0.7，∴a ^＝1.05， ∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示.(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时. 3．课堂总结（1）相关关系与函数关系的区别与联系①函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性的关系.线性相关关系是相关关系的一种特殊性况，它也是一种不确定的关系.②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. ③函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以相互转化.而对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计.④相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系，不仅可以用来处理更为广泛的数学应用问题，还可以将对函数关系的认识上升到一个新的高度.（2）回归直线①回归直线的特征：像平均数可以作为一个变量的数据代表一样，回归直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表.回归直线是样本数据点最大程度的吻合，即散点回归.②线性回归思想：把相关关系（不确定性关系）转化为函数关系（确定性关系）.当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析叫线性回归分析.③求回归直线方程的步骤：第一步：计算平均数x 和y ；第二步：计算211,nni i i i i x y x ==∑∑；第三步：计算x b y axn x yx n yx x x y y x xbn i i ni ii ni i ni i iˆˆ,)()()(ˆ2121121-=--=--⋅-=∑∑∑∑====；第四步：写出回归直线方程y bx a =+.(称点),(y x 为样本中心点，样本中心点),(y x 一定位于回归直线上)④得用回归直线方程对总体进行估计：利用回归直线方程对总体进行估计时，虽然这个值只是估计值，不是精确值,具有随机性，但它是根据统计规律得到 4．随堂检测 1.有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和身体健康情况； ④圆的半径与面积； ⑤汽车的重量和每千米耗油量．其中两个变量成正相关的是（）A ．①③B ．②④C ．②⑤D ．④⑤ 【知识点：正相关，负相关】解：C 由变量的相关关系的概念知，②⑤是正相关，①③是负相关，④为函数关系.2. 设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是（）A ．直线l 过点(x ，y )B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在0到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同【知识点：回归直线】解A. 由样本的中心(x ，y )落在回归直线上可知A 正确；x 和y 的相关系数表示为x 与y 之间的线性相关程度，不表示直线l 的斜率，故B 错；x 和y 的相关系数应在－1到1之间，故C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D 错． 3. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【知识点：回归直线】解：B经计算可知，回归方程为9.4x ＋9.1， ∴当x ＝6(万元)时，9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．（三）课后作业基础型自主突破1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.( × ) （2）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( √ )（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( √ ) （4）某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮.( × ) 【知识点：正相关、负相关概念；回归方程】解：× √ √ ×2. 在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是( )(1)(2)(3)(4)A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3)【知识点：散点图】解：D3.在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的线性回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是()A.①②⑤③④B.③②④⑤①C.②④③①⑤D.②⑤④③①【知识点：散点图,回归直线】解：D4. 下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【知识点：相关关系，函数关系】解：C能力型师生共研5.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图.以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【知识点：相关关系】解：D6.根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( ) A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0 C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0 【知识点：回归方程】解B ：作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^<0，当x ＝0时，y ^＝a ^>0.故a ^>0，b ^<0.7.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x ，y )C.若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【知识点：回归方程】解B ∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确；∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确；∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85，∴C 正确.故选D.8．从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180i i x ==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑.（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;（3）若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y bx a =+中,1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑,a y bx =-,其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y bx a =+. 【知识点：回归方程】解析：（1）由题知21,81,1011=====∑∑==n i n i i i y n y x n x n ,80640720212=-=-∑=x n x ni i ,241601841=-=-∑=y x n y x ni i .因此4.083.02ˆ,3.0ˆ-=⨯-=-==x b y a b，故所求的回归方程为4.03.0-=x y （2）由0>b ，故x 与y 是正相关的.（3）代入回归方程中可以预测该项家庭的月储蓄为7.14.073.0=-⨯=y . 探究型多维突破9.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =，w =81ii w=∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +d y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？【知识点：回归方程】解析：（1）由散点图可以判断x d c y +=适合作为年销售y 关于年宜传费用x 的回归方程类型（2）先建立y 关于w 的线性回归方程,由于68168.108)())((ˆ81281==---=∑∑==i ii i iw wy y w wd6.1008.668563ˆˆ=⨯-=-=∴d c,所以y 关于w 的线性回归方程为w y686.100ˆ+=,即y 关于x 的线性回归方程为x y 686.100ˆ+=. （3）由（1）和（2）知,当49=x 时，年销售量y 的预报值为6.57649686.100ˆ=+=y, 32.66492.06.576ˆ=-⨯=z,年利润z 的预报值为 12.206.13)686.100(2.0ˆ++-=-+=x x x x z, 所以当8.626.13==x ,即24.46=x 时，zˆ取得最大值. 自助餐1．已知变量x ，y 呈线性相关关系，线性回归方程为y ＝0.5＋2x ，则变量x ，y 是( )A ．线性正相关关系B ．由回归方程无法判断其正负相关C ．线性负相关关系D ．不存在线性相关关系【知识点：相关关系】解：A2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ).0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+ 【知识点：回归直线】解：A3.已知变量x 和y 满足关系y ^＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( )A.x 与y 正相关，x 与z 负相关B.x 与y 正相关，x 与z 正相关C.x 与y 负相关，x 与z 负相关D.x 与y 负相关，x 与z 正相关【知识点：相关关系】解 C.4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【知识点：回归直线】解B ：由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元），6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y=⨯+=（万元）. 5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1【知识点：散点图，回归直线】解 D6.四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【知识点：正相关、负相关概念】解D ：由回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^>0时，y 与x 正相关，当b ^<0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误.7.已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为y b x a ''=+,则以下结论正确的是( )A.a a b b'>'>ˆ,ˆ B.a a b b '<'>ˆ,ˆ C. ˆˆ,b b a a ''<> D.a a b b '<'<ˆ,ˆ 【知识点：回归直线】解：C ，画图即可求得8．如图所示，有A ，B ，C ，D ，E,5组数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．【知识点：散点图】解：D9．工人月工资y (元)与劳动生产率x (千元)的回归方程为y ^＝50＋80x ，当劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高________元．【知识点：回归直线】解D:回归直线是用来估计总体的，所以我们求的值都是估算值，所以我们得到的结果也是近似的，只要把自变量的值代入回归直线方程即可求得结果为145.83(cm)．10.某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？【知识点：回归方程的综合应用】解 (1)散点图如图.(2)由表中数据得：x ＝3.5，y ＝3.5 ∴b ^＝0.7，∴a ^＝1.05， ∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示.(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时.11．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．12.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，7≈2.646.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -解：（1）99.0646.2255.089.2,89.2))((,28)(,471271≈⨯⨯≈=--=-=∑∑==r y y t t t t t i i i i i（Ⅱ）103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty tb， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y 10.092.0ˆ+=.将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．五、数学视野最小二乘法最早称为回归分析法.由著名的英国生物学家、统计学家道尔顿(F .Gallton )——达尔文的表弟所创,早年,道尔顿致力于化学和遗传学领域的研究.他研究父亲的身高与儿子的身高之间的关系时,建立了回归分析法.在科学研究和实际工作中,常常会遇到这样的问题:给定两个变量x ,y 的n 组试验数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),如何从中找出这两个变量间的函数关系的近似解析表达式(也称为经验公式),使得能对x 与y 之间的除了数据外的对应情况作出判断. 这样的问题一般可以分为两类:一类是对x 与y 之间所存在的对应规律一无所知,这时要从试验数据中找出切合实际的近似解析表达式是相当困难的,俗称这类问题为黑箱问题;另一类是依据对问题所作的分析,通过数学建模或者通过整理归纳试验数据,能够判断出x 与y 之间满足或大体上满足某种类型的函数关系式y=f (x ,a ),其中a=(a 1,a 2,…,a n )是n 个待定的参数,这些参数的值可以通过m 组试验数据来确定(一般要求m>n ),这类问题称为灰箱问题.解决灰箱问题的原则通常是使用拟合函数在x i 处的值与试验数据的偏差平方和最小,即[f (x i ,a )-y i ]2取得最小值.这种在方差意义下对试验数据实现最佳拟合的方法称为“最小二乘法”,a 1,a 2,…,a n 称为最小二乘解,y=f (x ,a )称为拟合函数.现在回归分析法已远非道尔顿的本意,已经成为探索变量之间关系最重要的方法,用以找出变量之间关系的具体表现形式.。

人教版高中数学数学必修三2.3+变量的相关性+教案

第二学期高一数学教案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

高中数学变量间的相关关系教案1 新人教A版必修3

2.2.3 变量间的相关关系[知识与技能]1 两个变量间的相关关系（1）、两个变量间的相关关系的定义。

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。

（2）、两个变量间的种类。

两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系。

例如“身高者，体重也重”。

我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系。

2 两个变量间的相关关系的判断（1）、散点图。

（2）、根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确的判断两个变量是否具有相关关系。

（3）、正相关、负相关的概念。

3 回归直线方程（1）回归直线的概念（2）回归直线方程4、回归直线方程的系数公式[过程与方法][例1] 下列关系中，是带有随机性相关关系的是①正方形的边长面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系。

[分析] 两变量之间的关系有两种：函数关系与带有机性的相关关系。

①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系。

②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系。

③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系。

④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②、④。

[例2] 现随机抽取某校10名学生在入学考中的数学成绩X与入学后的第一次数学考试成绩Y，数据如下：[分析] 应用散点图分析解：（图略）这10名同学的两次数学考试成绩具有相关关系。

[创新思维训练]一、选择题1、在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）（2）（3）（4）A ：（1）（2）B ：（1）（3）C ：（2）（4）D ：（2）（3） 2、线性回归方程a bx y +=∧必过[ ]A ：（0，0）点B ：（x ，0）点C ：（0，y ）点心D ：（y x ,）点 3、设有一个直线回归方程为y=2－1.5x, 则变量x 增加一个单位时 A ：y 平均增加1.5个单位于 B ：y 平均增加2个单位 C ：y 平均减少1.5个单位 D ：y 平均减少2个单位二、填空题4、变量与变量之间的关系有两类：一类是，另一类是。

人教版高中数学必修三(教案)2.3 变量之间的相关关系(4课时)

第一课时2。

3。

1 变量之间的相关关系教学要求：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。

教学难点:变量之间相关关系的理解.教学过程：一、新课准备：1.粮食产量与施肥量有关系吗?2. 提问:“名师出高徒"可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。

教师的水平与学生的水平有什么关系?你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（水滴石穿三人行必有我师等)二、讲授新课：1。

问题的提出1.请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差，但又不全对。

）物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。

但决非唯一因素，还有其它因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。

（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。

）2．给出相关关系的概念1.相关关系的概念:两个变量之间的关系可能是确定的关系(如：函数关系），或非确定性关系。

当自变量取值一定时,因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。

相关关系是一种非确定性关系.（分析：两个变量→自变量取值一定→因变量带有随机性→相关关系）2。

例:商品销售收入与广告支出经费之间的关系。

（还与商品质量，居民收入，生活环境等有关）3。

小结：1.现实生活中相关关系的实例。

2。

高中数学 2.3变量间的相关关系教学案 必修3

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人教A版高中数学必修3《二章 统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系》优质课教案_17

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