【人教A版】数学必修五：2.1《数列的概念与简单表示法(2)》ppt课件

a1=1,an=
1
1 n
an-1(n≥2),
所以 an = n 1 (n≥2),
an 1
n
an= an × an1 × an2 ×…× a3 × a2 ×a1= n 1 × n 2 × n 3 ×…× 2 × 1 ×1= 1 .
an 1
an2
an3
a2 a1
n n 1 n 2
32
n
又∵n=1 时,a1=1,符合上式,∴an= 1 . n
【例 4】 (1)已知数列{an}满足 a1=-1,an+1=an+ 1 ,n∈N*,求通项公式 an.
n(n 1)
(2)设数列{an}中,a1=1,an=
1
1 n
an-1(n≥2),求通项公式
an.
解:(1)∵an+1-an= 1 , n(n 1)
∴a2-a1= 1 ; 1 2
a3-a2= 1 ; 23
5(n 5(n
1) 1)
4, 4.
解这个不等式组得 2≤n≤3,
∴n=2,3, ∴a2=a3 且最小,a2=a3=22-5×2+4=-2.
题后反思 求数列{an}的最大项或最小项的方法. 求数列{an}的最大项或最小项,一种方法是利用函数的最值求解;
另一种是不等式法,求最小项可由
aann
2) 2)
6 7
6 7
n
n
(n (n
1)
6 7
n
1
,
3)
6 7
n 1
,
解得
n n
5, 4,
即
4≤n≤5,
所以 n=4 或 5,
故数列{an}中
a4
与
a5
均为最大项,且
a4=a5=
65 74
.Байду номын сангаас
题型三 数列的周期性及简单应用
【例 3】 已知数列{an}满足 a1=2,an=1- 1 (n∈N*,n≥2),则 a3=
跟踪训练 1-1:已知数列{an}的通项公式是 an= n2 1 -n,试判断 其增减性.
解:∵ an1 = (n 1)2 1 (n 1)
an
n2 1 n
=
n2 1 n
<1,
(n 1)2 1 (n 1)
又∵an>0,∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.
题型二 求数列的最大(小)项 【例2】 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. 求n为何值时,an有最小值?并求出最小值. 名师导引:思路一:①an与n之间是什么函数关系?(an是n的二次 函数) ②二次函数怎样求最值?(配方,求出对称轴) ③数列中的n取值有何特点?由此怎样确定最小项?(n只能取正 整数,因此若对称轴不是正整数,应取离对称轴最近的整数值) 思路二:当{an}中an最小时,an应满足什么条件?(an≤an+1与 an≤an-1恒成立)
an 2n 3
n
= 2n2 3n 1 =1+ 1 ,………………………………………………6 分
2n2 3n
2n2 3n
因为 n∈N*,
所以 1 >0,…………………………………………………………8 分 2n2 3n
因此 1+ 1 >1,即 an1 >1,…………………………………………10 分
an2
a1
跟踪训练 4-1:(1)已知数列{an},a1=2,an=2an-1(n≥2),求数列的通项公式 an;
(2)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln
1
1 n
,求通项
an.
解:(1)∵a1=2,an=2an-1,
∴ an =2(n≥2), an 1
∴an= an · an1 ·…· a3 · a2 ·a1
题后反思 由数列的递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法:当 an=an-1+f(n)时,常用 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 求
通项.
(2)累乘法:当 an =g(n)时,常用 an= an · an1 ·…· a2 ·a1 求通项.
an 1
an 1
2.数列的递推公式 如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的 任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一 个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
思考:数列的通项公式与递推公式有什么区别? 提示:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道 任意一个具体的n值,通过通项公式就可以求出该项的值an;而递 推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相 邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.
2n2 3n
an
又 an>0,
所以 an+1>an,即{an}是递增数列. ………………………………………12 分
题后反思 根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与 an+1的大小关系,从而判断数列的单调性,若an+1>an恒成立,则{an} 是递增数列;若an+1<an恒成立,则{an}是递减数列.
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知识探究——自主梳理 思考辨析
1.数列的函数性质 (1)数列可以看成以 正整数集N* (或它的有限子集 {1,2,…,n} )为定 义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的 一列函数值. (2)在数列{an}中,若an+1 > an,则{an}是递增数列;若an+1 < an,则{an}为递 减数列;若an+1=an,则{an}为常数列.
【例题】 已知数列{an}满足下列条件,写出它的前 5 项,并归纳出数列 的一个通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); (2)a1=1,an+1= 2an .
2 an
解: (1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1; a3=a2+(2×2-1)=1+3=4; a4=a3+(2×3-1)=4+5=9; a5=a4+(2×4-1)=9+7=16. 故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.
(2)∵a1=1,an+1= 2an , 2 an
∴a2= 2a1 = 2 , 2 a1 3
a3= 2a2 = 1 , 2 a2 2
a4= 2a3 = 2 , 2 a3 5
a5= 2a4 = 1 , 2 a4 3
∴它的前 5 项依次是 1, 2 , 1 , 2 , 1 . 3253
它的前 5 项又可写成 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1
新课导入 知识探究 题型探究
达标检测
新课导入——实例引领 思维激活
实例: (1)有一个小型会议室,共15排,第一排有7个座位,从第二排起,后 一排都比前一排多2个座位(如图),那么各排的座位数依次为:7,9,11, 13,15,….
(2)有一只小猴子到桃园里摘了62个桃子.第一天,小猴子吃掉了桃子的一 半,感觉不过瘾,又吃了一个;第二天,小猴子又吃掉了所剩桃子的一半,然 后又多吃一个;第三天仍然这样,依此下去,那么每一天小猴子所剩桃子的 个数依次为:30,14,6,2,0. 想一想 实例中,每个数列的相邻两项(或三项)之间具有什么关系? (对于(1)有:an+1=an+2(n∈N*),对于(2)有:an+1= 1 an-1(n∈N*))
an1, an1
来确定
n,求最大项
可由
an an
an1, an1
来确定
n.若数列是单调的,也可由单调性来确定
最大或最小项.
跟踪训练
2-1:已知数列{an}的通项公式
an=(n+2)·
6 7
n
,试求数列{an}的
最大项.
解:假设第 n 项 an 为最大项,
则
an an
an1, an1.
即
(n (n
,
an 1
a = 2014
.
解析:∵a1=2,
∴a2=1- 1 =1- 1 = 1 , 从而 a3=1- 1 =1- 1 =1-2=-1,
a1 2 2
a2
1
a4=1- 1 =1- 1 =2,
2
a3
1
a5=1- 1 = 1 ,a6=1- 1 =-1,….
a4 2
a5
由此可知数列{an}各项的值以 3 为周期重复出现,于是 a2014=a3×671+1=a1=2.
于是 an+1-an= n 1 - n = (n 1)(2n 1) n(2n 3) =
1
, ……6 分
2n 3 2n 1
(2n 1)(2n 3)
(2n 1)(2n 3)
因为 n∈N*,
所以(2n+1)(2n+3)>0,……………………………………………………………8 分
因此
1
>0,…………………………………………………………10 分
(A) 1 4
(B) 3 4
(C)0
(D) 1 2
解析:由 an+an-1=1 得 an=1-an-1.
又 a1= 1 ,∴a2= 3 ,a3= 1 ,a4= 3 ,…,由此可知数列{an}的项以 2 为周
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