2014高考数学(理)复习方案：第64讲 合情推理与演绎推理
2014·新课标高考总复习·数学6-5合情推理与演绎推理
)
悟真题 透析解
①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；
题策略
③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．
提素能
高效题 组训练
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
解析：经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－ a － x － y) ， 又 S(x)C(y) ＋ C(x)S(y) ＝ 2(ax ＋ y － a － x － y) ， 因 此 有 2S(x ＋ y) ＝ S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述， 选B.
悟真题 透析解
推理(简称类比)．
题策略
2．特点：类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．
提素能
高效题
组训练
3．类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的 相似性或一致性 ；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的 命题(猜想)．
四、演绎推理 1．概念：由概念的定义或一些真命题，依照一定的 逻辑规则 得 到正确结论的过程，叫做演绎推理．
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
抓主干 双基知 能优化
研考向
2．特征：当前提为真时，结论必然为真，演绎推理是由一般到特
要点知 识探究
殊的推理．
悟真题 透析解
3．演绎推理的一般模式：三段论
题策略
提素能
(1)大前提——已知的一般原理，即“M是P”；
高效题
组训练
高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教案教学内容：高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教学时长：2-3课时教学目标：1.能够理解合情推理和演绎推理的概念和区别。
2.掌握合情推理和演绎推理的思维方法和技巧，能够应用到相关问题中。
3.能够运用数学语言和符号描述和表示合情推理和演绎推理的过程和结果。
教学重点：1.合情推理和演绎推理的概念和区别。
2.合情推理和演绎推理的思维方法和技巧。
3.运用数学语言和符号描述和表示合情推理和演绎推理的过程和结果。
教学难点：1.如何灵活运用合情推理和演绎推理的思维方法和技巧。
2.如何运用数学语言和符号描述和表示合情推理和演绎推理的过程和结果。
教学方法：多媒体展示、讲授、思维导图、案例分析。
教学过程：第一步：导入1.使用多媒体展示相关图片或视频引起学生的兴趣，并让学生讨论所展示的内容有哪些思维方法和技巧。
2.老师讲述实际生活中所涉及到的一些思维方法和技巧，并引导学生思考其作用和意义。
第二步：知识讲解1.合情推理：1）定义：合情推理是基于类比关系，通过类比来得出结论的一种思维方法。
它通常涉及到对某种事物或现象进行比较，从而得出与其有相似性或联系的结论，并用此结论进行推理或预测。
2）例子：老师在课堂上讲述一个问题，学生可以通过类比关系来引申出自己的想法，从而得出更深层次的结论。
2.演绎推理：1）定义：演绎推理是基于逻辑关系，通过前提与规则推导出结论的一种思维方法。
它的基本思路是从已知的前提出发，根据规则逐步推导，达到得出结论的目的。
2）例子：在证明一个定理时，需要根据已知条件和推论规则，逐步推导，得出结论，这就是演绎推理的典型应用。
第三步：案例分析1.老师给学生展示几个有关合情推理和演绎推理的案例，让学生思考并回答：1）这个问题中是否涉及到合情推理和演绎推理？2）涉及到的是合情推理还是演绎推理？3）为什么这个问题可以用合情推理或演绎推理进行解决？第四步：巩固练习1.老师设计一些具体的演绎推理和合情推理的例子，让学生解决问题，并展示解题过程和思路。
2014高考数学一轮汇总训练《合情推理与演绎推理》理 新人教A版
第五节合情推理与演绎推理[备考方向要明了]式，并能运用[归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．2．演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．[自测·牛刀小试]1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：选C ①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选A 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×502＋5，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①②不正确，③正确．4．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．5．(教材习题改编)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想，在n 边形A 1A 2…A n 中，成立的不等式为________．解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n 边形A 1A 2…A n中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π成立．答案：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[自主解答] (1)记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f (0)＋f (1)＝33，f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 猜想f (x )＋f (1－x )＝33， 证明：∵f (x )＝13x＋3， ∴f (1－x )＝131－x ＋3＝3x3＋3·3x ＝3x33＋3x.∴f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋3x33＋3x＝3＋3x 33＋3x＝13＝33.[答案] (1)C利用本例(2)的结论计算f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)的值．解：∵f(x)＋f(1－x)＝33，∴f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)＝[f(－2 014)＋f(2 015)]＋[f(－2 013)＋f(2 014)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2 015×33＝2 015 33.———————————————————归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝14n2(n＋1)2.答案：14n2(n＋1)2[例2] (2013·广州模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.[自主解答] 法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －an －m. 所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －amn －m. 类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m qn －m可知d ＝cq n －m，所以q ＝n －m dc，所以b m ＋n ＝b m q n＝c ·n －m⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n ＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ， 因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1qn －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m，所以b m＋n ＝n －m d nc m. [答案] n －m d nc m———————————————————类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．————————————————————————————————————————2．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D . 求证：1AD＝1AB＋1AC .那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 证明：如图所示，∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴△ABD ∽△CAD ，△ABC ∽△DBA ， ∴AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.下面证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.同理可得在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.故猜想正确．理[例3] 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) 的值．[自主解答] (1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知得y ＝－a a x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)由(1)可知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.则f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3. ———————————————————演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3．已知函数f (x )＝ax＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤ab 时，∵a >0，b >0， ∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b，ax 1x 2>b ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数； 当x 2>x 1≥a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数． 法二：∵a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)， ∴令f ′(x )＝－a x 2＋b ＝0，得x ＝ a b， 当0＜x ≤a b 时，－ax2≤－b ， ∴－ax2＋b ≤0，即f ′(x )≤0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数； 当x ≥ a b 时，－ax2＋b ≥0，即f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；③检验猜想．观察、比较→联想、类推→猜想新结论1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.创新交汇——合情推理与证明的交汇创新1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．[典例] (2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] 法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：(1)同法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. [名师点评] 1．本题的创新点(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式，但没有给出具体的值，需要学生求出这个常数，这打破以往给出具体关系式的模式．(2)本题没有给出具体的三角恒等式，需要考生归纳并给出证明，打破了以往只归纳不证明的方式．2．解决本题的关键(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来．(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明．[变式训练] 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2；(2)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C ，试判断△ABC 的形状．(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解：(1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.(2)由二倍角公式，cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C 可化为1－2sin 2A －1＋2sin 2B ＝1－1＋2sin 2C ，所以sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B .设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理可得a 2＋c 2＝b 2.根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 由于f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，由此可以推广为x ＋pxn ≥n ＋1，取值p 等于( )A ．n nB ．n 2C ．nD ．n ＋1解析：选A ∵x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n 的指数次方，即p ＝n n.3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝ab ”类比得到“a·c b·c ＝ab”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．4．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ， 即：V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得：R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：选B 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对，这样的前n 组一共有n n ＋12个整数对，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个． 解析：从左右对称入手考虑．(1)4位回文数第1、4位取1,2,3,4,5,6,7,8,9之一有C 19＝9种选法．第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90个，即4位回文数有90个．(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n ＋1(n ∈N *)位回文数有9×10n个．答案：90 9×10n9．(2013·包头模拟)如图，矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′夹在两条平行线l 1、l 2之间，且A ′B ′＝mAB ，则容易得到矩形ABCD 的面积S 1与矩形A ′B ′C ′D ′的面积S 2满足：S 2＝mS 1.由此类比，如图，夹在两条平行线l 1、l 2之间的两个平行封闭图形T 1、T 2，如果任意作一条与l 1平行的直线l ，l 分别与两个图形T 1、T 2的边界交于M 、N 、M ′、N ′，且M ′N ′＝mMN ，则T 1、T 2的面积S 1、S 2满足________．椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2是夹在直线y ＝a 和y ＝－a 之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为________．解析：如图，任取一条与x 轴平行的直线，设该直线与x 轴相距h ，则这条直线被椭圆截得的弦长l 1＝2b a 2－h2a，被圆截得的弦长l 2＝2a 2－h 2， 则l 1l 2＝ba ，即S 椭圆S 圆＝b a. 故S 椭圆＝b a·πa 2＝πab . 答案：S 2＝mS 1 πab三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 …4 4 8 12其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．11．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a －y 2b＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理：y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．12．观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．1.正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.1 0232 048a 2B.1 023768a 2C.5111 024a 2D.2 0474 096a 2解析：选A 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝⎝⎛⎭⎪⎫24a 2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12101－12＝1 0232 048a 2. 2．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.解析：观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350；(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－1 280×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＋1 120×⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，即n ＋4p ＝－200，(2)联立(1)(2)，得n ＝－400，p ＝50. 故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962. 答案：9623．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n (n ∈N *)的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1，…，22－12＝2×1＋1， 以上各式相加得(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n )＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n2＝n n ＋12.类比上述过程，可得12＋22＋32＋…＋n 2＝________(n ∈N *)．解析：由(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…，23－13＝3×12＋3×1＋1，以上各式相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，所以12＋22＋32＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16.答案：n n ＋12n ＋164.已知：在梯形ABCD 中，如图，AB ＝DC ＝DA ，AC 和BD 是梯形的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△ADC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提) ∴∠1＝∠2.(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，(小前提) ∴∠1＝∠3.(结论)∵等于同一个角的两个角相等，(大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD .(结论) 同理可证DB 平分∠CBA .。
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案一、教学目标1. 让学生理解合情推理与演绎推理的定义及意义。
2. 培养学生运用合情推理与演绎推理解决数学问题的能力。
3. 引导学生掌握合情推理与演绎推理的基本方法。
二、教学内容第一章：合情推理1. 合情推理的定义及分类2. 合情推理的方法：归纳推理、类比推理、归纳猜想3. 合情推理在数学中的应用第二章：演绎推理1. 演绎推理的定义及分类2. 演绎推理的方法：演绎法、反证法、归纳法3. 演绎推理在数学中的应用三、教学方法1. 采用讲授法讲解合情推理与演绎推理的基本概念和方法。
2. 通过例题展示合情推理与演绎推理在数学问题解决中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养学生的合作能力。
四、教学步骤1. 引入新课：介绍合情推理与演绎推理的定义及意义。
2. 讲解合情推理：讲解归纳推理、类比推理、归纳猜想的方法，并通过例题展示其在数学中的应用。
3. 讲解演绎推理：讲解演绎法、反证法、归纳法的方法，并通过例题展示其在数学中的应用。
4. 练习与巩固：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结合情推理与演绎推理的方法及应用，引导学生思考如何在生活中运用这些方法。
五、教学评价1. 课后作业：检查学生对合情推理与演绎推理方法的掌握情况。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们的学习进度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度及合作能力。
4. 期中期末考试：全面评估学生对选修内容的掌握情况。
六、教学内容第三章：合情推理与演绎推理的综合应用1. 合情推理与演绎推理在数学证明中的应用2. 合情推理与演绎推理在数学问题解决中的应用3. 合情推理与演绎推理在数学探究活动中的应用第四章：常见的错误与误解1. 合情推理与演绎推理中的常见错误2. 如何避免合情推理与演绎推理中的错误与误解3. 正确评价合情推理与演绎推理的结果七、教学方法1. 通过案例分析，让学生了解合情推理与演绎推理在实际应用中的重要性。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《合情推理与演绎推理》理 新人教B版
[第67讲 合情推理与演绎推理](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·太原检测] 下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间正四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．[2013·洛阳检测] “因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为( )1 2 4 3 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ．105B ．106C ．107D ．108 4．[2013·山西五校联考] 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0能力提升5．[2013·哈尔滨模拟] 观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1256．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 87．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x8．[2013·江西卷] 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1999．[2013·太原模拟] 四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上(如图K67－1)，第一次前后排动物互换位置，第二次左右列互换座位，…，这 )K67A ．编号1 B ．编号2 C ．编号3 D ．编号410．[2013·郑州模拟] 设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．图K67－211．[2013·大连检测] 现有一个关于平面图形的命题：如图K67－2所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．12．观察下列等式： C 15＋C 55＝23－2， C 19＋C 59＋C 99＝27＋23， C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25， C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝________． 13．[2013·郑州模拟] (1)已知等差数列的定义为：在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义为________________________________________________________________________．(2)已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________．这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．14．(10分)[2013·洛阳模拟] 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．15．(13分)(1)已知：a ，b ，x 均是正数，且a >b ，求证：1<a ＋x b ＋x <ab；(2)当a ，b ，x 均是正数，且a <b 时，对真分数a b，给出类似上小题的结论，并予以证明； (3)证明：△ABC 中，sin A sin B ＋sin C ＋sin B sin C ＋sin A ＋sin C sin A ＋sin B<2；(可直接应用第(1)、(2)小题结论)(4)自己设计一道可直接应用第(1)、(2)小题结论的不等式证明题，不要求写出证明过程．难点突破 16．(12分)点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．课时作业(六十七)【基础热身】1．A [解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A ＋∠B ＝180°——结论．故A 是演绎推理，而B ，D 是归纳推理，C 是类比推理．故选A.2．A [解析] y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错． 3．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923，2 009＝1 923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.4．A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.【能力提升】5．D [解析] ∵55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，510＝9 765 625，…，∴5n(n ∈Z 且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n ∈Z 且n ≥5)的末四位数为f (n )，则f (2 011)＝f (501×4＋7)＝f (7)， ∴52 011与57的末四位数相同，均为8 125.故选D.6．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3，b 5＝b 1q 4，b 7＝b 1q 6，b 8＝b 1q 7，∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6)＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1)＝b 1q 3(q 3－1)(q －1)．∵q >1，b n >0，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.故选A. 7．C [解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )， f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )， f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x )，故可猜测f n (x )以4为周期，有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ，f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ， 所以f 2 013(x )＝f 503×4＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C.8．C [解析] 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，故选C.9．C [解析] 交换4次是一个周期，第2 014次小兔的位置和第2次小兔的位置一样．10.x（2n －1）x ＋2n [解析] 观察1，3，7，15，…与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2，4，8，16，…与对应项的关系，显然满足2n，故f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n .11.a 38 [解析] 平面内⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22类比到空间⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝a 38.12．24n －1＋(－1)n 22n －1 [解析] 给出的一系列等式中，右边为两项2s形式加减轮换的规律，其中第一个2s 的指数由3，7，11，…，4n －1构成，第二个2s的指数由1，3，5，7，…，2n －1构成．由此可归纳为：第二个2s 前有(－1)n ，二项指数分别为24n －1，22n －1，所以，对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝24n －1＋(－1)n 22n －1.13．(1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．(2)3 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n －12，n 为奇数，5n2，n 为偶数[解析] (1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．(2)由题意知数列{a n }为2，3，2，3，2，3，…，故a 18＝3；当n 为偶数时，S n ＝5·n2＝5n 2；当n 为奇数时，S n ＝5（n －1）2＋2＝5n －12. 14．解：当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a24，所以a <26.而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.(1)当n ＝1时，已证；(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524.则当n ＝k ＋1时，有1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13（k ＋1）＋1 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1 >2524＋13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）. 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6（k ＋1）9k 2＋18k ＋8>23（k ＋1），所以13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）>0.所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，所以a 的最大值等于25.15．解：(1)∵a ＋x >b ＋x >0，∴1<a ＋xb ＋x，又a ＋x b ＋x －a b ＝x （b －a ）b （b ＋x ）<0，∴1<a ＋x b ＋x <a b. (2)∵a <b ，∴b a >1，应用第(1)小题结论，得1<b ＋x a ＋x <b a ，取倒数，得a b <a ＋xb ＋x<1.(3)由正弦定理，原题△ABC 中，求证：ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b<2.证明：由(2)的结论得a ，b ，c >0，且a b ＋c ，b c ＋a ，ca ＋b均小于1，∴ab ＋c <2a a ＋b ＋c ，b c ＋a <2b a ＋b ＋c ，c a ＋b <2ca ＋b ＋c ，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b <2a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋2c a ＋b ＋c ＝2. (4)如得出：四边形ABCD 中，各边长分别为a ，b ，c ，d ，求证：a b ＋c ＋d ＋b c ＋d ＋a ＋ca ＋b ＋d＋da ＋b ＋c<2.如得出：凸n 边形A 1A 2A 3…A n 中，各边长依次为a 1，a 2，…，a n ，求证：a 1a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 2a 1＋a 3＋…＋a n ＋…＋a na 1＋a 2＋…＋a n －1<2.如得出：{a n }为各项为正数的等差数列(d ≠0)，求证： a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 2n －1a 2n <a 2a 3＋a 4a 5＋…＋a 2n a 2n ＋1. 【难点突破】16．解：(1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN .∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1SACC 1A 1cos α. 其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角． 证明如下：∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于SBCC 1B 1＝PN ·CC 1，SACC 1A 1＝MN ·CC 1， SABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1， ∴S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1·cos α.。
高中数学高三第六章不等式合情推理与演绎推理(教案)
高三一轮复习6.5合情推理与演绎推理
【教学目标】
1。
了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；
掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.
【重点难点】
1.教学重点：了解合情推理和演绎推理,掌握演绎推理的“三段论”；
2。
教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
……根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时,f n（x)＝f（f n －1
(x)）＝________。
【解析】由f(x)＝错误!（x>0)
得，f1（x）＝f（x)＝x
x＋2,
f2(x）＝f（f1（x）)＝错误!＝
错误!，
f3(x)＝f(f2（x)）＝错误!＝错误!，
f4(x)＝f（f3（x))＝错误!＝错误!,
所以归纳可得,当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f（f n－1（x))＝错误!。
【答案】错误!
●命题角度3 形的归纳
4．仔细观察下面4个数字所表
示的图形：。
2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 合情推理与演绎推理
●两个防范 (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜 想的结论都要经过进一步严格证明． (2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推 理数学问题，注意推理的严密性，书写格式的规范性.
基础自测 1.数列2,5,11,20，x,47，„中的x等于( A．28 B．32 C．33 ) D．27
T8 T12 T16 答案：T4，T ， T ，T 成等比数列． 4 8 12
反思：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两 类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊 属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到 的结论需要进行严格的证明.
解析：从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等 差数列，所以x＝20＋12＝32.
答案：B
2．某同学在电脑上打上了一串黑白圆，如图所示， ○○○●●○○○●●○○○„，按这种规律往下排，那么 第36个圆的颜色应是( A．白色 ) B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继 排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷ 5＝7余 1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．
解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式 的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2 10，因此对正 实数m，n都成立的条件不等式是：若m，n∈R＋，则当m＋n ＝20时，有 m＋ n＜2 10.
答案：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有 m ＋ n ＜ 2 10.
考点二
类比推理
[例2]
方法点睛
演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形
式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是 大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
2014高考数学一轮复习课件6.6合情推理与演绎推理
•归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高 考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填 空题中，为中、低档题．演绎推理大多数出 现在解答题中，为中、高档题目．在知识的 交汇点处命题，背景新颖的创新问题，常考 常新，值得重视．
•创新探究之十 与归纳推理有关的创新题 • (2012·湖北高考)传说古希腊毕达哥拉 斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石 子表示数．他们研究过如图6－6－1所示的三 角形数：
• (2012·福建高考)某同学在一次研究性 学习中发现，以下五个式子的值都等于同一 个常数： •①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； •②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； •③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； •④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； •⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
1 1 1 1 3 3 1 ＝ － cos 2α＋ ＋ cos 2α＋ sin 2α－ sin 2α－ 2 2 2 4 4 4 4 (1－cos 2α) 1 1 1 3 ＝1－ cos 2α－ ＋ cos 2α＝ . 4 4 4 4
•1．本题求解的关键有两点：(1)从特殊②式 计算三角函数式的值；(2)发现三角函数中各 个角之间的关系． •2．题目着重考查归纳推理与演绎推理，通 过观察个别情况发现某些相同的特征，抽象 概括一般性结论；充分利用两角和与差的三 角公式进行演绎推理，体现一般与特殊、化 归转化的数学思想．
•【审题视点】 由fn(x)＝f[fn－1(x)]分别求f2(x)， f3(x)，然后观察f1(x)，f2(x)，f3(x)中等式的分 子与分母，分母中常数项与x的系数相差为1， 且常数项为2n.
高考理科数学一轮复习合情推理与演绎推理专题练习题
课时作业39 合情推理与演绎推理一、选择题1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A ) A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.故选A. 3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．n (n ＋1)B ．n n －12C ．n n ＋12D ．n (n －1)解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( B )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( A )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( B ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.二、填空题8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12(n ＝5,7,9,11，…)． 解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12.12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( C )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( C )A ．58B ．59C ．60D ．61解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( C )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝14[c2a2－c2＋a2－b222]，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( B )A.32B.34C.52D.54解析：由正弦定理得sin A sin B sin C＝a b c＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(2－1)x，b＝5x，c＝(2＋1)x，由题意得(2－1)x＋5x＋(2＋1)x＝(22＋5)x＝22＋5，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝1 4[2＋122－12－3＋22＋3－22－522]＝34，故选B.16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y－z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.。
高考数学一轮单元复习 第64讲 合情推理与演绎推理课件
某班在自测过程中各项指标显示出 0<c<d<e<b<a，则下阶
段要把其中一个指标的值增加 1 个单位，而使得 S 的值增
加最多，那么该指标应为
(填入 a，b，c，d，e
中的某个字母)．
h
25
第64讲│要点探究
【思路】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才 能得到，从分式的性质中寻找S值的变化规律．
【答案】 c
所以，∠BCA＝∠DCA，所以 CA 平分∠BCD(结论)．
(4)同理，BD 平分∠CBA.
h
23
第64讲│要点探究
【点评】数学的推理证明主要是通过演绎推理来进 行的，一个复杂的数学命题的证明往往是由多个“三段论” 构成的，只不过在平时的证明中我们大多数情况下都省 略了大前提．演绎推理的主要形式是“三段论”，其一般 模式为：
3 3x2
3
＝ 3x1 3 3x2 3 3x1 3 3x2 3
＝
3x1 3x2 2 3
3x x2 3 3x1 3x2 3
＝ 3x1 3x2 2 3
3 3x1 3x2 2 3
h
8
第64讲│要点探究
3x1 3x2 2 3
＝ 3 3x1 3x│知识梳理
关系推理 推理规则是：“如果 a≥b，b≥c，则 a≥c”，这种推理叫关 系推理，又如：由 a∥b，b∥c，推出 a∥c，也是关系推理． (3)完全归纳推理 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳 推理．
h
5
第64讲│要点探究
要点探究
► 探究点1 归纳推理
例1
设 f(x)＝3x＋1
第64讲│合情推理与演绎推理
h
1
第64讲│知识梳理
2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)合情推理与演绎推理(含解析)
以题试法
Go the distance
①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则 a－c＝0⇒a＝c”；
②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈
Q，则 a＋b 2＝c＋d 2⇒a＝c，b＝d ”；
③“a，b∈R，则 a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＞0⇒a＞b”；
答案：1∶8
5．(2012·陕西高考)观察下列不等式
1＋212<32，
1＋212＋312<53，
1＋212＋312＋412<74
……
照此规律，第五个不等式为___________________________________________________．
解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的 2 倍减 1
①大前提—已知的一般原理； “三段论”的结构 ②小前提—所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，
对特殊情况做出的判断 ①大前提—M 是 P； “三段论”的表示 ②小前提—S 是 M； ③结论—S 是 P
[小题能否全取] 1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无
限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
由题悟法
演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当 首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
高考数学(理)总复习讲义：合情推理与演绎推理
/ 基础1——在批注中理解透(单纯识记无意楚，深刻理解提能力)类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别至L般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理2 •演绎推理(1) 定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理•简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2) “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提--- 已知的一般原理；②小前提一一所研究的特殊情况；③结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.合情推理与演绎推理的区别(1) 合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.(2) 合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理.［小题查验基础］一、判断题(对的打“/ ，错的打“X” )(1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. ()(2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. ()(3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ()(4) 在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确. ()答案：(1)X (2)V (3) X (4) X二、选填题11. ①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是"ah,如果把扇形第四节合情推理与演绎推理的弧长I ,半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为=22,1 + 3+ 5= 32,可得到1 + 3+ 5 +…+ 2n — 1 = n 2,则①②两个推理过程分别属于（ ）A •类比推理、归纳推理B .类比推理、演绎推理C .归纳推理、类比推理D .归纳推理、演绎推理解析：选A ①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理； ②由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选 A.2.已知数列 仙｝中，a 1= 1, n > 2时，a “ = a “-1 + 2n — 1，依次计算a ?, a ?, 后，猜想a n 的表达式是（）A . a n = 3n — 1B . a n = 4n — 32n — 1C . a n = nD . a n = 3解析：选 C a 1= 1, a 2= 4, a 3= 9, a 4= 16,猜想 a n = n 2. 3. 数列2,5,11,20, x,47,…中的x 等于（ ）A . 28B . 32C . 33D . 27解析：选 B 5 = 2+ 3X 1,11 = 5+ 3X 2,20= 11+ 3X 3, x = 20 + 3X 4= 32. 4. 推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的 小前提是 ________ （填序号）.解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论. 答案：②5.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 : 4，类似地， 在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1 : 2,则它们的体积比为 __________.解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1 : 2,则它们的底面积之比为1 : 4，对应高之比为1 : 2,所以体积比为 1 : 8.答案：1 : 8考点一归纳推理［全析考法过关］［考法全析］考法（一）与数字有关的推理［例1］从1开始的自然数按如图所示的规则排列， 现有一个三角形框架在图中上下或 左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为12356 781 22lr ;②由 1= 1，1 + 3■考点在细解屮明规律（题目千变总有报,梳干理枝究其本）9 10弋14 1516 17少2023 24朗/2728 29 4 、32 33313536373839 ■1A. 2 018 B . 2 019 C . 2020［解析］根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a + 7, a + 8, a + 9，第三层的五个数为 a + 14, a + 15, a + 16, a + 17, a + 18, 这九个数之和为 a +3a + 24+ 5a + 80= 9a + 104.由9a + 104= 2 021，得a = 213,是自然数，故选 D.［答案］D考法（二）与等式有关的推理 ［例2］ 观察下列等式1 2’ 11111+ — 一= +_2 3 4 3 4' 11111111—+一— —+一— — = — + —+ — 2345645 6'据此规律，第n 个等式为 ____________________________ .［解析］规律为等式左边共有 2n 项且等式左边分母分别为1,2,…，2n ,分子为1,奇数项为正、偶数项为负，即为1 —1+ £一 1 +…+ ~1— 一占;等式右边共有n 项且分母分别2 3 4 2n — 1 2n11 1 1 1为n + 1, n + 2,…，2n ,分子为1,即为一—+ —— +…+丁.所以第n 个等式为1 — ;+;— n +1 n + 22n 2 3 1 1111 1；+•••+ — — = + +••• +「. 4 2n — 1 2n n + 1 n + 22n111 111 1 1［答案］1— 1+ 3 — 4+'T 冇一2n = n +l + 占十…十 2^ 考法（三）与不等式有关的推理11 1 3 5［例 3］ (1)设 n 为正整数，f(n)= 1 + -+ ；+•••+ 一，计算得 f(2) = - , f(4)> 2, f(8)>-,2 3 n 2 2 f （16） >3,观察上述结果，可推测一般的结论为(2)已知 x € (0,+s )，观察下列各式：x +2, x + 刍=x + :+3, x + 27 = x + 3 +X X 22 XX 3 3x 27 a *3+ ~3 >4,…，归纳得 x + -H > n + 1(n € N )，贝U a = __________ , 3 X XD . 2 021a ,则第二层的三个数为3 刁 4［解析］⑴•- f(21)= 2 f(22)> 2= 4,3 54 6f(2 ) >2，f(2) >2，•••归纳得f(2n)>守(n€ N*).(2)第一个式子是n = 1的情况，此时a = 11= 1 ；第二个式子是n = 2的情况，此时a = 22= 4；第三个式子是n = 3的情况，此时a = 33= 27，归纳可知a = n n."I o［答案］(1)f(2n)>〒(n€ N*) (2)n n考法(四)与数列有关的推理［例4］有一个奇数组成的数阵排列如下：I 3 7 13 21 …5 9 15 23 ..........II 17 25 ..................19 27 ..........................29 •…•…•…•…•…则第30行从左到右第3个数是 ___________ .［解析］观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1+ 4+ 6+ 8 +10+…+ 60 = 30% ；+ 60—1 = 929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n + 2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929 + 60 + 62= 1 051.［答案］1 051考法(五)与图形变化有关的推理［例5］分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路•按照如图(1)所示的分形规律可得如图⑵所示的一个树形图•若记图(2)中第n行黑圈的个数为a.,则a2。
高考数学一轮单元复习 第64讲 合情推理与演绎推理课件
3x1 3 3x2 3 3x1 3 3x2 3
3x1 3x2 2 3
3x x2 3 3x1 3x2 3
3x1 3x2 2 3
3 3x1 3x2 2 3
第八页，共34页。
【点评】归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳 推理所得的结论虽然(suīrán)未必是可靠的，但它由特 殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是 十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理， 提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．
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(1)归纳推理具有以下特点：①归纳是依据特殊现象推断 出一般现象，因而由归纳所得出的结论超越了前提所包含的 范围；②归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、 经验或实验的基础之上的．
(2) 归 纳 推 理 的 一 般 步 骤 是 ： ① 通 过 观 察 个 别 情 况 发 现 (fāxiàn)某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确 表述的一般性命题．当然，归纳推理所得结论未必正确，有 待进一步证明．
(1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况； (3) 结 论 —— 根 据 一 般 原 理 对 特 殊 情 况 作 出 的 判 断 (pànduàn)． 在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题 中的大前提和小前提，在演绎推理中，只要前提和推理形式是正 确的，结论必定是正确的．
第64讲│规律(GUĪLǛ)总结
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第64讲│合情推理(TUĪLǏ)与演绎推理(TUĪLǏ)
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第64讲│知识(ZHĪ SHI)梳理 知识梳理
合情(hé qínɡ)推理 演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)
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2014届高考数学一轮复习 12.1 合情推理与演绎推理考点及自测 理 新人教A版
第1讲合情推理与演绎推理【2014年高考会这样考】1．考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论．2．考查演绎推理，主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合．对应学生187考点梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．【助学·微博】一个防X合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．两个要点(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规X性．(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．考点自测1．(2013·某某质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )．A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是特称命题，而小前提是全称命题．答案 C2．(2012·某某)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )．A．28 B．76 C．123 D．199解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案 C3．(2013·某某二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，根据上述分解规律，对任意自然数n，当n≥2时，有________．解析分解后是以1为首项，2为公差，项数为n的等差数列的和．答案n2＝1＋3＋…＋(2n－1)4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案1∶85．(2011·某某)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n个等式应为________．解析由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2对应学生188考向一 归纳推理【例1】►观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15， 13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)． [审题视点] 第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得结论．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…，第n 项a n 与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，等号的左右两端分别相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n n ＋12，∴a 2n ＝14n 2(n＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)2(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．【训练1】 (2012·某某模拟)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般结论为________．解析 观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－1n ＋12n，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n n ＋1×12n .答案31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝1－1n ＋12n (n ∈N *) 考向二 类比推理【例2】►在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”． [审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . 答案 V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(1)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．【训练2】 (2013·某某模拟)已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 答案 2x －y －2＝0考向三 演绎推理【例3】►数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[审题视点] 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．(1)由等比数列的定义及S n 与a n 的关系证明；(2)由(1)可推得． 证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略． 【训练3】 已知函数f (x )＝ 2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．解 (1)对任意x ∈R 有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增，证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，并且x 1＞x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1 ＝2x 1－12x 2＋1－2x 2－12x 1＋12x 1＋12x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.∵x 1＞x 2，∴2x 1＞2x 2＞0，即2x 1－2x 2＞0. 又∵2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0， ∴22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )在R 上为单调递增函数．对应学生189方法优化20——活用归纳推理巧解题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，合情推理重点考查归纳推理，主要以函数、数列、不等式等知识为背景，以选择题或填空题的形式进行命题，试题难度不大． 【真题探究】► (2012·某某)观察下列不等式 1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为________．[教你审题] 根据已知的不等式归纳两边式子的特征，找出其规律性． [优美解法] 观察三个不等式发现：第一个不等式左边为两式之和，且分母为两个连续整数的平方；右边为2×2－12；第二个不等式左边为三式之和，且分母为三个连续整数的平方；右边为2×3－13；第三个不等式左边为四式之和，且分母为四个连续整数的平方；右边为2×4－14；…归纳推理知：第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116.[反思] (1)对有限的条件进行观察、分析，先把已知条件的形式整理成统一的形式． (2)对有限的条件进行归纳、整理，一般的思路是先整体，后部分． (3)提出归纳推理的结论． 【试一试】 已知下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x2≥3，x ＋27x3≥4，…则第n 个不等式为________．解析 所给的不等式的左边的第一个式子都是x ，不同之处在于第二个式子，当n ＝1时，为1x ；当n ＝2时，为4x 2；当n ＝3时，为27x3；…….显然式子中的分子与分母是对应的，分母为x n，分子是n n，所以不等式左边的式子为x ＋n nxn .显然不等式右边的式子为n ＋1，所以第n 个不等式为x ＋n n x n ≥n ＋1，n ∈N *.答案 x ＋n n xn ≥n ＋1，n ∈N *对应学生345A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式解析 A 、D 是归纳推理，B 是类比推理；C 运用了“三段论”是演绎推理． 答案 C2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )． A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案 D3．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数有( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析类比结论正确的只有①②.答案 B4．(2011·某某)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )．A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125解析∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·某某省实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，则a1＋a2≤2”的证明过程：证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________________________________(不必证明)．解析依题意，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2，则有f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，Δ＝[－2(a1＋a2＋…＋a n)]2－4n＝4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n≤0，即有a1＋a2＋…＋a n≤n.答案a1＋a2＋…＋a n≤n6．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．[ ]解析 按拼图的规律，第1个图有白色地砖3×3－1(块)，第2个图有白色地砖3×5－2(块)，第3个图有白色地砖3×7－3(块)，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是503603.答案 503503603三、解答题(共25分)7．(12分)给出下面的数表序列： 表1 表2 表31 1 3 1 3 5 4 4 8 12…其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)． 解 表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．8．(13分)(2012·某某)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sinα)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·某某质检)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B. 答案 B2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数． 比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )． A ．289 B ．1 024 C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·某某模拟)对一个边长为1的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图1所示的几何图形，其面积S 1＝59；第二步，将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2；依此类推，到第n 步，所得图形的面积S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫59n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积V n ＝________.解析 对一个棱长为1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成3×3×3个小正方体，接着用中心和8个角的9个小正方体，构成新1几何体，其体积V 1＝927＝13；第二步，将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新2几何体，其体积V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132；…，依此类推，到第n 步，所得新n 几何体的体积V n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.答案⎝ ⎛⎭⎪⎫13n4．(2012·某某)设N ＝2n(n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i 段，每段N2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置； (2)当N ＝2n(n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．解析 (1)当N ＝16时，P 1＝x 1x 3x 5x 7x 9…x 16，此时x 7在第一段内，再把这段变换x 7位于偶数位的第2个位置，故在P 2中，x 7位于后半段的第2个位置，即在P 2中x 7位于第6个位置． (2)在P 1中，x 173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在P 2中x 173位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得P 3时，x 173位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，x 173位于十六段中的第四段的第11个位置上，也就是位于P 4中的第(3×2n－4＋11)个位置上．答案 6 3×2n －4＋11三、解答题(共25分)[ ] 5．(12分)观察下表： 1， 2,3 4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15， …问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 013是第几行的第几个数？ 解 (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n， ∴第n 行的最后一个数是2n－1. (2)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n －1＋2n －1·2n －12＝3·22n －3－2n －2.(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 013<2 048， ∴2 013在第11行，该行第1个数是210＝1 024，由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990个数．6．(13分)(2013·某某二模)将各项均为正数的数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…，构成数列{b n }，各行的最后一个数a 1，a 3，a 6，a 10，…，构成数列{}，第n 行所有数的和为S n (n ＝1,2,3,4，…)．已知数列{b n }是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q ，且a 1＝a 13＝1，a 31＝53.(1)求数列{}，{S n }的通项公式； (2)求数列{}的前n 项和T n 的表达式．解 (1)b n ＝dn －d ＋1，前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12个数，因为13＝4×52＋3，所以a 13＝b 5×q 2，即(4d ＋1)q 2＝1，又因为31＝7×82＋3，所以a 31＝b 8×q 2，即(7d ＋1)q 2＝53，解得d ＝2，q ＝13，所以b n ＝2n －1，＝b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2n －13n －1，S n ＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32(2n －1)·3n－13n .(2)T n ＝11＋33＋532＋…＋2n －13n －1，①13T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n .② ①②两式相减，得23T n ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－2n －13n＝1＋2×13－13n1－13－2n －13n ＝2－2n ＋23n ，所以T n ＝3－n ＋13n －1.。
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第64讲
双 向 固 基 础
合情推理与演绎推理
(4)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式 是an＝n(n∈N＋)．( ) 2 2 3 3 4 (5) 2＋3 ＝2 3＋8 ＝3 4＋15 ＝ 3， 8， 4 b b 4 6＋a ＝6 a (a，b均为实数)，则可以推 15 ，„， 测a＝35，b＝6.( )
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
(2)[2012· 湖北卷] 回文数是指从左到右读与从右到 左读都一样的正整数．如 22,121,3443,94249 等．显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，„，99.3 位回文数有 90 个： 101,111,121，„，191,202，„，999.则 ①4 位回文数有________个； ②2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
归纳总结 类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一 类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用 已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两 类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征，其一般 的步骤是： ①找出两类对象之间可以确切表达的相似性(或一致性)； ②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得到 一个猜想； ③验证猜想．
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第64讲 合情推理与演绎推理
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考试说明
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单 的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式， 并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
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合情推理与演绎推理
——知 识 梳 理 —— 一、推理的概念 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思 维方式叫推理．从结构上说，推理一般由两部分组成， 一部分是已知的事实(或假设)，叫做________ 前提 ，一部分 是由已知推出的判断，叫做________ ． 结论 二、合情推理 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再 进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫 ________．合 合情推理 类比推理 情推理可分为 ________和 ________两类． 归纳推理
4
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点 面 讲 考 点
类似地，连接Q点与三棱锥的四个顶点，将其分成 四个小三棱锥，则有 1 V＝3(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4) 1 ＝3(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4) k k4 ＝3(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝3 (iHi)，
i ＝1
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
[点评]应用归纳推理解题时：一是要通过观察个别情 况发现某些相同的性质；二是要从已知的相同性质中推出 一个明确表述的一般性命题(猜想)．
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
归纳总结 归纳推理的难点是由个别事实得到一般结论， 破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息， 从中发现一般 规律，解题的一般步骤是： ①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ②提出带有规律性的结论，即猜想； ③检验猜想．
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考点 点 面 讲 考 向 1.归纳推理 2.类比推理 3.演绎推理
考频 填空 (1)
示例(难度) 2010年浙江T14(A)
填空 (2)
0
2009年浙江T15(B)， 2010年浙江T14(A)
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题， 考频分析2009～2012年浙江卷情况．
3V ∴ (iHi)＝ k .
i＝1
4
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相 类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之 间的某种一致性(相似性)确切地表达出来，也就是要把 相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．类比推 理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结 论不一定正确．
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
图11－64－1
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合情推理与演绎推理
1 [答案] (1)32
(2)24n－1＋(－1)n22n－1
点 面 讲 考 点
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
[解析] (1)设图中按生长程序出现的正方形的边长构 2 an 1 成的数列为{an}，由图可知 a1＝ 2 ， ＝ ；设正方形 an－1 2 bn 的个数构成的数列为{bn}，则由图可知 b1＝1， ＝2.设 bn－1 1－2n bn 的前 n 项和为 Sn，则由 Sn＝1 023 得 ＝1 023，得 n 1－2
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合情推理与演绎推理
►
探究点三
演绎推理
点 面 讲 考 点
例3 (1)某校对文明班的评选设计了a，b，c，d， a c e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式S＝b＋d＋ 1 e 来计算各班的综合得分，S的值越高，则评价效果越 好．若某班在自测过程中各项指标显示出 0<c<d<e<b<a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1 个单位，而使S的值增加最多，那么该指标应为 ________(填入a，b，c，d，e中的某个字母)．
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—— 疑 难 辨 析 ——
对三种推理的认识 (1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理 数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原 因是使用了类比推理．( ) (2)三角形与空间的平行六面体作为类比对象较合 适．( ) (3)合情推理的结果一定正确．( )
1 1 9 1 10 ＝10.故最小正方形的边长为 ＝ ＝32. 2 2 (2)此问题结论由两项构成，第二项前有 (－1)n，二项 5 指数分别为 24n－1,22n－1，因此对于 n∈N*，C1 ＋ C ＋ 4n 1 4n＋1＋ 4n＋1 4n－1 n 2n－1 C9 ＋„＋ C ＝ 2 ＋ ( － 1) 2 . 4n＋1 4 n ＋1 a10＝a1×
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合情推理与演绎推理
三、演绎推理 1．定义：从一般性的真命题(原理或逻辑规则)出发，推 出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演 特殊 的推理． 绎推理是由________ 到________ 一般 2．三段论：三段论是演绎推理的一般模式，它包括： 大前提 ——已知的一般原理． (1)________ (2)________ 小前提 ——所研究的特殊情况． (3)________ 结论 ——根据一般原理，对特殊情况作出的判 断．
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合情推理与演绎推理
部分对象具有某些特征， 1．归纳推理：由某类事物的________ 推出该类事物的________ 全部对象具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理，叫归纳推理．简言之， 整体 归纳推理是由________ 到________ 、由________ 到 部分 个别 ________ 的推理． 一般 2．类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特 征的推理，叫类比推理．简言之，类比推理是由 特殊 的推理． ________ 特殊 到________
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
变式题 (1)[2012· 郑州检测] 如图11－64－1所示是毕 达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角 形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形„，如此继 续．若共得到1 023个正方形，设起始正方形的边长为 2 2 ，则最小正方形的边长为________． (2)观察下列等式： 5 3 C1 5＋C5＝2 －2， 5 9 7 3 C1 ＋ C ＋ C ＝ 2 ＋ 2 ， 9 9 9 5 9 13 11 5 C1 13＋C13＋C13＋C13＝2 －2 ， 5 9 13 17 15 7 C1 17＋C17＋C17＋C17＋C17＝2 ＋2 ， „„„ 由以上等式推测到一个一般的结论： 5 9 4n＋1 对于n∈N*，C 1 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＋ ＋ ＋ 4n 1 4n 1 4n 1 4n＋1 ＝ ________.
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
[思考流程] (1)分析：依据给出的不等式分析；推 理：求出不等式左边的规律；结论：得出对应的式子． (2)分析：依据给出的数据分析；推理：找出每个回 文数得到规律；结论：可解得各自的回文数．
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合情推理与演绎推理
点 面 讲 考 点
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合情推理与演绎推理
►
探究点一
例1
归纳推理
点 面 讲 考 点
(1)[2012· 陕西卷] 观察下列不等式 1 3 1＋22<2， 1 1 5 1＋22＋32<3， 1 1 1 7 1＋22＋32＋42<4， „„ 照此规律，第五个 不等式为______________． ．．．
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1 1 1 1 1 11 [答案] (1)1＋22＋32＋42＋52＋62< 6 (2)①90 ②9×10n [解析] (1)本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的 关键是对给出的几个事例分析， 找出规律， 推出所要的结果． 从 1 1 几个不等式左边分析， 可得出第五个式子的左边为： 1＋22＋32 1 1 1 ＋42＋52＋62，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4， 所以第 5 个式子的分母应为 6，而其分子依次为：3,5,7，所以 1 1 第 5 个式子的分子应为 11， 所以第 5 个式子应为： 1＋22＋32＋ 1 1 1 11 42＋52＋62< 6 .