2014高考数学一轮复习课件_6.6合情推理与演绎推理

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•1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比, 不要被表面现象迷惑,否则只抓住一点表面 现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯 机械类比的错误. •2.合情推理是从已知的结论推测未知的结 论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格 证明. •3.演绎推理是由一般到特殊的Байду номын сангаас理,它常 用来证明和推理数学问题,注意推理过程的 严密性,书写格式的规范性.
•(2)类比推理 类似特征 •①定义:由两类对象具有某些 ____________和其中一类对象的某些已知特 征,推出另一类对象也具有这些特征的推理 称为类比推理(简称类比). 特殊 •②特点:类比推理是由特殊到________的 推理. 类比 •(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据 已有的事实,经过观察、分析、比较、联想, 再进行归纳、______,然后提出猜想的推理, 我们把它们统称为合情推理.
•1.进行类比推理,应从具体问题出发,通 过观察、分析、联想进行对比,提出猜 想.其中找到合适的类比对象是解题的关 键. •2.类比推理常见的情形有:平面与空间类 比;低维与高维的类比;等差与等比数列类 比;数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间 的类比等.
在平面上,设ha、hb、hc是三角形ABC三条边上的高, P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb, Pa Pb Pc Pc,我们可以得到结论: + + =1.把它类比到空间, ha hb hc 写出三棱锥中的类似结论. 【解】 设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A—BCD四个 面上的高,P为三棱锥A—BCD内任一点,P到相应四个面 的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd. Pa Pb Pc Pd 于是我们可以得到结论: + + + =1. ha hb hc hd
1∶8
4.(2012· 陕西高考)观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 „, 照此规律,第五个不等式为________. ...
【解析】 观察每个不等式的特点,可知第n个不等式 2n+1 1 1 1 为1+ 2+ 2+„+ , 2< 2 3 (n+1) n+1
•1.(人教A版教材习题改编)已知数列{an}中, a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算 a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( ) •A.3n-1 B.4n-3 •C.n2 D.3n-1 •【解析】 a1=1,a2=4,a3=9,a4=16, 猜想an=n2. •【答案】 C
•1.归纳推理和类比推理的共同特点和区别 是什么? •【提示】 共同点:两种推理的结论都有待 于证明. •不同点:归纳推理是由特殊到一般的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理. •2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗? •【提示】 演绎推理是由一般性的命题推出 特殊性命题的一种推理模式,是一种必然性 推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴含关 系,因而,只要前提是真实的,推理的形式
•(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推 广为三角恒等式,并证明你的结论.
3 【思路点拨】 从特殊②计算结果为 ,观察每个三角 4 函数式中三角函数名称与角的变化规律,归纳出一般性结 论;然后利用演绎推理进行证明.
【尝试解答】
2 2
(1)选择②式,计算如下:
1 sin 15°+cos 15°+sin 15°cos 15°=1- sin 30°= 2 3 . 4
•【思路点拨】 将等差数列中的乘法、除法 分别类比成等比数列中的乘方、开方.
【尝试解答】 设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比 为q. 因为an=a1+(n-1)d,bn=b1q n-m dn 所以类比得bm+n= . cm
n-m dn cm
n- 1
nb-ma ,am+ n= , n-m
【答案】
(2)归纳三角恒等式sin2α+cos2(30°-α)-sin α 3 cos(30°-α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin α cos(30°-α) 1-cos 2α 1+cos(60°-2α) = + -sin α (cos 30° 2 2 cos α +sin 30°sin α) 1 1 1 1 = - cos 2α + + (cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α ) 2 2 2 2 3 1 2 - sin α cos α - sin α 2 2
1 x 2.“因为指数函数y=a 是增函数(大前提),而y=( ) 3 1 x 是指数函数(小前提),所以函数y=( ) 是增函数(结论)”, 3 上面推理的错误在于( ) A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错
x
•【解析】 “指数函数y=ax是增函数”是本 推理的大前提,它是错误的,因为实数a的取 值范围没有确定,所以导致结论是错误的. •【答案】 A
•【审题视点】 由fn(x)=f[fn-1(x)]分别求f2(x), f3(x),然后观察f1(x),f2(x),f3(x)中等式的分 子与分母,分母中常数项与x的系数相差为1, 且常数项为2n.
x 【尝试解答】 ∵f1(x)= ,fn(x)=f[fn-1(x)](n≥2), x+2 x x+2 x x ∴f2(x)=f( )= = . x x+2 3x+4 ( +2) x+2 x f3(x)=f[f2(x)]=f( ) 3x+4 x 3x+4 x = = . x 7x+8 ( +2) 3x+4
•归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高 考的热点,归纳、类比推理大多数出现在填 空题中,为中、低档题.演绎推理大多数出 现在解答题中,为中、高档题目.在知识的 交汇点处命题,背景新颖的创新问题,常考 常新,值得重视.
•创新探究之十 与归纳推理有关的创新题 • (2012·湖北高考)传说古希腊毕达哥拉 斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石 子表示数.他们研究过如图6-6-1所示的三 角形数:
【答案】 若正数m,n满足m+n=20时,有 m + n <2 10
(2013· 广州模拟)已知数列{an}为等差数列,若am= nb-ma a,an=b(n-m≥1,m,n∈N ),则am+ n= .类比等 n-m
*
差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0, n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得 到bm+ n=________.
已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x. (1)求函数f(x)的单调增区间; 1 1 1 (2)设a>0,证明:当0<x< 时,f( +x)>f( -x). a a a
(1)f(x)的定义域为(0,+∞), (2x+1)(ax-1) 1 f′(x)= -2ax+(2-a)=- . x x ①若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函 数. 1 ②若a>0,则由f′(x)=0,得x= . a
• (2012·福建高考)某同学在一次研究性 学习中发现,以下五个式子的值都等于同一 个常数: •①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; •②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; •③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; •④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; •⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
又g(0)=0,所以g(x)>0. 1 1 1 故当0<x< 时,f( +x)>f( -x). a a a
•演绎推理的一般模式是三段论,应用三段论 解决问题时,应当首先明确什么是大前提和 小前提.如果大前提与推理形式是正确的, 结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管 推理形式是正确的,所得结论也是错误的.
1 1 1 1 1 11 故第五个不等式为1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 【答案】 1 1 1 1 1 11 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6
x x 设函数f(x)= (x>0),且f1(x)=f(x)= ,当 x+2 x+2 n∈N*且n≥2时,fn(x)=f[fn-1(x)],则f3(x)=________,猜 想fn(x)(n∈N*)的表达式为________.
由所求等式知,分子都是x,分母中常数项为2n,x的系 数比常数项少1,为2n-1, x 故fn(x)= n n. (2 -1)x+2
x x 【答案】 7x+8 (2n-1)x+2n
•1.解答本题的关键有两点:(1)利用函数定 义,准确求出f2(x),f3(x);(2)发现各式中分 母x的系数与常数项之间的关系. •2.归纳推理的一般步骤 •(1)通过观察个别情况发现某些相同本质. •(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的 一般性命题.
1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- 2 2 2 4 4 4 4 (1-cos 2α) 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4
•1.本题求解的关键有两点:(1)从特殊②式 计算三角函数式的值;(2)发现三角函数中各 个角之间的关系. •2.题目着重考查归纳推理与演绎推理,通 过观察个别情况发现某些相同的特征,抽象 概括一般性结论;充分利用两角和与差的三 角公式进行演绎推理,体现一般与特殊、化 归转化的数学思想.
•第六节 合情推理与演绎推理
•1.合情推理 •(1)归纳推理 •①定义:由某类事物的部分对象具有某些特 全部 征,推出该类事物的________对象都具有这 些特征的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 ___________的推理,称为归纳推理(简称归 个别 部分 纳). •②特点:由_______到整体、由_______到 一般的推理.
【解】
1 1 又当x∈(0, )时,f′(x)>0;当x> 时,f′(x)<0. a a 1 ∴f(x)在区间(0, )上是增函数, a 故当a≤0时,f(x)增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x) 1 的单调增区间为(0, ). a 1 1 (2)证明 设函数g(x)=f( +x)-f( -x). a a 则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, a a 2a3x2 g′(x)= + -2a= 2 2. 1+ax 1-ax 1-a x 1 当0<x< 时,g′(x)>0, a
•3.在平面上,若两个正三角形的边长的比 为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在 空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2, 则它们的体积比为________.
V1 1 1 S1 h1 【解析】 = S h ∶( S h )= × =1∶8. V2 3 1 1 3 2 2 S2 h2
【答案】
已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 3 + 17 < 2 10, 7.5+ 12.5<2 10, 8+ 2+ 12- 2<2 10, 根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数m,n都成立 的条件不等式________.
【解析】 观察所给不等式可以发现:不等式左边两 个根式的被开方数的和等于20,不等式的右边都是2 10. 因此对正实数m,n都成立的条件不等式是: 若m,n大于0,则当m+n=20时,有 m+ n<2 10.
•2.演绎推理 •(1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某 个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为 演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 特殊 _______的推理. •(2)“三段论”是演绎推理的一般模式: •①大前提——已知的一般原理; •②小前提——所研究的特殊情况; •③结论——根据一般原理,对特殊情况作出 的判断.
•将三角形数1,3,6,10,„记为数列{an}, 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn},可以推测: •(1)b2 012是数列{an}中的第________项; •(2)b2k-1=________.(用k表示)
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