§3 解三角形的实际应用举例(北师大必修五)

【审题指导】本题可利用三角形的外角与其两不相邻内角的关
系定理,寻找BC、AC及CD、AD之间的关系，再利用正弦定理和
直角三角形的知识求解;也可利用方程思想求解.
【规范解答】方法一：（用正弦定理求解）由已知可得， 在△ABC中，AC=BC=30，
3 在△ACD中，AD=DC= 10Leabharlann ，∠ADC =180°-4θ，
所以BC=10x=15,AB=14x=21, 又因为sin∠BAC＝
BCsin120 15 3 5 3 ， AB 21 2 14
∴∠BAC =38°13′或∠BAC =141°47′（钝角不合题意，舍 去）， ∴38°13′+45°=83°13′. 答：巡逻艇应该沿着北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时 可追上走私船.
2.方向角: 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通 常表达成：正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏 东××度，南偏西××度. 解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题 中有关术语的准确含义.
【例2】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+
（A）5 000米 （C）4 000米
（B） 5 000 米 2 （D） 4 000 米 2
【解析】选A.作出示意图如图，∠A=30°,∠DBC=60°,AB=10 000. ∴∠BCD=30°,∴BC=10 000,BD=5 000（米）.
4.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮 的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮 按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯 塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( （A）20（ （B）20（ （C）20（ （D）20（ ）海里/小时
【例3】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘 走私船，正沿南偏东75°以 10海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻 艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 【审题指导】由题意可知∠ACB的大小，根据巡逻艇和走私船 的速度，可用时间表示出AB、BC,再利用正、余弦定理即可解 决.
68 3 34 6, ∴MN= 2 MN 17 6 ∴v= 4 2 （海里/时） 17 6 答：这只船的航行速度为 2 海里/时.
∴CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos60° =（8x）2+（20-10x）2-2·8x·（20-10x）· =244x2-560x+400
（ = 244 x 70 2 4 800 ） 61 61 1 2
∵当CD2取得最小值时，CD取得最小值.
70 ∴当x= 61≈1.1小时时，CD取得最小值，„„„„„ 10分
答：经过约1.1小时后，甲、乙两船相距最近. „„„12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 常见错误 不能正确的 用时间x表 离，对于这类问题要养成利用数形结合解题 示出CD 的习惯. 错误原因 对题意理解不清，不能正确理解方向角的含 义，不会利用余弦定理表示出两船之间的距
课堂训练：
1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上
种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这
种草皮至少要( )
（A）450a元
（C）150a元
（B）225a元
（D）300a元
1 【解析】选C.S= 2 ×20×30sin150°=150，∴购买这种草皮
至少要150a元.
2.某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成
10 3 30 ∴由正弦定理得 sin2 sin(180 4) .
因为sin4θ=2sin2θcos2θ ∴cos2θ=
3 2 ,得2θ=30°，
∴θ=15°， ∴在Rt△ADE中，AE=ADsin60°=15. 答：所求角θ为15°，建筑物高度为15 m.
方法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
∴BD=
CD2=300＋1
1 10 3 20 3 =900⇒CD=30，t= 200-2× 2
30 30
=1（小时）． 答：救援船到达D点需要1小时.
测量角度问题 测量角度问题：在利用正弦定理、余弦定理 解决航海问题中的综合应用题时.要根据实际，找出等量关系， 在画示意图时，要注意方向角的画法.
问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
【审题指导】用时间x和速度分别表示甲、乙两船航行的距离，
用余弦定理可得到关于两船之间距离的函数，再利用函数思想
求最值. 【规范解答】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C，D两 点„„„„„„„„„„„„„„„„2分 则AC=8x,AD=AB-BD=20-10x „„„„„„„„„„„„„„„„„4分
6 2）海里/小时
6 2）海里/小时
)
6 3 ）海里/小时 6 3
【解析】选B.由题意知
SM=20,∠SNM=60°+45°=105°,∠NMS=45°,
MN 20 . ∴∠MSN=30°,∴ sin30 sin105 10 10 6 2） （ . ∴MN= sin105
解三角形实际应用问题的思路
三、测量角度问题 1.测量角度，首先应明确方向角的含义. 2.解决与角度有关的问题，可以转化为求角的函数值问题，如 果是用余弦定理求得角的余弦，则该角容易确定，如果用正弦 定理求得该角的正弦,就需要讨论解的情况.
在实际问题中,一般测量哪些角度？
提示：一般情况下,若测量高度,则需测量仰角或俯角;若测量
距离或角度,则需测量方向角.
测量高度问题
1.测量高度问题的方法: （1）测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依 条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高度的问题时，常
出现仰角与俯角的问题，要搞清它们的区别及联系．
（2）测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直
角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．
【例】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种
测量A、B两点间距离的方法.
【审题指导】问题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量
问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦
定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方
法分别求出AC和BC，再利用余弦定理计算出AB的长度.
=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105°. 又sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°
2 1 3 2 = 2 2 2 2 2 6 . 4
在△ABD中，由正弦定理得：
BD AB sinDAB sinADB
AB DAB （3 3） sin 5 sin45 sinADB sin105 2 （3 3） 5 3 2 10 （1 3） 10 3. 2 6 1 3 4 在△DBC中，BC= 20 3 ，∠DBC=60°，
【规范解答】测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=
a，并且在C、D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=
γ，∠BDA =δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
asin( ) asin( ) ， AC= sin［ ）］ sin( ) 180 （ asin asin BC= sin［ ）］ sin( ) 180 （
在Rt△ACE中,( 10 3+x)2+h2=302
在Rt△ADE中,x2+h2=( 10 3 2 )
两式相减，得x= 5 3 ,h=15，
h 3 ， 3 10 3 x
∴在Rt△ACE中,tan2θ=
∴2θ=30°,θ=15°.
答：所求角θ为15°，建筑物高度为15 m.
测量距离问题
1.求距离问题要注意以下两点: （1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的 三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放 在另一确定三角形中求解. （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更 便于计算的定理.
1.能根据题意建立数学模型，画出示意图.（重点、难点） 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量距离、高度、 角度有关的实际问题.(重点)
二、测量高度问题 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯 角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何的知识， 先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以 解决.
2.俯角和仰角的概念：
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目
标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯
角（如图）.
【例1】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ ，沿BE方 向前进30 m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ ，再继续前进 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ ，求θ 的大小和建筑物AE的高. 10 3
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点
间的距离
AB=
AC2 BC2 2AC BCcos.
【典例】（12分）甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20
海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而
甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，
【规范解答】如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追 上走私船，则CB=10x, AB=14x, AC=9,∠ACB=75°+45°=120°， ∴(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120° 化简得32x2-30x-27=0，
3 9 (舍去)， 即x= 2或x= 16
60 BM 由正弦定理得 sin45 sin30 ，