中南大学最全高等工程数学考试复习题集含答案PDF

4分
（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：
max
f 0.28 y1 0.15 y2 0.1 y3 0.55 y4 0.35 y5 y6 0.25y1 -0.1 y2 0.1 y3 0.25 y4 0.25 y5 0.7y6 340 0.4y1 0.3y4 0.3y5 0.7y6 260 0.15y2 0.05y3 0.2y4 0.2y5 0.4y6 180 0.2 y1 0.2y2 0.4y4 0.4y5 0.8y6 230 0.08y1 0.05y2 0.15y3 0.17y4 0.17y5 0.45y6 190 y1 0, y2 0, y4 0, y5 0, y3 R1 , y6 R1
于是有
0.25 1.375 x( x 1) x( x 1)( x 3) 3 42
f (4) N 3 (4) 0.5 4
0.25 1.375 43 4 3 1 3 42 2.75 18.25 2 1 7 7
相应的误差估计式为：
R3 ( x) f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x]( x x0 )( x x1 )( x x2 )( x x3 ) R3 ( x) f [0,1,3, 7, x]x( x 1)( x 3)( x 7) f [0,1,3, 7, 4] 4 3 1 (3) 0.000065 (36) 0.00234
【P278】
max s.t.
Z 300 x1 400 x2 2 x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x 0, x 0 2 1
解： (1) 化为标准形式： 2 x1 x2 +x3 =40 s.t. x1 +1.5 x2 x4 30 x , x , x ，x 0 1 2 3 4
xi
0 1 3 7 4
f(xi)
0 0.5 2 1.5 18.25/7
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
0.5 0.75 －0.125 -0.37 0.25/3 －0.875/6 -0.245 －1.375/42 -0.033 -0.000065
由差商表得出 f ( x) 的三次插值多项式为：
N3 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 ) N3 ( x) 0.5 x
1 ˆ ) 1 (44.9 0.2023 200.7) 0.54 ( Lyy bL xy n2 8
ˆ （２）
2
F
ˆ2 L b 0.20232 200.7 xy 15.21 ，或 T F 3.9 ˆ2 0.54
2分
F F0.05 (1,8)
或 T t0.05 (8)
t0.05 (8) 1.8595
t0.01 (8) 2.8965 。
解：
（１） x 29.3
y 8.1
Lxy xi yi nx y 2574 10 29.3 8.1 200.7
Lxx xi nx 2 2574 10 29.32 992.1
）}，则由迭代公式 xn 1 ( xn ) 产生的序列 xn 一定收敛于 x* 。 x [a, b] 有 ( x) [a, b] , ' ( x) L 1 ；
2 2. 已知二元非线性函数 f ( x ) x12 x1 x2 x2 2 x1 4 x2 , X 0 (2, 2)T ，该函数从 X0 出发的最速下降方
向为
（最速下降方向为：
p 4, 2
T
） ；
2 3．已知二元非线性函数 f ( x ) x12 x1 x2 x2 2 x1 4 x2 , X 0 (2, 2)T ，该函数从 X0 出发的 Newton 方
向为
（Newton 方向为：
p 2, 0
T
） ；
F F0.01 (1,8) 故在显著水平为 0.05，0.01 下线性回归是显著的 T t0.01 (8) 故在显著水平为 0.05，0.01 下线性回归是显著的。12 分
4 / 31
中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集
五、（本题 10 分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程） ：
s.t.
0.25x1 0.4x2 0.2x4 0.08x5 0.28 0.1x1 0.15x3 0.2x4 0.05x5 0.15 0.1x1 0.05x3 0.15x5 0.1 0.25x1 0.3x2 0.2x3 0.4x4 0.17x5 0.55 0.25x1 0.3x2 0.2x3 0.4x4 0.17x5 0.35 0.7x 0.7x 0.4x 0.8x 0.45x 1 1 2 3 4 5 x j 0, j 1, 2, 5
（1） 求 Y 对 X 的线性回归方程。 （结果保留小数点后两位。 ）
x
i 1
10
i
293 ,
y
i 1
10
i
81 ,
x
i 1
10
i y i 2574 ,
x
i 1
10
2 i
9577 ,
y
i 1
10
2 i
701
（2）对回归方程的显著性进行检验。 （取显著水平为 0.05，0.01） ， F0.05 (1,8)=5.32 F0.01 (1,8) 11.26 ，
中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集
中南大学工程硕士“高等工程数学 2010A”考试试卷
一、填空题(本题 24 分，每小题 3 分) 1. 若方程 f ( x ) 0 可表成 x
( x) ，且在 [a, b] 内有唯一根 x* ，那么 ( x ) 满足
{ ( x ) C 1[ a , b ] , 且
4分
s.t.
2 / 31
中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集
三、（本题 8 分）已知 f ( x) 的数据如表：
x
0 0
1 0.5
3 2
7 1.5 【P30】
f ( x)
试求三次插值多项式 P(x)，求 f (4) 的近似值，并给出相应的误差估计式。 解： 用 Newton 插值法求 f ( x) 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：
（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。 （不要求计算出结果） ； （2）写出所建立的模型的对偶形式。 （1）设 x j（ , j 1, 2, 5) 是第 j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：
min
Z 340x1 260x2 180x3 230x4 190 x5
1 / 31
中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集
二、 （本题 8 分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于 28%，锌不多于 15%，铅恰好 10%， 镍介于 35%到 55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的 成分含量和价格如下表。 矿石杂质在冶炼中废弃， 并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。 【P298】 合金 矿石 1 2 3 4 5 锡（%） 25 40 0 20 8 锌（%） 10 0 15 20 5 铅（%） 10 0 5 0 15 镍（%） 25 30 20 40 17 杂质（%） 30 30 60 20 15 费用（元/吨） 340 260 180 230 190
基本变量
CB
XB
x1
300
x2
400 0 1 400 0 0 1 400 0
x3
0 1 0 0 0 3/4 -1/2 25 -25
x4
0 -2/3 2/3 -800/3 -800/3 -1/2 1 250 -250

20/(4/3)=15 20/(2/3)=30
x3 x2
0 400 Z
20 20
4/3 2/3 800/3 100/3
2
Lyy yi ny 2 701 10 8.12 44.9
2
4分
ˆ Lxy 200.7 0.2023 0.20 b Lxx 992.1
回归函数为
ˆ 8.1 0.2023 29.3 2.17 ˆ y bx a
4分
ˆ ( x) 2.17 0.20 x
变长 ； 的 Euler 法 公 式 为 ：
h 0.2
，
解
y' x 2y , x [0,1] y (0) 1
（ yn 1 yn h( xn 2 yn ) 0.6 yn 0.2 xn , n 0,1, 2, ,5 ） ； 8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有：模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。
4．已知 y f ( x) 在区间 [ a, b] 上通过点 ( xi , yi ), i 0,1, 2, , n ，则其三次样条插值函数 S ( x ) 是满足 {（1）在每个小区间是次数不超过 3 次的多项式， （2）在区间
[ a, b] 上二阶导数连续， （3）满足插值条件
S ( xi ) yi , i 0,1, 2, , n
（2）列初始单纯形表（单位矩阵对应的变量为基变量 x3 ， x4 ）