7.4 广义积分
《广义积分的性质》课件
应用：区间可加性在解决实际问题中具有广泛的 应用，例如在计算定积分、广义积分等问题时， 都可以利用区间可加性进行简化计算。
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性质：区间可加性是广义积分的一个重要性质，它 使得我们可以将复杂的积分问题分解为简单的积分 问题，从而简化计算。
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注意事项：在使用区间可加性时，需要注意函数的 连续性和可积性，以确保计算结果的正确性。
• 幂级数法：一种求解积分的方法，通过将积分转化为幂级数形式求解 • 典型例题：求解∫(x^2+1)^(-1/2)dx • 解题步骤： a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n b. 求解幂级数：
∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^77x^9+... • a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n • b. 求解幂级数：∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... • c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^7-7x^9+... • 结论：幂级数法是一种有效的求解积分的方法，适用于求解某些特定类型的积分问题。
下节课预告
下节课我们将继续学习广义积分 的性质
学习目标：掌握广义积分的基本 概念和计算方法
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广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分第一，广义积分的概念和性质。
在数学分析中，我们通常通过定积分来求解曲线下面的面积。
然而，如果被积函数在有限区间上发散或无定义，就无法使用定积分。
这时，我们就需要用到广义积分。
广义积分可以看作是一些特殊函数的面积，其被积函数在有限区间上可能发散或无定义，但在无穷区间上是收敛的。
广义积分的概念可以统一定积分与不定积分的特点，并在此基础上建立一些重要的性质。
第二，广义积分的判定和应用。
对于广义积分的求解，我们需要先进行判定，即判断广义积分是否存在。
常用的判定方法有比较判定法、绝对收敛判定法、积分判别法等。
这些方法可以帮助我们准确地判断广义积分的存在性，并进一步应用于实际问题的求解。
广义积分在实际问题中的应用非常广泛，比如物理学、工程学等领域都需要用到广义积分的计算。
第三，含参变量积分的概念和性质。
含参变量积分是将被积函数中的参数视为独立变量进行积分。
含参变量积分可以看作是广义积分的一种特殊情况，其被积函数中的参数在一定范围内变化。
含参变量积分的性质与普通的定积分类似，可以满足线性性质、积分换序等性质。
同时，由于含参变量积分中的参数是变化的，所以可以应用于优化问题的求解，帮助我们找到最优解。
第四，含参变量积分的应用。
含参变量积分在实际中的应用非常广泛。
比如，在经济学中，我们可以用含参变量积分来求解收益函数或成本函数的最优解，从而确定最优生产方案。
在物理学中，我们可以用含参变量积分来求解一个变量随时间变化的过程，如物体的运动方程。
在金融学中，我们可以用含参变量积分来计算一些金融衍生品的价格，如期权的定价。
这些都是含参变量积分在实际问题中的应用。
综上所述，数学分析第十二章的广义积分与含参变量积分的概念、性质以及应用都非常重要。
通过对广义积分与含参变量积分的学习与理解，我们能够更好地理解数学中的积分概念，并应用于实际问题的求解。
数学分析第十二章提供了一种更加灵活且广泛的积分方法，对我们的数学思维与解决问题的能力都有很大的提升作用。
广义积分学习指导
广义积分学习指导一、内容提要1、广义积分的概念. ⑴ 无穷区间上的广义积分设)(x f 在),[+∞a 上有定义, a A >∀ R x f ∈)( (],[A a )，记∫∫+∞→+∞=AaA adx x f dx x f )(lim)(称其为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分.若⑴中的极限存在,则称该无穷积分收敛，且其极限值为该无穷积分的值；否则称该无穷积分发散. 类似地可定义： 1）)()(lim)(b B dx x f dx x f bBB b<=∫∫−∞→∞−2）∫∫∫+∞∞−+∞∞−+=ccdx x f dx x f dx x f )()()(∫∫+∞→−∞→+=AcA cBB dx x f dx x f )(lim)(lim)(+∞<<−∞c对积分∫+∞∞−dx x f )(，其收敛的充要条件是∫∞−cdx x f )(及∫+∞cdx x f )(同时收敛.⑵ 无界函数的广义积分(瑕积分)若0>∀δ，函数)(x f 在),(ˆ0δx U 内无界,则称点0x 为)(x f 的一个瑕点（或奇点）.设)(x f 在],(b a 上有定义，a 为其瑕点，且0>∀ε，]),[()(b a R x f ε+∈. 记∫∫+→+=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0,称其为)(x f 在],[b a 上的瑕积分. 若上式中的极限存在，则称此瑕积分收敛，其极限值即为瑕积分值；否则，称此瑕积分发散. 设b 为)(x f 在],[b a 上的唯一瑕点，类似地可定义：∫∫−→+=εεb abadx x f dx x f )(lim )(0设c 为)(x f 在],[b a 内的唯一瑕点（b c a <<）,我们定义∫∫∫+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(∫∫+→−→+++=bc c adx x f dx x f 2211)(lim )(lim 0εεεε此时∫b adx x f )(收敛的充要条件是∫c adx x f )(及∫bcdx x f )(同时收敛.2、Γ 函数的定义及性质Γ 函数： )0()(01>=Γ∫+∞−−s dx e x s x sΓ 函数的几个性质：i. 递推公式：)0)(()1(>Γ=+Γs s s s , !)1(n n =+Γ(n 为正整数, 1)1(=Γ)ii. )10(sin )1()(<<=−ΓΓs ss s ππ这个公式称为余元公式，特别地，当21=s 时，π=Γ)21(iii. ∫+∞−−=Γ01222)(du ues s u ，令21=s 得∫∞+−=022πdu e u3、广义积分的柯西主值按广义积分的定义，无穷积分∫∫+∞→∞+∞−=AcA dx x f dx x f )(lim)(∫−∞→+cBB dx x f )(lim右端极限过程中的B A ,是独立变化的.若考虑B A ,的变化过程要求一致,即定义A B =,则相应的无穷积分∫+∞∞−dx x f )(称为)(x f 在),(+∞−∞上的无穷积分的柯西主值,记为P ．Ｖ．∫+∞∞−dx x f )(. 即P．Ｖ．∫∫−+∞→+∞∞−=AAA dx x f dx x f )(lim)(，若此极限值存在，则称广义积分∫+∞∞−dx x f )(在柯西主值意义下收敛，否则称为发散．类似地可定义与瑕积分相应的柯西主值为 P．Ｖ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∫∫∫+−→+b c c a badx x f dx x f dx x f εεε)()(lim )(0其中c 为)(x f 在),(b a 内的唯一瑕点. 二、重点、难点1、本节的难点是无界函数的广义积分,因为这一类广义积分容易被当成常义积分来计算而导致错误.2、广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元积分法，分部积分法，以及广义的牛顿－莱布尼兹公式. 三、答疑解惑问题 下列积分是否正确?为什么?⑴ 0ln 21)(ln ln 1ln 111313=−==∫∫εεεεεεx x d x dx xx⑵ 奇函数积分012=+∫+∞∞−dx x x答 都不正确. ⑴错误的原因是将广义积分当作常义积分去计算. 1=x 是被积函数的无穷间断点,本例的积分是无界函数的广义积分. 正确的解法是∫∫∫+=εεεε1311313ln 1ln 1ln 1dx x x dx x x dx xx 由于 ∫∫−−→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==++εεεεεεε11112030113ln 21lim ln 1lim ln 1x dx x x dx x x−∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=+→21)1(ln 21lim 20εε 故 ∫εε13ln 1dx xx 发散. ⑵ 错误的原因是)1ln(211202t dx x x t+=+∫当+∞→t 时是发散的,由广义积分∫+∞∞−dx x f )(的收敛定义,广义积分∫+∞∞−+dx x x21是发散的.一般地可以证明：当∫+∞∞−dx x f )(收敛时, 0)(=∫+∞∞−dx x f ()(x f 为奇函数).∫∫+∞+∞∞−=0)(2)(dx x f dx x f ()(x f 为偶函数). 证明从略.。
广义积分
§2.4 广义积分一、主要知识点和方法1、基本概念和性质设()f x 在[,)a +∞上有定义，且b a ∀>，()f x 在[,]a b 上可积，定义()d l i m ()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰ ，称为无穷（广义）积分。
类似有()d lim ()d bbaa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰，()d ()d ()d ccf x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰且与c 无关。
这些积分统称为无穷积分。
当上述定义中右端的极限存在时，称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散。
对于()d ()d ()d c cf x x f x x f x x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个无穷积分都收敛时，称()f x dx +∞-∞⎰收敛，否则称为发散。
()f x 在[,)a b 上有定义，在点b 的任何邻域内无界（称b 为瑕点），若对任何a c b <<，()f x 在[,]a c 上可积，定义()d lim ()d bcaac bf x x f x x -→=⎰⎰，称为无界函数广义积分，也称以b 为瑕点的瑕积分。
类似地也有以区间左端点为瑕点的瑕积分。
又当c 是()f x 在[,]a b 内的唯一瑕点时，定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰。
当定义中右端的极限存在时，称瑕积分收敛。
对于瑕积分()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个瑕积分都收敛时，称()d baf x x ⎰收敛。
无穷积分和瑕积分统称为广义（反常）积分。
由此可见，广义积分的敛散性就是变动限积分的极限存在性，从而可归结为函数极限来讨论。
设0a >，由定义立即得到：1d p ax x+∞⎰当1p >时收敛，当1p ≤时发散；1d apx x ⎰当1p <时收敛，当1p ≥时发散。
广义积分
+∞
+∞
1
dx 当 _______时收敛； 当 ______ 时 _______ 时收敛； 时收敛 p x
a→−∞ a b→+∞ 0 0 b
0
+∞
+∞
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1 计算广义积分 解
+∞
∫
+∞
−∞
dx 0 +∞ dx dx ∫−∞ 1 + x 2 = ∫−∞ 1 x 2 + ∫0 1 x 2 + + 0 b 1 1 dx + lim ∫0 dx = lim ∫a 2 2 a → −∞ 1 + x b→ +∞ 1+ x
∫a f ( x)dx
b
= lim ∫a+ε f ( x)dx
ε →+0
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 称广义积分发散. 时，称广义积分发散.
类 似 地 ， 设 函 数 f ( x ) 在 区 间 [a , b ) 上 连 续 ， 而 在 点 b 的 左 邻 域 内 无 界 .取ε > 0 ， 如 果 极 限
a →−∞
b
限为函数 f (x ) 在无穷区间 (−∞, b] 上的广义积 分，记作∫−∞ f ( x )dx.
b
∫−∞ f ( x)dx
b
= lim ∫ f ( x)dx
a→−∞ a
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 称广义积分发散. 时，称广义积分发散.
高等数学中的广义积分理论研究
广义积分是高等数学中一个重要的理论研究领域。
广义积分主要处理不可积函数和无穷积分问题，是不定积分的拓展和推广，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
广义积分理论的研究主要包括收敛性的判定和计算技巧等方面。
首先，广义积分的收敛性判定是研究的重点之一。
在高等数学中，对于普通的连续函数，我们有定义良好的Riemann积分方法，但是对于不连续函数或者在某些点处无界的函数，无法直接应用Riemann积分。
而广义积分的核心思想就是将积分区间加以一定的变化或者划分，通过求解极限的方式来判断积分是否存在。
研究广义积分的收敛性判定方法，能够帮助我们了解函数的性质，并且为积分值的计算提供了合理的理论依据。
其次，广义积分的计算技巧也是广义积分理论研究中的重要内容。
对于一些特殊的函数，其积分计算可能不太容易，这时我们可以利用一些数学技巧来简化计算过程。
例如，通过利用奇偶性的性质来简化积分，或者通过换元法等手段来转化为更简单的形式进行计算。
同时，通过变量替换、分部积分等技巧，可以将原本复杂的积分转化为相对简单的形式，进而得到精确或者近似的积分值。
广义积分理论的研究不仅可以用于解决数学问题，更重要的是它在实际问题中的应用。
例如，广义积分常常用于描述物理问题中的连续体的某一物理量。
在物理学中，往往存在着不连续性的场景或者变量的无界性，这时我们就需要借助广义积分理论来求解相关的物理量。
广义积分的应用还可以扩展到概率论、统计学等领域，对于处理复杂问题和实际工程应用有着重要意义。
除此之外，广义积分的研究还与其他数学分支存在关联。
比如在实变函数分析中，广义积分被广泛应用于研究函数的空间、算子的性质等方面。
在实际问题中，广义积分还与微分方程、傅里叶分析等数学分支紧密相关。
这些交叉应用的背后，展现了广义积分理论在数学研究和实际问题求解中的重要作用。
综上所述，高等数学中的广义积分理论研究是一个重要的数学领域。
通过研究广义积分的收敛性判定和计算技巧，我们能够更好地理解函数的性质并解决实际问题。
7.5广义积分(1-41)
3
3
dx ( x - 1) 4 ( x - 1)2 - 1
2 3
( x - 1)4 x 2 - 2 x
2
x -1 sec t
2
4 sec t tan t 3 2
sect tan t
dt cos3 tdt
2 3
1 3 (1 - sin t )d (sin t ) sin t - sin t 3
; x0 t 0
常义积分
dx (1 x )
2 n 1 2
2
se c2 t
0
se c2 n1 t 0
dt cos2 n-1 tdt
0
2
( 2n - 2)(2n - 4) 2 1 ( 2n - 1)(2n - 3)3
例
解
求
3
dx ( x - 1) 4 x 2 - 2 x
arctan x -[ x
1 x ] ( )dx 1 - 2 2 4 1 x 1 x 1 x(1 x )
dx
1
x 1 2 [ln x - ln(1 x )] 1 ln 2 4 4 2 1 x
1 1 ln1 - ln ln 2 4 4 2 2
0
x2 ) d ( 1 2 x2 2 2 0 1 ( ) 2
1 ( - ) 2 2 4 8
例 求
1 2
dx x ( x 1)
解
1 1 1 ( - 2 )dx 2 x 1 x ( x 1) 1 x 1 x 1 [ ln( x 1) - ln x - ] 1 x 1 1 (ln(1 ) - ) 1 0 - (ln 2 - 1) x x 1 - ln 2
医科高等数学教材
医科高等数学教材高等数学是一门重要的学科，对于医科学生来说尤为重要。
本教材旨在为医科学生提供一套全面、系统的高等数学知识体系，以帮助他们建立扎实的数学基础，为今后的医学学习和临床实践打下坚实的基础。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念1.2 函数的性质与分类1.3 极限的概念与性质1.4 极限的计算方法1.5 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 隐函数与参数方程的微分第三章：积分与定积分3.1 不定积分与积分的概念3.2 不定积分的基本方法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与应用第四章：微分方程与应用4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程的解法4.3 高阶微分方程的解法4.4 微分方程的应用第五章：级数与函数项级数5.1 数列的极限与收敛性5.2 级数的概念与性质5.3 收敛级数的判别法5.4 函数项级数的收敛性5.5 幂级数与泰勒级数第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数求导与参数方程的导数6.4 多元函数的极值与条件极值6.5 多元函数的泰勒公式与应用第七章：多重积分与曲线积分7.1 二重积分与三重积分的概念7.2 二重积分的计算与应用7.3 三重积分的计算与应用7.4 广义积分的概念与性质7.5 曲线积分与曲面积分第八章：向量与空间解析几何8.1 向量的基本运算法则8.2 空间直线与平面的方程8.3 空间曲线与曲面的方程8.4 空间直线与平面之间的位置关系8.5 空间几何问题的解析第九章：常微分方程与拉普拉斯变换9.1 常微分方程的基本概念与性质9.2 一阶常微分方程的解法9.3 高阶常微分方程的解法9.4 拉普拉斯变换的定义与性质9.5 拉普拉斯变换的应用本教材同时附有大量的习题和解析，以帮助学生巩固所学知识，并提供实际应用的例题，让学生了解数学在医学上的实际运用。
广义积分初步
1 dx 1 1− p 1 −p lim x 当 p ≠ 1 时 , ∫0 p = lim ∫ε x dx = + ε ε →0 x 1 − p ε →0+ 1 , p<1 1− p 1 1− p (1 − lim ε ) = = ε →0+ 1− p ∞ , p>1
所以
∫
1
0
dx 收敛 , 0 < p < 1 . p x 发散 ， p ≥ 1
1
一、无穷限积分
上有定义, 定义 设函数 f ( x ) 在区间 [a , + ∞ ) 上有定义 ,且对 上可积, 任何 t > a , f ( x ) 在 [a , t ] 上可积 , 如果极限
t →+∞ a
lim ∫ f (x)dx
t
存在, 则称此极限为函数 f ( x ) 在 [a , + ∞ ) 上的广义积分, 上的广义积分, 广义积分 存在,
= −1 .
19
例6
讨论下列瑕积分的敛散性. 讨论下列瑕积分的敛散性
1
1 ( 5) ∫ dx 0 (2 − x ) 1 − x
解
为瑕点 x = 1 为瑕点.
令 t = 1 − x ，则 x = 1 − t 2 ， dx = −2t dt ， 用换元法， 用换元法，
于是有
∫
1 0
1 (2 − x ) 1 − x
18
例6
( 4)
讨论下列瑕积分的敛散性. 讨论下列瑕积分的敛散性
∫
1 0
ln x dx = ( x ln x − x ) 0 +
1
= −1 − lim+ x ln x = −1 − lim ln x x →0 x →0 1 / x
广义积分计算公式
广义积分计算公式广义积分是微积分中的一种重要概念，它是对实数区间上的函数进行积分的一种方法。
广义积分计算公式提供了一种计算广义积分的方法，它包括了不定积分和定积分两种形式。
在下面的文章中，我将详细介绍广义积分的计算公式和具体的计算方法。
首先，我们来看不定积分的计算公式。
不定积分是对函数进行积分而不指定上下限的形式，它可以表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)表示要积分的函数。
不定积分的计算公式可以通过基本积分公式来得到。
常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-12. ∫1/x dx = ln，x， + C。
3. ∫e^x dx = e^x + C。
4. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
5. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
这些基本积分公式是广义积分计算的基础，它们可以用来计算更加复杂的不定积分。
下面我们来看定积分的计算公式。
定积分是对函数在一个闭区间上进行积分，它可以表示为∫[a,b]f(x)dx。
其中f(x)表示要积分的函数，[a,b]表示积分的闭区间。
定积分的计算公式可以通过牛顿—莱布尼茨公式来得到。
牛顿—莱布尼茨公式为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们，如果能够找到一个函数F(x)，使得它的导数等于f(x)，那么定积分的结果就等于F(b)-F(a)。
在实际计算中，很多函数并没有具体的原函数表达式，因此我们需要通过其他方法来计算定积分。
常见的方法包括换元法、分部积分法和凑微分法等。
换元法是指通过变量代换来简化积分的计算。
具体来说，我们可以将原函数的自变量进行适当的变换，使得积分变得更加容易计算。
常见的变量代换包括三角函数的代换、指数函数的代换和对数函数的代换等。
分部积分法是指通过将积分公式转化为乘法形式，然后使用乘法的公式进行计算。
高考数学中的广义积分解析技巧
高考数学中的广义积分解析技巧在高考数学中，广义积分占据着非常重要的地位。
广义积分的求解不仅需要大家掌握基本的定义和性质，还需要掌握一些解析技巧。
正确的解析技巧不仅可以提高我们解题的效率，还能够让我们的解题更加准确。
1、变量代换法变量代换法是在求解广义积分时经常用到的一种解析技巧。
其基本思想是将被积函数中的自变量用一个新的自变量表示出来，然后再将原来的变量代入到新的函数当中求解。
变量代换法能够将原有的复杂积分转换成简单积分。
例如：$$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3+x^2+x+1}dx=\int_1^{+\infty}\frac {1}{(x^2+1)(x+1)}dx$$我们用$x=\tan t$来进行代换，则有：$$\begin{aligned}\int_1^{+\infty}\frac{1}{(x^2+1)(x+1)}dx&=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{(\tan^2t+1)(\tan t+1)}\frac{dt}{\cos^2t}\\&=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos t}{\sin t+\cos t}dt\\&=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1-\tan\frac{t}{2}}{1+\tan\frac{t}{2}}dt\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\end{aligned}$$2、奇偶性的利用在求解广义积分时，我们还可以利用奇偶性来简化求解的难度。
如果被积函数是一个奇函数，可以改变积分区间，将积分区间从$[a,+\infty)$变成$(-\infty, a]$，这样被积函数就变成了一个偶函数。
广义积分的概念与计算PPT课件
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
函数与极限
11
类似地，设函数 f ( x) 在区间[a, b)上连续，
而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
0 a
在区间[a, b)上的广义积分，
lim arctanb b
2
2
.
函数与极限
7
例2
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
第一节反常积分的概念与计算lim存在则称此极限为函数上的广义积分记作lim当极限存在时称广义积分收敛
第八章 反常积分---广义积分
• §1 广义积分的概念与计算 • §2 广义积分的收敛判别法 • §3 习题课
函数与极限
1
本章内容、要求及重点
教学内容：
1、给出了反常积分的概念。 2、给出了反常积分的计算。 3、给出了反常积分的敛散性判别方法。
和 b c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
c
广义积分的计算方法及例题
广义积分的计算方法及例题广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积、弧长、体积等问题。
广义积分的计算方法有很多种，其中包括换元法、分部积分法、分数分解法、极坐标法等。
这篇文章将详细介绍这些计算方法，并通过例题来说明其应用。
一、换元法换元法是广义积分中常用且实用的计算方法之一。
它利用代数运算中的代换思想，将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，从而简化积分的计算。
换元法的基本思路可以用如下步骤表示：1. 选择适当的代换变量。
2. 将被积函数转化为新变量的函数，利用链式法则计算微元的变换。
3. 将新变量的积分限转化为原变量的积分限。
4. 进行原变量的积分运算。
例如，计算广义积分∫(x^3+1)/(x^4+x^2)dx，我们可以选择x^2作为代换变量，进行以下代换：u = x^2则有du = 2xdx将被积函数中的x^2和dx用u和du表示，则被积函数可以转化为1/(u^2+u)du。
接下来计算u的积分，再将结果转化回原变量的积分。
二、分部积分法分部积分法是广义积分中常用的计算方法之一，利用求导和积分之间的关系进行计算。
分部积分法的基本思路可以用如下公式表示：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是待定函数，u'(x)和v'(x)分别是其导数。
例如，计算广义积分∫x sin(x)dx，我们可以选择u(x) = x和v'(x) = sin(x)，则有u'(x) = 1和v(x) = -cos(x)。
将这些值代入分部积分公式，则可以得到∫x sin(x)dx = -x cos(x) - ∫(-cos(x))dx，再进行简化即可。
三、分数分解法分数分解法是计算广义积分中的一种特殊方法，适用于被积函数为有理函数的情况。
分数分解法的基本思路是将有理函数拆解成多个简单函数之和，从而求出每个简单函数的积分后再加总。
广义积分——精选推荐
§4 广义积分【目的要求】1、理解无穷型和无界型广义积分的概念；2、熟练掌握广义积分的求法；3、了解Γ函数的概念与性质． 【重点难点】1、无穷型和无界型广义积分的定义；2、无穷型和无界型广义积分的求法． 【教学内容】前面我们讲的定积分()d ba f x x ⎰是在下述条件下讨论的：(1) 积分区间[],a b 有限；(2) 被积分函数()f x 在[],a b 上有界.然而，在实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数在有限积分区间上为无界函数的积分. 因此，有必要将定积分加以推广，引入广义积分的概念.一、无穷限的广义积分定义 4.1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，取u a >，如果极限lim ()d uau f x x J →+∞=⎰存在，则此极限J 为函数()f x 在[,)a +∞上的广义积分或反常积分. 记作()d lim ()d uaau J f x x f x x +∞→+∞==⎰⎰.此时，我们称广义积分()d af x x +∞⎰存在或收敛；如果上述极限不存在，称()d af x x +∞⎰发散.类似地，可定义函数()f x 在(],b -∞上的广义积分为：()d l i m ()dbbuu f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰. 如果上述极限存在，则称广义积分()d b f x x -∞⎰收敛；否则称为发散.也可定义函数()f x 在(),-∞+∞上的广义积分. 称()d f x x +∞-∞⎰为收敛的，当且仅当广义积分()d c f x x -∞⎰与()d cf x x +∞⎰均收敛，且()d ()d ()d c cf x x f x x f xx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰（c 为实数）. 当()d c f x x -∞⎰与()d cf x x +∞⎰中至少有一个发散时，则称广义积分()d f x x +∞-∞⎰为发散的.例 1 设p 为常数，试讨论11d p x x+∞⎰的敛散性. 解 当1p =时，11111d lim d lim ln lim ln ln1u uu u u x x xu xx +∞→+∞→+∞→+∞===-=+∞⎰⎰（不存在）.所以，11d x x+∞⎰是发散的. 当1p ≠时，1111111d lim d lim 1u p up p u u x x x x x p +∞-+→+∞→+∞==-+⎰⎰ =111lim11p u u p p-+→+∞--+- 因为10p -+>，即1p <，1lim p u u -+→+∞=+∞.而10p -+<，即1p >时，1lim 0p u u -+→+∞=.所以，当1p <时，11d p x x +∞=+∞⎰，即11d p x x+∞⎰是发散的. 1p >时，111d 1p x x p+∞=-⎰，即11d p x x +∞⎰是收敛的. 综上所述：当1p ≤时，广义积分11d p x x +∞⎰发散；当1p >时，广义积分11d p x x+∞⎰收敛，且其值为11p-. 由无穷区间广义积分的定义，可知无穷区间广义积分的计算是一般在计算定积分()d ba f x x ⎰之后再求极限. 若极限存在，则收敛；若极限不存在，则发散.另外，为了书写方便，在具体计算中，可以将无穷区间上的广义积分的积分限看作+∞或-∞，即()d ()()()lim ()()a a x f x x F x F F a F x F a +∞+∞→+∞==+∞-=-⎰，()d ()()()()lim ()bb x f x x F x F b F F b F x +-∞-∞→-∞==--∞=-⎰，其中，()F x 为()f x 的一个原函数.例 2 计算21d 1x x+∞+⎰. 解201d arctan lim arctan arctan 0012x x x x x π+∞→+∞+∞==-=+⎰. 例 3 计算0d x xe x +∞-⎰.解d d (d )xxx x x e x x e x ee x+∞+∞+∞---+∞-=-=--⎰⎰⎰=0lim 0lim 11x xx x x xe e xe --+∞-→+∞→+∞--=-+=.例 4 计算22arctan d 1xx x+∞-∞+⎰. 解22202220arctan arctan arctan d d d 111xx x x x x x x x +∞+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰.而 20332arctan 11d arctan 0()133224x x x x ππ-∞-∞==--=+⎰，23302arctan 11d arctan ()0133224x x x x ππ+∞+∞==-=+⎰， 故22a r c t a n d 1242412x x x πππ+∞-∞=+=+⎰. 二、无界函数的广义积分定义 4.2 设函数()f x 在区间(,]a b 上连续，而lim ()x af x +→=∞，任取0ε>，如果极限lim ()d ba f x x J εε++→=⎰存在，则此极限J 为函数()f x 在(],a b 上的广义积分，记作()d b af x x ⎰，即()d baf x x ⎰=0lim ()d ba f x x J εε++→=⎰.此时，我们称广义积分()d baf x x ⎰收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分()d baf x x ⎰发散.类似地，对于函数()f x 在[),a b 上连续，而lim ()x bf x -→=∞的广义积分为： 0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰.如果上述极限存在，则称广义积分()d b af x x ⎰收敛；否则称为发散.对于函数()f x 在区间[,]a b 上除x c =，a c b <<外均连续，而lim ()x cf x →=∞的广义积分()d b af x x ⎰为收敛，当且仅当广义积分()d c af x x ⎰与()d bcf x x ⎰均收敛，且()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.当()d caf x x ⎰与()d bcf x x ⎰中至少有一个发散时，则称广义积分()d b af x x ⎰为发散的.例 5 计算广义积分32x ⎰. 解 函数()f x =(]2,3上连续，而2limx +→=∞，任取0ε>， 33220limx x εε++→=⎰⎰0lim εε++→=0l i m 2ε+→==. 即广义积分32x ⎰收敛于2. 例 6 计算广义积分10ln d x x ⎰.解 函数()ln f x x =在区间(]0,1内连续，而0lim ln x x +→=-∞，任取0ε>，1100ln d lim ln d x x x x εε++→=⎰⎰10l i m (l n )x x x εε+→=- [][]0ln11lim ln εεεε+→=---，其中 0l i m l n 0εεε+→= 所以1l n d 1xx =-⎰.例 7 证明广义积分d ()bqaxx a -⎰当01q <<时收敛；当1q ≥时发散. 证 当1q =时，d d ln()()()bb b a q aa x xx a x a x a ==---⎰⎰ ln()lim ln()x ab a x a +→=---=+∞.当1q ≠时，11(),01,d ()1()1, 1.qqbbaq ab a q x x a q x a qq --⎧-<<-⎪==-⎨--⎪+∞>⎩⎰因此，当01q <<时，此广义积分收敛，其值是1()1qb a q ---；当1q ≥时发散.例 8 考察131d x x -⎰. 解 被积函数在区间[)(]1,00,1- 内连续，0x =处为无穷间断点. 利用定义101333110d d d x x x x x x --=+⎰⎰⎰， 其中 _03321100d d 111lim lim ()22x x x x εεεε---→→⎡⎤==-+=-∞⎢⎥⎣⎦⎰⎰， 所以031d xx -⎰发散，同理130d x x ⎰也发散. 因此广义积分131d x x -⎰发散. 注意：如果不注意到031d xx-⎰的被积函数在0x =处为无穷间断点，会发生如下错误：131d 0xx -=⎰.三、Γ函数定义 4.3 广义积分10d x xe x α+∞--⎰ (0)α>，作为参变量α的函数，称为Γ函数，记为()αΓ，即10()d x x e x αα+∞--Γ=⎰.可以证明0α>时，()αΓ收敛.Γ-函数是概率论中一个重要函数，并有下列性质：性质 1 (1)1Γ=.性质 2 (1)()αααΓ+=Γ. 性质 3 n 为自然数，(1)!n n Γ+=.性质 4 1()2Γ=下面我们证明之.证 显然，0(1)d 1x e x +∞-Γ==⎰.由分部积分公式(1)d d()(d )x x xx x e x x e x e e x ααααα+∞+∞+∞---+∞-Γ+==-=--⎰⎰⎰=10d x x xe e ax x αα+∞-+∞---+⎰ =10d x x x ee x x ααα+∞-+∞---+⎰，利用洛必达法则，可得0lim 00x x x x e x e αα-+∞-→+∞=-=，所以10(1)d ()x x e x ααααα+∞--Γ+==Γ⎰.当α为自然数时，性质3成立. 性质4将在后面章节中证明.例 8 计算下列积分：(1)2d xe x +∞-⎰； (2)20d x x -⎰.解 (1) 利用1()2Γ=，即120d xx e x +∞--=⎰.令12t x -=，则2x t =，d 2d x t t =. 得2102d t t e t t +∞--=⎰22d t e t +∞-=⎰2d xe x +∞-⎰=.(2) 令2t x =，则2t x =，d d 2tx =. 于是200d 3d d ()2442x t t t x t ---===Γ⎰⎰⎰1()2==。
高等数学 第七章 定积分应用与广义积分 7-4广义积分
2) 在 [α , β ] 或 [ β , α ] 上 ( t ) C 1[ , ], 则
φ(t ) φ(t )
换元公式
式中左，右两边当有一积分收敛时，另一 积分也一定收敛且等式成立。
例10
解
求
的无穷间断点, 故 I 为广义积分. f ( x ) f ( x ) 0 3 I 1 dx 2 dx 2 2 1 f ( x) 1 f ( x) d f ( x) f ( x ) 又 dx arctan f ( x ) C 2 2 1 f ( x) 1 f ( x)
1) φ(α ) a , φ( β 0) lim φ( t ) ;
2) 在 [α , β ] 或 [ β , α ] 上 ( t ) C 1[ , ],
则
φ(t ) φ(t )
换元公式
式中左，右两边当有一积分收敛时，另一 积分也一定收敛且等式成立。
例6
计算I
F ( x)
y 例1 求广义积分 解
y 1 1 x2
o
x
π 2
几何意义 表示位于曲线 y
1 1 x2
之下，x轴之上， Y轴之右的 向右延伸至无穷
的图形的面积.
性质1
(1) 若 则
a
f ( x )dx 与
a
g( x )dx 都收敛，1与k2为常数， k
a
a
若
x a
lim f ( x ) ,
存在 , 则称I为f (x) 在
(a , b]上的广义积分, 记作
a f ( x ) dx lim a f ( x ) dx 0
称 收敛 ; 若极限I不存在, 称
广义积分
广义积分教学目的：一、无限区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分 教学重点和难点：广义积分的概念及求法教学过程： 一、引入：在前面所讨论的是定积分中，都假定积分区间 [a,b]是有限的，且 f(x)也是有界的，但是，实际问题中，常会遇到积分区间是无限的，或者积分区间虽是有限，而被积函数在积分区间上出现了无界的情形，本节介绍的就是这两类积分的概念和计算方法。
二、新授§1 无穷限的广义积分定积分()baf x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[],a b 是有限区间；其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。
这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中都要去掉这两个限制，把定积分的概念拓广为： （i ）无限区间上的积分；（ii ）无界函数的积分。
一、无穷限广义积分的概念定义1 设()f x 在[,)a +∞上有定义，且对于任意的A ()A a >在区间[],a A 上可积。
当极限lim()AaA f x dx →+∞⎰存在时，称这极限值I 为()f x 在[,)a +∞上的广义积分。
记作()lim()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰。
如果上述的极限不存在，就称()af x dx +∞⎰发散。
类似可定义()af x dx -∞⎰。
当()af x dx -∞⎰和()af x dx +∞⎰都收敛时，就称()f x dx +∞-∞⎰收敛，并且有()()()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰。
这是显然有：()()''limAA A A f x dx f x dx +∞-∞→+∞→+∞=⎰⎰。
如果上述的极限不存在，就称()f x dx +∞-∞⎰发散。
定理1 如果()f x 在[),a +∞连续，()F x 是()f x 的原函数，则()()()af x dx F F a +∞=+∞-⎰。
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1 x2 0 1 x2 lim arctan arctan a lim a 5 b 5 5 5
b 0
. 5
例 4 证明广义积分 a 当 p 0 时发散.
.
R
若要脱离地球引力, 所做的功, 即 H 时
W gmR
R
mgR2 dx 2 x
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx A lim 2 lim 1 b b 1 x x1
1
b
b
a
f ( x ) dx lim
b
0 a
b
f ( x ) dx ．
这时也称广义积分 a f ( x ) dx 收敛． 如果上述极限不存在，就称广义积分a f ( x ) dx 发散．
b
类似地，设函数f(x)在区间[a，b)上连续，而在点b 的左邻域 内无界．取>0，如果极限
1. [a, +∞) 上的广义积分 2. (-∞，b] 上的广义积分 3. (-∞，+∞) 上的广义积分
a
f ( x)dx
b
f ( x)dx
f ( x ) dx
c 0
f ( x)dx c f ( x)dx
0
说明:
(1) f ( x )dx 的几何意义:
证
e px dx 当 p 0 时收敛，
a
e
px
e dx blim a
b
px
ap e e pa e pb , p0 lim p b p p p0 ,
e dx lim b p a
dx
注意: 不能写成
1
dx 2 x ( x 1)
1
dx dx x 1 1 x
1
dx 2 x
例9 证明:
0
dx 1 x
4
0
x2 1 x
4
dx , 并求之.
1 解 令 x , t
0
则有
dx 1 x4
dx dt dt 4 4 1 1 t 0 1 x 1 0 t4
b 1 1 1 1 sin dx 2 2 2 x 2 sin x dx lim b x x b 1 1 b 1 lim 2 sin d ( ) lim cos 2 b x x b x
|
1 lim cos 1 b b
例 1 计算广义积分 例2 解
a
f ( x ) dx 发散．
类似地，设函数f(x)在区间(，b ]上连续，取a<b ．如果极 限
a
lim
b
a
f ( x ) dx
存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(，b]上的广义积分，
记作 f ( x ) dx ，即
b
b
b
f ( x)dx lim
b
设函数f(x)在区间[a，b]上除点 c(a<c<b)外连续，而在点 c 的 邻域内无界．如果两个广义积分
都收敛，则定义
b
c
a
f ( x ) dx 与 f ( x ) dx
c
c b a c
b
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
否则，就称广义积分a f ( x ) dx 发散．
发散
根据定义，原积分发散。
二、无界函数的广义积分
定义2 设函数f(x)在区间(a，b]上连续，而在点a 的右邻域内 无界．(a称为奇点) 取>0，如果极限
0 a
lim
b
f ( x ) dx
存在，则称此极限为函数f(x)在(a，b]上的广义积分，仍然记作
f ( x ) dx ， 即 a
b a
b
b
lim F (b ) F (a )
若记 F ( ) lim F (b ) , 则有
a
b
f ( x )dx F ( ) F (a )
F ( x) a
其它两种情况类似
例1 求
解
2
1 1 sin dx 2 x x
（1）[a, b] 有限 （2）f (x) 有界 这两个条件有一个被破坏，则为广义积分。
将质量为m的火箭从地面垂直发射到H高,克服地球 引力所做的功. 地球半径为R. 力
R H
mgR 2 f ( x) x2
R+H
mgR 2 W dx 2 R x 1 2 1 mgR R RH
记作
a
f ( x ) dx ， 即
a
f ( x ) dx ， f ( x)dx blim a
b
这时也称广义积分 a f ( x ) dx 收敛； ．
如果上述极限不存在，函数f(x)在无穷区间[a，)上的广义
积分 a f ( x ) dx 就没有意义， 此时称广义积分
0
1 t
2
t2Βιβλιοθήκη x21 1 x 2 dx 4 4 2 0 1 x 0 1 x dx
1 1 x2 dx 2 2 2 2 0 ( x 1) 2 x
1 (1 2 ) ) d ( x 1 1 x x dx 1 1 2 4 0 2 0 x (x ) 2 x )2 x 1 ( 2 1 x 1 x) d ( x 1 1 2 x arctan( )0 1 2 2 0 2 2 2 x x )2 1 ( 2
注意: 若奇点
F (b ) F (a )
c ( a , b) , 则
a
b
f ( x) dx F (b) F (c ) F (c ) F (a )
可相消吗?
dx a 例1 计算广义积分 ． 0 a2 x2 1 解 因为 lim ，所以被积函数在点a的左邻 2 2 x a 0 a x 域内无界． a a dx dx x a lim lim 0 a 2 x 2 0 0 a 2 x 2 0 [arcsin a ] 0
1 1 p 1 [ x ] a ． dx p 1 p x
1 1 p a1 p 1 x ]a dx [ ． p 1 p p 1 x
1
dx 发散 x
dx ? x 1
a
1
a1 p 因此，当p>1时，这广义积分收敛，其值为 ； p 1 当p1时，这广义积分发散．
A
dx
1 y 2 x
A 1
b
1 lim 1 1 b b
一、无穷区间上的广义积分
定义1 设函数f(x)在区间[a，)上连续，取b>a ．如果极限
b
lim
b
a
f ( x ) dx
存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a，)上的广义积分，
dx a tan t sec tdt
x : 2a
2
t:
3
2
2a
1 a sec t tan t 2 dx dt 2 2 3/ 2 3 3 (x a ) a tan t 3
2
3
cos t 2 3 dt 2 2 a sin t 3 a2
发散．
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx 0
0 c
c
这时也称广义积分
f ( x ) dx 收敛 ； 否则称广义积分
f ( x ) dx
注：两个广义积分有一个发散，就称
f ( x)dx 发散。
一般取 c=0
注意: 不要与通常意义下的定积分混淆。
则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 : 若 b 为奇点, 则 若 a 为奇点, 则
b
a
b
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
a
b
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
若 a , b 都为奇点, 则
a f ( x) dx
px
b
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
注：p=0 时，积分发散。
例5 证明广义积分 a 发散． 证 当p1时， a 当p<1时， a 当p>1时，
1 dx (a>0)当p>1时收敛，当p1时 p x
1 1 ln x dx dx a ． p a x x
a
y
y f ( x)
0 a b 当 f ( x )dx 收敛时, 就称这块 广义曲边梯形
a
x
有面积存在 , 否则就称此广义曲边梯形的面积
不存在
(2) 若 F(x)是 f (x) 在对应区间上的原函数, 则