高中数学-重复的排列组合

重复的排列组合

一. 有重复排列–––分步计数原理

例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？

解：完成这件事情可分三步：（1）第一项冠军有4种可能；（2）第二项冠军有4种可能；（3）第三项冠军有4种可能。所以可能情况有：4×4×4＝64（种）。

一般地，从n个不同元素里取出允许重复的m个元素，按一定顺序排成一列，那么，第1、第2、…、第m个位置上选取元素的方法都有n种。由分步计数原理得每次从n个不同元素里取出允许重复的m个元素的排列数为：

相关练习：

用0，1，2，…，9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码？（108）

二. 不尽相异元素的排列–––组合法

例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？

解：这5个不尽相异的元素有3个相同，另2个相同，所以共有：（种）种法。

一般地，在n个不尽相异的元素里，如果有m1个元素相同，又有m2个元素相同，并且m1＋m2＝n，那么这n个元素的不同排列种数。

三. 相同元素分组––––隔板法

例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？

解法1：每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有：（种）放法。

解法2：（第一隔板法）

5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还剩4个空，只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。所以有：（种）放法。

例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？

解法1：（分类法）

第一类：全部放入1个盒子里，有：（种）放法；

第二类：放入2个盒子里，有：（种）放法；

第三类：放入3个盒子里，有：（种）放法；

第四类：放入4个盒子里，有4种放法。

所以，共有：4＋24＋24＋4＝56（种）放法。

解法2：（第二隔板法）

将4个盒子与5个小球看成9个相同元素，除去两边形成8个空隙，将这8个空隙隔进3个板，即有：（种）放法。

一般地，相同元素分组，可用隔板法。如果每组至少一个元素可用第一隔板法，如果没有要求可用第二隔板法。

相关练习：

1. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班至少1人，

不同的分配方案有几种？（）

2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同的分配方案有几种？（）

四. 平均分组问题––––平均分给几组，除以几的阶乘

例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？

错解：分法有：（种）

分析：若将6个同学编号，假如分组情况如下：1、2；3、4；5、6。先挑出1、2与后挑出1、2是同一情况，没有先后顺序差别，上面的解法产生了重复。

正解：分法有：（种）

一般地，把不同的元素平均分成几组，就除以几的阶乘。

相关练习：

将5个不同礼品分成3组，则有几种分法？