高中数学-重复的排列组合
![高中数学-重复的排列组合](https://img.360docs.net/img0e/11nxd3dgk3b7gn9rywgm7qaptlyrc43x-e1.webp)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
重复的排列组合
一. 有重复排列–––分步计数原理
例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军,冠军获得者共有几种可能情况?
解:完成这件事情可分三步:(1)第一项冠军有4种可能;(2)第二项冠军有4种可能;(3)第三项冠军有4种可能。所以可能情况有:4×4×4=64(种)。
一般地,从n个不同元素里取出允许重复的m个元素,按一定顺序排成一列,那么,第1、第2、…、第m个位置上选取元素的方法都有n种。由分步计数原理得每次从n个不同元素里取出允许重复的m个元素的排列数为:
相关练习:
用0,1,2,…,9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码?(108)
二. 不尽相异元素的排列–––组合法
例2. 小麦、大麦品种各1种,种在5种不同土质的试验田里,3块种小麦,2块种大麦,有多少种种法?
解:这5个不尽相异的元素有3个相同,另2个相同,所以共有:(种)种法。
一般地,在n个不尽相异的元素里,如果有m1个元素相同,又有m2个元素相同,并且m1+m2=n,那么这n个元素的不同排列种数。
三. 相同元素分组––––隔板法
例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里,每盒至少有1个,共有多少种放法?
解法1:每盒先放入1球,剩下1球任选1盒,共有:(种)放法。
解法2:(第一隔板法)
5个小球可形成6个空隙,由于每盒至少放1个小球,所以除去两边空隙还剩4个空,只要在这4个位置上隔进3个板,即可满足要求。所以有:(种)放法。
例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里(盒子可空),共有多少种放法?
解法1:(分类法)
第一类:全部放入1个盒子里,有:(种)放法;
第二类:放入2个盒子里,有:(种)放法;
第三类:放入3个盒子里,有:(种)放法;
第四类:放入4个盒子里,有4种放法。
所以,共有:4+24+24+4=56(种)放法。
解法2:(第二隔板法)
将4个盒子与5个小球看成9个相同元素,除去两边形成8个空隙,将这8个空隙隔进3个板,即有:(种)放法。
一般地,相同元素分组,可用隔板法。如果每组至少一个元素可用第一隔板法,如果没有要求可用第二隔板法。
相关练习:
1. 某校准备参加2006年全国数学联赛,把10个名额分给高三8个班,每班至少1人,
不同的分配方案有几种?()
2. 某校准备参加2006年全国数学联赛,把10个名额分给高三8个班,不同的分配方案有几种?()
四. 平均分组问题––––平均分给几组,除以几的阶乘
例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法?
错解:分法有:(种)
分析:若将6个同学编号,假如分组情况如下:1、2;3、4;5、6。先挑出1、2与后挑出1、2是同一情况,没有先后顺序差别,上面的解法产生了重复。
正解:分法有:(种)
一般地,把不同的元素平均分成几组,就除以几的阶乘。
相关练习:
将5个不同礼品分成3组,则有几种分法?