江西省宜春市上2016-2017学年高二中2016-2017学年高一(下)第六次月考数学试卷(理科)(1)(解析版)

2016-2017学年江西省宜春市上高二中高一（下）第六次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列，，，，…的通项公式是a n=；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，﹣1，1，﹣1，…与数列﹣1，1，﹣1，1，…是同一数列．其中正确的是（）A．①②③B．①③C．②③④D．②④2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．求sin（B+C）的值（）A．B．﹣ C．0 D．3．△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1 D．4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．若=（cos，cos），||=2||，且（+）•=﹣2，则向量，的夹角为（）A．B． C． D．6．y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A． B．πC．2 D．7．如图，在△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设=，=，用，表示向量．则等于（）A．（+）B．（+）C．（+）D．（+）8．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，]上的最大值为，当把f（x）的图象上所有的点向右平移φ个单位，得到函数g（x），且g（x）满足g（π+x）=g（π﹣x），则正数φ的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．10．已知点A，B，C，D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣1 C．﹣ D．11．设O为△ABC的外心，且，则△ABC的内角C=（）A．B．C．D．12．设向量=（cos25°，sin25°），=（sin20°，cos20°），若t是实数，且=+t，则||的最小值为（）A．B．1 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=|sin2x|，则此函数的最小正周期为．14．已知向量，如果（3+4）∥（﹣2），则t=．15．在△ABC，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=30°，，则c=．16．已知向量，为两个互相垂直的单位向量，向量满足=0，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（﹣）的值．18．已知=（2，1），（1）如果||=，且向量与共线，求的坐标表示；（2）如果||=，且向量与夹角为，求的坐标表示．19．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．21．已知函数f（x）=2cos2x﹣2sin（x+π）cos（x﹣）﹣．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求当x∈[0，]时，函数g（x）的值域．22．如图，在△A BC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，，S为△A BC的面积，圆O是△A BC的外接圆，P是圆O上一动点，（1）求取得最大值；（2）当B=30°时，求的最大值．2016-2017学年江西省宜春市上高二中高一（下）第六次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列，，，，…的通项公式是a n=；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，﹣1，1，﹣1，…与数列﹣1，1，﹣1，1，…是同一数列．其中正确的是（）A．①②③B．①③C．②③④D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用；81：数列的概念及简单表示法．【分析】根据数列的定义可判断①，根据通项公式可判断②，根据数列各项与元素性质的差别，可以判断③，根据数列相同的判定方法，可以判断④的真假，进而得到答案．【解答】解：①数列是自变量为正整数的一类函数，正确②数列，，，，…的通项公式是a n=，而不是a n=；③数列的图象是一群孤立的点，正确；④数列1，﹣1，1，﹣1，…与数列﹣1，1，﹣1，1，…不是同一数列．综上可得：只有①③正确．故选：B．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．求sin（B+C）的值（）A．B．﹣ C．0 D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系和诱导公式计算即可．【解答】解：∵cosA=，∴sinA=∴sin（B+C）=sinA=，故选：A．3．△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1 D．【考点】HR：余弦定理．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】9B：向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．5．若=（cos，cos），||=2||，且（+）•=﹣2，则向量，的夹角为（）A．B． C． D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与模长公式，数量积运算以及夹角公式，即可求出向量，的夹角．【解答】解：=（cos，cos）=（cos，sin），∴||==1，∴||=2||=2，∴（+）•=•+=×2×1×cosθ+12=﹣2，∴cosθ=﹣；又∵θ∈[0，π]，∴向量，的夹角为．故选：C．6．y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A． B．πC．2 D．【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】y=cos（x+1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，即可求出y=cos （x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离．【解答】解：y=cos（x+1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，∴y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是=，故选：A．7．如图，在△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设=，=，用，表示向量．则等于（）A．（+）B．（+）C．（+）D．（+）【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平行线的性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理即可得出．【解答】解：由题意可得：==．故选：C．8．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，]上的最大值为，当把f（x）的图象上所有的点向右平移φ个单位，得到函数g（x），且g（x）满足g（π+x）=g（π﹣x），则正数φ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由函数的最大值求得ω的值，由正弦函数图象变换，求得g（x）的解析式，由函数的对称性求得g（x）的对称轴，可知2×π﹣2φ=kπ+，k∈Z，解得φ=﹣+，k∈Z，当k=0时，即可求得正数φ的最小值．【解答】解：由题意，函数f（x）在区间[0，]上单调递增，∴sin（ω）=，∴ω=，∴ω=2，由f（x）的图象上所有的点向右平移φ个单位，∴g（x）=sin（2x﹣2φ），又g（π+x）=g（π﹣x），所以x=π是函数g（x）的一条对称轴，故2×π﹣2φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣+，k∈Z，当k=0时，正数φ取最小值．故答案选：C．9．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的倍角公式将函数式进行化简，结合三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣1，2），∴|OB|=|OC|=，∵|BC|=，∴△OBC是等边三角形，则∠AOB=α+．则sin（α+）==，cos（α+）==﹣，则sin cos+cos2﹣=sinα+cosα=sin（α+）=，故选：D．10．已知点A，B，C，D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣1 C．﹣ D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示平面直角坐标系，求出A、D、B的坐标，得到的坐标，代入投影公式求解．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），D（﹣2，3）．∴，．∴，．∴向量在方向上的投影为．故选：A．11．设O为△ABC的外心，且，则△ABC的内角C=（）A．B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】由，移项得，再平方得到=0，从而，最后根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得△ABC中的内角C 值．【解答】解：设外接圆的半径为R，∵，∴，∴，∴2R2+2=2R2，∴=0，∴，根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得：△ABC中的内角C值为=．故选B．12．设向量=（cos25°，sin25°），=（sin20°，cos20°），若t是实数，且=+t，则||的最小值为（）A．B．1 C．D．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；HW：三角函数的最值．【分析】由题意先进行坐标运算，求出向量的坐标，再用求模公式求出模，然后根据条件求最值即可．【解答】解：由题设=（cos25°+tsin20°，sin25°+tcos20°）∴===t是实数，由二次函数的性质知当t=﹣时，取到最小值最小值为故选C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=|sin2x|，则此函数的最小正周期为．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用函数y=|Asin（ωx+φ）|的周期为•，得出结论．【解答】解：∵y=sin2x的最小正周期为=π，∴函数f（x）=|sin2x|的最小正周期为，故答案为：．14．已知向量，如果（3+4）∥（﹣2），则t=．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用平面向量坐标运算法则先分别求出和，由此利用（3 +4）∥（﹣2），能求出t的值．【解答】解：∵向量，∴=（6，﹣3）+（﹣12，4t）=（﹣6，4t﹣3），=（8，﹣1﹣2t），∵（3+4）∥（﹣2），∴，解得t=．故答案为：．15．在△ABC，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=30°，，则c=1或2．【考点】HP：正弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，把A=30°，值代入计算即可求出c的值【解答】解：∵A=30°，，∴由余弦定理得A2=b2+c2﹣2bccosB，即1=3+c2﹣2××c×，即c2﹣3c+2=0解得：c=1或c=2；故答案为：1或2．16．已知向量，为两个互相垂直的单位向量，向量满足=0，则=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设与的夹角为θ，则与的夹角为+θ，设||=x，根据题意可得x=cos（θ+φ），利用三角函数的性质即可求出最大值【解答】解：∵向量，为两个互相垂直的单位向量，设与的夹角为θ，则与的夹角为+θ，设||=x，∴•=0，∴•=||•||=xcosθ，•=||•||=xcos（θ+）=﹣xsinθ，∵=0∴•﹣2﹣•+2=2x2﹣2xcosθ+xsinθ=0，∴x=cosθ﹣sinθ=cos（θ+φ），其中cosφ=，sinφ=，∴0≤x≤，若设与的夹角为﹣θ，同理可得0≤x≤，故=，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（﹣）的值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据图象的最高点坐标，最高点横坐标与零点距离等求出A，φ，ω；（2）利用（1）的解析式代入求值【解答】解：（1）由图象可知A=2，并且T=（）=π，所以ω=2，又f（）=2，0＜φ＜π，得到φ=，所以；（2）由（1）得到f（﹣）=2sin（﹣）=﹣2sin=1．18．已知=（2，1），（1）如果||=，且向量与共线，求的坐标表示；（2）如果||=，且向量与夹角为，求的坐标表示．【考点】9R：平面向量数量积的运算；9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1）设，由向量的模及斜率共线列关于x，y的方程组求解；（2）设，由向量的模及斜率夹角列关于x，y的方程组求解．【解答】解：（1）设，由||=，且向量与共线，得，解得或．∴或；（2）设，由||=，且向量与夹角为，得，解得或．∴或．19．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【考点】HQ：正弦定理的应用；HS：余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．因为cosB=，且sinB==，因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=2cos2x﹣2sin（x+π）cos（x﹣）﹣．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求当x∈[0，]时，函数g（x）的值域．【考点】H5：正弦函数的单调性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出函数f（x）；（2）根据函数图象平移法则，得出函数g（x）的解析式，求出x∈[0，]时函数g（x）的值域即可．【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2x﹣2sin（x+π）cos（x﹣）﹣=2•+2cosx（cosxcos+sinxsin）﹣=1+cos2x+cos2x+sinxcosx﹣=1+cos2x++sin2x﹣=cos2x+sin2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）；令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间是[+kπ， +kπ]，k∈Z；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象；再向上平移个单位长度，得y=sin（2x﹣）+的图象；∴函数g（x）=sin（2x﹣）+；当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]；∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）+∈[，]，即函数g（x）的值域是[，]．22．如图，在△A BC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，，S为△A BC的面积，圆O是△A BC的外接圆，P是圆O上一动点，（1）求取得最大值；（2）当B=30°时，求的最大值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据余弦定理和和正弦定理以及两角差的余弦公式和三角函数的性质即可求出，（2）方法一：利用向量的数量积以及三角函数的性质即可求出，方法二，建立坐标系，利用向量的坐标运算即可求出【解答】解：（1）由a2=b2+c2+bc，∴cosA==﹣，∵0°＜A＜180°，∴A=120°由正弦定理：⇒b=2sinB，c=2sinC∴===cos（B ﹣C）≤，当且仅当B=C时取等号，∴最大值为；（2）方法一：当B=30°时，△A BC为等腰三角形，═=1+2+（其中D 为AB的中点）=≤法二：以O为原点，OA为半轴，建立平面直角坐标系，则，设P（cosθ，sinθ），则=（﹣cosθ，1﹣sinθ），=（﹣﹣cosθ，﹣sinθ），∴•=cos2θ+cosθ+sin2θ﹣sinθ+=（cosθ﹣sinθ）+=cos（θ+）+≤+当且仅当θ=时取等号，∴的最大值为+．2017年6月30日。