含绝对值的不等式解法典型例题
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
含绝对值的不等式的解法整理
含绝对值的不等式的解法1. 解不等式32<-x 例2。
解不等式22x x x x >++ 例3、解不等式123x x ->-。
例4 解不等式125x x -++<。
例5 解关于x 的不等式10832<-+x x 例6 解关于x 的不等式2321>-x 1 ，解关于x 的不等式212+<-x x2 、解关于x 的不等式1312++<--x x x3 、解关于x 的不等式521≥++-x x巩固练习1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .2、已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围 是 ． 3、不等式121≥++x x 的实数解为 ．4、解下列不等式⑴4321x x ->+； ⑵ |2||1|x x -<+；⑶ |21||2|4x x ++-> ⑷ 4|23|7x <-≤ ；⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2（a R ∈）5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）.A 8 .B 2 .C 4- .D 8-6、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ） .A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠-8、不等式x x 3102≤-的解集为（ ）.A {}|210x x ≤≤.B .C {}|25x x ≤≤ .D {}|105x x ≤≤9、解不等式：221>-+-x x10、方程x x x x x x 323222++=++的解集为12、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）.A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )21,0(11、不等式3529x ≤-<的解集是.A ()(),27,-∞-+∞ .B .C [][]2,14,7- .D (][)2,14,7-16、不等式211x x --<的解集是 ．。
绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式的解法一般有两种，一种是利用数轴的方法，另一种是利用定义式进行分析。
下面我们来看一道绝对值不等式的解法例题。
例题：求解|2x-3|<5。
解法一：数轴法
首先我们可以画出数轴，然后在数轴上标出2x-3的位置。
接着我们需要找出满足绝对值小于5的所有x的可能位置。
由于绝对值的定义是非负数，所以|2x-3|<5等价于-5 < 2x-3 < 5，即-2 < x < 4。
最后我们将答案标在数轴上即可。
解法二：定义式法
我们可以将绝对值的定义式进行分析，即|a|<b等价于-b<a<b。
将该式代入原不等式中，得到-5<2x-3<5。
接着我们可以将不等式两边加上3，得到-2<2x<8，再将不等式两边除以2，得到-1<x<4。
最后我们得到了和解法一相同的答案。
综上所述，绝对值不等式的解法可以通过数轴法和定义式法两种方法进行。
对于不同的题目，我们可以根据实际情况选择适合的解法。
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(整理版)含绝对值的不等式的解法·例题
含绝对值的不等式的解法·例题例5-3-13解以下不等式：(1)|2-3x|-1＜2(2)|3x+5|+1＞6解(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。
解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。
解原不等式同解于不等式组不等式(i)同解于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(ii)同解于-6≤x2-5x≤6取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集其解集可用数轴标根法表示如下：注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。
“数轴标根法〞是确定解集并防止出错的有效辅助方法。
例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。
解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。
但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。
例5-3-16解以下不等式：解(1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。
分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。
又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。
解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。
其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。
例5-3-18 a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。
解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，假设含有参数，那么先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。
高中数学典型例题--含绝对值的不等式解法
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B R C {x|x } D {83}．．．≠．83分析∵－＞，∴－≠，即≠．|83x|083x 0x 83答选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是[] A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析列出不等式．解根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5，答选D ．例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．分析利用所学知识对不等式实施同解变形．解原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析转化为解绝对值不等式．解∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[] A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析根据符号法则及绝对值的意义．解∵a 、b 异号，∴|a ＋b|＜|a －b|．答选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[] A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析解不等式后比较区间的端点．解由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．1232答选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R)分析分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}．说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二|x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5．所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一对2－x 的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2或②－＜∈2x 0x R由①得≤＞或＜－x 2x 1212即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－原不等式等价于：①≥＞或②＜＞xx x x x x 10121012由①得≥＞即＞；x x 11212x 由②得＜－－＞即∈．x 112x 所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x 解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
含绝对值不等式的解法
例1； 解不等式1 3x 4 6
3x 4 1 解 : 原不等式等价于下列不 等式组 3x 4 6 5 x 1或x 3 x 4 1或 3 x 4 1 3 即 6 3 x 4 6 10 x 2 3 3 10 5 2 解得 x 或1 x 3 3 3 2 10 5 故原不等式的解集为 3 , 3 1, 3 .
{X|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ<5} {X|X<-1或x>1}
4.| 2x+1 |> | x+2 |
5、解关于 x 的不等式 |3x-2|<2m-1(mR). 解: ∵mR, ∴可讨论如下:
(1)当 2m-1≤0 即 m≤ 1 2 时, x 不存在; (2)当 2m-1>0 即 m> 1 2 时, 原不等式等价于
1-2m<3x-2<2m-1. -3 <x< 2m+1 . 解得 - 2m 3 3 综上所述, 当 m≤ 1 时, 原不等式的解集为 ; 当 m> 1 时, 2 2 原不等式的解集为 (- 2m-3 , 2m+1 ). 3 3
含绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法
|f(x)|<a(a>0)-a<f(x)<a; |f(x)|>a(a>0)f(x)<-a 或 f(x)>a; |f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x); |f(x)|>g(x)f(x)<-g(x) 或 f(x)>g(x); |f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x). 形如 |x-a|+|x-b|>c(ab) 的绝对值不等式的解法 有: ①零点分区间讨论法; ②运用绝对值的几何意义.
含有绝对值不等式的解法典型例题
含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得>｜x-5｜｜x+3｜22,x-5）即（x+3）>（．x>1x>1｝．原不等式的解集为｛∴ x｜22，可在22，两边平方脱去绝对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜＝x评析对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．的取值范围是｜x-2｜>k恒成立，则实数k例2 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-）（ C．k≤3 A．k<3 B．k<-3．k≤-3 D｜的最小值x-2x>k对任意实数恒成立，只要｜x+1｜-｜x+1分析要使｜｜-｜x-2｜2-1x到的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点-3，与2的距离的差，其最小值为-1x+1的距离，｜｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到．选B ∴ k<-3,∴此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗评析长．>x+3．3例解不等式｜3x-1｜两种情况讨论．分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0x≥两种情况求解：和x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 解：当- ;①-，此时不等式的解为3≤x<，即当-3≤x< 时，-3x+1>x+3x<-x≥时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②当又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为x<-，或x>2｝．x｛｜2x+3｜-｜｜<1解不等式例4｜x-5- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：5和x＝解：x＝于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）<x≤5， x<-7，解（Ⅱ）得解（Ⅰ）得x>5；解（Ⅲ）得x> ｝即为原不等式的解集．x｜x<-7或（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5解不等式1≤｜2x-1｜<5．原不等式等价于解法一：或②①1≤x<3;解①得 -2<x≤0．解②得原不等式的解集为∴｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，或 -5<2x-1≤-1，即 2≤2x<6，或 -4<2x≤0，解得 1≤x<3，或 -2<x≤0．∴原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是｜≤ba≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．a≤｜x这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；求出它们的解集；解这些不等式，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，）3（．（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A（-4）．11可以看出，数轴上点B（4）向右的点或者点A（-4）向左的点到A、B两点的距离之11和均大于8．∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y＝｜x+3｜+｜x-3｜和y＝8的图像，如下图．21＝y1不难看出，要使y>y，只须x<-4，或x>4．21∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数!形结合思想方法的优越性．。
高一数学含绝对值不等式的解法练习题
含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a ＜-6，化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （ ） A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是（ ）A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且 二、填空题1.不等式｜x +2｜＜3的解集是 ，不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置，化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2｜x ｜-3＞03.已知全集U = R , A ={x ｜x 2- 2 x - 8＞0}, B ={x ｜｜x +3｜＜2},求：(1) A ∪B , C u （A ∪B ） (2) C u A , C u B , （C u A ）∩（C u B ）4.解不等式3≤|x －2|＜9 7.解不等式|3x －4|＞1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式| x +1|+| x －2|<4.6.解下列关于x 的不等式：1＜| x - 2 |≤77.解不等式2≤｜5-3x ｜＜9 11.解不等式｜x -a ｜＞b8.解关于x 的不等式：|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题，合计35分) 1.1760答案：B 2.1743答案：D 3.1744答案：D 4.1773答案：D 5.2075答案：C 6.4109答案：B 7.1672答案：D二、填空题(共5题，合计21分)1.1539答案：｛-5＜x ＜1｝，｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝2.1725答案：｛x ｜0＜x ＜4｝3.1602答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案：a <35.1788答案：0三、解答题(共19题，合计136分) 1.1510答案：｛x ｜x ＞10或x ＜-10｝2.1502答案：{}33-<>x x x 或3.1509答案：(1) A ∪B = {x ｜x ＜-1或x ＞4＝, C U （A ∪B ）= {x ｜-1≤x ≤4}(2) C U A = {x ｜-2≤x ≤4}, C U B = {x ｜x ≤-5或x ≥-1}, (C U A ）∩(C U B ） = {x ｜-1≤x ≤4}4.1535答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案：{x |-7＜x ≤-1或5≤x ＜11}7.1599答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案：2523<<-x9.1538答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案：当b ＜0时，解集为R ；当b =0时，解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠a ｝；当b ＞0时，解集为｛x ｜x ＜a -b 或x ＞a +b ｝.12.1601答案：a 的取值范围为a >5 13.1721答案：-5≤x ＜1或3＜x ≤9.14.1722答案：x >2或x <1/3.15.1723答案：|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x ＜2或2≤x ＜3⇔0＜x ＜3.16.1724答案：当m >0时，原不等式的解集是{x |-3m <x <2m }；当m =0时，原不等式的解集是∅；当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案：x <-1/2或0<x <4.18.1727答案：x ≤-3或2＜x ≤519.4121答案：21<a <32。
解含绝对值的不等式专题练习(有详细答案)
解“含绝对值的不等式”专题练习班级 学号一.选择题：1.不等式 ｜x ＋2｜<3 的解集是 （ ）（A ）－5<x<1 （B ）x<－5或x>1 （C ）x<－5 （D ）x>1 2.不等式｜2x －1｜>2的解集是 （ ）（A ）x>1或x<－1 （B ）12x <-或32x > （C ）1322x -<< （D ）－1 <x< 3 3.不等式5123<-<x 的解集为 （ ）A ．{x|2<x<3}B ．{x|-2<x<-1}C ．{x|-2<x<-1或2<x<3}D ．{x|-2<x<3}4.不等式5120<-<x 的解集为 （ ）A ．{x|-2<x<3}B ．{x|-2<x<2}C ．{x|x<-2或x>3}D ．{x|-2<x<3且x 21≠} 5.不等式3|52|>-x 的解集是 （ ）(A){}4|>x x (B){}41|<<x x (C){}41|>-<x x x 或 (D){}41|><x x x 或 6.关于x 的不等式)0(0<+<-+b a xb xa 的解集是 （ ） (A){}a x x -<| (B){}b x a x x >-<或| (C){}a x b x x -><或| (D){}a x b x -<<| 7.不等式2||2<-x x 的解集是 ( )(A){}21|>-<x x x 或 (B){}21|<<-x x (C)R x ∈ (D)φ 8.不等式 (1)(1||)0x x +->的解集是 （ ）A. {|01}x x ≤<B. {|0,1}x x x <≠-C. {|11}x x -<<D.{|1,1}x x x <≠- 9.已知集合A={x|-2<x<4},B={x|x ≥a}，若A ∩B=φ，且A ∪B 中不含元素5，则下列值中a 可能是A ．3B ．4C ．5D ．6 ( )10.若不等式21<x 和31>x 同时成立，则x 的取值范围是 （ ） A ．3121<<-x B ．3121-<>x x 或 C ．3121<>x x 或 D ．21>x11.设集合{}{}2450,0P x x x Q x x a =--<=-≥，则能使P Q =∅成立的a 的值是（ ）A ．{}5a a > B ．{}5a a ≥ C ．{}15a a -<< D ．{}1a a >12.0xx≥的解集是 （ ）A ．{}22x x -≤≤B ．{}002x x x ≤<<≤或C ． {}2002x x x -≤<<≤或D ．{00x x x <<≤或13.已知0a >，不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．1a >C ． 1a ≥D ．2a >14.设集合{}212,12x A x x a B x x ⎧-⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．{}01a a ≤≤ B ．{}01a a <≤ C ．{}01a a << D ．{}01a a ≤<二.填空题：15. 不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集是__________________ 16.xx x x x x 323222++>++的解集是________________ 17.不等式|x+1|+|x-1|>2的解集是_________________________. 18.若a>0,b R ∈，则不等式a b x <+-|3|的解集是_______________ .19.不等式|x+1|-|x-1|≥a 的解集是R ，则a 的取值集合_________________________. 20.不等式x 2-5|x|+6<0.的解集是_______________21.已知集合A={x||x+2|≥5},B={x|－x 2+6x －5>0},则A ∪B= 三. 解答题：22.解下列不等式⑴|1-2x|≥2 ⑵（x-1）2<100(3)解不等式 293x x -≤+ (4)解不等式 |x-|2x+1||>1.(5)|32|||x x +< (6)｜x 2 －4x+2｜≥ 2x；（7）｜x+3｜－｜x －3｜>3.23.已知{}4A x x a =|-<,{}2450B x x x =|-->，且A ∪B=R.求实数a 的取值范围.24.以知{}{}||1|,0,||3|4,A x x c c B x x A B =-<>=->=∅且，求C 取值的范围。
含绝对值的不等式解法练习题及答案
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ]A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析 列出不等式．解 根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[ ]A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析 可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三 利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩或②－＜∈2x 0x R⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012 由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得＜－－＞即∈．x 112 x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9， 即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
绝对值不等式题型解法练习(
一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如a x f a x f ><)(,)(型不等式 (1)当0>a 时a x f a a x f <<-⇔<)()( a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)( (2)当0=a 时 a x f <)(，无解⇔>a x f )(使()0)()(≠=x f x f y 成立的x 的解集 (3)当0<a 时 a x f <)(，无解^⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ）A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312<-x 即为含绝对值的不等式，这是形如a x f <)(型的绝对值不等式，其中0>a ，则a x f a <<-)(。
解：因为312<-x ,所以3123<-<-x ，即解得)2,1(-∈x 解0312<-+x x 得，3>x 或21-<x 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=211x x B A ，故答案选D.二,形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(。
<例2不等式311<+<x 的解集为（ ）A.（0,2）B.)4,2()0,2( - C .)0,4(-D.)2,0()2,4( --分析：原不等式是形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311-<+<-<+<x x 或，这样就转化为解简单的不等式问题。
含绝对值的不等式解法典型例题
含绝对值的不等式解法·典型例题能力素质例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ]A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析 列出不等式．解 根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[ ]A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．点击思维例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1． 分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析 可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法． 解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三 利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩ 或②－＜∈2x 0x R⎧⎨⎩ 由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x ++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得＜－－＞即∈．x 112 x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12学科渗透例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
高考数学 百大经典例题——绝对值不等式
典型例题一绝对值不等式例1 解不等式2321-->+x x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴23=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x∴2>x 与条件矛盾，无解．（2）当231≤<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤<x ． （3）当23>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6<x ，故623<<x ． 综上，原不等式的解为{}60<<x x ．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．典型例题二例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间当3<x 时，原不等式变为27,)3()4(a x a x x -><-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<a x ，有解的条件为427>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．典型例题三例3 已知),0(,20,2M y ab y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=-ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=aa M Mb y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．典型例题四例4 求证 b a a b a -≥-22分析：使用分析法证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2b ，即只需证明 ba b a b b a -≥-22222，即 ba b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1<ba 时， 0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：b a b a a b a a b a ⋅-=-≥-2222 （1）如果1≥ba ，则0≤-b a ，原不等式显然成立． （2）如果1<a b ，则b a b ->-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．典型例题五例5 求证b ba ab a ba +++≤+++111．分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．证明：设xx x x x x f +-=+-+=+=1111111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分别在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0， ∴)()(b a f b a f +≤+ 即b a ba b a ba +++≤+++11b ba ab a bb a a+++≤+++++=1111∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ， ∴b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111bb a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六例6 关于实数x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围．分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．解：解不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x ， 2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， ∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当31>a 时（即213>+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B ． 当31≤a 时（即213≤+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31>a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当31≤a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≥+≥;12,1322a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．所以a 的取值范围是{}311≤≤-=∈a a R a 或．说明：在求满足条件B A ⊆的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．典型例题七例6 已知数列通项公式nn na a a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++= 对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：nn m a a 21<-． 分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决．证明：∵n m >∴m n n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ mn n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(2121212121--=+++≤++m n n)12110(21)211(21<-<<-=--nm n n m n ． 说明：m n n 21212121+++++ 是以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误． 正余弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．典型例题八例8 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．典型例题九例9 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是（ ）． A ．{}20<<x x B ．{}5.20<<x xC ．{}60<<x xD ．{}30<<x x 分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由x x x x +->+-2233，知033>+-xx ，∴33<<-x ，又0>x ，∴30<<x ，解原不等式组实为解不等式x x x x +->+-2233（30<<x ）． 解法一：不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(x x x x -+>+-．∴2222)6()6(-+>--x x x x ，即0)66)(66(2222>+-----++--x x x x x x x x ， ∴0)6(2>-x x ，又30<<x ．∴⎩⎨⎧<<<-30062x x ∴60<<x ．选C ．解法二：∵0>x ，∴可分成两种情况讨论：(1)当20≤<x 时，不等式组化为x x x x +->+-2233（20≤<x ）． 解得20≤<x ．(2)当2>x 时，不等式组可化为xx x x +->+-2233（2>x ）， 解得62≤<x ．综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60<<x ，选C ．说明：本题是在0>x 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．典型例题十例10 设二次函数c bx ax x f ++=2)((0>a ，且0≠b )，已知a b ≤，1)0(≤f ，1)1(≤-f ，1)1(≤f ，当1≤x 时，证明45)(≤x f ． 分析：从0>a 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1≤x 且1)1(≤-f ，1)1(≤f 知，要求证的是45)(≤x f ，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．证明：∵)()(2c b a c b a b +--++=c b a c b a +-+++≤11)1()1(+≤-+=f f2=， ∴1≤b ． 又∵a b ≤，∴1≤ab ． ∴1212<≤-a b ． 又1)0(≤=f c ，ab c a b ac a b f 444)2(22-=-=-， ∴ab c a b c a b f 44)2(22+≤-=- 451141141=⋅⋅+≤⋅⋅+=b a b c ． 而)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且1≤x ，11≤≤-x ， ∴)(x f 的最大值应在1=x ，1-=x 或a b x 2-=处取得． ∵1)1(≤f ，1)1(≤-f ，45)2(≤-a b f ， ∴45)(≤x f ．说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1 x 范围内的最大值．。
含绝对值的不等式例题
含绝对值的不等式例题《含绝对值的不等式例题》嗨，同学们！今天咱们就来好好唠唠含绝对值的不等式。
这绝对值啊，就像一个神秘的魔法符号，一旦不等式里有了它，就变得有点复杂又超级有趣呢。
先来看个简单的例题哈。
比如说|x| < 3。
这个式子啥意思呢？就好比有个小调皮x，不管它是正数还是负数，它离0的距离都得小于3。
那正数的时候呢，x肯定得小于3啦。
那负数的时候呢？咱们可以这么想，如果x是负数，那它的绝对值就是它的相反数，所以-x < 3，两边同时乘以-1，可别忘了，乘以-1的时候不等号要变方向哦，那就变成x > - 3。
这么一综合，这个不等式的解就是-3 < x < 3啦。
就像x被困在一个-3和3组成的小笼子里，只能在这个范围内活动呢。
再看个稍微难一点的，|2x - 1| > 5。
哎呀，这个看起来有点头疼呢。
咱们这么想哈，这个2x - 1这个小式子，它离0的距离要大于5。
那要是2x - 1是正数的时候，2x - 1 > 5。
这就像一个小运动员要跑过5这个界限呢。
那咱们来解这个小方程，2x > 6，x > 3。
要是2x - 1是负数的时候呢，-(2x - 1) > 5。
这就好比这个小式子要反着跑，而且要跑过5这个界限。
那-2x + 1 > 5，-2x > 4，两边同时除以-2，不等号变方向，x < -2。
你看，这个不等式的解就是x > 3或者x < -2，就像这个2x - 1要么跑到3的右边，要么跑到-2的左边，不能在中间晃悠。
我还记得有一次，我和同桌一起做含绝对值的不等式作业。
我看到|3x + 2| ≤ 4这个式子，就有点懵。
我就对同桌说：“哎呀，这可咋整啊？”同桌就特别自信地说：“你看啊，这个3x + 2离0的距离要不超过4呢。
要是3x + 2是正数，3x + 2 ≤ 4，解这个式子，3x ≤ 2，x ≤ 2/3。
绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式是初中数学中的重要知识点，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们来看一个绝对值不等式的解法例题。
例题：求解不等式 |2x-3|<5
解法：首先，我们可以将不等式拆分成两个部分：
2x-3<5 以及 2x-3>-5
解得：
2x<8 以及 2x>-2
x<4 以及 x>-1
因此，不等式的解集为：-1<x<4。
解释：当|2x-3|<5时，2x-3的绝对值小于5，即-5<2x-3<5。
将其拆分成两个不等式，即2x-3<5和2x-3>-5。
解出这两个不等式，得到x<4和x>-1。
因此，不等式的解集为-1<x<4。
总结：解绝对值不等式的关键是将其拆分成两个部分，然后分别解出
每个部分的不等式，最后将其合并得到不等式的解集。
在解题过程中，需要注意绝对值的性质，即|a|<b等价于-b<a<b。
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含绝对值的不等式解法·典型例题
能力素质
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是
[ ]
A B R
C {x|x }
D {83
}
．．．≠．∅8
3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8
3
答 选C ．
例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ]
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－5
分析 列出不等式．
解 根据题意得2＜|x|≤5．
从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ．
例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．
解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7
≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为
－≤＜－或＜≤．
3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538
3
538
3
例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．
分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为
2＜|2x －6|＜5
即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩
解之得＜＜或＜＜．4x x 21121
2
因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．
说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么
[ ]
A ．|a －b|＜|a|＋|b|
B ．|a ＋b|＞|a －b|
C ．|a ＋b|＜|a －b|
D ．|a －b|＜||a|＋|b||
分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．
例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为
[ ]
A ．a ＝1，b ＝3
B ．a ＝－1，b ＝3
C ．a ＝－1，b ＝－3
D a b ．＝，＝123
2
分析 解不等式后比较区间的端点．
解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．
a b 1a b 2
a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨
⎩123
2 答 选D ．
说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论．
解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11
2
式的解集为；∅
若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1
2
x ＜m ．
综上所述得：当≤时原不等式解集为；
当＞时，原不等式的解集为
m m 1
2
1
2
{x|1－m ＜x ＜m}．
说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．
点击思维
例解不等式
－＋≥．8 321
2
||||x x
分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直
接去分母．
解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得
|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343
说明：分式不等式常常可以先判定一下
分子或者分母的符号，使过程简便．
例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1． 分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．
解 事实上原不等式可化为
6－|2x ＋1|＞1
①
或 6－|2x ＋1|＜－1
②
由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；
由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．
从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．
例10 已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．
分析 可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法． 解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，
∴a ＞5．
当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．
当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．
综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．
解法二 |x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．
解法三 利用|m|＋|n|＞|m ±n|得
|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．
说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．
分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：
①－≥＋＞－或＋＜－2x 0
x 12x x 1x 2⎧⎨
⎩ 或②－＜∈2x 0
x R
⎧⎨
⎩ 由①得≤＞或＜－x 2x 121
2⎧⎨⎪
⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 2121
2⎧⎨⎪
⎩
⎪ 由②得x ＞2．
综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212
分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．
解法二 因为
|x 1| x 1x 1
x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩
原不等式等价于：
①≥＞或②＜＞x x x x x x ++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩
101210
12
由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪
⎩
⎪1
1
212 x
由②得＜－－＞即∈．x 1
12 x ⎧⎨⎩∅
所以不等式的解集为＞．{x|x }1
2
学科渗透
例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．
分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分
区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|03
2
所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．3
2
5x
解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 303
2
－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；
当－＜≤时，同理不等式化为3
2
x 5
－(x －5)－(2x ＋3)＜1，
解之得＞，所以＜≤；x x 5131
3
当x ＞5时，原不等式可化为
x －5－(2x ＋3)＜1，
解之得x ＞－9，所以x ＞5．
综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}1
3
说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．
分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝
对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22
之，则更显得流畅，简捷．
解 原不等式同解于
(2x －1)2＞(2x －3)2，
即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，
即8x ＞8，得x ＞1．
所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．
说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。