2019-2020年高考数学一轮复习第八章解析几何第52讲抛物线学案
高三数学第一轮复习教案第52课时—抛物线(学案)
高三数学第一轮复习讲义（52）抛物线一．复习目标：掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．二．知识要点：1．定义： ．2．标准方程： ．3．几何性质： ．4．焦点弦长：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ， 则||AF = ， ||AB = ，12x x = ，12y y = ．5．抛物线的焦点为F ，AB 是过焦点F 且倾斜角为α的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x = ；12y y = ；||AB = ．三．课前预习：1．已知点1(,0)4F -，直线l ：41=x ，点B 是直线l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 所在曲线是 （ ）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线2．设抛物线22y x =的焦点为F ，以9(,0)2P 为圆心，PF 长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于,M N ，则||||MF NF +的值为 （ ）()A 8 ()B 18 ()C 22 ()D 43．过点(3,1)--的抛物线的标准方程是 ． 焦点在10x y --=上的抛物线的标准方程是 ．4．抛物线28y x =的焦点为F ，(4,2)A -为一定点，在抛物线上找一点M ，当||||MA MF +为最小时，则M 点的坐标 ，当||||||MA MF -为最大时，则M 点的坐标 ．四．例题分析：例1．抛物线以y 轴为准线，且过点(,)(0)M a b a ≠，证明：不论M 点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．例2．已知抛物线22(0)y px p =>，过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同两点,A B ，||2AB p ≤，（1）求a 取值范围；（2）若线段AB 垂直平分线交x 轴于点N ，求NA B ∆面积的最大值．例3． 已知抛物线24x y =与圆2232x y +=相交于,A B 两点，圆与y 轴正半轴交于C 点，直线l 是圆的切线，交抛物线与,M N ，并且切点在ACB 上．（1）求,,A B C 三点的坐标．（2）当,M N 两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线l 的方程．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．方程22sin cos 1x y αα+=表示的曲线不可能是 （ ）()A 直线 ()B 抛物线 ()C 圆 ()D 双曲线2．以抛物线22(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是 （ ）()A 相交 ()B 相切 ()C 相离 ()D 以上三种均有可能3．抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径长 ．4．过定点)2,0(P ，作直线l 与曲线x y 42=有且仅有1个公共点，则这样的直线l 共 有 条．5．设抛物线x y 42=的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐标为),(),,(2211y x B y x A ，若621=+x x ，那么=||AB ．6．抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则弦AB 的中点M 到y 轴的最小距离为 ．7．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，C 上动点P 到直线01243:=-+y x l 的最短距离为1，求抛物线C 的方程．8．,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，且OA OB ⊥，（1）求,A B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线AB 过定点；（3）求弦AB 中点P 的轨迹方程；（4）求AOB ∆面积的最小值；（5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。
2019-2020学年高考数学一轮复习-抛物线导学案
2019-2020学年高考数学一轮复习 抛物线导学案 一：学习目标
了解抛物线的定义，标准方程及简单几何性质
二：课前预习
1、抛物线的定义 。
2、抛物线的标准方程
焦点在x 正半轴上： ；焦点在y 正半轴上： ； 焦点在x 负半轴上： ；焦点在y 负半轴上： ；
3、抛物线2
2(0)y px p =>的几何性质：
范围（有界性）： ；对称性： ；离心率 准线方程： ；通径长： 。
4、写出各抛物线的标准方程：
（1）焦点为（0，-5），则 ；（2）过点（-2，-4），则 ；
（3）16x 2-9y 2=144的左准线为准线，则 ；
（4）焦点到准线的距离为5，则 。
5、已知抛物线方程为y 2=8x ，则它的焦点坐标为 ，准线方程
为 ，若该抛物线上一点到y 轴的距离为5，则它到抛物线焦点距离为 ；若抛物线上的点到焦点的距离为4，则此点的坐标为_______ 三：课堂研讨
例1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M((m,-3)到焦点的距离为5，求m 的值，抛物线方程与准线方程。
例2、 已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A （3，
2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标.
备 注
例3、已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A （m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.。
苏教版版高考数学一轮复习第八章平面解析几何抛物线教学案
１．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内；（２）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（３）定点不在定直线上．２．抛物线的标准方程与几何性质错误!设AB是过抛物线y２＝２px（p＞0）焦点F的弦，若A（x１，y１），B（x２，y２），则（１）x１x２＝错误!，y１y２＝—p２.（２）弦长|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（α为弦AB的倾斜角）．（３）以弦AB为直径的圆与准线相切．（４）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于２p，通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（）（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）（３）方程y＝ax２（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是错误!，准线方程是x＝—错误!. （）（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）×二、教材改编１．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|等于（）Ａ．9 Ｂ．8 Ｃ．7 Ｄ．6B[抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线方程为x＝—１．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x１＋１＋x２＋１＝x１＋x２＋２＝8．]２．若抛物线y＝４x２上的一点M到焦点的距离为１，则点M的纵坐标是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝—错误!，设M（x，y），则y＋错误!＝１，∴y＝错误!.]３．设抛物线y２＝8x上一点P到y轴的距离是４，则点P到该抛物线焦点的距离是（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１２B[如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝—２，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝２．由于点P到y轴的距离为４，则点P到准线l的距离|PB|＝４＋２＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6．故选Ｂ．]４．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（—４，—２）的抛物线的标准方程是．y２＝—x或x２＝—8y[若焦点在y轴上，设抛物线方程为x２＝my，由题意可知１6＝—２m，∴m ＝—8，即x２＝—8y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y２＝nx，由题意，得４＝—４n，∴n＝—１，∴y ２＝—x.综上知，y２＝—x或x２＝—8y.]考点１抛物线的定义及应用（１）应用抛物线定义的两个关键点１由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．２注意灵活运用抛物线上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋错误!或|PF|＝|y0|＋错误!.（２）解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”．（１）已知F是抛物线y２＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点|AF|＋|BF|＝３，则线段AB的中点到准线的距离为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．３（２）设P是抛物线y２＝４x上的一个动点，若B（３,２），则|PB|＋|PF|的最小值为．（１）B（２）４[（１）∵F是抛物线y２＝x的焦点，∴F错误!，准线方程x＝—错误!，设A（x１，y１），B（x２，y２），根据抛物线的定义可得|AF|＝x１＋错误!，|BF|＝x２＋错误!，∴|AF|＋|BF|＝x１＋错误!＋x２＋错误!＝３．解得x１＋x２＝错误!，∴线段AB的中点横坐标为错误!，∴线段AB的中点到准线的距离为错误!＋错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P１，则|P１Q|＝|P１F|.则有|PB|＋|PF|≥|P １B|＋|P１Q|＝|BQ|＝４，即|PB|＋|PF|的最小值为４．][母题探究]１．若将例（２）中的B点坐标改为（３,４），试求|PB|＋|PF|的最小值．[解] 由题意可知点B（３,４）在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F（１,0），∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝错误!＝２错误!，即|PB|＋|PF|的最小值为２错误!.２．若将例（２）中的条件改为：已知抛物线方程为y２＝４x，直线l的方程为x—y＋５＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d１，到直线l的距离为d２，求d１＋d２的最小值．[解] 由题意知，抛物线的焦点为F（１,0）．点P到y轴的距离d１＝|PF|—１，所以d１＋d２＝d２＋|PF|—１．易知d２＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d２＋|PF|的最小值为错误!＝３错误!，所以d１＋d２的最小值为３错误!—１．与抛物线有关的最值问题的转换方法（１）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（２）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．（２0１7· 全国卷Ⅱ）已知F是抛物线C：y２＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝ .6 [如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F（２,0），|FO|＝|AO|＝２．∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝错误!|FO|＝１．又|BP|＝|AO|＝２，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝３．由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝３，故|FN|＝２|MF|＝6．]考点２抛物线的标准方程及其性质求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.（１）（２0１9·潍坊模拟）抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝４|OF|，△MFO的面积为４错误!，则抛物线的方程为（）Ａ．y２＝6xＢ．y２＝8xＣ．y２＝１6xＤ．y２＝错误!（２）[一题多解]在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y２＝４x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为１２0°，那么|PF|＝ .（１）B（２）４[（１）设M（x，y），因为|OF|＝错误!，|MF|＝４|OF|，所以|MF|＝２p，由抛物线定义知x＋错误!＝２p，所以x＝错误!p，所以y＝±错误!p. 又△MFO的面积为４错误!，所以错误!×错误!×错误!p＝４错误!，解得p＝４（p＝—４舍去）．所以抛物线的方程为y２＝8x.（２）法一：抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线方程为x＝—１．因为直线AF的倾斜角为１２0°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝错误!，所以y A＝２错误!.因为PA⊥l，所以y P＝y A＝２错误!.将其代入y２＝４x，得x P＝３，所以|PF|＝|PA|＝３—（—１）＝４．法二：抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线方程为x＝—１．因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为１２0°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝错误!＝４．]在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．１．（２0１6·全国卷Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，则C的焦点到准线的距离为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8B[设抛物线的方程为y２＝２px（p＞0），圆的方程为x２＋y２＝r２.∵|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，抛物线的准线方程为x＝—错误!，∴不妨设A错误!，D错误!.∵点A错误!，D错误!在圆x２＋y２＝r２上，∴错误!∴错误!＋8＝错误!＋５，∴p＝４（负值舍去）．∴C的焦点到准线的距离为４．]２．如图所示，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝４，则抛物线的方程为（）Ａ．y２＝8xＢ．y２＝４xＣ．y２＝２xＤ．y２＝xB[如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝３0° ，则在Rt△ACE中，２|AE|＝|AC|，又|AF|＝４，∴|AC|＝４＋３a，|AE|＝４，∴４＋３a＝8，从而得a ＝错误!，∵AE∥FG，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，p＝２．∴抛物线的方程为y２＝４x.故选Ｂ．]考点３直线与抛物线的位置关系求解抛物线综合问题的方法（１）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．（２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x１＋x２＋p（焦点在x轴正半轴），若不过焦点，则必须用弦长公式．提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．（１）过点（0,１）作直线，使它与抛物线y２＝４x仅有一个公共点，这样的直线有条．（２）（２0１9·全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y２＝３x的焦点为F，斜率为错误!的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.１若|AF|＋|BF|＝４，求l的方程；２若错误!＝３错误!，求|AB|.（１）３[（１）结合图形分析可知（图略），满足题意的直线共有３条：直线x＝0，过点（0,１）且平行于x轴的直线以及过点（0,１）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）．]（２）[解] 设直线l：y＝错误!x＋t，A错误!，B错误!.１由题设得F错误!，故|AF|＋|BF|＝x１＋x２＋错误!，由题设可得x１＋x２＝错误!.由错误!，可得9x２＋１２（t—１）x＋４t２＝0，则x１＋x２＝—错误!.从而由—错误!＝错误!，得t＝—错误!.所以l的方程为y＝错误!x—错误!.２由错误!＝３错误!得y１＝—３y２.由错误!，得y２—２y＋２t＝0．所以y１＋y２＝２．从而—３y２＋y２＝２，故y２＝—１，y１＝３．代入C的方程得x１＝３，x２＝错误!.故|AB|＝错误!.解答本例（２）第２问的关键是从条件“错误!＝３错误!”中发现变量间的关系“y１＝—３y２”，从而为方程组的消元提供明确的方向．[教师备选例题]１．（２0１8·全国卷Ⅱ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C 交于A，B两点，|AB|＝8．（１）求l的方程；（２）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．[解]（１）由题意得F（１,0），l的方程为y＝k（x—１）（k＞0）．设A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0．Δ＝１6k２＋１6＞0，故x１＋x２＝错误!.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x１＋１）＋（x２＋１）＝错误!.由题设知错误!＝8，解得k＝—１（舍去）或k＝１．因此l的方程为y＝x—１．（２）由（１）得AB的中点坐标为（３,２），所以AB的垂直平分线方程为y—２＝—（x—３），即y＝—x＋５．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则错误!解得错误!或错误!因此所求圆的方程为（x—３）２＋（y—２）２＝１6或（x—１１）２＋（y＋6）２＝１４４．２．（２0１9·金华模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p>0）在第一象限内的点P（２，t）到焦点F 的距离为错误!.（１）若N错误!，过点N，P的直线l１与抛物线相交于另一点Q，求错误!的值；（２）若直线l２与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：（x—a）２＋y２＝１相交于D，E两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存存，请说明由．[解]（１）∵点P（２，t）到焦点F的距离为错误!，∴２＋错误!＝错误!，解得p＝１，故抛物线C的方程为y２＝２x，P（２,２），∴l１的方程为y＝错误!x＋错误!，联立得错误!解得x Q＝错误!，又|QF|＝x Q＋错误!＝错误!，|PF|＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!.（２）设直线l２的方程为x＝ny＋m（m≠0），代入抛物线方程可得y２—２ny—２m＝0，设A（x，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝２n，y１y２＝—２m，１１由OA⊥OB得，（ny１＋m）（ny２＋m）＋y１y２＝0，整理得（n２＋１）y１y２＋nm（y１＋y２）＋m２＝0，２将１代入２解得m＝２或m＝0（舍去），满足Δ＝４n２＋8m>0，∴直线l２：x＝ny＋２，∵圆心M（a,0）到直线l２的距离d＝错误!，∴|DE|＝２错误!，显然当a＝２时，|DE|＝２，∴存在实数a＝２，使得|DE|为定值．１．[一题多解]过抛物线y２＝４x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝２|BF|，则|AB|等于（）Ａ．４Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．6B[法一：（直接法）易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k（x—１）．由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，得x A·x B＝１，１因为|AF|＝２|BF|，由抛物线的定义得x A＋１＝２（x B＋１），即x A＝２x B＋１，２由１２解得x A＝２，x B＝错误!，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x A＋x B＋p＝错误!.法二：（应用性质）由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝３m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝２m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝错误!＝错误!，所以tan θ＝２错误!.则sin２θ＝8cos２θ，∴sin２θ＝错误!.又y２＝４x，知２p＝４，故利用弦长公式|AB|＝错误!＝错误!.法三：（应用性质）因为|AF|＝２|BF|，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝１，解得|BF|＝错误!，|AF|＝３，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝错误!.]２．（２0１9·临沂模拟）已知点A（m,４）（m＞0）在抛物线x２＝４y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l１和l２，且l１，l２与抛物线的另一个交点分别为B，C.（１）求证：直线BC的斜率为定值；（２）若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．[解]（１）证明：∵点A（m,４）在抛物线上，∴１6＝m２，∴m＝±４，又m＞0，∴m＝４．设B（x１，y１），C（x２，y２），则k AB＋k AC＝错误!＋错误!＝错误!＝0，∴x１＋x２＝—8．∴k BC＝错误!＝错误!＝错误!＝—２，∴直线BC的斜率为定值—２．（２）设直线BC的方程为y＝—２x＋b，P（x３，y３），Q（x４，y４）关于直线BC对称，设PQ的中点为M（x0，y0），则k PQ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴x0＝１．∴M（１，—２＋b）．又点M在抛物线内部，∴—２＋b＞错误!，即b＞错误!.由错误!得x２＋8x—４b＝0，∴x３＋x４＝—8，x３x４＝—４b.∴|BC|＝错误!|x３—x４|＝错误!·错误!＝错误!×错误!.又b＞错误!，∴|BC|＞１0错误!.∴|BC|的取值范围为（１0错误!，＋∞）．。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.7抛物线教学案苏教版
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.7抛物线教学案苏教版[最新考纲] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程与几何性质[常用结论]设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p ，通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6B [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.]2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12B [如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.]4．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是 ．y 2＝－x 或x 2＝－8y [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1，∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .]考点1 抛物线的定义及应用 (1)应用抛物线定义的两个关键点①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．②注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”．(1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到准线的距离为( )A.52B.32C ．1D ．3 (2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为 ．(1)B (2)4 [(1)∵F 是抛物线y 2＝x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程x ＝－14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可得 |AF |＝x 1＋14，|BF |＝x 2＋14，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋14＋x 2＋14＝3.解得x 1＋x 2＝52，∴线段AB 的中点横坐标为54，∴线段AB 的中点到准线的距离为54＋14＝32.故选B.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.][母题探究]1．若将例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值． [解] 由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝25，即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.2．若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．[解] 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)． 点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1， 所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离， 故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．(2017· 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝ .6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]考点2 抛物线的标准方程及其性质求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)(2019·潍坊模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2(2)[一题多解]在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝ .(1)B (2)4 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－1cos∠AFO＝4.]在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]2.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝xB [如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30° ，则在Rt△ACE 中，2|AE |＝|AC |，又|AF |＝4，∴|AC |＝4＋3a ，|AE |＝4，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .故选B.] 考点3 直线与抛物线的位置关系 求解抛物线综合问题的方法。
专题8.8 抛物线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.65.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.126.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.【考点聚焦】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2 B.135C.145D.3【规律方法】 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x【规律方法】 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|PA |，则P 的横坐标为( ) A.1 B.32C.2D.52考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.【规律方法】 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【反思与感悟】1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p .【易错防范】1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 【核心素养提升】【数学抽象】——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【一般解法】【应用结论】【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94【一般解法】【应用结论】【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163D.203【一般解法】【应用结论】【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1C.14D.182.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( ) A.32 B.2C.52D.33.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π44.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( )A.x 2＝8yB.x 2＝4yC.y 2＝8xD.y 2＝4x5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________.8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π312.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32 B.33 C.12 D.3413.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝3 2.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM||MN|＝55，则p的值等于()1A.4 B.2 C.4 D.8。
专题8.8 抛物线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.65.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.126.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.【考点聚焦】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2 B.135 C.145D.3【规律方法】 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x【规律方法】 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|PA |，则P 的横坐标为( ) A.1 B.32C.2D.52考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程.【规律方法】 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【反思与感悟】1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p .【易错防范】1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 【核心素养提升】【数学抽象】——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【一般解法】【应用结论】【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94【一般解法】【应用结论】【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163 D.203【一般解法】【应用结论】【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1C.14D.182.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( ) A.32 B.2C.52D.33.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π44.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A.x 2＝8y B.x 2＝4y C.y 2＝8xD.y 2＝4x5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为________.8.已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________.三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π312.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32 B.33 C.12 D.3413.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《抛物线》课件ppt
(2)过点(3，－4)；
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把 点 (3 ， － 4) 的 坐 标 分 别 代 入 y2 ＝ 2px 和 x2 ＝ － 2p1y 中 ， 得 ( － 4)2 ＝ 2p·3,32＝－2p1·(－4)， 则 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
准线交于点 D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4 √C.|BD|＝2|BF|
√B.D→F＝F→A
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点 A，B 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为点 E， M，连接 EF.设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P，则|PF|＝p.因为直线 l 的 斜率为 3，所以其倾斜角为 60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确；
__－__p2_，__0_
__0_，__p2__
_0_，__－__p2__
__x_＝__－__p2__
__x_＝__p2__
__x轴___
___y_＝__－__p2__
__y_＝__p2__
__y_轴__
__(0_,_0_)_
e＝_1__
常用结论
1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2， 也称为抛物线的焦半径.
2019-2020年高考数学一轮复习第八章解析几何第52讲抛物线课件理
向下
PF＝ ___x_0_＋__p2___
PF＝ __－__x_0＋__p2___
PF＝ _y_0_＋__p2____
PF＝ __－__y_0＋__p2___
3．必会结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.
8ax与双曲线的一个交点，若PF1＋PF2＝12，则抛物线的准线方程为__x__＝__－___2_.
解析：将双曲线方程化为标准方程得
x2 a2
－
y2 3a2
＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联
立 ax22－3ya22＝1， y2＝8ax
⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由
PF1＋PF2＝12， PF1－PF2＝2a
(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，A2B＝ 33p，所以B 33p，－p2.又因为
p2 p2
点B在双曲线上，故
3 3
－
4 3
＝1，解得p＝6
.
•三 直线与抛物线的位置关系及弦长 问题
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用 到根与系数的关系；
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵y21－y22＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4xy11－－xy22＝4.
∴
→ PM
→ ·PN
＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－
高考数学一轮复习第八章解析几何第52讲抛物线课件20180507297
【例 1】 (1)已知抛物线 x2＝4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴
的最短距离为( D )
A．34
B．32
C．1
D．2
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的
直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE| 的最小值为( A )
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程
y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点
O____(_0_,0_)_____
标准 方程 对称轴 焦点 离心率
y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
解析 (1)错误．当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直 线，而非抛物线；
(2)错误．方程 y＝ax2(a≠0)可化为 x2＝1ay 是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐 标是0，41a，准线方程是 y＝－41a；
(3)错误．抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．
2．抛物线 y＝－2x2 的准线方程是( D )
A．x＝12
B．x＝18
C．y＝12
D．y＝18
解析 抛物线方程为 x2＝－12y，∴p＝14，准线方程为 y＝18.
3．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，
则抛物线的方程为( A )
A．y2＝8x
19版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线学案文
8.7 抛物线[知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. [诊断自测] 1．概念思辨(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)³ (2)³ (3)³ (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 64A 组T 2)抛物线y ＝1ax 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 4B.⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0 答案 C解析 把方程写成x 2＝ay ，若a >0，则p ＝a2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4；若a <0，则p ＝－a2，开口向下，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4.故选C.(2)(选修A1－1P 61例4)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.3．小题热身(1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3答案 B解析 由抛物线y 2＝4x ，有2p ＝4⇒p ＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3³1－0|(3)2＋(－1)2＝32.故选B.(2)(2018²正定一模)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________.答案 1＋ 2解析 |OD |＝a 2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ，又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ³a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ，∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2²ba－1＝0，又b a>1，∴b a＝1＋ 2.题型1 抛物线的定义及应用典例(2016²浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．抛物线定义法．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.[条件探究1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12³1³(22＋2)＝322.[条件探究2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求M 点坐标及此时的最小值．解 如图，点A 在抛物线y 2＝4x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |，其中|MH |为M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ， 则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝4， 当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立． 此时M 1点的坐标为(1,2)． 方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见典例．2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见条件探究2.3．看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．冲关针对训练(2017²湖北二模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析 抛物线y 2＝4x 焦点坐标为F (1,0)，准线方程x ＝－1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3) ∵FA →＋FB →＋FC →＝0， ∴点F 是△ABC 重心，则x 1＋x 2＋x 33＝1，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.由抛物线的定义可知：|FA |＋|FB |＋|FC |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6， ∴|FA |＋|FB |＋|FC |＝6，故选B. 题型2 抛物线的标准方程及性质典例1设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x本题采用待定系数法，列方程求解．答案 C解析 以MF 为直径的圆过点(0,2)，∴点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋p2＝5可得M ⎝⎛⎭⎪⎫5－p 2， 2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，以MF 为直径的圆，其圆心N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y 轴切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.典例2 (2016²天津高考)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案6解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，不妨设A 在第一象限，则A (p ，2p )．易证△EFC ∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S △AFC ＝13³32p ³2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6.方法技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧1．关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．见典例1.2．技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．见典例2.冲关针对训练1.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 C解析 设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线l 的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C. 2．(2018²河南洛阳统考)已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析 将双曲线方程化为标准方程得x 2a －y 23a ＝1，可得F 2(2a,0)，又易知其也是抛物线的焦点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.题型3 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题典例 (2016²全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．本题采用方程组法．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ， 即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．角度2 与抛物线弦中点有关的问题典例(2018²郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4³m ³(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1²x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →²QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ²⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形． 方法技巧解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．见角度2典例．冲关针对训练已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．题型4 抛物线中的最值问题典例1(2017²成都四模)如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2＋y 2－4x －12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]利用抛物线定义，圆的半径及AB 长表示出△FAB的周长为x B ＋6，再确定x B 的范围即可．答案 B解析 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)， 由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B . 由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2， ∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12)．故选B.典例2抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________ .平移直线法．答案 43解析 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.方法技巧与抛物线有关的最值问题，一般通过数形结合思想或函数方程思想来解决．注意“定义转化法”(典例1)，“平移直线法”(典例2)．冲关针对训练(2017²浙江模拟)已知F 为抛物线4y 2＝x 的焦点，点A ，B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA →²OB →＝15(O 为原点)，则△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值为( )A.18B.52C.54D.652答案 D解析 设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x ，x ＝ty ＋m ，可得4y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1²y 2＝－m4，∵OA →²OB →＝15， ∴x 1²x 2＋y 1²y 2＝15，从而16(y 1²y 2)2＋y 1²y 2－15＝0. ∴y 1y 2＝－1或y 1y 2＝1516.∵点A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1²y 2＝－1，故m ＝4.不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎪⎫116，0，∴S △ABO ＋S △AFO ＝12³4³(y 1－y 2)＋12³116y 1＝6532y 1＋2y 1≥265y 132³2y 1＝652， 当且仅当6532y 1＝2y 1，即y 1＝86565时，取“＝”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是652， 故选D.1.(2016²全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 2．(2015²浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12²|CB |²|CF |²sin∠BCF12²|CA |²|CF |²sin∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.3．(2017²全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.4．(2018²河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M .根据题意可知圆心M 在抛物线上， 又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，∴p4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017²皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．(2014²全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3答案 C解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.故选C.3．(2018²广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017²江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝2x 0，S△OAF＝12²p2²y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ³p 2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( )A.34B.32C. 3 D ．3答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)， 令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017²抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2 C.52 D.522答案 D解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.7．(2018²北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233D.433答案 D解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p 4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫33p －2⇒p ＝433，故选D.8．(2018²河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →²MN →＜0，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)答案 A解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →²MN →＝－y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，所以有0＜x 202＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.9．(2017²山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x轴正方向上的投影为( )A ．2－55 B ．25－1 C ．1－2121D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x轴正方向上的投影为(25－1)²cos∠PMO ＝2－55.故选A. 10．(2018²湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝3x C ．y 2＝4x D ．y 2＝x答案 A解析 由双曲线方程x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，∴过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017²河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．答案 10解析 由抛物线的定义可知，9＋p2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y 21＋y 2＝22＋6＝10.12．(2017²湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.13．(2017²河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017²河北衡水中学调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，则p ＝________.答案 1解析 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，不妨设点A 在x轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ， 又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35，∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |²sin∠A ′AB ＝p 2³45＝25p .∴S △AOB ＝12³258p ³25p ＝5p 28＝58，∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017²泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ³8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12²|FM |²|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.16．(2016²浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2t t －1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t(x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得 2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1(t ≠0，t ≠±1)． 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．17．(2017²北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)³14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．18．(2018²湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1. (1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若PQ →²RS →＝0，求|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程；(3)是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，∴x A ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2＝1＋2k 2，y A ＝k (x A －1)＝2k.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k，∵PQ →²RS →＝0， ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的k 换成－1k，得B (1＋2k 2，－2k )， ∴|AB →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2－(1＋2k 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2 ＝4k4＋4k 4＋4k2＋4k 2≥4(当且仅当k ＝±1 时取“＝”)，所以，|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵AF →＝λTB →－FT →⇒AF →＋FT →＝λTB →⇒AT →＝λTB →， 即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →， 即探求直线AB 是否过定点． 由(2)知，直线AB 的方程为y ＋2k ＝－2k －2k2k 2＋1－⎝⎛⎭⎪⎫2k2＋1(x －2k 2－1)，整理得(1－k 2)y ＝k (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)， 使得AF →＝λTB →－FT →.。
高考数学一轮复习第八章解析几何第52讲抛物线实战演练理
2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第52讲 抛物线实战演练 理1．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( B )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：不妨设C ：y 2＝2px (p ＞0)，A (x 1,22)，则x 1＝222p ＝4p，由题 意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 2．(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( C ) A ．33 B ．23 C ．22 D ．1 解析：设P (x ，y )，∵|PM |＝2|MF |，∴|PM ||MF |＝2， 又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴⎩⎨⎧x M ＝x ＋2×p 21＋2＝x ＋p 3，y M ＝y 1＋2＝y 3， ∴k OM ＝y M x M ＝y x ＋p ，由题易知k OM 最大时y ＞0， ∴k OM ＝2px x ＋p ＝2p x ＋p x ≤2p 2p ＝22， 当且仅当x ＝p 时取等号．3．(2016·天津卷)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为 6.解析：由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，A (p ，2p )(不妨设A 在第一象限)．易证△EFC ∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S △AFC ＝13×32p ×2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6. 4．(2016·浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是9.解析：设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.。
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2019-2020年高考数学一轮复习第八章解析几何第52讲抛物线学案1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)__距离相等__的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__焦点__，直线l叫做抛物线的__准线__．2．抛物线的标准方程与几何性质抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p .1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )解析 (1)错误．当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线；(2)错误．方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay 是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ； (3)错误．抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形． 2．抛物线y ＝－2x 2的准线方程是( D ) A ．x ＝12B ．x ＝18C ．y ＝12D ．y ＝18解析 抛物线方程为x 2＝－12y ，∴p ＝14，准线方程为y ＝18.3．抛物线y 2＝24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( A )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x解析 准线方程为l ：x ＝－6a ，M 到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a ＝5，a ＝13，抛物线方程为y 2＝8x . 4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( D ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析 由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点、以直线x ＝－2为准线的抛物线．5．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__x ＝－54__.解析 线段OA 的中垂线方程为4x ＋2y －5＝0， 令y ＝0得x ＝54，∴焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，准线方程为x ＝－54.一 抛物线的定义及应用抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．【例1】 (1)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( D )A ．34 B ．32 C ．1D ．2(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( A )A ．16B ．14C ．12D ．10解析 (1)由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 垂足为点A 1，过点B 作BB 1⊥l 垂足为点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6， 所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3. 故点M 到x 轴的距离d ≥2.(2)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A ．二 抛物线的标准方程及其几何性质(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【例2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( C )A ．1B ．32 C ．2D ．3(2)抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__6__.解析 (1)因为双曲线的离心率e ＝c a＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－32p ，所以△AOB的面积为12×p2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.(2)在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2.又因为点B在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式||AB ＝x 1＋x 2＋p ；若不过焦点，则必须用弦长公式．【例3】 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且||MN ＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，点P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解析 (1)由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则该直线方程为y ＝x －p2，代入y 2＝2px (p ＞0)，得x 2－3px ＋p 24＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵||MN ＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0. ∵直线l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝16(1－b )＝0，解得b ＝1， ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.由(1)可知：x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，设P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))， PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2. ∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4. ∵y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4·x 1－x 2y 1－y 2＝4. ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝ 2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14.当且仅当m ＝2时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取最小值为－14.1．若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( C )A ．(0,2)B ．(0，－3)C ．(0,3)D ．(0,6)解析 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．2．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则||PA ＋||PQ 的最小值为( C )A ．7B ．8C ．9D ．10解析 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，||PF ＝||PM ＝||PQ ＋1.∴||PA ＋||PQ ＝||PA ＋||PM －1＝||PA ＋||PF －1≥||AF －1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则||PA ＋||PQ 的最小值为9.3．已知点F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，点P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若||PF 1＋||PF 2＝12，则抛物线的准线方程为__x ＝－2__.解析 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎨⎧||PF 1＋||PF 2＝12，||PF 1－||PF 2＝2a，得||PF 2＝6－a ，∴||PF 2＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.4．(2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解析 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点．易错点 对直线与抛物线的公共点认识不清错因分析：只考虑直线斜率k 存在的情况而忽略k 不存在以及直线l 平行于抛物线对称轴时的两种情形．【例1】 过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求直线l 的方程． 解析 当斜率k 存在且k ≠0时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，将其代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，则由Δ＝0解得k ＝13；当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝3，此时l 平行于对称轴，且与抛物线只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3；当k 不存在时，直线l 与抛物线也只有一个公共点，此时l 的方程为x ＝0.综上，过点(0,3)且与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点的直线l 的方程为y ＝13x ＋3；y ＝3；x ＝0.【跟踪训练1】 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过点M (p,0)作直线l .证明：l 与C 至少有一个交点．证明 (1)当直线与y 轴不垂直时，设l ：x ＝my ＋p ，联立C 与l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p ，则y 2－2pmy －2p 2＝0.Δ＝(2pm )2＋4·2p 2＝4p 2(m 2＋2)>0恒成立． 故此时C 与l 有2个交点．(2)当直线l 与y 轴垂直时，l ：x ＝0，C 与l 有一个交点(0,0)． 综上(1)，(2)知，C 与l 至少有一个交点．课时达标 第52讲[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查．一、选择题1．(2018·宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则p2－(－3)＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .故选B ．2．(2018·江西九江第一次统考)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |＝( C )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3解析 由题意知直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p .所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|MF |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C ．3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →＝( A )A ．5B ．－5C ．4D ．－4解析 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，由已知得直线l 过定点E (－1,0)，因为E ，A ，B 三点共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224＋1y 1， 即y 1y 24(y 1－y 2)＝y 1－y 2，因为y 1≠y 2，所以y 1y 2＝4，所以OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝5.4．(2018·吉林长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |＝( A )A ．13 B ．23 C ．34D ．43解析 设抛物线的准线为l ：x ＝－p2，|FB |＝m ，|FA |＝n ，过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ，由抛物线定义知|AC |＝|FA |＝n ，|BD |＝|FB |＝m ， 过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，则|AE |＝|CE |－|AC |＝|BD |－|AC |＝m －n ， |AB |＝|FA |＋|FB |＝n ＋m .在Rt △ABE 中，∠BAE ＝60°，cos 60°＝|AE ||AB |＝m －n m ＋n ＝12，即m ＝3n .故|AF ||BF |＝n m ＝m3m ＝13.5．已知点A (2,1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |最小，则点P 的坐标为( D )A ．(2,1)B ．(1,1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析 由抛物线定义知，|PF |等于P 到准线x ＝－1的距离，当PA 与准线垂直时|PA |＋|PF |最小，∴P 点的纵坐标为1，代入方程得x ＝14.6．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( D )A ．34 B ．32 C ．1D ．2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为6＝|AB |≤|AF |＋|BF |，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3， 故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D ． 二、填空题7．(2018·福建福州质检)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛物线的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是__1__.解析 由题意得四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形，|PP 1|＋|QQ 1|＝|PQ |＝2，|P 1Q 1|＝|PQ |sin 30°＝1，∴S ＝|PP 1|＋|QQ 1|2·|P 1Q 1|＝1.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽米．解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米．9．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝__6__.解析依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为点N在y轴上，M 为FN的中点，所以点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.三、解答题10．已知抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．解析(1)易知抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F(p,0)，依题意设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)，所以点W到直线l的距离为|－p－p|1＋(－m)2＝p，解得m＝±3，所以直线l的斜率为±33.(2)由(1)知直线l的方程为x＝±3y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝3 y＋p，代入y2＝4px中，得y2－43py－4p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝43p，y1y2＝－4p2，所以|AB|＝1＋(3)2·(43p)2＋4×4p2＝16p，因为△WAB的面积为8，所以12p×16p＝8，得p＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x .11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4. 因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0. y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.12．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线：C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1， 所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，即(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＝8516.。