高中数学人教A版【精品习题】选修1-1课时提升作业 八 1.4.3 含有一个量词的命题的否定
人教A版高中数学选修1-1习题精选(含答案)
习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则=________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则 =________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(八) 1.4.3 含有一个量词的命题的否定
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课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(15分钟 30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·安徽高考)命题“∀x∈R，|x|+x 2≥0”的否定是 ( )A.∀x∈R，|x|+x 2<0B.∀x∈R，|x|+x 2≤0C.∃x 0∈R，|x 0|+<0x 20D.∃x 0∈R，|x 0|+≥0x 20【解析】选C.命题“∀x∈R，|x|+x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R，|x 0|+<0”.x 202.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n∈N，n 2>2n ，则p 为 ( )A.∀n∈N，n 2>2nB.∃n∈N，n 2≤2nC.∀n∈N，n 2≤2nD.∃n∈N，n 2=2n 【解析】选 C.p ：∀n∈N，n 2≤2n .【补偿训练】命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则p 是 ( )A.有些三角形不是等腰三角形B.所有三角形是等边三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形【解析】选 C. p 是“所有三角形不是等腰三角形”.3.(2015·中山高二检测)已知命题p ：∀x∈R，2x 2+2x+<0，命题q ：∃x 0∈R，sinx 0-12cosx 0=，则下列判断中正确的是 ( )2A.p 是真命题 B.q 是假命题C.p 是假命题D. q 是假命题【解题指南】先判断p ，q 的真假，再得p ，q 真假，进而得结论.【解析】选D.因为2x 2+2x+=2≥0，12(x +12)2所以p 是假命题，p 为真命题.又sinx 0-cosx 0=sin ≤，故q 是真命题，q 为假命题.所以选D.2(x 0‒π4)2二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015·烟台高二检测)已知命题p ：∀x>2，x 3-8>0，那么p 是________.【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解析】命题p 为全称命题，其否定为特称命题，则p ：∃x 0>2，-8≤0.x 30答案：∃x 0>2，-8≤0x 305.(2015·资阳高二检测)已知命题p ：∃x 0∈R，+ax 0+a<0.若命题p 是假命题，则实数ax 20的取值范围是________.【解析】因为若命题p ：∃x 0∈R，+ax 0+a<0是假命题，则p 是真命题，说明x 20x 2+ax+a≥0恒成立，所以Δ=a 2-4a≤0，解得0≤a≤4.答案：【补偿训练】(2014·烟台高二检测)已知命题p ：任意x∈R，ax 2-2x+3≥0，如果命题p是真命题，求实数a 的取值范围.【解析】因为命题p 是真命题，所以p 是假命题.又当p 是真命题，即ax 2-2x+3≥0恒成立时，应有解得a≥，{a >0,4‒12a ≤0,13所以当p 是假命题时，a<.13所以实数a 的取值范围是.{a |a <13}三、解答题6.(10分)写出下列命题的否定，并判断真假.(1)p ：一切分数都是有理数.(2)q ：直线l 垂直于平面α，则对任意l ′⊂α，l ⊥l ′.(3)r ：若a n =-2n+10，则存在n∈N，使S n <0(S n 是{a n }的前n 项和).(4)s ：∀x∈Q，使得x 2+x+1是有理数.1312【解析】(1)p ：存在一个分数不是有理数，假命题.(2)q ：直线l 垂直于平面α，则∃l ′⊂α，l 与l ′不垂直，假命题.(3)r ：若a n =-2n+10，则∀n∈N，有S n ≥0，假命题.(4)s ：∃x 0∈Q，使+x 0+1不是有理数，假命题.13x 2012(15分钟 30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·天津高二检测)已知命题p ：∀b∈.答案：(-∞，1]三、解答题5.(10分)已知函数f(x)=x 2，g(x)=-m.(12)x(1)x∈，求f(x)的值域.(2)若对∀x∈，g(x)≥1成立，求实数m 的取值范围.(3)若对∀x 1∈，∃x 2∈，使得g(x 1)≤f(x 2)成立，求实数m 的取值范围.【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域.(2)根据对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1，而g(x)在上单调递减，利用其单调性建立关于m 的不等关系，即可求得实数m 的取值范围.(3)对∀x 1∈，∃x 2∈，使得g(x 1)≤f(x 2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，从而建立关于m 的不等式，由此可求结论.【解析】(1)当x∈时，函数f(x)=x 2∈，所以f(x)的值域为.(2)对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1.而g(x)在上单调递减，所以-m≥1，即m≤-.(12)234(3)对∀x 1∈，∃x 2∈，使得g(x 1)≤f(x 2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，由1-m≤9，所以m≥-8.关闭Word 文档返回原板块。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(一) 1.1.1 命题 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(一)命题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·太原高二检测)下列语句不是命题的是( )A.5>8B.若a是正数，则是正数C.x∈{-1，0，1，2}D.正弦函数是奇函数【解析】选C.A，B，D中语句是陈述句且能判断真假，是命题.而C中，x∈{-1，0，1，2}不能判断真假，故不是命题.2.下列命题是真命题的是( )A.若=，则x=yB.若x2=1，则x=1C.若x=y，则=D.若x<y，则x2<y2【解析】选A.由=，得x=y，故A真.而由x2=1得x=±1，故B假；由于x=y，，不一定有意义，故C假；而由x<y，不一定得到x2<y2，故D假.3.(2015·杭州高二检测)命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线【解析】选D.可把命题改写成“若p，则q”的形式.若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行.【补偿训练】下列说法正确的是( )A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时，方程x2-4x+a=0有实根”是假命题【解析】选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.4.(2015·衡水高二检测)给出下列命题：①函数f(x)=是奇函数；②函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数；③函数y=与y=-log3x的图象关于直线y=x对称；④若y=f(x)是定义在R上的函数，则y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①函数f(x)=的定义域为，图象不关于原点对称，不是奇函数，①错误；②函数f(x)=1是偶函数不是奇函数，②错误；③函数y=与y=-log3x互为反函数，图象关于直线y=x对称，③正确；④若y=f(x)是定义在R上的函数，函数y=f(1+x)是把y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的，y=f(1-x)是由y=f(x)先得到y=f(-x)，再把y=f(-x)右移1个单位得到y=f(-(x-1))，所以y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称，④正确.所以正确的命题是③④.5.(2015·北京高二检测)对于△ABC，有如下命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形③若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是钝角三角形④若==，则△ABC是等边三角形其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.对于①，2A=2B或2A+2B=π，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①为假命题，对于②，如B=120°，A=30°满足sinB=cosA，但△ABC为钝角三角形，故②为假命题，对于③，仅能说明C为锐角，故③为假命题，对于④，由正弦定理及已知可得sin=sin=sin，即A=B=C，△ABC为等边三角形，故④为真命题.二、填空题(每小题5分，共15分)6.把命题“已知a，b为正数，当a>b时，有log2a>log2b”写成“若p，则q”的形式：________. 【解析】已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b.答案：已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b7.(2015·广州高二检测)判断下列语句是命题的有________；其中是真命题的有__________.(只填序号)①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线.③在三角形中，大边对大角，小边对小角.④若x+y为有理数，则x，y也都是有理数.⑤x>8.【解题指南】先根据命题的概念，判断所给语句是否为命题，若是，再判断真假.【解析】①是疑问句.②是祈使句，不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假，不是命题.答案：③④③【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.数学中的定义、公理、定理等都是命题.猜想类的，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假，但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.8.(2015·烟台高二检测)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内一条直线垂直于l，则α和β垂直.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对.答案：①②三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·天津高二检测)指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若a，b，c成等差数列，则2b=a+c.(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.【解题指南】数学中的一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式.一般而言，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论.【解析】(1)条件p：a，b，c成等差数列，结论q：2b=a+c.(2)条件p：一个函数是偶函数，结论q：这个函数的图象关于y轴成轴对称图形.【补偿训练】指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若a，b都是无理数，则ab是无理数.(2)如果一个数是奇数，那么它不能被2整除.(3)函数y=sinωx(ω≠0)的最小正周期是.【解析】(1)条件p：a，b都是无理数，结论q：ab是无理数.(2)条件p：一个数是奇数，结论q：它不能被2整除.(3)条件p：函数y=sinωx(ω≠0)，结论q：它的最小正周期是.10.将下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除.(3)方程x2-x+1=0有两个实数根.【解析】(1)若n(n≥3)边形是正多边形，则它的n个内角全相等.真命题.(2)若一个整数的末位数是0或5，则它能被5整数.真命题.(3)若一个方程是x2-x+1=0，则它有两个实数根.假命题.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·威海高二检测)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )A.若a>b，则|a|>|b|B.若a>b，则<C.若|a|>b，则a2>b2D.若a>|b|，则a2>b2【解析】选D.A错误，比如3>-4，得不到|3|>|-4|；B错误，比如3>-4，得不到<；C错误，比如|3|>-4，得不到32>(-4)2；D正确，a>|b|，则a>0，根据不等式的性质即可得到a2>b2.【补偿训练】下列命题正确的是( )A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面【解析】选D.因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定4个平面.2.(2015·武汉高二检测)给出下列命题①若a≥b>-1，则≥；②若正整数m和n满足m≤n，则≤；③设P1(x1，y1)为圆O1：x2+y2=9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1，当(a-x1)2+(b-y1)2=1时，圆O1与圆O2相切.其中假命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①因为a≥b>-1，所以a+1≥b+1>0.所以-=≥0，所以≥.故①为真命题.②因为正整数m，n满足m≤n，所以有m>0，n-m≥0，≤=，故②为真命题.③实质是点P1(x1，y1)在☉O1上，又P1(x1，y1)也在☉O2上，但两圆相交于点P1并不能保证两圆相切.故③为假命题.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·西安高二检测)给出以下命题：①y=ln(x+2)在区间(0，+∞)上单调递增；②y=3x+3-x是奇函数，y=3x-3-x是偶函数；③y=的值域为；④命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为________.【解析】对于①，因为函数y=ln(x+2)的单调递增区间为(-2，+∞)，故在区间(0，+∞)上单调递增，故①正确；对于②，y=3x+3-x是偶函数，y=3x-3-x是奇函数，故②错误；对于③，y=的值域为，故③错误；对于④，命题“cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，故④正确；故正确命题的序号是①④.答案：①④4.设y=f(x)是定义在R上的函数，给定下列条件：(1)y=f(x)为偶函数.(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称.(3)T=2为y=f(x)的一个周期.如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中，真命题有________个.【解题指南】先写出相应的命题，然后判断真命题的个数.【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知f(x)=f(2-x)，又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，所以T=2为y=f(x)的一个周期.②(1)(3)⇒(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2+x)，所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.③(2)(3)⇒(1)，由(2)知f(x)=f(2-x)，所以f(-x)=f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，所以f(x)=f(-x)，即y=f(x)为偶函数.答案：3【延伸探究】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”，“关于直线x=1对称”改为“关于点(1，0)对称”，结论如何？【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知f(x)=-f(2-x)，又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，所以T=2为y=f(x)的一个周期.②(1)(3)⇒(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=-f(2+x)，所以y=f(x)的图象关于点(1，0)对称.③(2)(3)⇒(1)，由(2)知f(x)=-f(2-x)，所以f(-x)=-f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，所以f(x)=-f(-x)，即y=f(x)为奇函数.故真命题仍有3个.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·兰州高二检测)把下列命题改写成“若p，则q”的形式.(1)末位是0的整数，可以被10整除.(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.(3)等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.【解析】(1)若一个整数的末位数是0，则它可以被10整除.(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等.(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.6.(2015·杭州高二检测)已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若p，q一真一假，求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，设为x1，x2，则有若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根，则有16(m-2)2-4×4×1<0，解得1<m<3.若p真，q假，则得m∈.综上所述，m的取值范围是(1，2]∪[3，+∞).关闭Word文档返回原板块。
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
高中数学人教版选修1-2课时提升作业八 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 精讲优练课型 Word版含答案
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课时提升作业八数系的扩充和复数的概念一、选择题(每小题分,共分).(·泉州高二检测)如果复数()为纯虚数,那么实数的值为( )或【解析】选.因为复数()为纯虚数,所以且≠,所以..(·全国卷Ⅰ)设()()的实部与虚部相等,其中为实数,则( )【解析】选.因为()()(),其实部与虚部相等,即,解得.【补偿训练】已知复数的实部与复数的虚部相等,则实数等于( )【解析】选.已知的实部为的虚部为,则.【拓展延伸】复数相等的充要条件的应用.必须是复数的代数形式,才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组..利用这一结论,可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题中非常重要..(·西安高二检测)设∈是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的( ).充分不必要条件.必要不充分条件.充分必要条件.既不充分也不必要条件【解析】选⇒或,当≠时为实数,当为纯虚数时⇒≠⇒,故“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件..(·潍坊高二检测)若复数()()(∈)是正实数,则实数的值为( ).±【解析】选.由题意知,解得±,又为正实数,所以.【延伸探究】若复数()()(∈)是虚数,则的取值为.【解析】由题意知≠,所以≠±.答案≠±.(·上海高二检测)设均是实数是虚数单位,复数()()的实部大于,虚部不小于,则复数在复平面上的点集用阴影表示为图中的( )【解题指南】由复数()()的实部大于,虚部不小于,可得利用线性规划的知识得可行域即可.【解析】选.因为复数()()的实部大于,虚部不小于,所以由线性规划的知识可得,可行域为直线的右下方和直线的左下方,因此为.二、填空题(每小题分,共分).已知复数()()(∈),若是实数,则的值为.【解析】(),所以,所以或.答案或.已知复数()(∈)的实部大于虚部,则实数的取值范围是.【解题指南】找出复数()(∈)的实部与虚部,列出不等式,即可求得实数的取值范围.【解析】由已知可以得到>,即>,解得>或<,因此,实数的取值范围是{>或<}.答案:{>或<}。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业一1.1.1命题精讲优练课型Word版含答案
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业一 1.1.1 命题精讲优练课型 Word版含答案课时提升作业一命题一、选择题(每小题5分,共25分)1. 下列语句中命题的个数是( )①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3【解析】选 D.①③④是命题;②不能判断真假,不是命题.2. (2019·石家庄高二检测)下列语句中是命题的是( )A.周期函数的和是周期函数吗B.sin 45°=1C.x2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢【解析】选 B.A不是,因为它是一个疑问句,不能判断其真假,故不构成命题;B是,因为能够判断真假,故是命题;C不是,因为不能判断其真假,故不构成命题;D不是,不能判定真假且不是陈述句,故不构成命题.3.(2019·湛江高二检测)下列命题中是假命题的是( )A.若a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥bB.若|a|=|b|,则a=bC.若ac2>bc2,则a>bD.5>3【解析】选 B.|a|=|b|只能说明a与b长度一样.a=b不一定成立.【误区警示】选项A易忽视括号中条件的作用,错认为是假命题,而选项B易忽视向量的方向,错认为是真命题.4.下列说法正确的是( )A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.“四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题【解析】选 D.当a>4时,方程x2-4x+a=0的判别式Δ<0,方程无实根.5.(2019·安阳高二检测)下列命题是真命题的是( )A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0)C.已知点A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,则直线x0x+y0y-1=0与圆C相交D.圆柱的俯视图可能为矩形【解析】选 D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱,不满足棱柱的定义,所以A不正确;过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0),直线的斜率不存在时,无法表示出来,所以B不正确;因为A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,所以+<1,所以圆心(0,0)到直线x0x+y0y=1的距离:d=>1,所以直线x0x+y0y=1与圆相离.所以C 不正确.圆柱的俯视图可能为矩形,当圆柱放倒时,满足题意,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.给出下列命题:①若ac=bc,则a=b;②方程x2-x+1=0有两个实根;③对于实数x,若x-2=0,则x-2≤0;④若p>0,则p2>p;⑤正方形不是菱形.其中真命题是,假命题是.【解析】①c=0时,a不一定等于b,假命题.②此方程无实根,假命题.③结论成立,真命题.④0<p≤1时结论不成立,假命题.⑤不成立,假命题.答案:③①②④⑤7.把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是.【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是这个函数是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数【延伸探究】判断本题中命题的真假.【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.8.给出下列命题:①在△ABC中,若∠A>∠B,则sinA>sinB;②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数;③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点;④若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,则得到函数y=sin的图象.其中真命题的序号是.【解析】①∠A>∠B?a>b?sinA>sinB,①为真命题,②③易知正确.④将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P4练习T3改编)把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假:(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.(2)二次函数的图象关于y轴对称.【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角.或:若一条线段是一个等腰三角形的底边上的中线,则这条线段垂直于底边且平分顶角,真命题.(2)若一个函数是二次函数,则它的图象关于y轴对称,假命题.10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)ac>bc?a>b.(2)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.(3)当m>时,mx2-x+1=0无实根.(4)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.【解析】(1)若ac>bc,则a>b,是假命题.(2)已知x,y∈N*,若y=x+1,则y=3,x=2,是假命题.(3)若m>,则mx2-x+1=0无实根,是真命题.(4)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.一、选择题(每小题5分,共10分)1.下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解题指南】利用空间中线面位置关系的有关定理逐一判断.【解析】选 C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交,选项A错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B不正确;如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c?α,d?α,所以d∥α,又因为d?β,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.2.(2019·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为( )①函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;②若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;③若△ABC为锐角三角形,则sinA<cosB.A.1个B.2个C.3个D.0个【解题指南】由f(x)+f(-x)=2判断①;数形结合判断③;利用三角函数的单调性判断④. 【解析】选 B.对于①,f(x)+f(-x)=2x3-3x+1-2x3+3x+1=2,则函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称,即①正确;对于②,若实数x,y满足x2+y2=1,如图,可看作过点(-2,0)与圆x2+y2=1上点的直线的斜率,相切时取得最值,则的最大值为,②正确;对于③,若△ABC为锐角三角形,则A+B>,-B<A<,所以sinA>sin=cosB,③错误.所以正确命题的个数是2个.【补偿训练】已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )A.a≥-3B.a>-3C.a≤-3D.a<-3【解析】选 D.因为x+3≥0,x≥-3,所以A={x|x≥-3}.又因为a∈A是假命题,即a?A,所以a<-3.二、填空题(每小题5分,共10分)3.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”条件p: ,结论q: .它是(填“真”或“假”)命题.【解析】a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,所以命题为真命题.答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真4.下列4个命题:①?a∈R,a2>0;②?α∈R,sin2α+cos2α=;③?x1,x2∈R,若x1<x2则<;④?α∈R,sinα=cosα.其中真命题为.【解析】①a=0时,命题错误;②不存在α∈R,sin2α+cos2α=;③因为y=2x是增函数,所以?x1,x2∈R,若x1<x2则<正确.④?α∈R,sinα=cosα,正确.例如α=时.答案:③④三、解答题(每小题10分,共20分)5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.(1)乘积为1的两个实数互为倒数.(2)奇函数的图象关于原点对称.(3)与同一直线平行的两个平面平行.【解析】(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.p:两个平面与同一条直线平行;q:两个平面平行.6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题?说明理由.【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.函数f(x)= 2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.关闭Word文档返回原板块。
人教A版18年高二数学选修1-1全册-课时提升作业三
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课时提升作业三四种命题间的相互关系一、选择题(每小题4分,共12分)1.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( )A.若p,则qB.若q,则pC.若q,则pD.若q,则p【解题指南】利用命题的等价关系判断.【解析】选C.“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.所以“若q,则p”一定是真命题.2.(2016·三明高二检测)下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题【解析】选B.A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题为命题“若x>0,则x>2016”,显然命题为假;B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题为“若x=0或y=0,则xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;C.解x2+x-2=0得x=1或x=-2.所以命题“若x2+x-2=0,则x=1”为假;D.x2≥1⇒x≤-1或x≥1.所以命题“若x2≥1,则x≥1”是假命题,则其逆否命题也为假命题.3.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题,逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有1个.【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.二、填空题(每小题4分,共8分)4.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是.【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.答案:35.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.答案:②③⑤三、解答题6.(10分)(教材P8练习改编)证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.【证明】“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.因为a=2b+1,所以a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,所以命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.【补偿训练】求证:若p2+q2=2,则p+q≤2.【证明】该命题的逆否命题为若p+q>2,则p2+q2≠2.p2+q2=[(p+q)2+(p-q)2]≥(p+q)2.因为p+q>2,所以(p+q)2>4,所以p2+q2>2,即p+q>2时,p2+q2≠2成立.所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.即若p2+q2=2,则p+q≤2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.(2016·惠州高二检测)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题【解析】选D.函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数等价于f′(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤e x在(0,+∞)上恒成立,而e x>1,故m≤1,所以命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.【补偿训练】命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·衡阳高二检测)在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是(按要求的顺序填写).【解题指南】根据四种命题间的关系确定【解析】“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②.答案:①③②4.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填“真”或“假”).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题5.(10分)(2016·益阳高二检测)写出命题:“若+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.【解析】逆命题:若x=2且y=-1,则+(y+1)2=0,真命题;否命题:若+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,因为逆命题为真,所以否命题为真;逆否命题:若x≠2或y≠-1,则+(y+1)2≠0,显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.关闭Word文档返回原板块。
高考调研新课标A数学选修1-1课时作业8
课时作业(八)1．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是()A．(±5,0)B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)答案 C解析∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144.∴c＝12.∵椭圆的焦点在y轴上．∴椭圆的焦点坐标为(0，±12)．2．若过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是()A．圆B．椭圆C．圆或椭圆D．线段答案 C解析如图所示，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r，圆心为C.若点A与B不重合，由于两圆相内切，则有|AC|＝R－r.由于r＝|BC|，所以|AC|＝R－|BC|，所以|CA|＋|CB|＝R.因为B为圆内的定点，所以|AB|<R.所以动点C的轨迹为椭圆．若A，B 重合为一点，则此时点C 的轨迹是圆．故选C.3．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦距为3，则m 的值为( )A ．4B.14 C ．4或14D ．4或47答案 D4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.答案 85．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，则在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________．答案 26．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为________．答案 100解析 |PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝(2a 2)2＝a 2＝100， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|，即P 为短轴端点时取“＝”号．7．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 由已知，可得动点P 在线段AB 的垂直平分线上，则|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝2，动点P 的轨迹是椭圆，这个椭圆的焦点是A (－12，0)和F (12，0)，定长2a ＝2，因而动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A (－4,0)，C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B ＝________.答案 54解析 在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝|BC |＋|BA ||AC |＝2a 2c ＝54.9．等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为42，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一焦点在线段AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，求该椭圆的标准方程．解析设椭圆的另一个焦点为M ，以MC 所在直线为x 轴，MC 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系(如右图)，在等腰直角三角形ABC中，因为斜边BC ＝42，则AC ＝AB ＝4.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．有|AM |＋|AC |＝2a ，|BM |＋|BC |＝2a ，两式相加，得8＋42＝4a .所以a ＝2＋2，|AM |＝2a －|AC |＝4＋22－4＝2 2.在直角三角形AMC 中，因为|MC |2＝|AM |2＋|AC |2＝8＋16＝24，所以c 2＝6.又a 2＝(2＋2)2＝6＋42＝b 2＋c 2，所以b 2＝4 2.故所求椭圆的标准方程为x 26＋42＋y 242＝1. 10．已知m 为常数，且m >0，求证：不论b 为怎样的正实数，椭圆x 2b 2＋m ＋y 2b 2＝1的焦点不变． 证明 由c 2＝b 2＋m －b 2＝m ，而m 为正常数，则椭圆的焦点为(±m ，0)．11．△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列且满足a >b >c ，A ，C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解析 设B 点坐标为(x ，y )，因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即2|AC |＝|AB |＋|BC |，而|AC |＝2，所以|BA |＋|BC |＝4.根据椭圆的定义，易得点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.又因为a >b >c ，所以a >c ，即|BC |>|AB |.即(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，所以x <0.故B 点的轨迹是椭圆的一半，方程为x 24＋y 23＝1(x <0)．又因为当x＝－2时，点A ，B ，C 在同一条直线上，不能构成三角形，所以x ≠－2.综上，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x <0且x ≠－2)．12．如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 交椭圆于M 点，|OF |＝2，若MF ⊥OA ，求椭圆的方程．解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，∴b 2ac ＝b a ，b ＝c . 又c ＝2，∴b ＝2，a ＝2.∴x 24＋y 22＝1为所求椭圆的方程．13．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解析 (1)由已知得|F 1F 2|＝2，∴4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|. 由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos120°.即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.∴|PF 1|＝1210＝65.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin120°＝12×2×65×32＝35 3.1．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析由已知可得圆C 1与圆C 2的圆心坐标与半径分别为C 1(4,0)，r 1＝13，C 2(－4,0)，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r ，由于圆C 与圆C 1内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 与圆C 2外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .②如图所示，由①＋②，可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16. 即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，且满足2a >2c ，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1与C 2为其焦点．由题意，c ＝4，a ＝8，所以b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48.所以椭圆的方程为x 264＋y 248＝1.所以动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解析 由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.故|PF 1||PF 2|＝72. 若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2.得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.故|PF 1||PF 2|＝2. 综上，|PF 1||PF 2|的值为72或2.。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(三) 1.1.3 四种命题间的相互关系 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(三)四种命题间的相互关系(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2015·杭州高二检测)命题“若m=10，则m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )A.原命题、否命题B.原命题、逆命题C.原命题、逆否命题D.逆命题、否命题【解析】选C.因为原命题为真，所以逆否命题为真.2.(2015·太原高二检测)下列结论错误的是( )A.命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题B.对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有C.命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真D.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真【解析】选D.命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b则am2<bm2”，显然m=0时，该命题为假.3.下列命题中正确的是( )①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题；④“若x-3是无理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④【解析】选B.①中否命题为“若x2+y2=0，则x=y=0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ=1+4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确，故逆否命题正确.二、填空题(每小题4分，共8分)4.命题“若x≠1，则x2-1≠0”的真假性为________.【解题指南】可转化为判断命题的逆否命题的真假.【解析】由于原命题的逆否命题是：“若x2-1=0，则x=1”，为假命题，因此原命题是假命题. 答案：假命题5.命题“若m>n，n>k，则m>k”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________. 【解析】原命题是真命题；它的逆命题为“若m>k，则m>n，n>k”，是假命题；否命题为“若m≤n，或n≤k，则m≤k”，是假命题；逆否命题为“若m≤k，则m≤n，或n≤k”，是真命题.答案：2【补偿训练】命题“若x=1，则x2-3x+2=0”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是________.【解析】原命题“若x=1，则x2-3x+2=0”是真命题，它的逆否命题是真命题，它的逆命题“若x2-3x+2=0，则x=1”是假命题，它的否命题也是假命题.答案：2三、解答题6.(10分)已知a，b∈R且a2-4b>0.写出命题“若a+b+1<0，则方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【解析】逆命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，则a+b+1<0.否命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若a+b+1≥0，则方程x2+ax+b=0的两个实根不满足x1<1<x2. 逆否命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若方程x2+ax+b=0的两个实根不满足x1<1<x2，则a+b+1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)=x2+ax+b.因为f(1)=a+b+1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，所以x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题.(2)因为方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，所以(x1-1)(x2-1)<0，x1+x2=-a，x1·x2=b，所以a+b+1<0，故逆命题为真命题.由四种命题的关系可知，原命题、逆否命题、否命题和逆命题都是真命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·烟台高二检测)与命题“若x=3，则x2-2x-3=0”等价的命题是( )A.若x≠3，则x2-2x-3≠0B.若x=3，则x2-2x-3≠0C.若x2-2x-3≠0，则x≠3D.若x2-2x-3≠0，则x=3【解题指南】只需找其逆否命题即可.【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题：若x2-2x-3≠0，则x≠3.2.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题，我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题：①函数y=x2(x∈R)是偶函数；②若两条直线相交，则它们的倾斜角一定不相等；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若a·c=b·c，则a=b；⑤若m+n≤2，则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是( )A.①⑤B.②③C.③④D.②④【解析】选A.①中命题是真命题，其逆命题为“若一个函数是偶函数，则这个函数是y=x2，是假命题，故它是“正向真命题”；②中命题是真命题，其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等，则它们一定相交”，也是真命题，所以②中命题不是“正向真命题”；③、④中命题都是假命题，所以它们都不是“正向真命题”；⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1，则m+n>2”是真命题，而它的否命题是“若m+n>2，则n>1且m>1”，显然不是真命题，所以这个命题是“正向真命题”.综上，是“正向真命题”的序号是①⑤.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·石家庄高二检测)设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题为____________命题，逆命题为__________命题.(填“真”或“假”).【解析】逆否命题为：a，b都小于1，则a+b<2是真命题，所以原命题是真命题，逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，例如a=3，b=-3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故逆命题是假命题.答案：真假【补偿训练】设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，在下列几个条件中，能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的有________.①x为直线，y，z是平面；②x，y，z均为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z均为直线.【解析】①x为直线，y，z是平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，是真命题；②x，y，z均为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能相交，为假命题；③x，y为直线，z为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；④x，y为平面，z为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；⑤x，y，z均为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能平行、相交或异面，为假命题.答案：①③④4.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四边条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有________.【解析】命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆的内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系判断.答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤三、解答题5.(10分)(2015·北京高二检测)a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由.【解题指南】分别考虑命题A和命题B的逆否命题，把命题A和命题B作为真命题分析，得出结论.【解析】能确定.理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑.①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a次之，c最小.【拓展延伸】感悟等价命题与反证法本题实质是利用了“两个命题互为逆否命题，它们有相同的等价性”来解题的，即逆否证法.逆否证法实质是利用了命题的等价性，与反证法不同，反证法是通过否定命题的结论，引出矛盾，来肯定命题的.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二 充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
课时提升作业_八_1.4.3--(人教A版)数学选修1 课时作业本(有答案)-(高二)
课时提升作业_八_1.4.3--(人教A 版)数学选修1 课时作业本（有答案)-(高二)课时提升作业 八 含有一个量词的命题的否定一、选择题(每小题4分,共12分)1.命题“∃x 0∈(0,+∞),lnx 0=x 0-1”的否定是 ( ) A.∃x 0∈(0,+∞),lnx 0≠x 0-1 B.∃x 0∉(0,+∞),lnx 0=x 0-1 C.∀x ∈(0,+∞),lnx ≠x-1 D.∀x ∉(0,+∞),lnx=x-1【解析】选C.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为∀x ∈(0,+∞),lnx ≠x-1.【补偿训练】命题p:∀x ∈[0,+∞),(log 32)x ≤1,则 ( )A.p 是假命题,p:∃x0∈[0,+∞),(log 32>1B.p 是假命题,p:∀x ∈[0,+∞),(log32)x ≥1C.p 是真命题,p:∃x0∈[0,+∞),(log 32>1D.p 是真命题,p:∀x ∈[0,+∞),(log32)x ≥1【解析】选C.由0<log 32<1,及指数函数的性质可知:(log 32)x ≤1在[0,+∞)上恒成立,所以p 为真,p:∃x0∈[0,+∞),(log 32>1.2.已知命题p:对∀x ∈R,∃m0∈R,使4x +2x m 0+1=0.若命题p 是假命题,则实数m 0的取值范围是 ( ) A.[-2,2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.[-2,+∞)【解析】选C.因为p 为假,故p 为真,即求原命题为真时m0的取值范围. 由4x +2x m 0+1=0,得-m 0==2x +≥2.所以m 0≤-2.3.已知命题p:∀x1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≥0,则p 是 ( ) A.∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0 B.∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0 C.∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0 D.∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0 【解题指南】全称命题的否定是特称命题.【解析】选 C.因为命题p:∀x1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≥0,所以p:∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0. 二、填空题(每小题4分,共8分)4.命题:“对任意k>0,方程x 2+x-k=0有实根”的否定是 .【解析】全称命题的否定是特称命题,故原命题的否定是“存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根.”答案:存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根5.命题“∃x 0∈(1,2),满足不等式+mx 0+4≥0”是假命题,则m 的取值范围为 .【解析】由题意,得不等式x 2+mx+4<0在(1,2)上恒成立,于是由m<-x-得m ≤-1-4=-5. 答案:m ≤-5 三、解答题6.(10分)(教材P26习题1.4A 组T1改编)写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假性.(1)末位数是0的整数,可以被5整除. (2)负数的平方是正数. (3)梯形的对角线相等.【解析】(1)命题的否定:有些末位数是0的整数,不可以被5整除;假命题. 否命题:末位数不是0的整数,不可以被5整除;假命题. (2)命题的否定:有些负数的平方不是正数;假命题.否命题:非负数的平方不是正数;假命题.(3)命题的否定:有些梯形的对角线不相等;真命题.否命题:如果一个四边形不是梯形,则它的对角线不相等;假命题.【补偿训练】写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假性.(1)p:若x>y,则5x>5y.(2)p:若x2+x<2,则x2-x<2.(3)p:正方形的四条边相等.(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0.【解析】(1)p:若x>y,则5x≤5y;假命题.否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题.(2)p:若x2+x<2,则x2-x≥2;假命题.否命题:若x2+x≥2,则x2-x≥2;假命题.(3)p:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题.否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;假命题.(4)p:存在两个实数a,b0,虽然满足x2+a0x+b0≤0有非空实解集,但是-4b0<0;假命题.否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空实解集,则a2-4b<0;真命题.【拓展延伸】命题的否定与否命题的不同(1)任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅是针对命题“若p则q”提出来的.(2)命题的否定(非)是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假.(3)原命题是“若p则q”的形式,它的否定为“若p,则q”;而它的否命题为“若p,则q”,既否定条件又否定结论.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知命题p:∀x ∈R,ln(e x+1)>0,则p 为 ( )A.∃x 0∈R,ln(+1)<0B.∀x ∈R,ln(e x +1)<0C.∃x 0∈R,ln(+1)≤0D.∀x ∈R,ln(e x +1)≤0【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【解析】选C.p 为“∃x0∈R,ln(+1)≤0”.【补偿训练】命题“对任意的x ∈R,x 3-x 2+1≤0”的否定是 ( ) A.不存在x ∈R,x 3-x 2+1≤0B.存在x 0∈R,-+1≥0C.存在x 0∈R,-+1>0D.对任意的x ∈R,x 3-x 2+1>0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意的x ∈R,x 3-x 2+1≤0”的否定是:存在x 0∈R,-+1>0.2.已知命题p:∃x 0∈R,+1<2x 0;命题q:若mx 2-mx-1<0恒成立,则-4<m ≤0,那么( )A.“p ”是假命题B.“q ”是真命题C.“p ∧q ”为真命题D.“p ∨q ”为真命题【解析】选D.对于命题p,+1-2x 0=(x 0-1)2≥0,即对任意的x ∈R,都有x 2+1≥2x,因此命题p 是假命题.对于命题q,若mx 2-mx-1<0恒成立,则当m=0时,mx 2-mx-1<0恒成立, 当m ≠0时,由mx 2-mx-1<0恒成立得即-4<m<0.因此若mx2-mx-1<0恒成立,则-4<m≤0,故命题q是真命题.因此,“p”是真命题,“q”是假命题,“p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题.【补偿训练】设函数f(x)的定义域为R,则“∀x∈R,f(x+1)>f(x)”是“函数f(x)为增函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由增函数定义知:若函数f(x)为增函数,则∀x∈R,f(x+1)>f(x),必要性成立;反之充分性不成立,如非单调函数f(x)=[x](取整函数),满足∀x∈R,f(x+1)>f(x).二、填空题(每小题5分,共10分)3.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是.【解析】由于命题“任意偶数是2的倍数”是全称命题,故其否定要改写成特称命题. 答案:存在偶数不是2的倍数【补偿训练】命题“∀x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.【解析】全称命题的否定是特称命题,全称量词“任意”改为存在量词“存在”,并把结论否定.答案:∃x0∈R,|x-2|+|x-4|≤34.命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.(1)命题p的否定是.(2)当a,b满足条件时,命题p的否定为真.【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.(2)要使命题p的否定为真,需要使不等式组的解集为R.通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b<a.答案:(1)对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0(2)b<a三、解答题5.(10分)a,b,c为实数,且a=b+c+1,证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.【解题指南】利用原命题与其否定真假性相反证明.【证明】原命题的否定为:两个方程都没有两个不等的实数根,则Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,所以Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0.因为a=b+c+1,所以b+c=a-1.所以1-4(a-1)+a2≤0,即a2-4a+5≤0.但是a2-4a+5=(a-2)2+1>0,故矛盾.所以原命题的否定是假命题,原命题为真命题,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.关闭Word文档返回原板块。
人教a版高中数学选修1-1课时作业
课时作业1 命题及其关系一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，m⊥α，n⊥β，则下列命题中的假命题是( )A．若m∥n，则α∥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若α，β相交，则m，n相交D．若m，n相交，则α，β相交[解析] 若α，β相交，因为m⊥α，n⊥β，所以m与n可能异面，也可能相交，故C错．所以选C.[答案] C2．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[解析] ①是假命题；②是真命题；③是真命题；④是假命题．故选B.[答案] B3．若条件P：x∈A∩B，则綈p是( )A．x∈A且x BB．x A或x BC．x A且x BD．x∈(A∪B)[解析] p：x∈A∩B，綈p：x A∩B⇔x A或x B，故选B.[答案] B4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有( )A．0个B．2个C．3个D．4个[解析] 原命题：已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.真命题．逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．原命题与逆否命题互为等价命题，逆命题与否命题互为等价命题．故选B.[答案] B5．在下列三个命题中，正确的为( )①命题“△ABC和△A1B1C1都是直角三角形”的否定是“△ABC和△A1B1C1都不是直角三角形”；②命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆否命题是“若x＝0或y＝0，则xy＝0”；③命题“若x∈A或x∈B，则x∈(A∪B)”的逆命题是“若x∈(A∪B)，则x∈A 且x∈B”．A．②B．②③C．①③D．①②③[解析] “△ABC和△A1B1C1都是直角三角形”的否定是“△ABC和△A1B1C1不都是直角三角形”，∴①错误，排除C，D；而③错误，排除B.故选A.[答案] A6．有下列三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若m>n，则m2>n2”的逆否命题；③“若y≤－3，则y2－y－6>0”的否命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ①的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”．真命题．②的逆否命题同原命题等价，而原命题为假命题，故逆否命题为假命题．③的否命题为“若y>－3，则y2－y－6≤0”．假命题．故选B.[答案] B7．命题“若a>b，则ac2>bc2”(这里a，b，c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．4 B．2 C．1 D．0[解析] “若a>b，则ac2>bc2”为假，因为当c＝0时不成立，而“若ac2>bc2，则a>b”为真．故选B.[答案] B8．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数[解析] 由逆否命题，知选A.[答案] A二、填空题9．命题：若a>b，则ac2>bc2(a，b，c是实数)，与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．[解析] 若a>b，则ac2>bc2，当c＝0时，不成立，∴原命题为假，其逆否命题也为假．又若ac2>bc2，则a>b成立，∴否命题也成立．[答案] 210．在下列横线上填写“互逆”“互否”或“互为逆否”：(1)命题“若q，则綈p”与“若綈q，则p”的关系是________；(2)命题“若綈p则q”与“若q则綈p”的关系是________．[解析] 由命题之间关系可得．[答案] (1)互否(2)互逆11．已知A表示点，a，b，c表示直线，M、N表示平面，给出下列命题：①a⊥M，b M，若b∥M，则b⊥a；②a⊥M，若a⊥N，则M∥N；③a⊂M，b∩M＝A，c为b在M上的射影，若a⊥c，则a⊥b；④a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b.其中逆命题正确的是________．(填序号)[解析] 由判定方法知①②③正确，而④的逆命题“a⊥M，若a⊥b，c⊥b，则b∥M，c∥a”不正确，因为由条件b⊂M也可能成立，a，c相交、异面、平行，都有可能．[答案] ①②③12．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋φ(φ为常数)，有以下命题： ①不论φ取何值，函数f(x)的周期都是π；②存在常数φ，使得函数f(x)是偶函数；③函数f(x)在区间[π－2φ，3π－2φ]上是增函数；④若φ<0，函数f(x)的图象可由函数y ＝sin x 2的图象向右平移|2φ|个单位得到．其中，所有正确命题的序号是________．[解析] ①错，f(x)的周期是4π；②当φ＝3π2时，f(x)＝－cos x 2是偶函数；③因为函数的增区间是[4k π－π－2φ，4k π＋π－2φ](k ∈Z)，故③错；④将y＝sin x 2的图象向右平移|2φ|个单位得到f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2φ2的图象，故④正确． [答案] ②④三、解答题13．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若A ⊆B ，则A ∩B ＝A ；(2)到一角两边距离相等的点在这个角的平分线上．[解析] (1)逆命题为：若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，真．否命题为：若A B ，则A ∩B ≠A ，真．逆否命题为：若A ∩B ≠A ，A B ，真．(2)逆命题：角平分线上的点到角的两边距离相等，真．否命题：到一个角的两边距离不相等的点不在角平分线上，真． 逆否命题：不在角平分线上的点到角的两边距离不相等，假．14．写出命题：“若a 2>b 2，则a>b ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断四种命题的真假．[解析] 原命题：若a 2>b 2，则a>b.逆命题：若a>b ，则a 2>b 2.否命题：若a 2≤b 2，则a ≤b.逆否命题：若a ≤b ，则a 2≤b 2.∵(－1)2>02，而－1<0，∴原命题假．∵2>－3，而22<(－3)2，∴逆命题假．由等价命题知四种命题均为假．15．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即(x ＋1)(x －3)≥0，∴x ≤－1或x ≥3；由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2<1，得－1<1－x 2<1， ∴0<x<4.∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4.则{x|x≥3或x≤－1}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤－1或x≥4}．∴满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．16．命题“若m>0，则x2+ x－m=0有实数根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．[解析] 方法一：原命题是真命题．∵m>0，∴－14<0<m，∴m>－14.∴4m＋1>0，方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝4m＋1>0，因而方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”是真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，故命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题也是真命题．方法二：原命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”∵x2＋x－m＝0无实数根，∴Δ＝4m＋1<0∴m<－14≤0.故原命题的逆否命题为真命题．课时作业4 充要条件一、选择题(每小题6分，共36分)1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．下列p是q的充要条件的是( )A．p：a>b，q：ac>bcB．p：x＝1，q：x2－x＝0C．p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数D．p：x>0，y>0，q：xy>04．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有( ) ①A∪B＝A ②∁U A∩B＝Ø③∁U A⊆∁U B ④A∪∁U B＝U，A．1个B．2个C．3个D．4个5．关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0的两根同号的充要条件是( )A．k<－1或k≥2 3B．－2<k<－1C．－2≤k<－1或23<k≤1D．－2≤k≤16．(2011·山东高考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(每小题8分，共24分)7．m＝1是函数y＝x m2 －4m＋5为二次函数的________条件．8．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________条件．9．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”成立的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)三、解答题(共40分)10．(10分)若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？11．(15分)设函数f(x)＝x|x－a|＋b.求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.12．(15分)求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．参考答案1.解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.答案：A2.解析：∵当α＝π6＋2kπ(k∈Z)时，cos2α＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π3＋4kπ＝12，∴“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的充分条件．而当α＝－π6时，cos2α＝12，但－π6≠π6＋2kπ(k∈Z)，∴“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”不是“cos2α＝12”的必要条件．答案：A3.解析：选项A中c可为0，不充要；选项B中x2－x＝0解得x＝0或x＝1，也不充要；选项D中，xy>0解得x>0，y>0或x<0，y<0，也不充要，只有C正确．答案：C4.解析：由韦恩图可知，①②③④都是充要条件．图1答案：D5.解析：方程2(k ＋1)x 2＋4kx ＋3k －2＝0的两根同号的充要条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4k 2－4×2k ＋13k －20x 1x 2＝3k －22k ＋1>0k ≠－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －2≤03k －2k ＋1>0k ≠－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤k ≤1k<－1或k>23k ≠－1⇔－2≤k<－1或23<k ≤1. 答案：C6.解析：若y ＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称，如y ＝f(x)＝x 2，而它不是奇函数，故选B.答案：B7.解析：m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝3也能保证函数为二次函数．答案：充分不必要8.解析：a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行．反之，若ax ＋2y ＝0与x ＋y ＝1平行，得a ＝2，故“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．答案：充要9.解析：a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，所以a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2，而a ＋b ＝3⇒／ a ＝1且b ＝2，所以a ≠1或b ≠2⇒／a ＋b ≠3.答案：必要不充分10.解：命题的充分必要性具有传递性M ⇒N ⇔P ⇒Q ，但Q ⇒/ P ，N ⇔P ，且N ⇒／ M ，故M 是Q 的充分不必要条件．11.证明：充分性：若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以f(x)＝x|x|.因为f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)对一切x ∈R 恒成立，所以f(x)是奇函数．必要性：若f(x)是奇函数，则对一切x ∈R ，f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x|－x －a|＋b ＝－x|x －a|－b.令x ＝0，得b ＝－b ，所以b ＝0；令x ＝a ，得a|2a|＝0，所以a ＝0，即a 2＋b 2＝0.12.解：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋kx ＋1＝0，x 2＋x ＋k ＝0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x 2＋x x ＋1＝0，x 2＋x ＋k ＝0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋1x －1＝0，x 2＋x ＋k ＝0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，k ＝－2.所以两方程有一公共根的充要条件为k ＝－2.课时作业7 含有一个量词的命题的否定一、选择题(每小题6分，共36分)1．∃m0，n0∈Z，使得m20＝n20＋1998的否定是( )A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋1998B．∃m0，n0∈Z，使得m20≠n20＋1998C．∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋1998D．以上都不对2．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( )A．∃x0∈R，x20－2x0＋1<0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0C．∃x0∈R，x20－2x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－2x＋1<03．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>04．特称命题“∃x0∉M，p(x0)”的否定是( )A．∀x∈M，綈p(x) B．∀x∉M，p(x)C．∀x∉M，綈p(x) D．∀x∈M，p(x)5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)6．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是( )A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数二、填空题(每小题8分，共24分)7．命题“∃x0∈R，x20≤0”的否定是________．8．已知命题p：“∀x∈R，e x≤1”，则命题綈p是________．9．设命题p：c2<c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1>0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是________．三、解答题(共40分)10．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；(2)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的对数都是正数．11．(15分)用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假．(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．(4)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sinx.12．(15分)给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．参考答案:1.解析：这是一个特称命题，其否定为全称命题，形式是：∀m，n∈Z，有m2≠n2＋1998.答案：C2.解析：由定义直接可得．答案：A3.解析：由特称命题的否定得出．答案：D4.解析：由特称命题的否定的定义可得．答案：C5.解析：由题知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.答案：C6.解析：对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不满足；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则成为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f(x)＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f(x)是偶函数．答案：C7.解析：由题知，本题为特称命题，故其否定为全称命题．答案：∀x ∈R ，x 2>08.解析：由定义直接可得．答案：∃x 0∈R ，ex 0>19.解析：p ：0<c<1；q ：由Δ<0知－12<c<12.∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c<1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c<1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，－12<c<12，得－12<c ≤0.综上：12≤c<1或－12<c ≤0.10.答案：－12<c ≤0或12≤c<111.解：(1)假命题，否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β； (2)真命题，否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20；(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．12.解：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ<0⇔0≤a<4； 关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14； 若p 真，且q 假，有0≤a<4，且a>14，∴14<a<4； 若q 真，且p 假，有a<0或a ≥4，且a ≤14，∴a<0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)． 13.解：(1)綈p ：∃x 0∈{二次函数}，x 0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p ：在直角坐标系中，∃x 0∈{直线}，x 0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p ：∃a 0，b 0∈R ，方程a 0x ＋b 0＝0无解或至少有两解．真命题．(4)綈p ：∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sinx ，是假命题．第一章第1节命题及其关系本节教材分析（一）三维目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(八) 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 探究导学课型 Word版含答案
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课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·安徽高考)命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是( )A.∀x∈R，|x|+x2<0B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0D.∃x0∈R，|x0|+≥0【解析】选C.命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|+<0”.2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为( )A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【解析】选C.p：∀n∈N，n2≤2n.【补偿训练】命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是( )A.有些三角形不是等腰三角形B.所有三角形是等边三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形【解析】选C. p是“所有三角形不是等腰三角形”.3.(2015·中山高二检测)已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+<0，命题q：∃x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是( )A.p是真命题B.q是假命题C.p是假命题D. q是假命题【解题指南】先判断p，q的真假，再得p，q真假，进而得结论.【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0，所以p是假命题，p为真命题.又sinx0-cosx0=sin≤，故q是真命题，q为假命题.所以选D.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015·烟台高二检测)已知命题p：∀x>2，x3-8>0，那么p是________.【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解析】命题p为全称命题，其否定为特称命题，则p：∃x0>2，-8≤0.答案：∃x0>2，-8≤05.(2015·资阳高二检测)已知命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0.若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是________.【解析】因为若命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0是假命题，则p是真命题，说明x2+ax+a ≥0恒成立，所以Δ=a2-4a≤0，解得0≤a≤4.答案：【补偿训练】(2014·烟台高二检测)已知命题p：任意x∈R，ax2-2x+3≥0，如果命题p 是真命题，求实数a的取值范围.【解析】因为命题p是真命题，所以p是假命题.又当p是真命题，即ax2-2x+3≥0恒成立时，应有解得a≥，所以当p是假命题时，a<.所以实数a的取值范围是.三、解答题6.(10分)写出下列命题的否定，并判断真假.(1)p：一切分数都是有理数.(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′.(3)r：若a n=-2n+10，则存在n∈N，使S n<0(S n是{a n}的前n项和).(4)s：∀x∈Q，使得x2+x+1是有理数.【解析】(1)p：存在一个分数不是有理数，假命题.(2)q：直线l垂直于平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直，假命题.(3)r：若a n=-2n+10，则∀n∈N，有S n≥0，假命题.(4)s：∃x0∈Q，使+x0+1不是有理数，假命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·天津高二检测)已知命题p：∀b∈.答案：(-∞，1]三、解答题5.(10分)已知函数f(x)=x2，g(x)=-m.(1)x∈，求f(x)的值域.(2)若对∀x∈，g(x)≥1成立，求实数m的取值范围.(3)若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，求实数m的取值范围.【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域.(2)根据对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1，而g(x)在上单调递减，利用其单调性建立关于m的不等关系，即可求得实数m的取值范围.(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，从而建立关于m的不等式，由此可求结论.【解析】(1)当x∈时，函数f(x)=x2∈，所以f(x)的值域为.(2)对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1.而g(x)在上单调递减，所以-m≥1，即m≤-.(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，由1-m≤9，所以m≥-8.关闭Word文档返回原板块。
高中数学课时提升作业一1.1.1命题含解析新人教A版选修1_
课时提升作业一命题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·石家庄高二检测)下列语句中是命题的是( )A.周期函数的和是周期函数吗B.sin 45°=1C.x2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢【解析】选B.A不是,因为它是一个疑问句,不能判断其真假,故不构成命题;B是,因为能够判断真假,故是命题;C不是,因为不能判断其真假,故不构成命题;D不是,不能判定真假且不是陈述句,故不构成命题.2.下列语句中命题的个数是( )①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3【解析】选D.①③④是命题;②不能判断真假,不是命题.3.(2016·湛江高二检测)下列命题中是假命题的是( )A.若a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥bB.若|a|=|b|,则a=bC.若a c2>b c2,则a>bD.5>3【解析】选B.|a|=|b|只能说明a与b长度一样.a=b不一定成立.【误区警示】选项A易忽视括号中条件的作用,错认为是假命题,而选项B易忽视向量的方向,错认为是真命题.4.下列说法正确的是( )A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.“四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题【解析】选D.当a>4时,方程x2-4x+a=0的判别式Δ<0,方程无实根.5.(2016·安阳高二检测)下列命题是真命题的是( )A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0)C.已知点A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,则直线x0x+y0y-1=0与圆C相交D.圆柱的俯视图可能为矩形【解析】选D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱,不满足棱柱的定义,所以A不正确;过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0),直线的斜率不存在时,无法表示出来,所以B不正确;因为A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,所以+<1,所以圆心(0,0)到直线x0x+y0y=1的距离:d=>1,所以直线x0x+y0y=1与圆相离.所以C不正确.圆柱的俯视图可能为矩形,当圆柱放倒时,满足题意,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.给出下列命题:①若ac=bc,则a=b;②方程x2-x+1=0有两个实根;③对于实数x,若x-2=0,则x-2≤0;④若p>0,则p2>p;⑤正方形不是菱形.其中真命题是,假命题是.【解析】①c=0时,a不一定等于b,假命题.②此方程无实根,假命题.③结论成立,真命题.④0<p≤1时结论不成立,假命题.⑤不成立,假命题.答案:③①②④⑤7.把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是.【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是这个函数是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数【延伸探究】判断本题中命题的真假.【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.8.给出下列命题:①在△ABC中,若∠A>∠B,则sinA>sinB;②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数;③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点;④若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,则得到函数y=sin的图象.其中真命题的序号是.【解析】①∠A>∠B⇒a>b⇒sinA>sinB,①为真命题,②③易知正确.④将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P4练习T3改编)把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假:(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.(2)二次函数的图象关于y轴对称.【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角.或:若一条线段是一个等腰三角形的底边上的中线,则这条线段垂直于底边且平分顶角,真命题.(2)若一个函数是二次函数,则它的图象关于y轴对称,假命题.10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)ac>bc⇒a>b.(2)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.(3)当m>时,mx2-x+1=0无实根.(4)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.【解析】(1)若ac>bc,则a>b,是假命题.(2)已知x,y∈N*,若y=x+1,则y=3,x=2,是假命题.(3)若m>,则mx2-x+1=0无实根,是真命题.(4)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.一、选择题(每小题5分,共10分)1.下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解题指南】利用空间中线面位置关系的有关定理逐一判断.【解析】选C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交,选项A错; 如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B不正确;如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a ∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c⊂α,d⊄α,所以d∥α,又因为d⊂β,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.2.(2016·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为( )①函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;②若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;③若△ABC为锐角三角形,则sinA<cosB.A.1个B.2个C.3个D.0个【解题指南】由f(x)+f(-x)=2判断①;数形结合判断③;利用三角函数的单调性判断④.【解析】选B.对于①,f(x)+f(-x)=2x3-3x+1-2x3+3x+1=2,则函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称,即①正确;对于②,若实数x,y满足x2+y2=1,如图,可看作过点(-2,0)与圆x2+y2=1上点的直线的斜率,相切时取得最值,则的最大值为,②正确;对于③,若△ABC为锐角三角形,则A+B>,-B<A<,所以sinA>sin=cosB,③错误.所以正确命题的个数是2个.【补偿训练】已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )A.a≥-3B.a>-3C.a≤-3D.a<-3【解析】选D.因为x+3≥0,x≥-3,所以A={x|x≥-3}.又因为a∈A是假命题,即a∉A,所以a<-3.二、填空题(每小题5分,共10分)3.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”条件p: ,结论q: .它是(填“真”或“假”)命题.【解析】a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,所以命题为真命题.答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真4.下列4个命题:①∀a∈R,a2>0;②∃α∈R,sin2α+cos2α=;③∀x1,x2∈R,若x1<x2则<;④∃α∈R,sinα=cosα.其中真命题为.【解析】①a=0时,命题错误;②不存在α∈R,sin2α+cos2α=;③因为y=2x是增函数,所以∀x1,x2∈R,若x1<x2则<正确.④∃α∈R,sinα=cosα,正确.例如α=时.答案:③④三、解答题(每小题10分,共20分)5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.(1)乘积为1的两个实数互为倒数.(2)奇函数的图象关于原点对称.(3)与同一直线平行的两个平面平行.【解析】(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.p:两个平面与同一条直线平行;q:两个平面平行.6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题?说明理由.【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.。
高中数学选修1_1全册习题(答案详解)
目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
(人教版)高中数学选修1-1课后提升作业 八 1.4.3含解析
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课后提升作业八含有一个量词的命题的否定(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·襄阳高二检测)已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则( )A.﹁p:∃x0∈R,sinx0≥1B.﹁p:∀x∈R,sinx≥1C.﹁p:∃x0∈R,sinx0>1D.﹁p:∀x∈R,sinx>1【解析】选C全称命题的否定是特称命题,并将结论加以否定,所以命题的否定为∃x0∈R,sinx0>1.2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:∃n0∈N,>,则﹁p为( )【解析】选C.﹁p:∀n∈N,n2≤2n.3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数【解析】选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.4.(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1.【拓展延伸】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.(3)否定性质:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.注意:无量词的全称命题要先补回量词再否定.【补偿训练】已知命题p:∃x0∈R,使tanx0=1,其中正确的是( )A.﹁p:∃x0∈R,使tanx0≠1B.﹁p:∃x0∉R,使tanx0≠1C.﹁p:∀x∈R,使tanx≠1D.﹁p:∀x∉R,使tanx≠1【解析】选C.因为命题p:∃x0∈R,使tanx0=1为特称命题,所以它的否定为全称命题,即﹁p: ∀x∈R,使tanx≠1.5.(2016·中山高二检测)已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+<0,命题q:∃x0∈R,sinx0-cosx0=,则下列判断中正确的是( )A.p是真命题B.q是假命题C.﹁p是假命题D.﹁q是假命题【解题指南】先判断p,q的真假,再得﹁p,﹁q真假,进而得结论.【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0,所以p是假命题,﹁p为真命题.又sinx0-cosx0=sin≤,故q是真命题,﹁q为假命题.所以选D.6.命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是( )A.m<1B.m>-1C.-1<m<1D.-1≤m≤1【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可.【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题,命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题.即对于∀x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,得m<(2x2-x)min=1.命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题,则∃x0∈[1,2],-m<log2x0,只要-m<(log2x)max=1,得m>-1.综上所述,-1<m<1.7.(2016·天津高二检测)已知命题p:∀b∈[0,+∞),f(x)=x2+bx+c在[0,+∞)上为增函数,命题q:∃x0∈Z,使log2x0>0,则下列结论成立的是( )A.(﹁p)∨(﹁q)B.(﹁p)∧(﹁q)C.p∧(﹁q)D.p∨(﹁q)【解题指南】先分别判断p,q的真假,再判断﹁p,﹁q的真假,从而得结论.【解析】选D.f(x)=x2+bx+c=+c-,对称轴为x=-≤0,。
高中数学(人教A版)选修1-1能力深化提升 第一章 Word版含解析
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能力深化提升类型一四种命题及其真假判断【典例】(·银川高二检测)将下列命题改写成“若,则”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假.()垂直于同一平面的两条直线平行.()当<时,方程有实数根.【解析】()将命题写成“若,则”的形式为:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.它的逆命题、否命题和逆否命题如下:逆命题:若两条直线平行,则这两条直线垂直于同一个平面.(假)否命题:若两条直线不垂直于同一个平面,则这两条直线不平行.(假) 逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不垂直于同一个平面.(真)()将命题写成“若,则”的形式为:若<,则方程有实数根.它的逆命题、否命题和逆否命题如下:逆命题:若方程有实数根,则<.(假)否命题:若≥,则方程没有实数根.(假)逆否命题:若方程没有实数根,则≥.(真)【方法总结】四种命题的写法及其真假的判断方法()四种命题的写法:①明确条件和结论:认清命题的条件和结论,然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.②应注意:原命题中的前提不能作为命题的条件.()简单命题真假的判断方法:①直接法:判断简单命题的真假,通常用直接法判断.用直接法判断时,应先分清条件和结论,运用命题所涉及的知识进行推理论证.②间接法:当命题的真假不易判断时,还可以用间接法,转化为等价命题或举反例.用转化法判断时,需要准确地写出所给命题的等价命题. 【巩固训练】(·海南高二检测)有下列四个命题:①“若,则互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若≤,则方程有实根”的逆否命题;④“若∪,则⊇”的逆否命题.其中是真命题的有( ).①②.②③.①③.③④【解析】选.①逆命题是若互为倒数,则,是真命题;②否命题是不相似的三角形周长不相等,是假命题;③逆否命题是若方程无实根,则>.因为Δ()<,所以>,所以该命题为真命题;④因为∪,所以⊆,所以该命题为假命题.类型二充分条件与必要条件的判定与应用【典例】()(·济南高二检测)“”是“函数()只有一个零点”的( )。
人教A版18年高二数学选修1-1全册-课时提升作业四
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课时提升作业四充分条件与必要条件一、选择题(每小题5分,共25分)1.“φ=”是“cosφ=0”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件,又是必要条件D.既不是充分条件,也不是必要条件【解析】选A.当φ=时,有cosφ=0,但当cosφ=0时,φ=kπ+,k∈Z.2.(2016·嘉兴高二检测)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选C.A∪B={x∈R|x<0,或x>2},C={x∈R|x<0,或x>2},因为A∪B=C,所以x∈A∪B⇒x∈C,且x∈C⇒x∈A∪B,所以x∈A∪B是x∈C的充分条件,同时也是必要条件.3.下列各小题中,p是q的充分条件的是( )①p:m<-2,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;②p:=1,q:y=f(x)是偶函数;③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ.A.①B.③C.②③D.①②【解析】选D.①y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则Δ=m2-4(m+3)>0,得m>6或m<-2,所以p是q的充分条件;②因为=1,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以p是q的充分条件;③当α=β=kπ+时,tanα,tanβ无意义,所以p是q的必要条件.4.已知q是等比数列{a n}的公比,则“q<1”是“数列{a n}是递减数列”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件,又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选D.等比数列的单调性与首项和公比都有关系.【误区警示】本题中的等比数列易与等差数列混淆,忽略首项的作用.5.(2015·成都高二检测)已知α,β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是( )A.存在一条直线l,l⊂α,l∥βB.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥βC.存在一条直线l,l⊥α,l⊥βD.存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β【解析】选C.A.存在一条直线l,l⊂α,l∥β,此时α,β可能相交.B.若存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,可能相交.C.若存在一条直线l,l⊥α,l⊥β,则α∥β成立,反之不一定成立,满足条件.D.若存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β,则α⊥β,所以不满足题意.【补偿训练】(2015·佛山高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( )A.1<x<3B.-1<x<1C.<x<D.<x<5【解析】选C.x2-x<0⇒0<x<1,运用集合的知识,易知只有C中由<x<可以推出0<x<1,其余均不可.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设A,B是非空集合,则A∩B=A是A=B的条件(填“充分”“必要”). 【解析】当A∩B=A时,只能得出A⊆B,得不出A=B,但当A=B时,一定有A∩B=A,即由A=B可以推出A∩B=A.答案:必要7.设x,y∈R,那么“x>y>0”是“>1”的条件(填“充分”“必要”).【解析】由>1⇒>0⇒x>y>0或x<y<0.因此“x>y>0”能推断“>1”.答案:充分8.(2015·济南高二检测)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a 的取值范围是.【解析】p:x>1,若p是q的充分条件,则p⇒q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≤1.答案:(-∞,1]三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断“x=1”“x=2”“x=1或x=2”是方程x2-3x+2=0的充分条件还是必要条件.【解析】当x=1时,方程成立,所以“x=1”是方程的充分条件,同理“x=2”、“x=1或x=2”都是方程的充分条件;当方程成立时,x=1或x=2,所以“x=1”“x=2”是方程的充分条件,但不是必要条件,“x=1或x=2”既是方程的充分条件,也是方程的必要条件10.(2015·昆明高二检测)已知命题p:对数log a(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0.(1)若命题p为真,求实数t的取值范围.(2)若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为命题p为真,则对数的真数-2t2+7t-5>0,解得1<t<.所以实数t的取值范围是.(2)因为命题p是q的充分条件,所以{t|1<t<是不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0的解集的子集.方法一:因为方程t2-(a+3)t+(a+2)=0的两根为1和a+2,所以只需a+2≥,解得a≥.即实数a的取值范围为.方法二:令f(t)=t2-(a+3)t+(a+2),因为f(1)=0,所以只需f≤0,解得a≥. 即实数a的取值范围为.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·新乡高二检测)“sinx=1”是“cosx=0”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件,又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.当sinx=1时,由sin2x+cos2x=1得cos2x=0即cosx=0;所以“sinx=1”是“cosx=0”的充分条件,当cosx=0时,由sin2x+cos2x=1,得sin2x=1,即sinx=±1,因此由cosx=0不能推出sinx=1,因此“sinx=1”不是“cosx=0”的必要条件.2.(2015·福州高二检测)集合A=,B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是( )A.[-2,0)B.(0,2]C.(-2,2)D.[-2,2]【解析】选C.A=={x|-1<x<1},B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a},因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即-2<b<2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为.【解析】由于x2<1即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1一定成立,②③④满足题意. 答案:②③④4.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β.则其中能使m∥α成立的充分条件有.【解析】①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,m可能在平面α内.答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·青岛高二检测)已知p:x2-2x-3<0,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}(a>0),所以解得a≥2,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2,即(-∞,2).6.(2015·宝鸡高二检测)已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈,B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围.【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得y=+.因为x∈,所以y∈.所以A=.由|x-m|≥1,解得x≥m+1或x≤m-1.所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.因为命题p是命题q的充分条件,所以A⊆B.所以m+1≤或m-1≥2,解得m≤-或m≥3.故实数m的取值范围是∪[3,+∞).关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业 八
含有一个量词的命题的否定
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2015·湖北高考)命题“∃x 0∈(0,+∞),lnx 0=x 0-1”的否定是 ( )
A.∃x 0∈(0,+∞),lnx 0≠x 0-1
B.∃x 0∉(0,+∞),lnx 0=x 0-1
C.∀x ∈(0,+∞),lnx ≠x-1
D.∀x ∉(0,+∞),lnx=x-1
【解析】选C.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为∀x ∈(0,+∞),lnx ≠x-1.
【补偿训练】命题p:∀x ∈
B. D.(取整函数),满足∀x ∈
R,f(x+1)>f(x).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是 .
【解析】由于命题“任意偶数是2的倍数”是全称命题,故其否定要改写成特称命题. 答案:存在偶数不是2的倍数
【补偿训练】命题“∀x ∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是 .
【解析】全称命题的否定是特称命题,全称量词“任意”改为存在量词“存在”,并把结论否定.
答案:∃x 0∈R,|x 0-2|+|x 0-4|≤3
4.(2016·运城高二检测)命题p 是“对某些实数x,有x-a>0或x-b ≤0”,其中a,b 是常数
.
(1)命题p的否定是.
(2)当a,b满足条件时,命题p的否定为真.
【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,需要使不等式组{x−a≤0,
x−b>0的解集为R.
通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b<a.
答案:(1)对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0 (2)b<a
三、解答题
5.(10分)(2016·福州高二检测)a,b,c为实数,且a=b+c+1,证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
【解题指南】利用原命题与其否定真假性相反证明.
【证明】原命题的否定为:两个方程都没有两个不等的实数根,则
Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,所以Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0.
因为a=b+c+1,所以b+c=a-1.
所以1-4(a-1)+a2≤0,即a2-4a+5≤0.
但是a2-4a+5=(a-2)2+1>0,故矛盾.
所以原命题的否定是假命题,原命题为真命题,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
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