(lecture_04)4动态规划(1)
动态规划超级详细的讲义
动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
4-动态规划
5
B2
4 13
10
C2
5 8
E D2
f4(D2)=2
2
1
B3
12 11
C3
f3(C3)=12
10
(B1, C1 ) + f3 (C1 ) 12 + 8 20 f2 (B1 ) = m (B1, C2 ) + f3 (C2 ) = m 14 + 7 = m 21 = 20 in in in (B , C ) + f (C ) 10 +12 22 3 3 1 3 最 决 B1 →C1 优 策
3/57
一、动态规划的基本概念-（一）动态规划的基本思路 动态规划的基本概念例如，以灌溉或发电为目标的年调节水库调度问题， 例如，以灌溉或发电为目标的年调节水库调度问题，就 是一个多阶段决策过程。 是一个多阶段决策过程。 一年可以按时间分成若干阶段 在每个阶段， 阶段。 一年可以按时间分成若干阶段。在每个阶段，以水库蓄 变量， 决策变量 水量（或水位） 状态变量 以放水量为决策变量， 水量（或水位）为状态变量，以放水量为决策变量，把 灌溉效益或发电量最大化作为目标函数。 目标函数 灌溉效益或发电量最大化作为目标函数。在满足约束条 决策序列。 件下确定各时段放水量，即组成一个决策序列 件下确定各时段放水量，即组成一个决策序列。如果所 选定的各时段放水量能使全年灌溉或发电效益最大，这 选定的各时段放水量能使全年灌溉或发电效益最大， 就是一个最优策略 即最优调度方案。 最优策略， 就是一个最优策略，即最优调度方案。由于各阶段决策 与时间进程有关，故称为动态规划。 与时间进程有关，故称为动态规划。 动态规划不仅能解决与时间有关的优化问题， 动态规划不仅能解决与时间有关的优化问题，而且也能 与时间有关的优化问题 解决与时间无关的静态问题。 与时间无关的静态问题 解决与时间无关的静态问题。 例如，资源分配问题、投资分配问题、最优线路问题、 例如，资源分配问题、投资分配问题、最优线路问题、 结构优化问题等。 结构优化问题等。只要能够把问题分成多个阶段或步骤 进行决策，就可用动态规划寻求最优解。 进行决策，就可用动态规划寻求最优解。 划 动 态 规
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划的基本概念与方法
动态规划的基本概念与方法动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决一类最优化问题的一种方法，也是算法设计中的重要思想。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它将问题分解为子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划的基本概念是“最优子结构”。
也就是说，一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。
通过分解问题为若干个子问题，可以形成一个递归的求解过程。
为了避免重复计算，动态规划使用一个表格来保存已经计算过的子问题的解，以便后续直接利用。
这个表格也被称为“记忆化表”或“DP表”。
动态规划的基本方法是“状态转移”。
状态转移指的是，通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。
常用的状态转移方程可以通过问题的递推关系定义。
通过定义好状态转移方程，可以通过迭代的方式一步步求解问题的最优解。
在动态规划中，通常需要三个步骤来解决问题。
第一步，定义子问题。
将原问题划分为若干个子问题。
这些子问题通常与原问题具有相同的结构，只是规模更小。
例如，对于计算斐波那契数列的问题，可以定义子问题为计算第n个斐波那契数。
第二步，确定状态。
状态是求解问题所需要的所有变量的集合。
子问题的解需要用到的变量就是状态。
也就是说，状态是问题（解决方案）所需要的信息。
第三步，确定状态转移方程。
状态转移方程通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。
通常情况下，状态转移方程可以通过问题的递推关系确定。
在实际应用中，动态规划常用于求解最优化问题。
最优化问题可以归纳为两类：一类是最大化问题，另一类是最小化问题。
例如，最长递增子序列问题是一个典型的最大化问题，而背包问题是一个典型的最小化问题。
动态规划的优势在于可以解决许多复杂问题，并且具有可行的计算复杂度。
但是，动态规划也有一些限制。
首先，动态规划要求问题具有重叠子问题和最优子结构性质，不是所有问题都能够满足这两个条件。
其次，动态规划需要存储计算过的子问题的解，对于一些问题来说，存储空间可能会非常大。
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
感谢您的观看
第八章动态规划1PPT课件
第八章 动态规划
３.决策（Decision) uk(sk) 决策指从一个阶段的某个状态演变到下一个阶段的
某个状态的选择。
uk(sk)表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量。 Ｄk(sk)表示决策集合。 Ｄ1(s1)= u1(A) = B1,B2 ; D2(S2)= u2(B1),u2(B2) =
C1,C2,C3;C2,C3,C4 ……
第八章 动态规划
二、动态规划的基本概念和基本原理
以书中例1最短路线问题为例，说明动态 规划的基本概念。
第八章 动态规划
1.阶段（stage)k 阶段指作出决策的若干轮次。将所给问题的过程，按
时间或空间特征分解成若干个相互联系的阶段，以 便按次序去求每阶段的解，常用k表示阶段变量。 如上例中我们把从A到G看成一个六阶段问题，k（阶 段变量）分别等于1，2，3，4，5，6
1、离散确定型； 2、离散随机型； 3、连续确定型； 4、连续随机型；
第八章 动态规划
• 应用
– 最短路问题 – 资源分配问题 – 生产调度问题 – 库存问题 – 排序问题 – 设备更新问题 – 生产过程最优控制问题
第八章 动态规划
多阶段决策过程最优化问题举例
1、最短路问题：运输网络如下图，求从A到E的最短路。
D5(S5)= u5(E1),u5(E2),u5(E3) = F1,F2; F1,F2; F1,F2 = F1,F2
D6(S6)= u6(F1),u6(F2) = G,G = G
第八章 动态规划
4.策略(policy)和子策略（sub-policy)
策略是指全过程中按顺序排列的各阶段决策 组成的集合。记为：p1,n(s1)
增加产量
成本降低 库存费增加
动态规划专题讲义解读课件
02
动态规划基本问题
最短路径问题
总结词
最短路径问题是动态规划中常见的问题类型，主要解决在给定图 中从起点到终点的最短路径问题。
详细描述
最短路径问题可以分为单源最短路径问题和多源最短路径问题。 单源最短路径问题是指给定一个起点和一组终点，求起点到每个 终点的最短路径。多源最短路径问题则是给定一组起点和终点， 求每对起点和终点之间的最短路径。
问题规模限制
对于大规模问题，动态规划算法可能 会面临性能瓶颈，因为其时间复杂度 是指数级的。
适用性问题
并非所有问题都适合使用动态规划算 法，对于一些问题，其他算法可能更 有效。
06
动态规划的未来发展展望
动态规划与其他算法的结合使用
动态规划与机器学习算法 结合
利用动态规划优化机器学习模型的训练过程 ，提高模型的预测精度和泛化能力。
动态规划理论研究的深入和创新
深入研究动态规划算法的数学基础和 理论基础，探索其更广泛的应用领域 。
创新动态规划算法的设计和应用，解 决现实生活中的复杂问题，推动科学 技术的发展。
THANK YOU
感谢聆听
动态规划与人工智能算法 结合
将动态规划应用于人工智能领域，如强化学 习、自然语言处理等，以解决更复杂的问题
。
动态规划在大数据和云计算领域的应用前景
大数据处理
利用动态规划处理大规模数据集，提 高数据处理效率，降低计算成本。
云计算优化
通过动态规划算法优化云计算资源的 分配和管理，提高资源利用率和系统 性能。
动态规划专题讲义解读课件
目
CONTENCT
录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本问题 • 动态规划的算法实现 • 动态规划的应用场景 • 动态规划的优缺点分析 • 动态规划的未来发展展望
运筹学：第4章 动态规划 动态规划第1节
opt {v k(sk
x k D k (sk )
1) 0，k
,x k ) n,n
fk 1(sk 1
1, ,2,1
)}
n
指标函数为阶段指标之 和，即 V kn v i(si ,xi )
或
i k
fk(sk )
fn 1(sn
opt {v k(sk
x k D k (sk )
1) 1，k
,x k ) n,n
P* 14
AB2C 1D1E
f1 19
最短路 最短距离
• 总结以上求解过程，可用如下递推方程表示
fk(s k
)
x
k
min
D k (sk
{v
)
k(s
k
,x
k
)
fk 1(sk 1 )}
f5(s5 ) 0，k 4,3,2,1
一般动态规划基本（逆序递推）方程表示为：
fk(sk )
fn 1(sn
表示两点间距离。现需选一条由A到E的旅行路线， 使总距离最短。
• 以上两个例子代表了这样一种特殊的决策 过程，该过程可分为互相联系的若干阶段， 每一阶段都需做出决策，从而形成全过程 的决策。这种把一个问题看作一个前后关 联具有链状结构的多阶段过程称为多阶段 决策过程，也称序贯决策过程，相应的问 题称为多阶段决策问题。
动态规划专题讲义课件
VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。
动态规划求解方法
动态规划求解方法动态规划(Dynamic Programming)是一种常见的求解优化问题的方法，它通过将问题分解成更小的子问题，并保存子问题的解来降低时间复杂度。
动态规划通常使用一个表格来记录子问题的解，然后根据递推关系计算出更大问题的解。
动态规划的求解方法一般包含以下几个步骤：1.定义问题：首先，需要明确要解决的问题是什么。
动态规划通常适用于求解具有最优子结构性质的问题，即原问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解得到。
2.确定状态：接下来，需要确定动态规划的状态。
状态是问题中会变化的量，它包含了问题的关键信息。
在动态规划中，状态可以是一个或多个变量。
3.建立转移方程：然后，需要建立问题的转移方程。
转移方程描述了问题状态之间的关系，用来计算子问题的最优解。
转移方程可以通过观察问题的特点或者使用递推关系得到。
4.确定初始条件：接下来，需要确定边界条件或初始条件。
边界条件是问题中的一些特殊情况，它们通常是一些最小子问题的解。
初始条件是指将边界条件中的解赋值给表格中对应的位置。
5.使用递推关系计算：最后，使用递推关系将表格中的其他位置的解计算出来。
通常，可以使用自底向上的方法，从表格的第一个位置开始计算，依次填充整个表格。
动态规划的优点在于它可以将一个复杂的问题分解成多个子问题，然后通过记录子问题的解来减少重复计算。
这样，可以大大提高求解问题的效率。
动态规划通常适用于求解满足最优化原理和无后效性条件的问题。
最优化原理是指问题的最优解具有递归的结构，即解可以通过子问题的最优解得到。
无后效性条件是指问题的当前状态决定了未来的决策，与过去的决策无关。
动态规划在算法设计和实现中有很多经典的应用，例如最长公共子序列问题、0/1背包问题、最短路径问题等。
下面简要介绍其中的两个经典应用。
1.最长公共子序列问题：给定两个字符串s1和s2，求它们的最长公共子序列。
最长公共子序列是指在两个字符串中以相同的顺序出现的最长的子序列。
《动态规划》课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
第四讲动态规划
第四章动态规划§1 引言1.1动态规划的发展及研究内容动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策问题的最优化方法。
20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。
1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。
因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。
因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
例1最短路线问题下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。
试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。
例2生产计划问题工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。
经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。
如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。
动态规划的基本概念与算法设计
动态规划的基本概念与算法设计动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的优化方法，常用于计算机科学和数学领域。
它的基本思想是将一个复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来构建原问题的最优解。
一、动态规划的基本概念动态规划中的概念主要包括以下几个方面：1. 最优子结构（Optimal Substructure）：一个问题的最优解可以由其子问题的最优解来构建。
也就是说，问题的最优解具备递归性质。
2. 无后效性（无后效性）：一个阶段的状态一旦确定，就不受之后决策的影响。
也就是说，在解决某个阶段的问题时，只需要考虑当前阶段的状态和选择，无需关心之后的情况。
3. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）：子问题之间可能会出现重叠的情况，即不同的子问题具有相同的子问题。
二、动态规划的算法设计步骤动态规划的算法设计通常包括以下步骤：1. 确定状态：首先要明确问题的求解需要哪些状态量，并将问题抽象化，将问题的每个阶段的状态定义清楚。
2. 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构，利用递归的思想，确定问题的状态转移方程。
状态转移方程描述了问题从一个阶段到下一个阶段的状态转移过程。
3. 确定初始条件和边界条件：确定问题的初始状态和边界状态，也就是递归的终止条件。
4. 确定计算顺序：确定问题的计算顺序，通常是从小规模的子问题开始，逐渐扩展到原问题的规模。
5. 填表计算：根据状态转移方程和初始条件，填充计算表格，记录子问题的最优解。
6. 求解原问题：根据计算表格中的最优解，推导出原问题的最优解。
三、动态规划的示例应用为了更好地理解动态规划的基本概念和算法设计步骤，下面以一个经典的示例问题来说明。
问题描述：给定一个数组nums，其中的元素表示一系列可抢劫的房屋的价值。
要求求解出在不触发警报的情况下，可以获得的最大抢劫价值。
解决思路：1. 状态定义：定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示前i个房屋能够获得的最大抢劫价值。
动态规划(1)解析
例3（生产与存储问题）某工厂生产并销售某种产品。
已知今后四个月市场需求预测及每月生产j个单位
○1北0 京84
○8 ○9
河北
5 8 ○5 6 9○6 6 1○7
山西
10 9
○2
7
6 7
○3
8 3○4
2 4 ○1
3 甘肃
陕西
3、决策：当一个阶段的状态确定后，可以作出各种选
允许决 择从而演变到下一阶段的某个状态，这种选 策集合 择手段称为决策
决策变量 描述决策的变量 ，简称为决策
uk
sk
第k阶段处
2 4 ○1
3 甘肃
8 3○4
陕西
s4 第4阶段的状态变量 s4=8 第4阶段的状态○8
S3 ={s3}={5，6，7} S5 ={10}
注：n个阶段的决策过程有个n+1状态变量 sn+1,表示sn演变的结果
例3（生产与存储问题）某工厂生产并销售某种 产品。已知今四个月市场需求预测如下表，又 每月生产j个单位产品的费用为
于
状态s
时的决策
k
变
量
U k sk 决策变量uk (sk )允许取值的范围
○北10 京84
○8 ○9
河北
5 8 ○5 6 9○6 6 1○7
山西
10 9
○2
7
6 7
○3
8 3○4
2 4 ○1
3 甘肃
陕西
u2 3 第2阶段当状态为3时的决策变量
可取值为：5，6，7
u2 3 7
决策 3 7
U 2 3 ={5，6，7}
例4（投资决策问题）某公司现有资金Q万 元，在今后5年内决定给A、B、C、D四 个项目投资，这些项目的投资期限、回 报率均不相同，问应如何确定这些项目 每年的投资额，使到第5年末拥有资金的 本利总额最大。
动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧
动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧动态规划应用 - 动态规划解决问题的思路与技巧动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法思想，用于解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
通过将大问题划分为小问题，并将小问题的解存储起来以避免重复计算，可以在一定程度上优化问题的求解过程。
本文将介绍动态规划的应用，并提供一些思路与技巧。
一、动态规划的基本思路动态规划问题通常可以由以下步骤解决：1. 定义状态：将问题划分成若干子问题，并确定每个子问题需要记录的状态。
2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，建立状态转移方程，以表达子问题的最优解与更小规模子问题的关系。
3. 初始化边界条件：确定最小规模子问题的解，并初始化状态转移方程中需要用到的边界条件。
4. 递推求解：按照状态转移方程的定义，从较小规模的子问题开始逐步推导出较大规模的问题的解。
5. 求解目标问题：根据最终推导出的状态，得到原始问题的最优解。
二、动态规划的技巧与优化1. 滚动数组：为了降低空间复杂度，可以使用滚动数组来存储状态。
滚动数组只记录当前状态与之前一部分状态相关的信息，避免了存储所有状态的需求。
2. 状态压缩：对于某些问题，可以将状态压缩成一个整数，从而大幅减小状态的数量。
例如，当问题中涉及到某些特定的组合或排列时，可以使用二进制位来表示状态。
3. 前缀和与差分数组：对于某些问题，可以通过计算前缀和或差分数组，将问题转化为求解累加或差对应数组中的某个区间的值的问题，从而简化计算过程。
4. 贪心思想：有些动态规划问题可以结合贪心思想，在每个阶段选择局部最优解，然后得到全局最优解。
5. 双重循环与多重循环：在实际解决问题时，可以使用双重循环或多重循环来遍历状态空间，求解问题的最优解。
三、动态规划的实际应用动态规划广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 最短路径问题：例如，求解两点之间的最短路径、最小生成树等。
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课后一定要练习！ 课后一定要练习！ DP”相-当-”重要！ DP” 重要！
38 2010-11-11
有志于参加竞赛的同学， 有志于参加竞赛的同学， 竞赛的同学 加油！！！ 加油！！！
39 2010-11-11
ACM,
天天见！ 天天见！
40 2010-11-11
12 2010-11-11
试想一下：
这道题如果用枚举法（暴力思想），在数 塔层数稍大的情况下（如31），则需要列 举出的路径条数将是一个非常庞大的数目 （2^30= 1024^3 > 10^9=10亿）。
13 2010-11-11
所以， 所以，不可以如此暴力！！！
14 2010-11-11
考虑一下： 考虑一下：
18 2010-11-11
三、HDOJ_1160
题目链接
Sample Input 6008 1300 6000 2100 500 2000 1000 4000 1100 3000 6000 2000 8000 1400 6000 1200 2000 1900
FatMouse's Speed
Sample Output 4 4 5 9 7
ACM 程序设计
计算机学院 刘春英
1 2010-11-11
今天， 今天，
你 了吗？
2 2010-11-11
每周一星（3）： 每周一星（
liuzewei
3 2010-11-11
第四讲 动态规划(1) 动态规划(1)
programming） （Dynamic programming）
4 2010-11-11
15 2010-11-11
Understand?
16 2010-11-11
二、思考题：最长有序子序列 思考题：
I 0 1 4 2 7 3 2 4 5 5 8 6 3 7 6 8 9 Num[I] 1
请回答： 穷举（暴力）方法的时间复杂度是多少？
17 2010-11-11
解决方案： 解决方案：
I 0 1 4 2 2 7 3 3 2 2 4 5 3 5 8 4 6 3 3 7 6 4 8 9 5 Num[I] 1 F[I] 1
从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决 于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大 值，只要左右两道路径上的最大值求出来了才能 作出决策。 同样，下一层的走向又要取决于再下一层上 的最大值是否已经求出才能决策。这样一层一层 推下去，直到倒数第二层时就非常明了。 如数字2，只要选择它下面较大值的结点19前 进就可以了。所以实际求解时，可从底层开始， 层层递进，最后得到最大值。 结论：自顶向下的分析，自底向上的计算。 结论：自顶向下的分析，自底向上的计算。
6 2010-11-11
思考2分钟:如何解决? 思考2分钟:如何解决?
7 2010-11-11
初步分析: 初步分析
我们将n条直线排成一个序列， 我们将 条直线排成一个序列， 条直线排成一个序列 直线2和直线 最多只有一个交点， 和直线1最多只有一个交点 直线 和直线 最多只有一个交点， 直线3与直线 和直线2最多有两个交点 与直线1和直线 最多有两个交点…….， 直线 与直线 和直线 最多有两个交点 ， 直线n和其他 条直线最多有n-1个交点 和其他n-1条直线最多有 个交点， 直线n和其他n-1条直线最多有n-1个交点， 由此得出n条直线互不平行且无三线共点的最多 由此得出 条直线互不平行且无三线共点的最多 交点数max=1+2+……(n-1)=n(n-1)/2, 交点数 但本题不这么简单，因为问题问的是： 但本题不这么简单，因为问题问的是：这些直 线有多少种不同的交点数？ 线有多少种不同的交点数？
9 2010-11-11
从上述n=4的分析过程中，我们发现： 从上述n=4的分析过程中，我们发现： n=4的分析过程中 m条直线的交点方案数 =（m-r）条平行线与r条直线交叉的交点数 条平行线与r r条直线本身的交点方案 + r条直线本身的交点方案 =（m-r）*r+r条之间本身的交点方案数（1<=r<=m） r+r条之间本身的交点方案数（1<=r<=m） 条之间本身的交点方案数
33 2010-11-11
思考： 思考：免费馅饼
34 2010-11-11
如何解决？
请发表见解 ☺
35-11-11
附录：DP练习题 练习题(HDOJ)： 附录：DP练习题(HDOJ)：
1003、1087、1159、1160、1176 1024、1025、1058、1069、1081 1074、1157、1158、1466 1078、1080、1114 1203、1294、1227、1223 1500、1501、1502、1503 1505、1506、1510、2059
10 2010-11-11
一、数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发， 有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底 一结点可以选择向左走或是向右走， 层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。 要求找出一条路径，使路径上的值最大。
11 2010-11-11
用暴力的方法，可以吗？ 的方法，可以吗？
32 2010-11-11
三、动态规划问题的特征
动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具 有的两个重要性质： 1、最优子结构：当问题的最优解包含了其子 问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。 2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问 题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些 子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用 了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解 一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽 可能多地利用这些子问题的解。
27 2010-11-11
理论总结
28 2010-11-11
一、动态规划的基本思想
29 2010-11-11
一、动态规划的基本思想
如果各个子问题不是独立的，不同的子 问题的个数只是多项式量级，如果我们 能够保存已经解决的子问题的答案，而 在需要的时候再找出已求得的答案，这 样就可以避免大量的重复计算。由此而 来的基本思路是，用一个表记录所有已 解决的子问题的答案，不管该问题以后 是否被用到，只要它被计算过，就将其 结果填入表中。
先热身一下—— 先热身一下
5 2010-11-11
（1466）计算直线的交点数 1466）
问题描述： 平面上有n条直线，且无三线共点，问这些直线 能有多少种不同交点数。 输入：n（n<=20） 输出：每个测试实例对应一行输出，从小到大列 出所有相交方案，其中每个数为可能的交点数。 样例输入 4 样例输出 0 3 4 5 6
题目链接
Sample Input abcfbc abfcab programming contest abcd mnp Sample Output
4 2 0
24 2010-11-11
请先计算暴力算法的时间复杂度： （当然是指最坏情况！）
25 2010-11-11
辅助空间变化示意图 a b f c a b a 1 1 1 1 1 1 b 1 2 2 2 2 2 c 1 2 2 3 3 3 f 1 2 3 3 3 3 b 1 2 3 3 3 4 c 1 2 3 4 4 4
20 2010-11-11
Qestion:
两个问题有本 质区别吗？ 质区别吗？
21 2010-11-11
思考（期末考试题）： 思考（期末考试题）：
Super Jumping! Jumping! Jumping!
22 2010-11-11
解题思路？ 解题思路？
23 2010-11-11
四、HDOJ_1159 Common Subsequence
26 2010-11-11
子结构特征： 子结构特征：
f(i,j)=
{
f(i-1,j-1)+1 (a[i]==b[j]) max(f(i-1,j),f(i,j-1)) (a[i]!=b[j])
由于f(i,j)只和f(i-1,j-1), f(i-1,j)和f(i,j-1)有 关, 而在计算f(i,j)时, 只要选择一个合适 的顺序, 就可以保证这三项都已经计算出 来了, 这样就可以计算出f(i,j). 这样一直 推到f(len(a),len(b))就得到所要求的解了.
19 2010-11-11
题目分析： 题目分析：
表示第i只老鼠的重量 设Mice[i].W表示第 只老鼠的重量，Mice[i].S 表示第 只老鼠的重量， 表示第i只老鼠的速度 我们先对Mice进行排 只老鼠的速度。 表示第 只老鼠的速度。我们先对 进行排 为第一关键字， 序，以W为第一关键字，从小到大，S为第二 为第一关键字 从小到大， 为第二 关键字，从大到小。 关键字，从大到小。 最长的序列长度。 设f[i]为Mice[i]至Mice[n]最长的序列长度。考 为 至 最长的序列长度 虑某一个f[i]，则有： 虑某一个 ，则有： f[i] = max(f[i], f[j]+1) (1<=j<i，且Mice[i].W> ， Mice[j].W，Mice[i].S < Mice[j].S) ， 其中，初始条件为 其中，初始条件为f[i]=1 (i=1, 2, ..., n)。 。
30 2010-11-11
二、动态规划的基本步骤
动态规划算法通常用于求解具有某 种最优性质的问题。在这类问题中，可 能会有许多可行解。每一个解都对应于 一个值，我们希望找到具有最优值（最 大值或最小值）的那个解。设计一个动 态规划算法，通常可以按以下几个步骤 进行：
31 2010-11-11
（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。 （2）递归地定义最优值。 （3）以自底向上的方式计算出最优值。 （4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个 最优解。 其中（1）——（3）步是动态规划算法的 基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤 （4）可以省去。若需要求出问题的一个最优 解，则必须执行步骤（4）。此时，在步骤（3） 中计算最优值时，通常需记录更多的信息，以 便在步骤（4）中，根据所记录的信息，快速 构造出一个最优解。