山东师大附中2010届高三第二次模拟考试(理)【人教A版】

山东师大附中2010届高三第二次模拟考试数 学 试 题（理）1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式0412>--x x 的解集为（ ）A ．()1,2-B ．()+∞,2C ．()()+∞-,21,2D ．()()+∞-∞-,12,2．若)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值为 （ ）A ．31B ．31-C ．97D ．97-3．已知等差数列}{n a 的前13项之和为413π，则)tan(876a a a ++等于（ ）A ．33B ．3C ．1-D ．14．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则()=86b b（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16５．设函数()()R x x x x x f ∈-=2sin sin 22sin 2，则函数()x f y =是 （ ）A ．最小正周期是π的偶函数B ．最小正周期是π的奇函数C ．最小正周期是2π的偶函数D ．最小正周期是2π的奇函数 ６．已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则=⎪⎭⎫⎝⎛4πf（ ）Ａ．2 Ｂ．12-Ｃ．1Ｄ．07．设x 是正数，则x x z 2312-++=的最大值为（ ）Ａ．２ Ｂ．22Ｃ． 3Ｄ．32８设222100131211++++= S ，则S 的范围是（ ）Ａ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 Ｂ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,23Ｃ．()3,2 Ｄ．⎪⎭⎫ ⎝⎛25,2９．若关于x 的不等式)(1|2||1|2R x a a x x ∈++>++-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()2,1-B ．),2()1,(+∞--∞C ．()1,2-D ． ()()+∞-∞-,12,10．函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，已知其导函数 )(x f ' 的部分图象如图所示，则 )(x f 的函数解析式为（ ）A ．1()3sin ()24f x x π=+B ．1()6sin ()24f x x π=+C ．1()3sin ()24f x x π=-D ．1()6sin ()24f x x π=-11． 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，若c b a ,,成等差数列，则角B 的范围是（ ）A ．40π≤<B B ． 30π≤<BC ．23ππ≤≤BD ．ππ<<B 212．设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 的图像关于点(,0)4π对称C ．把()f x 的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像D ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题．每小题4分，共16分． 13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则69S S = ． 14．若222|1||1|≥--+x x ，则x 取值范围是 ．15． 实数y x ,满足122=+y x ，则12-+y x xy的最大值为 ．16． 某公司租赁甲、乙两种设备生产B A ,两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件, B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元．三、解答题（共74分）17．（本小题满分12分）设函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()sin cos ,'()f x x x f x =+是()f x 的导函数． （1）求函数2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期；（2）若()2'()f x f x =，求221sin cos sin cos x x x x+-的值．19．（本小题满分12分）购买某种汽车，购车的总费用（包括缴税）为5万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计6000元，汽车的维修费平均为：第一年1000元，第二年2000元，… 依等差数列逐年递增．问这种汽车使用多少年报废合算？（商品的最佳更换年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限；年平均消耗费用=年均成本费的分摊+年均维修费的分摊）20．（本小题满分12分）设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的0x ≥，都有()x x f 31≤．21．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，112,21(N )n n n a a a n *+==++∈． （Ⅰ）求证：数列{2}n n a -为等差数列；（Ⅱ）设数列{}n b 满足)1(log 22n a b n n -+=，证明：1231111(1)(1)(1)(1)nb b b b ++++1+>n 对一切N n *∈恒成立．22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),22,2(N ).n n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n≥-<时，参考答案13、37 14、 43≥x 15、21+ 16、2300 二、解答题17．解：⑴ 当1-=a 时，()11++-=x x x f 。

则()3≥x f 可转化为311≥++-x x 。

当1-<x 时，原不等式转化为()()311≥+--x x ，解得23-≤x ；……………2分 当11≤≤-x 时，原不等式转化为()()311≥++-x x ，即32≥，此时无解；…4分 当1>x 时，原不等式转化为()()311≥++-x x ，解得23≥x ．…………6分 综上可知，不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, ……………………7分⑵ 对于R x ∈∀，11-≥-+-a a x x ，……………………9分要使得()2≥x f 恒成立，只需满足21≥-a 即可，…………11分 解得1-≤a 或3≥a 。

………………12分18．解：⑴ 由已知得()x x x f sin cos '-=，……………………2分故()()()()x x x x x x x x x F 2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 22+=++-+=142sin 212sin 2cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x ……………………4分其最大值为21+，最小正周期为π。

……………………6分⑵ 若()()x f x f '2=，则()x x x x sin cos 2sin cos -=+，得31tan =x 。

……8分 611tan 1tan 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos sin 1222222=-+=-+=-+x x xx x x x x x x x 。

……12分 19．解：设这种汽车使用n 年报废合算，则每年的维修费用平均为n 1000。

由题意可知，每年的平均消耗费用()nn n n f )100020001000(600050000+⋯++++=…………4分165006500500500002650050050000=+⋅≥++=n nn n …………8分 当且仅当n n50050000=，即10=n 时，等号成立。

…………10分 故这种汽车使用10年报废合算。

…………………………12分 20．解：⑴ 由已知得，()()2cos 21cos 2'x x x f ++=……………………2分令()0'>x f ，得01cos 2>+x ，即21cos ->x ， 解得⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∈ππππk k x 232,232…………………………………………4分令()0'<x f ，得01cos 2<+x ，即21cos -<x ， 解得⎪⎭⎫⎝⎛++∈ππππk k x 234,232………………………………6分故单增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππk k 232,232，单减区间为⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 234,232。

()Z k ∈⑵ 令()()x x f x F 31-=，则()x x x x F 31cos 2sin -+= ()()()()222cos 21cos 31cos 21cos 2'x x x x x F +--=-++=，…………………………8分 故对于0≥∀x ，都有()0'≤x F 因而()x F 在[)+∞,0上递减，…………10分 对于0≥∀x ，都有()()00=≤F x F 因此对于0≥∀x ，都有()x x f 31≤………………12分 21．⑴ ()()1222111=--=---+++n n n n nn n a a aa （与n 无关）…………4分故数列{}n n a 2-为等差数列，且公差1=d 。

……………………5分⑵ 由⑴可知，()()11221-=-+-=-n d n a a nn ，故12-+=n a nn …………6分()n n a b n n 21log 22=-+=……………………7分方法一：数学归纳法121141121111111111321+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯⋯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n b b b b n ⑴ 当1=n 时，21123211=+>=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，不等式成立，…………8分 ⑵ 假设()1≥=k k n 时不等式成立，即1211411211+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k ，…9分 那么当1+=k n 时，()()1231232121111211211411211++=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k k k k k ()()()1121211231493123222++=+=+++=+++>+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k k k k k k k k k k k这说明，当1+=k n 时不等式也成立……………………………………11分 综上可知，对于*N n ∈∀，原不等式均成立。