2019届九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.6利用三角函数测高课堂导练课件含2018中考真题新版北师大
九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用1.6 利用三角函数测高
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3.从高处甲看低处乙的俯角为30°，那么(nà me)从乙处看甲 处的仰角为_____3_0_°__.
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知识点一 与方位角有关的问题(P21习题1.6T4变式)
【典例1】如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、
B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、 在码头B的北偏西45°方向，AC =4 km.求码头A，B之间的距离. (结果(jiē guǒ)保留根号)
≈0.86，tan 31°≈0.60.
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解：在Rt△CAD中，tan∠CAD= C D ，
AD
则AD= CD 5CD，
tan 31 3
在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD， ∵AD=AB+BD，∴ 5 CD=CD+30，解得CD=45. 答：这座灯塔(dēngtǎ)的3 高度CD约为45 m.
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内容 总结 (nèiróng)
5 三角函数的应用。题目中点O是观测点，故点O为方向(fāngxiàng)坐标的原点.。B两个游船码头，观光岛
B.75·cos 55°米 D. 米 7 5
tan 5 5
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★2.(2019·济宁市微山一模)如图，港口A在观测站O的正东
方向，OA=2km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行
一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东
60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为 世纪(shìjì)金榜导学
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解：设AD=x cm.由题意(tí yì)可得：AD=DC=x cm，
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.6《利用三角函数测高(第一课时)》习题课件
答：这架无人机的长度AB为5 m.
9. 【中考•内江】如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的 高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再 沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角 为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度(结果 保留根号)．
解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°， ∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE＝∠BDE. ∴BE＝DE. 设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x， DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x， ∴BC＝ BE2－EC2＝（2x）2－x2 3x.
第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高
第1课时 视角在测量中的应用
1 利用锐角三角函数解决测距问题 2 利用锐角三角函数解决不能到达底部的物高问题 3 利用锐角三角函数解决同一位置的视角问题 4 利用锐角三角函数测量有视线障碍的物高
8．【中考•株洲】如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测
结果精确到0.1 m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73)．
解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则四边形MEDC是矩形， ∴ME＝DC＝3，CM＝ED. 在Rt△AEF中，∠AFE＝60°， 设EF＝x，则AF＝2x，AE＝ 3 x. 在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°， ∴DF＝3 3. 在Rt△AMC中，∠ACM＝45°， ∴MA＝MC.∵ED＝MC，∴AM＝ED.
得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tan α＝2 3 ，无 人机的飞行高度AH为500 3 m，桥的长度为1 255 m.
(1)求点H到桥左端点P的距离； (2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为
利用三角函数测高
3. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ 的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测 得电线杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测 得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分别是60° 和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出 电线杆PQ的高度．若测出AB的长度为1 m， 3＋ 3 则电线杆PQ的高度是___6____m_.
解：若选择条件①，由题意得CCDE＝BACB，∴11..28＝A9B， 解得 AB＝13.5 m，∴旗杆 AB 的高度为 13.5 m. 若选择条件②，如图，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F， 则易得四边形 BCDF 是矩形，∴BF＝CD＝1.8 m，DF＝BC＝9 m， 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝52.46°， ∴AF＝DF·tan 52.46°≈9×1.30＝11.7(m)， ∴AB＝AF＋BF≈11.7＋1.8＝13.5(m)， ∴旗杆 AB 的高度约为 13.5 m.
(参考数据：sin 67.38°≈1123，cos 67.38°≈153，tABC 中，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝67.38°，∴BC＝tan∠ABACB≈1x2＝152x(米)， 5
∴BD＝BC＋CD≈152x＋11米．由题意得 AD∥EF， 则∠FED＝∠ADB，∴tan∠FED＝tan∠ADB，即DDEF＝BADB， ∴21..48≈152x＋x 11，解得 x≈12，经检验，符合题意．
变式3 [2024西安高新一中模拟]如图，小明想测量 城墙AB的高度，他在围栏点C处测量城墙顶 点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他 发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的 点D处，于是他站在D点发现他的影子落在 地上的点E处，测量得ED长为2.4米，小明身 高为1.8米，E，D，C，B在一条直线上，且 FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助 小明算出城墙AB的高．
第一章 直角三角形的边角关系6 利用三角函数测高
AD ， 【解析】设CD =x 米．在Rt△ACD中，tan 37 CD 3 3 AD 则 AD x. ， 4 4 x BD . 在Rt△BCD，tan48°= CD 11 BD 11 BD x. 则 10 x 10 ∵AD＋BD = AB，
议一议
根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的
理由. 在Rt△MCE中，
ME=EC·tanα=AN·tanα =l·tanα MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+ a 和同伴交流一下你的发现.
M
E N l
α
C a A
活动三
测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测
90° 90°
60°
30° 30°
60° 0°
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
1.把支杆竖直插入地 面,使支杆的中心线. 铅垂线和度盘的0° 刻度线重合,这时度 盘的顶线PQ在水平位 置. 2.转动度盘,使度盘 的直径对准目标M,记 下此时铅垂线所指的 度数.
M
水平线
90°
Q
90°
P
60° 30° 30° 60°
0°
活动二
测量底部可以到达的物体的高度.
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接 测得测点与被测物体的底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度, 可按下列步骤进行： 1.在测点A处安置测倾器, 测得M的仰角∠MCE=α.
E N C A M
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时， 它与地面的距离).
2019-2019学年九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形课件北师大版
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
学习新知
检测反馈
在日常生活中,我们常常遇到与 直角三角形有关的问题,知道直 角三角形的边可以求出角,知道
角也可以求出相应的边.如图所
示,在Rt△ABC中共有几个元素? 我们如何利用已知元素求出其他 的元素呢?
学习新知
已知两条边解直角三角形
只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2 只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
只给出一条边长,不能解直角三角形.
解直角三角形需要满足的条件: 在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一 条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定
下来.
1.如图所示的是教学用直角三角板,边
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理 求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个 锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个
锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函 数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐 角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求
出第三条边.
已知一条边和一个角解直角三角形
解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据 锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判断A,B错误; 过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐 角三角函数定义得出AD=AOsin 36°,AO=AB·sin 54°,所以 AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°.求这个三 角形的其他元素(边长精确到1).
九年级下册数学(北师大)课件：1.6 利用三角函数测高
AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝
MH DM
，即
x－30 63
＝
33，解得：x＝30＋21 3，即建筑物GH的高为(30＋21 3)米
(1)若修建的斜坡BE的坡比为 3 ∶1，求休闲平台DE的长是多少 米？
(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测 得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°，点B，C，A，G，H在同 一平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？
解：∵FM∥CG，∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长为60 2
米，则山高CD等于( A )
A．30(1＋ 3)米 B．30( 3－1)米 C．30米 D．(30 3＋1)米 6．如图，太阳光与地面成60°角，一棵倾斜的树AB与地面成 30°角，这时测得大树在地面的影长约为10 m，则大树AB的长大约
为___1_7_.3__m．(精确到0.1 m)
7．(2014·青岛)如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰 望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向(水平方向)前进80 m 至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°.
求AD的长．
解：过A作AH⊥CB于H，设AH＝x，CH＝ 3 x，DH＝x，∵ CH－DH＝CD，∴ 3x－x＝10，∴x＝5( 3＋1)，∴AD＝ 2x＝5 6 ＋5 2
9．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如 图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC ＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据： 2 ≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)
九年级数学北师大版下册习题课件第一章1.6 利用三角函数测高
1．(5分)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°(tan 27°≈0.
2为．_(_5_分_解_)_如__图：__，__过小_ 明m点．在楼A顶作上的A点EA处⊥测C得D楼前交一棵C树DC的D的延顶端长C的线俯角于为6点0°，E又，知水则平距A离EB＝D＝B10Cm，＝楼高78AB＝m24，m，则树高CD 8C．D∴之(15间分C的)E(距聊＝离城A中AC考为E)3如·5 图tma，，n后小站莹∠在在CM数点A学处E综测合＝得实7居践8民活t楼动anC中D，的5利8顶用°端所D≈的学7仰的8角数×为学14知5.°识6，对0＝居某民小1楼区2A居4B民.的8楼(顶mA端B)B的，的高仰度D角进E为行＝5测5°量A，，E已先·知测t居a得民n居楼民C楼DA的B高与
51解1．)：，(5过此分点时)在A旗“解作杆测A：在E量⊥水∵旗C平杆D在地交的面C高DR上度的t的”△ 延影的长子C数线的E学于长D课点度题E中为，学2则，习4Am中∠E，，＝则C某B旗CE学＝杆习D7的8小＝m高组，度5测∴8约得°C为太E(＝，阳A光tEa线·)tna与n ∠水∠C平AC面EE＝的D7夹8t角＝an为5CD82°7DE°≈7(t8，a×n 21∴7. °D≈0E. ＝tanC5D8°
解：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，设 CH＝x m，在 Rt△ACH 中，∵∠CAH＝
30°，∴BD＝AH＝tanC3H0° ＝ 3 x (m)，∴在 Rt△ECD 中，tan ∠CED＝ECDD
＝
x＋10 3x－6
＝
3
，解得 x＝5＋3
3 ，∴CD＝(15＋3
3 )(m)，∴CF＝CD－DF
解答题(共60分) 7．(14分)如图，AB是某景区内高10 m的观景台，CD是与AB底部相平的 一座雕像(含底座)，在观景台顶A处测得雕像顶C点的仰角为30°，从观景台 底部B处向雕像方向水平前进6 m到达点E，在E处测得雕像顶C点的仰角为 60°，已知雕像底座DF高8 m，求雕像CF的高．(结果保留根号)
北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系说课教学课件
M
1、在测点A处安置测倾器，测
得此时M的仰角∠MCE=α；
2、在测点A与物体之间B处安置
测倾器，测得此时M的仰角
∠MDE=β；
C
α
D
A
B
ME
ME
b, MN ME a
tan tan
β
E
N
3、量出测倾器的高度
AC=BD=a，以及测点A,B之间
CH
∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在 Rt△ACH 中，tan∠CAH＝
，∴CH＝AH·
tan∠CAH＝
AH
6tan30°＝6×
3
＝2 3(米)，∵DH＝1.5，∴CD＝2 3＋1.5，在 Rt△CDE 中，∵∠CED＝60°，
3
2 3＋1.5
CD
CD
sin∠CED＝
，∴CE＝
＝
＝(4＋ 3)≈5.7(米)，答：拉线 CE 的长约为 5.7
本课小结
(1)侧倾器的使用
(2)误差的解决办法---用平均值
（3）到目前为止，你有那些测量物体高度的方法？
测量底部可以到达的
物体的高度，如左图
测量底部不可以直接到达
的物体的高度，如右图
随堂检测
1．如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点 A 处测得塔顶 B 处的仰角 α＝60°，在塔
底 C 处测得 A 点俯角 β＝45°，已知塔高 60 米，则山高 CD 等于( A )
CN
3
x＋6
的高 EF 为 10.3 m
课堂探究
一、如何测量倾斜角
•测量倾斜角可以用测倾器。
----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成
1.6 利用三角函数测高 教案
一、情境导入如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节要探究的内容．二、合作探究探究点：利用三角函数测高【类型一】 测量底部可以到达的物体的高度如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B 处6米的D 处，仰望旗杆顶端A ，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED 为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1米，3≈1.732)．解析：由题意可得四边形BCED 是矩形，所以BC ＝DE ，然后在Rt △ACE 中，根据tan ∠AEC ＝ACEC ，即可求出AC 的长．解：∵BD ＝CE ＝6m ，∠AEC ＝60°，∴AC ＝CE ·tan60°＝6×3≈6×1.732≈10.4(米)，∴AB ＝AC ＋DE ＝10.4＋1.5＝11.9(米)．所以，旗杆AB 的高度约为11.9米．方法总结：本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 测量底部不可到达的物体的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少厘米(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G .∴四边形BFDG 矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12＝10(cm)．在Rt △ABG 中，∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153(cm)．∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋153＋2＝12＋153≈37.98≈38.0(cm)．所以，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用三角板测量物体的高度如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度(参考数据：3≈1.7，结果保留整数)．解析：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，设AE＝ME＝x m，根据三角函数列方程求出x的值即可求解．解：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE＝ME＝x m，则MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝3 3(28－x)，解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．所以，旗杆MN的高度约为12米．方法总结：解决问题的关键是作出辅助线构造直角三角形，设出未知数列出方程．三、板书设计利用三角函数测高1．测量底部可以到达的物体的高度2．测量底部不可到达的物体的高度3．利用三角板测量物体的高度1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容:AB 太阳 光 线 C D E (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________.6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?(说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.)7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.7米，观察者目高CD =1.6米，请你计算树（AB ）的高度．（精确到0.1米）实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性 质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直 角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普 通直角三角形，即三个角中有一 个是90度；另一类是等腰直角三 角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了 解三角函数的性质， 如振幅、周期、相位 等。
正切函数图像呈间断 性变化，在特定区间 内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中 应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论 等领域都有着广泛的应用，如求解三 角形边长、判断三角形形状、计算面 积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的 直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质 是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应 边长成比例的性质，通过已知边长求 解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等， 因此可以通过已知角度求解未知角度， 或者通过角度关系求解其他相关角度。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习
第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF⊥BC，⊥AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．2．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0 刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（）A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（2）（1）C．（4）（2）（3）（1）D．（3）（4）（2）（1）3．如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．(5√33+32)m B．(5√3+32)m C．5√33m D．4m4．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°评卷人得分二、填空题5．如图，一辆小车沿着坡度为1:3i=的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.6．如图，某同学用一个有60︒角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度．他将与60︒角相邻的直角边水平放在1.5m高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为5m，则旗杆AB的高度约为________m.（结果精确到lm，3取1.73）7．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C 点的俯角为60°,则建筑物CD的高为________m．8．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼高_____m（结果保留根号）．9．如图，一艘潜艇在海面下500m深的点A处，测得正前方俯角为31°方向上的海底有黑匣子发出信号，潜艇在同一深度保持直线航行500m，在点B处测得海底黑匣子位于正前方俯角36.9°的方向上，海底黑匣子C所在点距海面的深度为________m．（精确到1，m．参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin31°≈0.51，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）10．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC，若⊥B=56°，⊥C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）11．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．12．某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是______________米．13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得8CD=，20BC=米，CD与地面成30角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．14．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1：5，则AC的长度是_____cm．评卷人得分三、解答题15．如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）.16．如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往著名的电视塔观光，他在A处望塔顶C的仰角为30°，继续前行250m后到达B处，此时望塔顶的仰角为45°．已知这位游客的眼睛到地面的距离约为170cm，假若游客所走路线直达电视塔底．请你计算这座电视塔大约有多高？（结果保留整数. ≈1.7，≈1.4；E，F分别是两次测量时游客眼睛所在的位置．）17．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得15AB BE ED CD====cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时⊥ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：3≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器)图1图2图318．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12米，求旗杆AB 的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：3≈1.73，2≈1.41．19．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．20．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）21．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米．现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长均为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且⊥DAB=66°．(1)求点D与点C的高度差DH的长度；(2)求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，cot66°≈0.45）22．某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方D处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点A与居民楼的水平距离AB是15米，且在点A测得第一次施救时云梯与水平线的夹角⊥CAB＝45°，第二次施救时云梯与水平线的夹角⊥BAD＝55°，求C、D两点间的距离（结果精确到0.1米）.【参考数据：sin55°＝0.82；cos 55°＝0.57，tan55°＝1.43】23．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（3取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．24．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为203米．(1)求出大厦的高度BD；(2)求出小敏家的高度AE.25．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角⊥BAF=30°，⊥CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（2 1.414，CF结果精确到米）参考答案：1．A【解析】【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF⊥BC知⊥ADE=90°，由⊥AEF=143°知⊥AED=37°，根据sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．⊥AB⊥BC，EF⊥BC，⊥BD⊥DF，即⊥ADE=90°．⊥⊥AEF=143°，⊥⊥AED=37°．在Rt⊥ADE中，⊥sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米，⊥AD=AE•sin⊥AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．2．C【解析】【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；故选择：C.【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．3．A【解析】【详解】先根据题意得出AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，在Rt⊥ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD =AD•tan30°=5×33=533，由CE=CD+DE=533+1.5（m）．故选A.点睛：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．4．C【解析】【详解】试题分析：由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出⊥BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出⊥BAO=50°，以及求出⊥BAD的度数，得出点B位于点A的方向，故本题选C．点睛：本题主要考查的就是方位角的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要能够根据已知的条件得出各个角的度数，从而求出问题中所要求的角的度数．在解决这种类型的题目时，我们还要注意参照物是那个物体，就要以参照物为标注建立方位图，从而得出答案．5．25【解析】【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了3x米．根据勾股定理可得：x2＋（3x）2＝502．解得x＝25．即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．故答案为：25.【点睛】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan （坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．6．10【解析】【分析】在⊥ACE中，CE⊥AE，tan⊥ACE=AECE，由此可得AE，AB=AE+BE=AE+CD．【详解】解：由题意可知，在⊥ACE中，CE⊥AE，且⊥ACE=60°，BD=5，而tan⊥ACE=AE CE，⊥AE＝CE×tan60°＝53≈8.6．又⊥EB=1.5，⊥AB=AE+EB≈10（米）．故答案为10.【点睛】解题的关键是把实际问题抽象到解直角三角形中，然后利用三角函数的定义解决问题．7．203m【解析】【分析】延长CD交AM于点E．在Rt⊥ACE中，可求出CE；在Rt⊥ADE中，可求出DE．CD=CE-DE．【详解】解：延长CD交AM于点E，则AE=30．⊥30103DE AE tan=⨯︒=．同理可得303CE．=⊥203CD CE DE=-=（米）故答案为203【点睛】考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．8．1603【解析】【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：在Rt⊥ABD中，⊥⊥BAD=30°，AD=120m，⊥BD=ADtan30°=120×33=403m，在Rt⊥ACD中，⊥⊥CAD=60°，AD=120m，⊥CD=ADtan60°=120×3=1203m，BC=BD+CD=1603m．即这栋楼高为1603m．故答案为1603．考点：仰角与俯角的计算．9．2000.【解析】【详解】试题解析：作CD⊥AB于D，设CD=xm ，则AD=5tan 3CD DAC =∠xm ， BD=4tan 3CD DBC =∠xm ， 由题意得，AD-BD=500m ，即53x-43x=500， 解得，x=1500m ，1500+500=2000m.考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．10．60【解析】【分析】 根据题意和图形可以分别表示出AD 和CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决．【详解】⊥⊥B=56°，⊥C=45°，⊥ADB=⊥ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ⊥BD=tan 56AD ︒，CD=tan 45AD ︒， ⊥tan 56AD ︒+tan 45AD ︒=100， 解得，AD≈60 考点：解直角三角形的应用．11．58【解析】【详解】试题分析：直接利用锐角三角函数关系得出EC 的长，进而得出AE 的长，进而得出答案．如图所示：由题意可得：CE⊥AB 于点E ，BE=DC ， ⊥⊥ECB=18°48′， ⊥⊥EBC=78°12′， 则tan78°12′=10EC EC BE ==4.8， 解得：EC=48（m ）， ⊥⊥AEC=45°，则AE=EC ，且BE=DC=10m ，⊥此塑像的高AB 约为：AE+EB=58（米）．考点：解直角三角形的应用12．2400.【解析】【详解】试题解析：根据题意，飞机到控制点的距离是1200sin 30︒=2400（米）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．13．（14+23）米【解析】【分析】过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．⊥CD =8，CD 与地面成30°角，⊥DE =12CD =12×8=4，根据勾股定理得：CE =22CD DE -=2242-2284-=43．⊥1m 杆的影长为2m ，⊥DE EF =12， ⊥EF =2DE =2×4=8，⊥BF =BC +CE +EF =20+43+8=（28+43）．⊥AB BF =12，⊥AB=12（28+43）=14+23．故答案为（14+23）．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．14．240【解析】【详解】试题分析：如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答即可．解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．⊥tan⊥BCA==⊥DC=300cm，⊥AC=DC﹣AD=300﹣60=240（cm）．答：AC的长度是240cm，故答案为240．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15．15.54米【解析】【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．【详解】解：在Rt△ACE中，⊥ACE=α=35°，CE=BD=20，⊥tan⊥ACE=AE CE，⊥AE=CE•tan⊥ACE=20•tan35°14.004，⊥AB=AE+BE= 14.004+1.54≈15.54（米）．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．电视塔大约高339米．【解析】【详解】试题分析：根据CG和⊥CFG、CG和⊥CEG可以求得FG、EG的长度，根据EF=EG﹣FG 可以求出CG的长度，即可解题．试题解析：延长EF交CD于G，在Rt⊥CGF中，FG==CG，Rt⊥CGE中，EG==CG，⊥EF=EG﹣FG，⊥CG==125（+1）≈337.5米170cm=1.7，337.5+1.7≈339米．答：电视塔大约高339米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．17．(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°(2)台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°【解析】【分析】（1）由题意得：17.52DF CD==cm，EF CD⊥，根据1cos2DFDDE∠==，可求D∠；（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得31531522EF=⨯=，根据cos0.134BHABHAB∠=≈，可得ABH∠的值，进而可求ABE∠的值．(1)解：由题意得，17.52DF CD==cm，EF CD⊥，⊥1cos2DFDDE∠==⊥60D∠=︒⊥平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．(2)解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，⊥30HF=⊥31531522EF=⨯=⊥15330152BH BE EF=--=-⊥cos0.134BHABHAB∠=≈⊥82.30ABH∠≈︒⊥18097.70ABE ABH∠=︒-∠=︒⊥台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的余弦值求角度．解题的关键在于找出线段的数量关系．18．约是5.3米．【解析】【分析】由条件易得BE =DE =20，在Rt △BCE 中，利用三角函数求得BC 的长，进而可求AB ．【详解】解：⊥⊥BEC =⊥BDE +⊥DBE ，⊥⊥DBE =⊥BEC -⊥BDC =60°-30°=30°，⊥⊥BDE =⊥DBE ，⊥BE =DE =20，在Rt △BCE 中，⊥BCE =90°，sin⊥BEC =BC BE ， ⊥3sin 2010310 1.7317.32BC BE BEC =⋅∠=⨯=≈⨯=（米）， ⊥AB =BC -AC =17.3-12=5.3（米），答：旗杆AB 的高度约为5.3米．【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明BE ＝DE ，掌握三角形函数定义． 19．旗杆AB 的高度是（83+8）米．【解析】【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB ）×33=BD×1，解得BD ，从而可以求得AB 的高度． 【详解】，解：由题意可得，CD=16米，⊥AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，⊥CB•tan30°=BD•tan45°，⊥（CD+DB ）×33=BD×1， 解得BD=83+8，⊥AB=BD•tan45°=（83+8）米，即旗杆AB 的高度是（83+8）米．20．10.5米．【解析】【分析】设CD=x 米，由已知可得DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，利用⊥A 的正切求出x 的值即可.【详解】设CD=x 米，⊥⊥DBC=45°，⊥DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，tan⊥A=CD AD， ⊥tan35°=5.4+x x ， 解得：x=10.5，所以大树的高为10.5米．【点睛】 本题考查了俯角、仰角的定义，借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.21．(1)1.2米；(2)约为4.9米．【解析】【分析】（1）根据“每级小台阶都为0.4米”即可求得高度差DH 的长度；（2）过点B 作BM ⊥AH ，垂足为M ，由题意得：MH ＝BC ＝AD = 1，66A ∠=，即可求得AM 的长，在Rt △AMB 中，根据⊥A 的余弦函数即可求得AB 的长，从而可以求得结果．(1)解：由题意得，DH ＝0.43⨯＝1.2（米）；答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米；(2)解：过点B作BM⊥AH，垂足为M，由题意得：⊥BCH＝⊥CHM＝⊥BMH＝90°，⊥ 四边形BCHM是矩形，MH＝BC＝AD= 1，⊥ AM＝AD+DH－MH＝1+1.2－1＝1.2，在Rt⊥AMB中，⊥A＝66°，⊥cosAMAAB =，⊥AB＝1.22.92cos660.41AM≈=︒（米），⊥ l ＝AD＋AB＋BC1 2.921 4.9≈++≈（米），答：所用不锈钢材料的总长度约为4.9米．【点睛】解直角三角形的应用是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．22．C、D两点间的距离约为6.5米．【解析】【详解】试题分析：要求线段CD的长，可以先求线段BC和BD的长. 根据已知条件易知⊥ABC是等腰直角三角形，根据线段AB的长可以求得线段BC的长. 根据已知条件可以利用Rt⊥ABD和⊥BAD 的正切值求得线段BD的长. 利用线段BC和BD的长即可求得线段CD的长.试题解析：⊥⊥ABC=90°，⊥CAB=45°，⊥在Rt⊥ABC中，⊥CAB=⊥BCA=45°，⊥AB =15(米)，⊥在Rt⊥ABC 中，AB=BC =15(米).⊥⊥ABD =90°，⊥BAD =55°，tan55 1.43︒≈，⊥在Rt⊥ABD 中，tan tan5515 1.4321.45BD AB BAD AB =⋅∠=⋅︒≈⨯=(米)，⊥BC =15(米)，BD ≈21.45(米)，⊥CD =BD -BC ≈21.45-15=6.45≈6.5(米).答：点C 与点D 之间的距离约为6.5米.点睛：本题考查了解直角三角形及其应用的相关知识. 本题的图形属于典型的“双直角三角形”，需要重点掌握. 该类型问题的关键在于利用两个直角三角形的公共边(如本题中的线段AB )将已知条件在两个直角三角形之间进行转换，最终求解出要求的线段和角度.23．（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析【解析】【分析】（1）在Rt ⊥ABE 中，根据⊥α的正切值即可求得楼高；（2）当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H .可求得AF =AB =17.3米，又因CF =CH =17.3-17.2=0.1米，CM =0.2，所以大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，即老人仍可晒到太阳．【详解】解：（1）当α=60°时，在Rt ⊥ABE 中，⊥tan 6010BA BA AE ︒==, ⊥BA =10tan 60°=10310 1.7317.3≈⨯=米.即楼房的高度约为17.3米；（2）当45α︒=时，老人仍可晒到太阳；理由如下：假设没有台阶，当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H ，⊥⊥BF A =45°，⊥tan 451BA AF︒==，此时的影长AF =BA =17.3米， 所以CF =AF -AC =17.3-17.2=0.1，⊥CH =CF =0.1米，⊥大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上．⊥老人仍可晒到太阳．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．24．（1）大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）小敏家的高度AE 为20米．【解析】【详解】试题分析：（1）易得四边形AEDC 是矩形，即可求得AC 的长，然后分别在Rt⊥ABC 与Rt⊥ACD 中，利用三角函数的知识求得BC 与CD 的长，继而求得答案；（2）结合（1），由四边形AEDC 是矩形，即可求得小敏家的高度AE ．试题解析：（1）如图，⊥AC⊥BD ，⊥BD⊥DE ，AE⊥DE ，⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AC=DE=203米，⊥在Rt⊥ABC 中，⊥BAC=45°，⊥BC=AC=203米，在Rt⊥ACD 中，tan30°=CD AC ， ⊥CD=AC•tan30°=203×33=20（米）， ⊥BD=BC+CD=203+20（米）；⊥大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AE=CD=20米．⊥小敏家的高度AE为20米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题25．（1）山坡高度为400米；（2）山CF的高度约为541米．【解析】【详解】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用⊥CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，⊥sin⊥BAH=BHAB，⊥BH=800•sin30°=400，⊥EF=BH=400米．答：AB段山坡的高度EF为400米；（2）在Rt△CBE中，⊥sin⊥CBE=CEBC，⊥CE=200•sin45°=1002，⊥CF=CE+EF=（1002+400）（米）．答：山峰的高度CF为（1002+400）米.。
北师大版九年级数学下册《利用三角函数测高》PPT课件
故BE＝DE tan39°． 因为 CD＝AE，所以 CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）
4. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB，AB＝80
米．为测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自
∠α
第一次 30°16'
第二次 29°44'
平均值
30°
G B
∠β 45° 5' 44°25’'
45°
CD 的长 60.11 m 59.89 m
60 m
解：由表格中数据，得α = 30° ，β = 45°,
tan AG , tan AG ,
EG
FG
EG AG AG 3AG,
tan tan 30
E
或 BN 的长度.
A
B
N
问题 2：测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的M 呢？
ME ME b, MN ME a
tan tan
CαD β
E
AB
N
1. 在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE=α；
2. 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时
M 的仰角 ∠MDE = β；
D′
C′
B′
x
50
25 3 43.3(mD)
tan 60 tan 30
C
B
x 43.3 1.5 45(m)
3.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，
新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼 底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔 顶 B 的仰角为 39°．（tan39° ≈ 0.81） （1）求大楼与电视塔之间的距离 AC； （2）求大楼的高度 CD（精确到 1 米） 解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；
20182019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.6利用三角函数测高
利用三角函数测高课题 6 利用三角函数测高讲课人1. 能够对仪器进行调整并能娴熟运用仪器进行实地丈量；知识技术 2. 能够对所获得的数据进行剖析，能够对仪器进行调整和对丈量结果进行改正，进而得出切合实质的结果．教 1. 撰写活动报告并能够对所获得的数据进行剖析和对丈量结果进学数学思虑行改正，进而得出切合实质的结果；目 2. 能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实质问题．标踊跃参加数学活动，累积数学活动的经验，提高对试验数据的处问题解决理能力．学会将实质问题转变为数学模型的方法，在提高剖析问题、解决感情态度问题的能力的同时，加强数学的应企图识．教课运用仪器进行实地丈量以及撰写活动报告．要点教课能综合运用直角三角形的边角关系解决实质问题.难点讲课新讲课课时种类教具多媒体课件，自制侧倾器，皮尺等工具．教课活动教课师生活动设计企图步骤我们学习了应用三角函数丈量古塔的高度，判学生回想并回答，为本回首断轮船能否会触礁等，你的解题思路是什么？你还课的学习供给迁徙或类比方能利用三角函数来丈量物体的高度吗？法 .活动一：创建情境导入新课【讲堂引入】1.在实质生活中，会常常有到一些高大的物体，像旗杆、高楼、古塔等 ( 多媒体展现如图 1－ 6－ 7 所示的图片 ) ，它们高度较高且顶部不易抵达，假如想测量它们的高度，依据所学的知识，大家有哪些丈量方案？图 1－6－7(1) 利用太阳光下的影子丈量；(2) 利用标杆丈量；(3) 利用镜子的反射丈量.师：我们前方刚学过直角三角形的边角关系，那么能不可以用这方面的知识来丈量一些物体的高度呢？带着这个问题，我们来进行本节课的学习.2.如图 1－ 6－ 8， AC表示一幢楼，它的各楼层都可抵达； BD表示一个建筑物，且不可以抵达．已知AC与 BD地平高度同样，AC四周没有宽阔地带，仅有的丈量工具为皮尺( 可丈量长度 ) 和测角器 ( 可丈量仰角、俯角和两视野间的夹角).图 1－6－8(1)请你设计一个丈量建筑物 BD高度的方案，要求写出丈量步骤和必需的丈量数据 ( 用字母表示 ) ，并画出丈量表示图；(2)写出计算 BD高度的表达式 .师：怎样设计一个丈量建筑物BD高度的方案呢？1. 利用实质生活中常常有到的一些高大物体的图片引入新课，让学生感觉数学知识与实质生活的密切联系，图片展现形象而生动，吸引了学生的注意力，提高了学生的兴趣，使学生产生很强的研究欲念 .2. 经过生活中的实质问题引入课题，使学生认识到数学根源于生活，又服务于生活，增添学生学习数学的兴趣，并让学生带着问题走进今日的学习 .【研究 1】丈量倾斜角(仰角或俯角)师： ( 课件展现 ) 丈量倾斜角能够用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆构成( 如图 1－ 6－ 9).图 1－6－ 9使用测倾器丈量倾斜角的步骤以下：如图 1－ 6－ 10 所示，把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0 刻度线重合，这时度盘的顶线 PQ在水平地点．转动度盘，使度盘的直径瞄准目标 M，记下此时铅垂线所指的度数.活动二：使学生会使用测倾器丈量倾实践斜角的大小，并能说明其原研究理 .沟通图 1－6－ 10新知依据丈量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？谈谈你的原因 .认识了用测倾器丈量倾斜角的大小，借助它和皮尺我们就能够丈量一些物体的高度.在生活中有些物体的底部能够抵达，有些物体的底部不可以够直接抵达，因此分两类分别研究.【研究 2】丈量底部能够抵达的物体的高度，所谓“ 底部能够抵达”，就是在地面上能够无阻碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.图 1－6－11活动二：实践研究沟通新知师：如图 1－ 6－11，要丈量物体MN的高度，需丈量哪些数据？丈量 AN及 AC的长 .丈量仰角∠ MCE.经过小组合作设计你能说出丈量物体MN的高度的一般步骤吗？需要测得的数方案，培育学生科据用字母表示 .学的思想方式及归( 学生之间议论后回答)纳总结的能力.1. 在测点 A 处布置测倾器，测得M的仰角∠ MCE＝α.2.量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN＝l.3.量出测倾器的高度 AC＝a.这个活动的设计方依据方才丈量的数据，你能求出物体MN的高度吗？谈谈你案关于学生来说有的原因．和伙伴沟通一下你的发现.必定的难度，因此在 Rt△MCE中， ME＝EC·tan α＝ AN·tan α＝ l ·tan α，在教课过程中要给∴MN＝ ME＋ EN＝ ME＋ AC＝l ·tan α＋ a.那么底部不可以够直接抵达的物体的学生留有充足的讨高度怎样丈量呢？论时间，不行急于【研究 3】丈量底部不可以够直接到求成，也可各组间达的物体的高度 .穿插议论；同时教所谓“底部不可以够抵达”，就是在师要深入小组内讨论，帮助有困难的图 1－ 6－12小组．这个活动的地面上不可以直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.设计方案不独一，如图 1－ 6－ 12，要丈量物体 MN的高度，能够按以下步骤进行：学生说的只需合理，1. 在测点 A 处布置测倾器，测得此时就应当赐予必定和M的仰角∠ MCE＝α.鼓舞．教师还要关2. 在测点 A 与物体之间的 B 处布置测倾器( 点 A， B 与 N 在一注学生能否踊跃参条直线上，与，能否真实理解.且 A，B 之间的距离能够直接测得) ，测得此时M的仰角∠MDE＝β.3.量出测倾器的高度 AC＝BD＝ a，以及测点 A， B 之间的距离AB＝ b.(续表)活动二：实践研究沟通新知活动三：开放训练表现应用依据丈量数据，物体MN的高度计算过程以下：ME在 Rt△MDE中， ED＝tanβ.ME在 Rt△MCE中， EC＝tanα.∵EC－ ED＝ CD，ME ME btan α tan β∴tan α － tan β＝ b，∴ ME＝ tan β－ tanα， btan α tan β∴MN＝ tan β－ tan α＋ a.【应用举例】师：回过头来，我们再来看活动一中的第 2 个问题，此刻你能解决了吧？生：能够类比丈量底部不可以够直接抵达 1. 用本节研究出来的物体高度的方法来解决 .图 1－6－13的方案解决开始时师：你来谈谈详细的解决方案 .没有解决的问题，生 1( 这名学生到黑板前边表达方案边让学生体验“ 用数画出丈量表示图 ) ：学解决实质问题”，1. 在测点 A 处布置测倾器，测得 B 的仰角为α.领会数学的应用价2. 在测点 C 处布置测倾器，测得 B 的仰角为β.值 .3. 量出测点 A，C 之间的距离 b. 2. 进一步稳固用三利用测得数据就能够计算建筑物BD的高度 .角函数解决生活中其他学生依据学生 1 的丈量方案及数据计算建筑物BD的高的问题．假如学生度 .掌握得好，进入下变式：如图 1－6－ 14，某中学计划在主楼的顶部 D 和大门的面的环节；假如学上方 A 之间挂一些彩旗．经丈量，获得大门AB的高度是 5生掌握得不好，则m，大门距主楼的距离 BC是 30 m，能够再指引学生多加练习 .图 1－ 6－14在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面的高度 BE 是 1.4 m ，修业校主楼的高度( 精准到 0.01 m).( 此题先让学生独立达成，找一名学生到黑板前板书解题过程，便于集体纠正出现的错误)【拓展提高】例 1如图1－6－15，从地面C，D 两处望山顶 A，仰角分别为30°， 45°.若 C，D两处相距 200经过题组检测，发m，求山高 AB.现学生知识的单薄例 2 如图 1－6－ 16，大楼 AD的高为图 1－6－15环节，在哪些方面10 米，远处有一塔BC，某人在楼底 A 处测存在不足，有效地得塔顶 B 处的仰角为60°，爬到楼顶D测得反应出来，合时加塔顶 B 处的仰角为30°，求塔 BC的高度 .以点拨改正 .图 1－6－16【当堂训练】当堂检测，实时反应学习成效 .【板书设计】利用三角函数测高活动四：纲要挈领，要点讲堂丈量结突出 .总结MN＝ ME＋ EN＝ b·tbtan α tan β果展现：MN＝ tan β－ tan α反省anα＋ a＋ a【教课反省】反省，更进一步①[ 讲课流程反省 ]提高 .经过对上节课所学知识的回首以及问题的抛出，设计活动方案初步填写活动报告表，使全部学生对本节课的活动从理性上有清醒的认识，明确自己在活动中的任务．室内活动为室外活动做好了充足的准备.②[ 讲解成效反省]在本节课的整个活动过程中，每个小组的成员都能踊跃地投入到活动中去，学生从头至尾处于主体地位，踊跃想方法找寻解决问题的方案，战胜困难，表现出极大的参加热忱，特别是平时数学成绩很一般的学生都充任了主角地位，他们出谋献策，丈量、采集数据身先士卒，对自己设计的方案感觉特别骄傲，大大提高了学生的着手、动脑能力，激发了学习热忱.③[师生互动反省 ]______________________________________________________ ______________________________________________________④[ 习题反省 ]好题题号错题题号。