吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(四十)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十三)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十三)一、选择题 1．在⎝⎛⎭⎪⎫x 3－3x 6的二项展开式中，x 2的系数为( B )A ．－427B ．－227 C.227 D.427解析：由二项展开式的通项式T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫136－r ·(－3)r ·x 3－r ，令3－r ＝2，得r ＝1.则x2项的系数为C 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫135·(－3)1＝－227.2．若(1－x )n ＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 1∶a 3＝1∶7，则n ＝( A ) A ．8 B ．9 C ．7 D ．10解析：由二项式定理知a 1＝C 1n ，a 3＝C 3n ，故C 3nC 1n＝7⇒(n －1)(n －2)＝42，得(n －8)(n ＋5)＝0⇒n ＝8或n ＝－5(舍)，故选A.3．设a ＝sin x d x 则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x 8的展开式中x 2项的系数是( B )A ．－1 120B ．1 120C ．－1 792D ．1 792解析：由题意a ＝sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π＝2，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 8展开式的通项式为T r ＋1＝C r 8(2x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 8(－1)r 28－r ·x 8－ 32 r ，令8－32r ＝2，得r ＝4，所以x 2项的系数为C 4824＝1 120，故选B .4．设a ＝(3x 2－2x)d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( A )A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－240解析：a ＝(3x 2－2x)d x ＝(x 3－x 2)⎪⎪⎪21＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2－1x 6展开式第四项为C 36(4x 2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－1 280 x 3，选A .5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( C )A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n 2＋1＝5，∴n＝8.二项式为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8，易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝7.6．若(x ＋y)9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy<0，则x 的取值范围是( D )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞C .⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45D ．(1，＋∞)解析：二项式(x ＋y)9的展开式的通项是T r ＋1＝C r9·x9－r·y r.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1xy<0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x8－－4x7－2≤0－，由此解得x>1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．7．若(1－2x)2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( C )A ．2B ．0C ．－1D ．－2 解析：观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.8．⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( B )A.3516 B.358 C.354D ．105 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8＝x ＋8x 8＝＋2x 828x4，展开式中常数项即为(1＋2x )8中含x4的项为C 48(2x )4，故常数项为C 482428＝C 48·2－4＝358.9．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝－39，则实数m 的值为( A )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3 解析：(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 1－a 0＋a 3－a 2＋…＋a 9－a 8)＝－39令x ＝0得a 0＋a 1＋…＋a 9＝(2＋m )9令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9所以(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝(m 2＋2m )9＝39所以m 2＋2m ＝3，解得m ＝－3或m ＝1，选A. 二、填空题10．(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________． 解析：因为(a ＋x )5＝C 05a 5＋C 15a 4x ＋C 25a 3x 2＋C 35a 2x 3＋C 45ax 4＋C 55x 5， 所以C 25a 3＝10a 3＝10.所以a 3＝1，a ＝1. 答案：111．设a ＝(sin x ＋cos x )dx ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项的系数是________．解析：a ＝(sin x ＋cos x )dx ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪π0＝2sin(x －π4)⎪⎪⎪π0＝2，二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6展开式中含x 2项为：C 16(2x )5·⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＝－192x 2， 所以x 2的系数为：－192. 答案：－19212．(x ＋1)(1－2x )5展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．解析：本题是二项式定理计算系数的题，可以从以下角度来思考：x 3的来源有两种，一种是从第一个括号里面取出一个x ，从第二个括号里面取出x 2，此时x 3的系数为C 25(－2)2＝40；另外一种是第一个括号取出常数，第二个括号取出x 3，此时x 3的系数为C 35(－2)3＝－80，故总的系数为－40.答案：－4013．(2013·黄冈质检)已知a ＝－1(1＋1－x 2)d x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6展开式中的常数项为________．解析：令y ＝1＋1－x 2，则x 2＋(y －1)2＝1(y≥1)，如图可看出a ＝－1(1＋1－x 2)d x 表示的面积是a ＝2×1＋π2＝2＋π2，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，由二项式定理，T r ＋1＝(－1)r·C r6·26－r·x6－r·x －r ＝(－1)r ·C r 6·26－r·x6－2r，要求展开式的常数项，则6－2r ＝0，即r ＝3，∴(－1)3·C 36·26－3＝－20×8＝－160.答案：－16014．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.答案：－515．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x －1x 4的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答) 解析：T r ＋1＝C r6·(2x)6－r·(－1)r ·x －r ＝(－1)r C r 626－rx 6－3r2，r ＝0,1,2,3,4,5,6，当r ＝0,2,4,6时，T r ＋1＝(－1)r C r 626－rx6－3r2为有理项，则所有有理项的系数 和为C 0626＋C 2624＋C 4622＋C 6620＝365. 答案：36516．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：T 6＝C 5n (x 2)n －5(－x －1)5＝－C 5n x2n －15，其中2n －15＝1，∴n＝8，令x ＝1得(1－3)8＝256＝a 0＋a 1＋…＋a 8，令x ＝0得(1－0)8＝1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝256－1＝255.答案：255 [热点预测]17．(1)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是________．(2)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A .16B .14C .13D .512解析：(1)第三项的系数a 2＝C 2n(－1)2＝C 2n，第五项的系数a 4＝C 4n(－1)4＝C 4n，C 2nC n＝12－－＝314，∴n＝10，T r ＋1＝C r 10x 2(10－r)(－x － 12 )r ＝C r 10(－1)r ，由20－52r ＝0得r ＝8，所以常数项为C 810(－1)8＝45.(2)展开式中前三项的系数分别为a 1＝C 0n ＝1，a 2＝C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝n 2，a 3＝C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－8，a 1，a 2，a 3成等差数列，所以有2×n2＝1＋－8，解得n ＝8或n ＝1(舍)，则T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫12x － 14 r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ，其中r ＝0,1,2，…，8，当r ＝0,4,8时为有理项，其展开式共有9项，重新排成一排，有理项互不相邻的概率为A 66A 37A 99＝512，故选D .答案：(1)45 (2)D。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习基础知识课时作业(二)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( B)A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( D)A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.3．下列命题中为真命题的是( A)A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( A) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P 在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．5．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]解析：由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.6．“1<x <2”是“x <2”成立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“1<x <2”可以推得“x <2”，即满足充分性，但“x <2”得不出“1<x <2”，所以为充分不必要条件．7．若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α； 而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…，故选A.8．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( B )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”． 若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1. 对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1. 对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B. 二、填空题9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填 “真”或“假”) 解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题． 答案：假10．“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 11．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2D ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．(2013·山西高考考前适应性训练)给出下面几个命题： ①“若x >2，则x >3”的否命题；②“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x在定义域内单调递增”的否定；③“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”； ④“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件． 其中真命题的序号是________．解析：①的否命题为：若x ≤2，则x ≤3，这是个真命题；②的否定为：∃a ∈(0，＋∞)使得函数y ＝a x在定义域上是减函数；因为a ∈(0,1)时，函数y ＝a x在定义域上是减函数，因此这个命题是真命题；③或连接的命题只要有一个为真则连接命题为真，其中2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期为真，因此这个是真命题；④x 2＋y 2＝0可得：x ＝0且y ＝0，即：xy＝0；而xy ＝0，可得：x 2＋y 2≥0；因此x 2＋y 2＝0是xy ＝0的充分条件，不是必要条件．答案：①②③三、解答题13．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数；命题q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：p ：∵函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数 ∴0<2a －5<1，故有52<a <3.q ：由x 2－ax ＋x <0得ax >x 2＋2，∵1<x <2， 且a >x 2＋2x ＝x ＋2x在x ∈(1,2)时恒成立，又x ＋2x∈[22，3]，∴a ≥3.p ∨q 是真命题，故p 真或q 真，所以有52<a <3或a ≥3.所以a 的取值范围是a >52.[热点预测]14．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.。
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十四)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十四)一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( D ) A ．1 B ．1或3 C ．0D ．1或0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( D )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12³2c ³b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛物线的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是( A )A ．1B ．2C ．3D. 3解析：S ＝12(|PP 1|＋|QQ 1|)²|P 1Q 1|＝12³|PQ |³|PQ |³sin 30°＝12³4³12＝1.4．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( D )A ．x 2＝4y B ．x 2＝－4y C ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：由题意，得c ＝5＋4＝3.∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)． ∴抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .5．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C )A.24B.12C.22D.32解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22，选C.6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( A )A.12 B.14 C.22D.33解析：由题知m 2＋n 2＝c 2，即n 2＝c 2－m 2，n 2是2m 2与c 2的等差中项，有2m 2＋c 2＝2n 2＝2c 2－2m 2得m 2＝c 24即m ＝c 2，又因c 是a 与m 的等比中项，所以am ＝c 2，即a ²c 2＝c 2，c a ＝12，选A.二、填空题7．圆x 2＋y 2－2x ＋my －2＝0关于抛物线x 2＝4y 的准线对称，则m ＝________. 解析：由条件易知圆心在抛物线x 2＝4y 的准线y ＝－1上，得m ＝2. 答案：28．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1，∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案：x ＋y ＝09．抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p2＝32，解得p ＝6. 答案：6 三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.11．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627. 所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.12．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →²EB →的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －2＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x .得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可是x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →²EB →＝(AF →＋FD →)²(EF →＋FB →) ＝AF →²EF →＋AF →²FB →＋FD →²EF →＋FD →²FB → ＝|AF →||FB →|＋|FD →||EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k2＋1＋1＋()2＋4k 2＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4³2k 2²1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →²EB →取最小值16.[热点预测]13．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)、A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )、N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知F 2(1,0)，设直线l ：y ＝kx ＋m 与(1)中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m2(x ＋2)，①直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①³②得y 2＝－mn4(x 2－4)，由mn ＝3，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，且kF 2P ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2Q ＝kx 2＋mx 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2P ＋kF 2Q ＝0， ∴kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0， 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， 代入，得2k 4m 2－123＋4k 2－8mk m －k3＋4k 2－2m ＝0， 整理得m ＝－4k .∴直线l 的方程为y ＝k (x －4)，因此直线l 过定点，该定点的坐标为(4,0)．。
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十六)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十六)一、选择题1．设a ＝⎰-13/1x d x ，b ＝1－x ⎰102/1x d x ，c ＝⎰1x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系为( A )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a解析：2．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( D )解析：3．(2013·河北保定高三调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0cos x ，0<x≤π2，则f(x)d x ＝( D ) A .12 B ．1 C ．2 D .32 解析：4．由直线x ＝12，x ＝2，y＝0，及曲线y ＝1x所围图形的面积为( D )A .154 B .174 C .12ln 2 D ．2ln 2解析：5．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x 2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为( B )A ．4πB ．2πC ．πD .π2解析：函数f(x)＝2cos 2x2＝cos x ＋1，故所围成封闭图形的面积为⎰π02(cos x ＋1)d x＝2(sin x ＋x)⎪⎪⎪π＝2π，故选B .6．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C )A .103B ．4C .163D ．6解析：由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形如图．由定积分几何意义得S 阴＝⎰4(x －x ＋2)d x故选C .7．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a ；当a<b 时，a⊕b＝b 2，函数f(x)＝(1⊕x)·x(其中“·”仍为通常的乘法)，则函数f(x)的图象与x 轴及直线x ＝2围成的面积为( C )A .154 B ．4 C .174D ．8解析：f(x)＝(1⊕x)·x＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x≥1x ，x<1图象如图所示S ＝S △OAC ＋S 曲边梯形ACDB ＝12×1×1＋⎰21x 3d x ＝12＋14x 4⎪⎪⎪21＝12＋164－14＝174，故选C . 8．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( C )A .ln 22 B .1－ln 22 C .1＋ln 22 D .2－ln 22解析：二、填空题9．(x 3＋1)d x 的值为___6_____． 解析：⎰2(x 3＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4＋x ⎪⎪⎪2＝6.10．若⎰∂1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是________． 解析：⎰∂1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x)⎪⎪⎪a 1＝(a 2＋ln a)－(1＋0)＝a 2－1＋l n a ＝3＋ln 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3ln a ＝ln 2∴a＝2. 答案：211．二次函数f(x)＝－x 2＋1的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________． 解析：二次函数f(x)＝－x 2＋1与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(1,0)所以它与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x ⎪⎪⎪1－1＝43. 答案：4312．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x －2x ，0≤x≤1-x －2x ，－1≤x≤0，则函数f(x)图象与直线y ＝x 围成的封闭图形的面积是________．解析：由已知当0≤x≤1时，y ＝2x －x 2表示的为圆的14减去一个等腰直角三角形的面积，S 1＝π4－12；当－1≤x<0时，S 2＝⎰-01(－x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－13x 3⎪⎪⎪－1＝16，所以此封闭图形的面积为S 1＋S 2＝π4－13.答案：π4－13三、解答题13．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，⎰-01f(x)d x ＝－2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 则f ′(x)＝2ax ＋b. 由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f(x)＝ax 2＋(2－a)．又f(x)d x ＝∫10[ax 2＋(2－a)]d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋－⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a＝6，∴c＝－4.从而f(x)＝6x 2－4. (2)∵f(x)＝6x 2－4，x∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f(x)min ＝－4；当x ＝±1时，f(x)max ＝2.14．一质点在直线上从时刻t ＝0(s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m /s )运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为热点预测]15．(1)设函数f(x)＝(x ＋a)n，其中n ＝6cos x d x ，f＝－3，则f(x)的展开式中x 4的系数为( D )A ．－360B ．360C ．－60D ．60(2)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝1与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，随机向图形内掷一豆子，则落入阴影内的概率是( D )A ．1－2π33B .2π33C .332πD ．1－332π解析：(1)由n ＝6cos x d x 得n ＝6，f ′(x)＝6(x ＋a)5，∴f ′(0)＝6·a 5，f(0)＝a 6，6·a 5a 6＝6a ＝－3，∴a＝－2，f(x)＝(x －2)6，x 4的系数为C 26(－2)2＝60，故选D .。
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十九)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十九)一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( A ) A ．4 B ．2 C ．1D ．－2解析：由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2. 又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.2．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( C )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 3．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( D ) A ．2n －1B ．n 2C.n ＋2n 2D.n 2n －2解析：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝TT n －1＝n 2n －2.4．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( B )A ．5 B.72 C.92D.132解析：∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.5．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( C ) A ．－165 B ．－33 C ．－30D ．－21解析：法一：赋值法：令q ＝2，则a p ＋2＝a p ＋a 2，a 2＝－6，故数列{a n }的所有偶数项、所有奇数项分别成等差数列．∴a 10＝a 2＋4×(－6)＝－30，故选C.法二：a 10＝a 8＋2＝a 8＋a 2＝a 6＋2＋a 2＝a 6＋2a 2＝…＝5a 2＝－30.6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为( A )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36 A ．③⑤ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．①②③⑤解析：这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．二、填空题7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．解析：由图可知，第一条“金鱼”需火柴棒a 1＝8，第二条“金鱼”需火柴棒a 2＝14，依次类推a 3＝20条，a n 比a n －1多6条，∴a n －a n －1＝6，∴a n ＝a 1＋6(n －1)＝6n ＋2.答案：6n ＋28．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________. 解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：89．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1.则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n＋1＝2n，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n， n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n， n ≥2.三、解答题10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1，∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式． (2)求n 为何值时a n 最小．解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6得， (a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6.∴b n ＋1－b n ＝2n －6.当n ≥2时，b n －b n －1＝2(n －1)－6b n －1－b n －2＝2(n －2)－6⋮b 3－b 2＝2×2－6 b 2－b 1＝2×1－6累加得b n －b 1＝2(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n (n －1)－6n ＋6 ＝n 2－7n ＋6. 又b 1＝a 2－a 1＝－14， ∴b n ＝n 2－7n －8(n ≥2)，n ＝1时，b 1也适合此式，故b n ＝n 2－7n －8. (2)由b n ＝(n －8)(n ＋1)得a n ＋1－a n ＝(n －8)(n ＋1)，∴当n <8时，a n ＋1<a n . 当n ＝8时，a 9＝a 8. 当n >8时，a n ＋1>a n .∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．[热点预测]13．(1)已知数列{a n }中，a 2＝102，a n ＋1－a n ＝4n ，则数列{a n n}的最小项是( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项(2)已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________，S 2 013＝________.(3)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝( )A ．2 020×2 014B ．2 020×2 013C ．1 010×2 014 D．1 010×2 013解析：(1)根据a n ＋1－a n ＝4n ，得a 2－a 1＝4，故a 1＝98，由于a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n －1)＝98＋2n (n －1)，所以a n n ＝98n＋2n －2≥298n ·2n －2＝26，当且仅当98n＝2n ，即n ＝7时等号成立．(2)由1×2×a 3＝1＋2＋a 3，得a 3＝3，a 1＋a 2＋a 3＝6.继续依据递推关系得到a 4＝1，a 5＝2，a 6＝3，…，故该数列是周期为3的数列，S 2 013＝6×2 0133＝4 026.(3)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(n ＋2)＋(n ＋1)＋…＋4＋5 ＝n －n ＋2＋2＋5所以a n ＝5＋n ＋n －2，所以a 2 014－5＝1 010×2 013. 答案：(1)B (2)6 4 026 (3)D。
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吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(四十九)一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( A ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝ [1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2.2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( A ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( D )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( C ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( C )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( B )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝3－32＋4－52＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6.二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝28．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π9．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1) 三、解答题10．已知⊙C 与两平行直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心C 在直线x ＋y ＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)斜率为2的直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点且满足OA →⊥OB →，求直线l 的方程．解：(1)由题意知⊙C 的直径为两平行线x －y ＝0及x －y －4＝0之间的距离 ∴d ＝2R ＝|0－－4|2＝22，解得R ＝2，设圆心C (a ，－a )，由圆心C 到x －y ＝0的距离|2a |2＝R ＝2得a ＝±1，检验得a ＝1.∴⊙C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C 过原点，若OA →⊥OB →，则l 经过圆心， 易得l 的方程：2x －y －3＝0.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A (－4,0)，B (0，－2)，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AB 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r .(1)若r 为正常数，求圆M 的方程；(2)当r 变化时，是否存在定直线l 与圆相切？如果存在求出定直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵定点A (－4,0)，B (0，－2)，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3； ∵圆M 的圆心M 在线段AB 的垂直平分线上， 且在y 轴右侧∴设圆心M 为(x 0,2x 0＋3)∵圆M 被y 轴截得的弦长为3r ， ∴圆心到y 轴的距离x 0满足：x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫32r 2＝r 2， 即x 0＝r 2，∴圆心M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫r2，r ＋3∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12r 2＋(y －r －3)2＝r 2；(2)圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ，r ＋3在直线y ＝2x ＋3上移动，且半径为r ，设直线l ：y ＝2x ＋m 与圆M 相切，则2·12r －r ＋3＋m22＋12＝r ，解得m ＝3±5r ，所以不存在符合题意的定直线．12．如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |， 得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)． 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. [热点预测]13．(1)已知圆C 的圆心是抛物线y ＝116x 2的焦点．直线4x －3y －3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的方程为________．(2)(2013·吉林长春三校调研)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：(1)y ＝116x 2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0) 所以弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝ 2r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|4×0－3×4－3|32＋422＝2 r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|15|52＝8.所以r 2＝25，所以圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.(2)如图，A 为PB 的中点，而C 为AB 的中点，因此，C 为PB 的四等分点．而C (3,5)，P 点的横坐标为0，因此，A 、B 的横坐标分别为2、4，将A 的横坐标代入圆的方程中，可得A (2,3)或A (2,7)，根据直线的两点式得到直线l 的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0。
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十)一、选择题1．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形中的概率是( B )A .24 B .14C .18D .116解析：设第一个正方形边长为1，则第2个正方形边长为22，第三个正方形边长为12，则所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝14. 2．函数f(x)＝x 2－x －2，x∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f(x 0)≤0的概率是( C )A ．1B .23C .310D .25解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f(x 0)≤0，则所求概率P ＝2－－5－－＝310. 3．已知A ＝{(x ，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}，B ＝{(x ，y)|1－x 2≤y}．若在区域A 中随机的扔一颗豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( A )A ．1－π8B .π4C .π4－1D .π8解析：如图，分别画出A 、B 表示的区域．S A ＝2×2＝4，S B ＝πr 22＝π2S B S A ＝π24＝π8，∴所求概率为1－S B S A ＝1－π8.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( D )A .π4 B .π－22 C .π6 D .4－π4解析：由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得：P(A)＝22－14×π×2222＝4－π4. 5．已知集合M ＝{x|－2≤x≤8}，N ＝{x|x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x∈M∩N”的概率是( A )A .110B .16C .310D .12解析：由题意知这是一几何概型，N ＝{x|1≤x≤2}，M∩N＝{x|1≤x≤2}，M∩N 的区间长度为1，M 的区间长度为10，所以“x∈M∩N”的概率为110，故选A .6．某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为( A )A .316B .14C .34D .116解析：飞标到圆心的距离大于14且小于12的区域面积为14π－116π＝316π，圆的面积为π，所以成绩良好的概率为316ππ＝316，选A .答案：A7．一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( D )A .2－12 B ．1－22C .2－1D ．2－ 2 解析：以O 为坐标原点，轮船走的路径为直线x ＋y －10＝0，点O 到直线的距离为52，因此轮船受台风影响时，台风半径10≥r≥52，轮船受台风影响的概率为：10－5210－5＝2－ 2.8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( A )A ．1－2πB .12－1πC .2πD .1π解析：设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14π(2R)2－12×(2R)2＝(π－2)R 2，S 扇＝14π(2R)2＝πR 2，故所求的概率是π－2πR ＝1－2π.二、填空题9．在区间[0,3]上任取一个数x ，使得不等式x 2－3x ＋2>0成立的概率为________． 解析：x 2－3x ＋2>0⇔x>2或x<1，由几何概型概率公式可得P ＝23.答案：2310．已知函数f(x)＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]，则对∀x∈[－1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________．解析：f(x)＝kx ＋1过定点(0,1)，当且仅当k∈[－1,1]时满足f(x)≥0在x∈[－1,1]上恒成立，而区间[－1,1]、[－2,1]的区间长度分别是2、3，故所求的概率为23.答案：2311．已知f(x)＝ln xx，在区间[2,3]上任取一点x 0，使得f′(x 0)>0的概率为________．解析：这是一个几何概型，其测度为长度，D 的测度为3－2＝1，f′(x 0)＝1－ln x 0x 20>0,2<x 0<e ，D 的测度为e －2，其概率为e －21＝e －2. 答案：e －212．在区间[0,4]内随机取两个数a 、b ，则使得函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2有零点的概率为________．解析：使函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2有零点，即使Δ＝a 2－4b 2≥0即a 2≥4b 2又a ，b∈[0,4]，∴a≥2b，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤40≤b≤4a≥2b画出不等式表示的平面区域如图．则所求概率为：S 阴影S 正方形＝12×4×24×4＝14.答案：14三、解答题13．抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P ＝49.(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π， ∴所求概率为P ＝410π＝25π.14．在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，求AD<AC 的概率．解：射线CD 在∠ACB 内是均匀分布的，故∠ACB＝90°可看成试验的所有结果构成的区域，在线段AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，则∠ACE＝67.5°可看成事件构成的区域， 所以满足条件的概率为67.590＝34.[热点预测]15．(1)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A .14B .13C .12D .23(2)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A .14B .13C .12D .32解析：(1)设BC 中点为M ，∴PB →＋PC →＝2PM →∵PB →＋PC →＋2PA →＝0， ∴PM →＝－PA →， ∴P 为AM 中点 PM AM ＝12，∴S △PBC S △ABC ＝12， ∴一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 的概率是12，故选C .(2)设圆的半径为r ，内接等边三角形的边长为a ，则由正弦定理asin 60°＝2r 可得a＝3r ，故欲使弦长超过3r ，则只需圆心到弦的距离小于12r 即可，故p ＝12.答案：(1)C (2)C。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习基础知识课时作业(一)一、选择题1．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( A )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．2．已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( D)A．(－∞，2] B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B ＝[－2,1]．3．已知集合A＝{3，a2}，集合B＝{0，b,1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝( C) A．{0,1,3} B．{1,2,4}C．{0,1,2,3} D．{0,1,2,3,4}解析：因为a2＝1，所以a＝1或a＝－1，当a＝1时，B＝{0，b,0}与集合中元素互异性矛盾，所以舍去，故a＝－1，此时B＝{0，b,2}，所以b＝1，所以A∪B＝{0,1,2,3}．4．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有( B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验当x＝2或－2时满足题意，故选B.5．已知集合A＝{x∈R|x≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}且R为实数集，则下列结论正确的是( C)A．A∪B＝R B．A∩B≠ØC．A⊆(∁R B) D．A⊇(∁R B)解析：由题意可知B＝{x|－1<x<2}，故选C.6．若集合M＝{x∈N*|x<6}，N＝{x||x－1|≤2}，则M∩(∁R N)＝( D)A．(－∞，－1) B．[1,3)C．(3,6) D．{4,5}解析：M＝{x∈N*|x<6}＝{1,2,3,4,5}，N＝{x||x－1|≤2}＝{x|－1≤x≤3}，∁R N＝{x|x<－1或x>3}．所以M∩(∁R N)＝{4,5}，选D.二、填空题7．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝______.解析：A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}8．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ×B ＝______.解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ×B ＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)9．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为________．解析：由|x －a |<1得－1<x －a <1，∴a －1<x <a ＋1，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>1a ＋1<5，∴2<a <4.又当a ＝2时，A ＝{x |1<x <3}满足A ⊆B ，a ＝4时，A ＝{x |3<x <5}也满足A ⊆B ，∴2≤a ≤4. 答案：2≤a ≤4 三、解答题10．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A 且12∈B .将12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0， 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12－12p ＋q ＝0，32＋12p ＋2＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝－4，∴A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4. 11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2，m ∈R }． (1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值； (2)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (3)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2} (1)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，如图有：⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥－1m ＋2≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1m ≤1，∴m ＝1.(2)∵A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0m ＋2≥3，∴m ＝2.(3)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3.12．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝Ø或B ＝{2}， 当B ＝Ø时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}． [热点预测]13(1)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －21－2x >0，B ＝{}y |y ＝log 2x －1，x ∈[3，9]，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 B ．(2,3]C ．[1,2)D ．(1,2)(2)对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝ab，a ∈A ，b ∈B }，若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为( )A.102 B.152 C.212 D.232(3)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝Ø，则m ＝________.解析：(1)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，B ＝{y |1≤y ≤3}，∴A ∩B ＝[1,2)． (2)由已知A ＋A ＝{2,3,4}，所以(A ＋A )÷A ＝{2,1,3，32，4}，其和为232.(3)A ＝{－1,2}，B ＝Ø时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：(1)C (2)D (3)0,1，－12。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十四)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十四)一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x， 令f ′(x )>0，解得x >2.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，解得a <－3或a >6.3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( C ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，f ′x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，f ′x ≤0.可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( C )解析：令y ＝xf ′(x )＝0结合上图可得f ′(x )零点为x 1＝－1，x 2＝1，故f (x )极点在x 1＝－1，x 2＝1处取得，B 、D 排除；另一方面结合图象可知x >0，f ′(x )>0的解集为(1，＋∞)，x >0，f ′(x )<0的解集为(0,1)；x <0，f ′(x )>0的解集为(－∞，－1)，x <0，f ′(x )<0解为(－1,0)故f (x )在(－∞，－1)增函数，在(－1,1)减函数，在(1，＋∞)增函数，由此可知选择C.5．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( D )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )的草图如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′0<0，f ′1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0<b <12.故选D.6．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝exx， f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( D ) A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意[x 2f (x )]′＝ex x ，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e xx，且f (x )＝gxx 2，因此f ′(x )＝xg ′x －2g x x 3＝e x－2g x x3.令h (x )＝e x －2g (x )，则h ′(x )＝e x－2g ′(x )＝e －2e x x＝exx －2x，所以x >2时，h ′(x )>0；0<x <2时，h ′(x )<0.从而有h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )是单调递增的，f (x )无极大值也无极小值．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2， 列表得：x －3 (－3，－2)－2 (－2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x )＋ 0 － 0 ＋ f (x )17单调递 增↗极大 值24单调递 减↘极小 值－8单调递 增↗－1可知M ＝24，m ＝－8，∴M －m ＝32. 答案：328．设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)·(x ＋1)．令f ′(x )>0，即(e x －1)(x ＋1)>0，解得x ∈(－∞，－1)或x ∈(0，＋∞)．所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1]和[0，＋∞)．答案：(－∞，－1]和[0，＋∞)9．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，c ＝6.答案：6 三、解答题10．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1, f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时， f (x )＝x －2ln x, f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1, f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1, f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时， f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时， f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时， f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．11．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间[－2，2]上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.12．已知函数f (x )＝12e 2x－ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－14e 2x ＋x 2＋x 在区间(0，＋∞)上为增函数，求整数m 的最大值．解：(1)定义域为(－∞，＋∞), f ′(x )＝e 2x－a ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝ln a 2，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 2时， f ′(x )<0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a 2，＋∞时f ′(x )>0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 2为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a 2，＋∞为增函数．(2)当a ＝1时，g (x )＝(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 2x －x －14e 2x ＋x 2＋x ，若g (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，则g ′(x )＝(x －m )(e 2x－1)＋x ＋1≥0在(0，＋∞)恒成立，即m ≤x ＋1e 2x －1＋x 在(0，＋∞)恒成立．令h (x )＝x ＋1e 2x －1＋x ，x ∈(0，＋∞)；h ′(x )＝e 2x e 2x －2x －3e 2x －12，x ∈(0，＋∞)； 令L (x )＝e 2x－2x －3，可知L ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －4<0，L (1)＝e 2－5>0，又当x ∈(0，＋∞)时L ′(x )＝2e 2x－2>0，所以函数L (x )＝e 2x－2x －3在x ∈(0，＋∞)只有一个零点，设为α，即e 2α＝2α＋3，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1；由上可知当x ∈(0，α)时L (x )<0，即h ′(x )<0； 当x ∈(α，＋∞)时L (x )>0，即h ′(x )>0， 所以h (x )＝x ＋1e 2x－1＋x ，x ∈(0，＋∞)，有最小值h (α)＝α＋1e 2α－1＋α， 把e 2α＝2α＋3代入上式可得h (α)＝12＋α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以h (α)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，又m ≤h (x )恒成立，所以m ≤h (α)，又因为m 为整数， 所以m ≤1，所以整数m 的最大值为1. [热点预测]13．已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )图象在点⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围；(3)在(1)的条件下，过点P (1，－4)作函数F (x )＝x 2[f (x )＋3ln x －3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求出这些切线方程．解：(1)由题可知f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1.故f (x )＝x －2x－3ln x ，∴f ′(x )＝x －1x －2x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝2. 于是可得下表：x 32⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 2 (2,3) 3 f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘1－3ln 2↗于是可得：f (x )min ＝f (2)＝1－3ln 2. (2)∵f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x2(x >0) 由题可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1、x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0x 1＋x 2＝3a >0x 1x 2＝2a >0解得0<a <98.(3)由(1)知f (x )＝x －2x－3ln x ，故F (x )＝x 3－3x 2－2x (x >0)，F ′(x )＝3x 2－6x －2(x >0) 设切点为T (x 0，y 0)，由于点P 在函数F (x )的图象上， ①当切点T 不与点P (1，－4)重合，即当x 0≠1时， 由于切线过点P (1，－4)，则y 0＋4x 0－1＝3x 20－6x 0－2 所以x 30－3x 20－2x 0＋4＝(x 0－1)(3x 20－6x 0－2)， 化简得x 30－3x 20＋3x 0－1＝0， 即(x 0－1)3＝0，解得x 0＝1(舍去)．②当切点T 与点P (1，－4)重合，即x 0＝1时，则切线的斜率k ＝F ′(1)＝－5，于是切线方程为5x ＋y －1＝0. 综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为5x ＋y －1＝0.。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(四十八)一、选择题1．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：由直线垂直的充要条件得(a ＋1)·1＋2(－a )＝1－a ＝0，∴a ＝1，选C. 2．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故所求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.4．A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( B )A ．2x －y －1＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －7＝0D ．2y －x －4＝0解析：由题意得A (－1,0)、P (2,3)、B (5,0)， 由两点式，得PB 方程为x ＋y －5＝0.5．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k .得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，所以交点在第二象限． 6．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( A ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12.二、填空题7．已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相垂直，则a 等于________． 解析：当a ＝0或a ＝－2时不满足题意，易得a ·3a ＋2＝－1，解得a ＝－12. 答案：－128．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为________．解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝|c2＋1|13.解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝±1. 答案：±19．平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线y ＝ex －1交于不同的A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线，与曲线y ＝ln x 交于点C ，D ，则直线CD 的斜率是________．解析：设直线l 的方程为y ＝kx ，A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有y 1＝kx 1＝e x 1－1，y 2＝kx 2＝e x 2－1两边取对数得x 1－1＝ln kx 1，x 2－1＝ln kx 2C 、D 两点坐标分别为(x 1，ln x 1)，(x 2，ln x 2)， k CD ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝x 1－1－ln k －x 2－1－ln kx 1－x 2＝1.答案：1 三、解答题10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.12．(1)求点A (3,2)关于点B (－3,4)的对称点C 的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点P (2，－1)对称的直线l 的方程； (3)求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点的坐标．解：(1)设C (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝－3，2＋y2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6，故所求的对称点的坐标为C (－9,6)．(2)设直线l 上任一点为(x ，y )，它关于点P (2，－1)的对称点(4－x ，－2－y )在直线3x －y －4＝0上，∴3(4－x )－(－2－y )－4＝0. ∴3x －y －10＝0.∴所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.(3)设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，根据直线AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线2x －4y ＋9＝0上，则有⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴所求的对称点的坐标为(1,4)． [热点预测]13．(1)点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3 解析：(1)∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2,2t )，则22＝|t 2－2t |2，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个．(2)设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十六)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十六)一、填空题1．不等式|2－x |＋|x ＋1|≤a 对任意x ∈[－2,1]恒成立的实数a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝|2－x |＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ， －2≤x ≤－13，－1<x ≤1，可知y ＝f (x )的最大值为5，所以a ≥5.答案：[5，＋∞)2．已知不等式|x ＋2|＋|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：|x ＋2|＋|x |≥|x ＋2－x |＝2，a ≥|x ＋2|＋|x |有解，即a ≥(|x ＋2|＋|x |)min ，∴a ≥2. 答案：a ≥23．不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________．解析：不等式可化为|x －1|＋|x ＋2|<4，令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1 x <－23 －2≤x ≤12x ＋1 x >1，则f (x )<4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32 4．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 x <－2x ＋2 －3≤x4 x 易得f (x )，在R 上的最大值为4，故只需a 2－3a ≥4即可．解得a ≤－1或a ≥4.答案：a ≤－1或a ≥45．若不等式|x ＋2|＋|x －3|≥a ＋4a －1对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a <1时a ＋4a －1<0，故此时不等式恒成立；由绝对值的几何意义可推知|x ＋2|＋|x －3|的最小值为5，故当a ＋4a －1≤5时，a ＝3时不等式恒成立，综上所述，a ＝3或a <1. 答案：a ＝3或a <16．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥|m －2|＋1对一切非零实数x 均成立，记实数m 的取值范围为M ，已知集合A＝{x |x ∈M }，集合B ＝{x ∈R |x 2－x －6<0}，则集合A ∩B ＝________.解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥|m －2|＋1恒成立得|m －2|≤3，解得－1≤m ≤5，故A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－2<x <3}，故A ∩B ＝{x |－1≤x <3}．答案：{x |－1≤x <3}7．若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝4，则3a ＋4b ＋5c 的最大值为________． 解析：由柯西不等式，得3a ＋4b ＋5c ≤ a 2＋b 2＋c 2·32＋42＋52＝10 2. 答案：10 28．对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．解析：a ≠0，所以不等式等价于|x －1|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，|x －1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋b |＋|a －b ||a |min， |a ＋b |＋|a －b ||a |≥|2a ||a |＝2，∴|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3.答案：－1≤x ≤3 二、解答题9．已知不等式|x ＋2|＋|x －m |≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求实数m 的值；(2)若a 2＋2b 2＋3c 2＝m ，求a ＋2b ＋3c 的取值范围．解：(1)依题意，当x ＝1时不等式成立，所以3＋|1－m |≤3，解得m ＝1， 经检验，m ＝1符合题意．(2)由(1)知a 2＋2b 2＋3c 2＝1.根据柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )2≤(12＋(2)2＋(3)2)[a 2＋(2b )2＋(3c )2]＝6， 所以－6≤a ＋2b ＋3c ≤ 6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝66时，取得最大值6，a ＝b ＝c ＝－66时，取得最小值－6，因此a ＋2b ＋3c 的取值范围是[]－6，6.10．已知函数f (x )＝log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－a )． (1)当a ＝4时，求函数f (x )的定义域；(2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f (x )＝log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－4)， |2x －1|＋|x ＋2|－4>0.当x <－2时，－(2x －1)－(x ＋2)－4>0， ∴x <－53.即x <－2.当－2≤x ≤12时，－(2x －1)＋(x ＋2)－4>0，∴x <－1.即－2≤x <－1.当x >12时，(2x －1)＋(x ＋2)－4>0，∴x >1.即x >1.综上所述，函数f (x )的定义域为{x |x <－1或x >1}． (2)由题意得log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－a )≥2＝log 24恒成立， 即|2x －1|＋|x ＋2|－a ≥4， ∴|2x －1|＋|x ＋2|－4≥a 恒成立， 令g (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －5，x <－2，－x －1，－2≤x ≤12，3x －3，x >12.显然x ＝12时，g (x )取得最小值－32，∴a ≤－32.11．已知函数f (x )＝|x －2|＋2|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>3；(2)不等式f (x )≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x －2＋2x －2>3解得x >73，⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <22－x ＋2x －2>3解得x ∈Ø ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12－x ＋2－2x >3解得x <13.不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞. (2)a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤2－x ＋2a －2，2<x <a ；3x －2－2a ，x ≥aa ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋6，x ≤23x －6，x >2；a <2时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤a x －2a ＋2，a <x <23x －2－2a ，x ≥2；∴f (x )的最小值为f (2)或f (a )；则⎩⎪⎨⎪⎧faf ，解得a ≤1或a ≥3.12．设函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>2；(2)若关于x 的不等式a 2－2a ≤f (x )解集是空集，求a 的取值范围．解：(1)由|x －2|－|x ＋1|>2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，3>2或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－3>2解得x <－12，即解集为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(2)∵a 2－2a ≤f (x )的解集为空集，∴a 2－2a >f (x )max ， 而f (x )＝|x －2|－|x ＋1|≤|(x －2)－(x ＋1)|＝3， ∴a 2－2a >3，即a >3或a <－1. 13．已知函数f (x )＝|x ＋a |.(1)当a ＝－1时，求不等式f (x )≥|x ＋1|＋1的解集；(2)若不等式f (x )＋f (－x )<2存在实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝－1时， f (x )＝|x －1|≥|x ＋1|＋1， 即：|x －1|－|x ＋1|≥1，x ≤－1时，－x ＋1＋x ＋1≥1，∴x ≤－1；－1≤x ≤1时，－x ＋1－x －1≥1，∴－1≤x ≤－12；x ≥1时，x －1－x －1≥1，无解．∴x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. (2)f (x )＋f (－x )＝|x ＋a |＋|－x ＋a |≥|(x ＋a )＋(－x ＋a )|＝|2a |， ∴|2a |≤f (x )＋f (－x )<2，∴－1<a <1. 14．设f (x )＝|x －3|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤2；(2)若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x <31，3≤x ≤42x －7，x >4，作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为52和92，由图象知不等式f (x )≤2的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，92.(2)函数 y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在满足题意的x .由图象知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [热点预测]15．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .。
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吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课
时作业(四十)
一、选择题
1．一个几何体的三视图如下图所示，其中正(主)视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧(左)视图的面积为( A )
A.32
B.12 C ．1
D ．2
解析：由三视图知该几何体为正六棱锥，底面边长为1，高为 3.侧(左)视图为等腰三角形，底边边长为3，高为3，所以侧(左)视图的面积为12×3×3＝3
2
.
2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( A )
解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.
3．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为1
2，则该几何体
的俯视图可以是( C )
解析：如图
该几何体是底面为等腰直角三角形，侧棱为1的直三棱柱，故选C.
4．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视
图的面积为( C )
A.
3
4
B.32
C.3
4 D ．1
解析：
由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧视图的高为3，又由“宽相等”可知侧视图的宽度和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为1×sin 60°＝3
2
，所以侧视图的面积为S ＝12×32×3＝3
4
，选C.
5．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图可以为( B )
解析：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1—AD 1E 后满足题意中的正视图、俯视图，则侧视图为选项B.
6．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是( D )
解析：正视图、俯视图、左视图均为 时，这样的几何体不存在，故选D. 7．一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图为( C )
解析：由题意
得正方体截去的两
个角如图所示，故其俯视图应选C.
二、填空题
8．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3
.
解析：由三视图可知，该三棱锥底面为两条直角边分别为1 cm 和3 cm 的直角三角形，如图所示，AB ⊥BC ，一条侧棱PC 垂直于底面，故高为2 cm ，所以体积V ＝13×1
2×1×3×2
＝1(cm 3
)．
答案：1
9．三棱锥D －ABC 及其三视图中的正视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为________．
解析：
取AC 中点H ，由三视图可知，AH ＝HC ＝2，BH ⊥AC
CD ＝4，BH ＝2 3
∴在Rt △BHC 中，BC ＝4 在Rt △BCD 中，BD ＝4 2. 答案：4 2
10．一个几何体的正(主)视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
解析：锥体的正(主)视图均为三角形，当三棱柱底面向前时正(主)视图为三角形，而四
棱柱和圆柱无论怎样放置正(主)视图都不会为三角形．
答案：①②③⑤ 三、解答题
11．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示． (1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积． 解：(1)如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，
∴侧视图中
VA ＝
42
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32×232
＝12＝23，
∴S △VBC ＝1
2×23×23＝6.
12．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正(主)视图，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．
解：如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A 1C ＝7，则它的正视图投影长为A 1B ＝6，侧视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2
＋b 2
＋(6)2
＝2·(7)2
，即a 2
＋b 2
＝8，
又
a ＋b
2
≤
a 2＋
b 2
2
，∴a ＋b ≤4.
而a ＋b 的最大值为4.
[热点预测]
13.(1)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是AB 的三等分
点，G 、H 是CD 的三等分点，M 、N 分别是BC 、EH 的中点，则四棱锥A 1－FMGN 的侧视图为( )
(2)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积是( )
A．9 B．11
C．13 D．15
(3)一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的
俯视图的是( )
解
析：(1)
由题意
知侧视
图中底
线为HC，A1F与A1G在侧视图中重合，故C正确．
(2)由正视图、侧视图可知，几何体的体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，最大体积为11，所以选B.
(3)由主视图和左视图知，该锥体是由正方体中截得的，可能是三棱锥也可能是四棱锥，如右图．
该几何体可能是三棱锥C1－BCD或C1－ACD，或四棱锥C1－ABCD，所以其俯视图可能是A、B、D，不可能为C.
答案：(1)C (2)B (3)C。