2.12指数函数及其性质第二课时
指数函数及其性质教案
指数函数及其性质教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和表达形式；2. 掌握指数函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等；3. 学会运用指数函数解决实际问题；4. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数；2. 指数函数的表达形式：指数函数可以写成y=e^(xln(a))的形式；3. 指数函数的单调性：当a>1时，指数函数在定义域上单调递增；当0<a<1时，指数函数在定义域上单调递减；4. 指数函数的奇偶性：指数函数既不是奇函数也不是偶函数；5. 指数函数的周期性：指数函数没有周期性；6. 指数函数的应用：解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：指数函数的定义、表达形式、单调性和应用；2. 教学难点：指数函数的单调性和应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解指数函数的定义、表达形式、单调性和应用；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用指数函数解决问题；3. 练习法：布置课后作业，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：讲解指数函数的定义和表达形式；2. 第二课时：讲解指数函数的单调性；3. 第三课时：讲解指数函数的奇偶性和周期性；4. 第四课时：讲解指数函数的应用；六、教学评估1. 课堂提问：检查学生对指数函数定义和表达形式的理解；2. 课堂练习：让学生解答相关例题，检验对单调性的掌握；3. 课后作业：评估学生对奇偶性、周期性和应用的理解。
七、教学策略1. 针对不同学生的学习基础，提供多层次的学习资源；2. 利用多媒体工具，如图表、动画等，直观展示指数函数的性质；3. 鼓励学生参与课堂讨论，增强互动性。
八、教学延伸1. 探讨指数函数与其他类型函数的关系；2. 研究指数函数在数学和其他学科中的应用；3. 引入指数对数函数，比较其性质和应用。
九、课后作业1. 练习题：巩固指数函数的基本概念和性质；2. 研究题：探究指数函数在实际问题中的应用；3. 拓展题：深入了解指数函数的更深层次性质。
指数函数及其性质 (2)
教学设计《指数函数及其性质》湖南省保靖县雅丽中学数学组徐立新一、教材分析（一）教材背景本节课选自人教版必修一第二章第一节第二课时.指数函数是在学习了函数的定义及其图像、性质，掌握了研究函数的一般思路之后，学习的第一个重要的基本初等函数.（二）本课的地位和作用在讲授本节课前，学生已经研究了基本的函数概念及性质及二次函数、反比例函数及特殊的幂函数等，从方法上讲学生已经清楚了如何借助于图象研究性质，基本能够按类比迁移的方式来研究指数函数的性质，这也为本节课学生的自主探究提供了可能；与此同时，指数函数也是后面学习对数函数、三角函数的基础，因此这段内容在教材中起着重要的承上启下作用。
（三）重难点分析重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。
因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。
难点： 1、对于底数用 a >1 和0< a <1 时函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。
因此，弄清楚底数a对函数图象的影响是本节的难点之一。
2、底数互为倒数的两个函数图象间的关系。
二、教学目标知识与技能：1、理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；2、掌握函数的基本性质，能利用函数的单调性解决问题。
过程与方法：1、学会采用类比研究的方法探讨指数函数问题的数学思维方法，提高合情猜想能力；2、在数学实验平台上，经历列表描点、绘制具体函数图象、图象的动态变换三个步骤体验指数函数的图象特征，并归纳函数性质。
情感价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，在学生的亲身操作中，感受数学的力量，坚定数学学习信念。
三、学情分析认知分析: 指数函数及其性质能力分析: 在学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。
学习过程中难免会出现困难.本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
高一数学必修一2.1.2指数函数及其性质 第二课时 教学课件PPT
例2. 2.51.7
二。指数相同,底数
31.7
不同
法一: 图象法
法二: 作商法 (两个指数式的商与1比较)
2.51.7 31.7
(2.5)1.7, 3
根据函数y (5)x的性质，当x 0时,0 y 1
6
0 (5)1.7 1,即2.51.7 31.7 6
单调性逆用：比较 自变量大小
例2. 2.51.7
二。指数相同,底数
31.7
不同
法一: 图象法
法二: 作商法 (两个指数式的商与1比较)
2.51.7 31.7
(2.5)1.7, 3
根据函数y (5)x的性质，当x 0时,0 y 1
6
0 (5)1.7 1,即2.51.7 31.7 6
30.2 与2.50.2以及20.1与（1）0.2的大小 3
引导探究 一.底数相同,指数不同
比较下列函数值的大小
例1：1.7 2.5 与1.7 3
5
4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
0
-0.5
1
2
3
4
5
6
2.Байду номын сангаас 3
（1）
0.3 > 0.5 （2）0.80.1 <
____
__
< （3） ( 2 )0.3
( 2 )0.6
2
2
0.80.2
底数相同，指数不同的函数值的大小比较方 法是什么呢？
构造出相应的指数函数，利用指数函数的单 调性比较函数值的大小。
新人教A版必修1：2.1.2指数函数及其性质课件(共18张PPT)
(3) 21.5 和 0.53
(4) 1.70.3 和 0.93.1
(3) 0.53 23
底数2 1，函数 y 2x 在R上是增函数，
3 1.5， 23<21.5，即0.53<21.5
(4) 函数y 1.7x 在R上是增函数，y 0.93.1在R上是减函数，
1.70.3>1.70=1， 0.93.1<0.90 =1 1.70.3 >0.93.1
1、指数函数的图象分布在第一、二象限；
2、无论底数取符合要求的任何值，函数图象均过 定点（0，1）；
3、函数图象向下逐渐接近 x轴，但不能和x轴相交。
例6 已知指数函数f(x) 的图象过点(3, )，
求解析式及f(0)，f(1)，f(－3)的值.
分析：利用函数图象过点(3, )这个条件可求得a.
解：设指数函数f ( x) ax (a 0，且a 1)
y
图象
1
1
O
x
O
x
定义域
R
值域 (0,+)
性 恒过定点(0,1) 即x=0时，恒有y a0 1
质
在R上是增函数 在R上是减函数 当x 0时，0 y 1 当x 0时，y>1
当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1
2、指数函数的图象与性质
思考：如何快速地画出指数函数的简图？ 分布区域、特殊点、变化趋势
2.1.2 指数函数及其性质
y 2x
y (1)x 2
y 1.0175x
思考: 以上三个函数形式上有何共同特征?
(1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数; (3)自变量x都在指数位置.
y ax
2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)
(1) y 2 (3) y 2
x 1
(2) y 2 1
x
|x|
( 4 ) y | 2 1 |
x x
(5) y 2
(6 ) y 2
x
二、比较大小
例2 比较大小
(1) 1 .8 1
2 .2 1
(3) ( ) 3 2
_ 1 __
_ _ _ 1 .8
3
( 2 ) 0 .7 ( 4 ) 1 .9
指数函数及其性质（第二课时）
学习目标
1、掌握函数图象变换的相关问题；
2、会利用指数函数的单调性和图象比较大小；
3、会解决与指数函数相关的定义域、值域问题；
4、会判断简单复合函数的单调性
知识回顾， 课前练习
1、指数函数的定义:
y a ( a 0 , 且 a 1)
x
练习：若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数，则 a= . 2、指数函数的图象和性质
例3 求下列函数的定义域和值域
1
(1)
y 2 x4
(2 ) y ( ) 3
2
|x|
(3 ) y 2
2xx
2
练习：
(1) y 12x (2 ) 1 y ( ) 3
3 x
三、与指数函数有关的定义域、值域问题
例4 求函数y=-9x+2×3x+3，x∈[-1,2]的值域
练习： 求函数y=4x-2x+1，x∈[-2,1]的值域
四、简单的复合函数单调性
例5 判断 f
( x) ( ) 3 1
x 2x
2
的单调性
练习： 已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1)满足f(-2)>f(3),则函 数g(x)=a1-x的单调递增区间为 .
2.示范教案(1.2指数函数及其性质第2课时)
第2课时指数函数及其性质(2)导入新课思路1.温习导入：咱们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面咱们一同回想一下指数函数的概念、图象和性质.怎么使用指数函数的图象和性质来处理一些问题,这便是本堂课要讲的首要内容.教师板书课题.思路2.咱们在学习指数函数的性质时,使用了指数函数的图象的特色,并且是用类比和概括的办法得出,在理论上,咱们能否严厉的证明特别是指数函数的单调性,以便于咱们在解题时使用这些性质,本堂课咱们要处理这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).使用示例思路1例1已知指数函数f(x)=a x（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活动：学生审题,把握题意,教师当令发问,指点,求值的要害是确认a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,阐明点在图象上,意味着已知点的坐标满意曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=a x（a＞0且a≠1）求a的值,从而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时点评.解：由于图象过点（3,π）,所以f(3)=a3=π,即a=π,f(x)=(π)x.再把0,1,3别离代入,得f(0)=π0=1,f(1)=π1=π,f(-3)=π-1=.点评：依据待定系数的多少来确认构建方程的个数是解题的要害,这是方程思维的运用.例2用函数单调性的界说证明指数函数的单调性.活动：教师指点提示界说法判别函数单调性的过程,单调性的界说证明函数的单调性,要按规则的格局书写.证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则y2－y1=a x2－a x1=a x1（a x2-x1－1）.由于a＞1,x2－x1＞0，所以a x2-x1＞1,即a x2-x1－1＞0.又由于a x1＞0,所以y2－y1＞0,即y1<y2.所以当a＞1时,y=a x,x∈R是增函数.同理可证,当0＜a＜1时,y=a x是减函数.证法二：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则y2与y1都大于0,则==a.由于a＞1,x2－x1＞0,所以a＞1,即>1,y1<y2.所以当a＞1时,y=a x,x∈R是增函数.同理可证,当0＜a＜1时,y=a x是减函数.变式操练若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的规模是多少？答案：＜a＜1.例3截止到1999年末,我国人口约13亿,假如往后能将人口年均匀增加率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（准确到亿）？活动：师生一起评论,将实际问题转化为数学表达式,树立方针函数,常选用特别到一般的办法,教师引导学生留意题目中自变量的取值规模,可以先考虑一年一年增加的状况,再从中发现规则,最终处理问题：1999年末人口约为13亿;经过1年人口约为13（1+1%）亿;经过2年人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿;经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;经过x年人口约为13(1+1%)x亿;经过20年人口约为13(1+1%)20亿.解：设往后人口年均匀增加率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则y=13(1+1%)x,当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.点评：相似此题,设原值为N,均匀增加率为P,则关于经过时刻x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)x等形如y=ka x(k∈R,a ＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.思路2例1求下列函数的界说域、值域：1.y=0.4;(2)y=3;(3)y=2x+1;(4)y=.解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数界说域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1,即函数值域为{y|y>0且y≠1}.（2）由5x-1≥0得x≥,所以所求函数界说域为{x|x≥}.由≥0得y≥1,所以函数值域为{y|y≥1}.（3）所求函数界说域为R，由2x>0可得2x+1>1.所以函数值域为{y|y>1}.(4)由已知得：函数的界说域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.由于y≠1,所以2x=.又x∈R,所以2x>0,>0.解之,得-2<y<1.因而函数的值域为{y|-2<y<1}.点评：经过此例题的操练,学会使用指数函数的界说域、值域去求解指数方式的复合函数的界说域、值域,还应留意书写过程与格局的规范性.变式操练求函数y=()的界说域和值域.解：要使函数有意义,有必要x+3≠0,即x≠-3，即函数的界说域是{x|x≠-3}.由于≠0,所以y=()≠()0=1.又由于y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).例2（1）求函数y=()的单调区间,并证明.（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明关于恣意a,f(x)为增函数.活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决议,指数函数y=()x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的界说证明函数的单调性,要按规则的格局书写.解法一：设x1<x2,则=()(),由于x1<x2,所以x2-x1>0.当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,即>1,所以y2>y1,函数单调递加;当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即<1,所以y2<y1,函数单调递减;所以函数y在（-∞,1］上单调递加,在［1,+∞）上单调递减.解法二：（用复合函数的单调性）：设u=x2-2x,则y=()u,对恣意的1<x1<x2,有u1<u2,又由于y=()u是减函数,所以y1<y2,所以y=()在［1,+∞）是减函数.对恣意的x1<x2≤1,有u1>u2,又由于y=()u是减函数,所以y1<y2.所以y=()在（-∞,1］上是增函数.引申：求函数y=()的值域（0<y≤2）.点评：(1)求复合函数的单调区间时,使用口诀“同增异减”.（2）此题虽方式较为杂乱,但应严厉依照单调性的界说进行证明,还应要求学生留意不同题型的回答办法.证明：设x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)===.由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,所以2x1<2x2,即2x1-2x2<0.又由2x>0得2x1+1>0,2x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).由于此定论与a取值无关,所以关于a取恣意实数,f(x)为增函数.点评：上述证明过程中,在对差式正负判别时,使用了指数函数的值域及单调性.知能操练1.函数y=a|x|（a＞1）的图象是（）图2-1-2-8剖析：当x≥0时,y=a|x|=a x的图象过（0,1）点,在榜首象限,图象下凸,是增函数.答案：B2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（）A.y=()2-xB.y=C.y=D.y=+1剖析：由于（2－x）∈R,所以y=（）2－x∈（0,+∞）;y=∈［0,1］;y=∈［0,+∞);y=+1∈［2,+∞).答案：A3.已知函数f（x）的界说域是（0,1）,那么f（2x）的界说域是（）A.（0,1）B.（,1）C.（－∞,0）D.（0,+∞）剖析：由题意得0＜2x＜1,即0＜2x＜20,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.答案：C4.若调集A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（）A.A BB.A BC.A=BD.A∩B=剖析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以A B.答案：A5.关于函数f(x)界说域中的恣意的x1、x2(x1≠x2),有如下的定论:①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);③>0;④<.当f(x)=10x时,上述定论中正确的是.剖析:由于f(x)=10x,且x1≠x2,所以f(x1+x2)===f(x1)·f(x2),所以①正确;由于f(x1·x2)=≠=f(x1)+f(x2),②不正确;由于f(x)=10x是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以>0,所以③正确.由于函数f(x)=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.图2-1-2-9答案：①③④另解：④∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴>∴>,即>∴>.拓宽进步在同一坐标系中作出下列函数的图象,评论它们之间的联络.1.①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;2.①y=()x,②y=()x-1,③y=()x+1.活动：学生着手画函数图象,教师指点,学生没有思路教师可以提示.学生回想函数作图的办法与过程,按规则作出图象,特别是要害点.答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.图2-1-2-10图2-1-2-11调查图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下联系:y=3x+1的图象由y=3x的图象左移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.调查图2-1-2-11可以看出,y=()x,y=()x-1,y=()x+1的图象间有如下联系:y=()x+1的图象由y=()x的图象左移1个单位得到;y=()x-1的图象由y=()x的图象右移1个单位得到;y=()x-1的图象由y=()x+1的图象向右移动2个单位得到.你能推行到一般的景象吗?同学们留作考虑.讲堂小结考虑咱们本堂课首要学习了哪些常识,你有什么收成?把你的收成写在笔记本上.活动：教师用多媒体显现以下内容,学生彼此沟通学习心得,看是否与多媒体显现的内容共同.本节课,在温习旧常识的基础上学习了数形结合的思维、函数与方程的思维,加深了对问题的剖析才能,形成了必定的才能与办法.作业讲义P59习题2.1 B组 1、3、4.规划感触本堂课首要是温习稳固指数函数及其性质,触及的内容较多,要首要安排学生回想指数函数的性质,为此,有必要使用函数图象,数形结合,经过数与形的彼此转化,凭借形的直观性处理问题,本节课要操练学生可以恰当地结构函数,依据函数的单调性比较巨细,有时要分a>1,0<a<1,这是分类评论的思维,因而加大了习题和操练的量,意图是让学生在较短的时刻内,把握学习的办法,进步剖析问题和处理问题的才能,要加快速度,多运用现代化的教育手法.(规划者：王建波)。
《指数函数及其性质》第二课时课件
y
（a>0且a≠1 ) 的图像及性质
0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1 x 0 y
图 象
a>1 图 象 特 征
y=1 0
y=ax (a>1)
(0,1)
x
0<a<1 函 数 性 质
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近. 2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
0.6-0.5＞0.8-0.5
22.7＞0.72.7
0.92.5＜2.50.9
比较幂值大小的三种类型及处理方法
比商法
能否用同样的方法画出函数 y 3 x ， 8 x y （ ） 的图象呢 ？ 5 x
y
8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
y3
y 2x
x y （8 ） 5
5－2 (3)8 3
与 1；
4 (4)5
－
1 2
9 1 与103
.
[思路探究]
利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是 什么?
[ 边听边记]
(1)函数y＝1.5x在R上是增函数，
∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2. (2)函数y＝0.6x在R上是减函数， ∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5.
5 5 x (3)因为0< <1，所以函数y＝ 8 在定义域R内是减函数， 8 5 2 5 5 2 2 －3 0 －3 又因为－ <0，所以8 >8 ＝1，所以 >1. 8 3
2.1.2指数函数及其性质(二)
新课
例1、比较下列各式两个值 的大小：
(1)1.81.5 和1.82.5
例2、比较 1.8
方法总结：
0.1
(2)0.80.1 和0.80.2
和0.8
0.2
的大小 .
若干个指数式比较大小，若底数相同， 可利用指数函数单调性比较；若底数不 同，可考虑插入适当的中间量（常用1） ，进行间接比较。
2019年3月21日星期四
新课
例3、求下列不等式的解集 ：
1 2 x 1 1 x 2 (1)( ) ( ) 5 5
1 2 x 1 (3)( ) 1 5 1 2 x 1 1 (2)( ) 5 25
已知f ( x)是定义在[9,9]上的增函数, 且满 足f (2 x 1) f ( x 3), 求x的范围.
2019年3月21日星期四
新课
例4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ截止到 1999 年底, 我国人口约 13亿. 如果今后能将人口年平 均增长率控制在 1%, 那么经过20年后, 我国人口数最多为 多少(精确到亿) ?
2019年3月21日星期四
小结
学习函数的一般模式（方法）：
解析式（定义）
图像
数形结合
分类讨论
性质 应用
2019年3月21日星期四
作业
2019年3月21日星期四
结束
2019年3月21日星期四
图 象
y=1 (0,1) o
y ax
x
y ax
(0,1) o y=1 x
R 定义域： (0,) 性 值域： 单调性： 在R上递增 若x 0，则a x 1 质
若x 0，则a x 1
R 定义域： (0,) 值域： 单调性： 在R上递减 若x 0，则a x 1
人教版高中数学教案 2.1.2指数函数及其性质(二)
2.1.2 指数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识与技能：（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.3．情感、态度与价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义一般地，函数xy a（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图象生：复习回顾师：总结完善复习旧知，为新课作铺垫.问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.形成概念图象特征a＞1 0＜a＜1向x轴正负方向无限延伸图象关于原点和y轴不对称函数图象都在x轴上方函数图象都过定点（0，1）自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1师：引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.生：从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.师：帮助学生完善.通过分析图象，得到图象特征，为进一步得到指数函数的性质作准备.概念深化函数性质a＞1 0＜a＜1函数的定义域为R非奇非偶函数函数的值域为R+a=1增函数减函数x＞0，x a＞1 x＞0，x a＜1生：从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质.师：帮助学生完善.获得指数函数的性质.x ＜0，xa ＜1x ＜0，xa ＞1问题：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.师：画出几个提出问题.生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数xy a=（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，在第一象限的函数图象越高.（底大图高）明确底数是确定指数函数的要素.应用 举例例1 求下列函数的定义域、值域 （1）110.3x y -= （2）513x y -=课堂练习（P 64 2）例2（P 62例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73例1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.解：（1）由10x -≠得1x ≠ 所以函数定义域为{|1}x x ≠.由101x ≠-得1y ≠， 所以函数值域为{|01}y y y >≠且.（2）由510x -≥得15x ≥ 所以函数定义域为1{|}5x x ≥.由510x -≥得1y ≥， 所以函数值域为{|1}y y ≥.例2解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出掌握指数函数的应用.(x K R∈备选例题例1 求下列函数的定义域与值域 （1）412-=x y ；（2）||2()3x y =； （3）1241++=+x xy ；[分析]由于指数函数0(>=a a y x且)1≠a 的定义域是R ，所以函数)(x f a y =（0>a 且1≠a ）与函数)(x f 的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.[解析]（1）令,04≠-x 得4≠x∴定义域为,|{R x x ∈且}4≠x .12,04141≠∴≠--x x Θ，∴412-=x y 的值域为,0|{>y y 且}1≠y .（2）定义域为R x ∈.||x Θ≥0，||||23()()32x x y ∴==≥1)23(0=故||2()3x y =的值域为y y |{≥}1.（3）定义域为R x ∈.1421x x y +=++Q22(2)221(21),x x x =+⋅+=+且1,02>∴>y x. 故1241++=+x xy 的值域为}1|{>y y .[小结]求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.例2用函数单调性定义证明a ＞1时，y = a x 是增函数. [解析]设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2 = x 1 + h (h ＞0，h ∈R )， 则有)1(11112-=-=-+h x x h x x x a a a a a a ， ∵a ＞1，h ＞0，∴1,01>>h x a a ， ∴012>-x x a a ，即21x x a a < 故y = a x (a ＞1)为R 上的增函数，同理可证0＜a ＜1时，y = a x 是R 上的减函数.。
指数函数及其性质4
2.1.2 指数函数及其性质（第一课时） 一．学习目标：1，理解指数函数的概念。
2.能画出具体指数函数的图像， 3.初步掌握指数函数的有关性质。
二．自学探究:看教科书第54-56页探究以下问题： 1． 请写出指数函数的定义并记住：2． 指出下列函数哪些是指数函数？1）y=4x2)y=x 43)y=-4x4)y=(-4)x5)y=x π 6)y=2·4x 7)y=x 2 8)y=2x 9)y=(2a-1)x(a>12,且a ≠1)3． 请画出y=2x的图象。
4． 请画出y=(12)x的图象。
5. 根据图像给出相应性质 ( 5分钟)解析式： 2xy = 代表 （a >1）情况 1()2xy = 代表 （a <1）情况图像：定义域： 值域： 特殊点： 单调性：三．合作探究1．函数2(33)x y a a a =-+∙是指数函数，求a 的值，并写出这个指数函数2．若函数x a y )34(-=为指数函数，求实数a 的取值范围3．指数函数()y f x =的图象经过(,)e π，则(0)____f =；()____f π-=4．函数y=(a-1)x在R 上为增函数，则a 的取值集合为___________四．巩固练习： 1．（第58页1题）2．指数函数()y f x =的图象经过点（1，2），则(0)____f =； 五．小结反思：六．课后作业：1.在同一坐标系中画出y=2x,y=3x,y=10x的图象.2. 在同一坐标系中画出y=(12)x ,y=(13)x ,y=(110)x 的图象2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)一.学习目标：,1，会用指数函数的单调性，处理有关指数式的比较大小问题； 2，会用指数函数模型，处理一些实际应用问题。
二．自学探究:1.比较下列各题中两个值的大小 1) 8.1)43(-与6.2)43(-2) 3.0)31(与2.03-3) 32)85(-与12,已知：(01)m n a a a a >>≠且，如果m>n ,则a 的取值范围是________；如果m<n ,则a 的取值范围是_______________. 3.（教材第58页3题）三．合作探究1. 在同一坐标系中y=2x,y=3x,y=10x的图象在第一象限的变化规律。
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课本作业：P59 7,8 P60 1 练习册：第19练（A）
x
x (a 0且a 1) y a 指数函数 的图象和性质：
a 1
y y=ax
(a>1)
0 a 1
y=ax
(0<a<1)
(0,1)
y y=1
图 象
y=1
(0,1)
0
定义域
x
0
x
值
域
R (0, )
过定点
0,1 即 x 0 时 y 1
在R上是增函数 在R上是减函数
单调性
x
x
从左至右逐渐上升
0
从左至右逐渐下降
1 0 x
思考： y ◆图象可向左、右两方无限伸展 观察图象，
你能发现 它们有哪 些共同特 征吗？
y
向上无限伸展，向下与x轴无限
接近但不相交
ya ( a 1)
x
(0 a 1)
y ax
◆图象都在x轴上方
1 0
◆都经过坐标为（0，1）的点 1
x
0
0.3
3.1
分析： 底数不同，指数也不同
寻找中间量
0.3
解：根据指数函数的性质，得
3.1
1.7
0.3
1.7 1
0
0.9
3.1
0.9 1
0
从而有 1.7 0.3 0.9 3.1
练习
比较下大小
0.3
2
1 .2 > 1
0.8
5 > (3)
1 2
归纳：中间值法，若底数不同，
指数也不同， 可选择介于两数之间 的中间量（常用0和1）进行判别
练习：
1.若函数y= a-1 在R上为减函数，
x
则a的取值范围是____________
2.函数y a
1 a 0且a 1的 3,2 图象恒过定点_____________
x 3
3.函数y=3 1, x 1, 2的
x
值域是________ 2,8
例 比较下列各题中两个值的大小： 2.5 3 (1) 1.7 ,1.7 (2) 0.80.1 ,0.80.2 x 解： 考察函数 y 1.7 3
1 .7
因为底数1.7>1，所以函数
y 1.7 在R上是增函数，
x
；
1.7 2.5
因为2.5<3，所以，
1 .7
2.5
< 1 .7
3
2.5 3
例 比较下列各题中两个值的大小： (2) 0.80.1 ,0.80.2 解： 考察函数 y 0.8
x
x
因为底数0<0.8<1，所以函数 y 0.8
在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，
0.8 0.1 < 0.8 0.2
练习：1、比较大小
（1） 0.79－0.1 > 0.790.1 （2）2.012.8< 2.013.5 （3） b2> b4(0<b<1) 归纳：同底时用函数单调性法比较大小.
1.7 ,0.9 思考： 比较大小：
3
1 y x x 2 y 2
x
y 3
y y
y
x x
-2 0.5 4 -1 1/3 -1 0 0 10 1 21 2 1 1 1 2 3 0.5 4
1 y 2
x
1 y 3
x
6 5 4
y3
x
3
2 1
底数互为倒数 的两个指数函 数图象： 关于y轴对称
1
2 3
-3
-2
-1
0
x
认识
练习: 如图是指数函数① ③y
x
ya
x ，②
y b ，
x
x的图象，则 ，④ c a , b, c , d yd
b a 1 d c 与1的大小关系是 _____________________ y
y b
x
yc
x
ya
x
yd
x
1 0
在第一象限内， 图像越靠近y轴， 底数越大。
二、指数函数的图象和性质
通常我们研究一个函数的性质主要研究它的
定义域，值域，单调性, 奇偶性等
思考：通过什么方法来研究？ 画函数图象的步骤： 列表 描点
x
连线
x
1 1 x x 在方格纸上画出： y 2 ,y ,y 3 ,y
的图象，并分析这些函数图象有哪些特点？
2
x
y
1 y 2
x
1 y 3
x
6 5 4 3 2
y3
x
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
y
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
y 2x
y=ax (a>1)
1 0
◆
a＞1时，图象
x
1 ◆ 0＜a＜1时，图象 1
y=a (0<a<1)