第1章 行列式
第一章 行列式
第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。
在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1 行列式定义一、数域定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。
因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。
全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。
这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3， ，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。
即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2 由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1 i2…i nn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2…i n的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1i2…i n）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 τ（1 2 … n ）= 0，所以排列1 2 … n 是偶排列。
第1章行列式
分析： (1) 项数: 展开式为 6=3！项的代数和。 (2)结构: 每项为位于不同行、不同列的三个元素的乘积；
a (3)符号:行标自然排列，各项的正负号与列标的排列对照： 1 j a2 j a3 j
1 2 3
考察其列标： 带正号的三项的列标排列是： 123、231、312 带负号的三项的列标排列是： 321、213、132 则
a11 x1 a12 x2 b1 , 1 a21 x1 a22 x2 b2 . 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
a12a21x1 a12a22 x2 b2 a12 ,
两式相减消去 x2，得（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
行列式的性质
如： 行列互换
一、 行列式的基本性质
设n阶行列式
将D的行列互换后所得到的行列式称为D的转置行列式
DT (或为D' )
对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置 行列式相等）
性质1 证
D
T
将DT记为
于是有 按行列式的定义
bij a ji ( i , j 1,2,, n)
主对角线下（上）方元素都为0 的行列式叫做上（下）三角行列式
a11 0 0 0 0 0 a a a ; 11 22 nn
D a11 a21 an1 0 0 a22 a2 n a a a ; 11 22 nn 0 0 ann
例8 证明
D
a21 a22
j1 j2 jn
( 1) N ( j1 j2 jn )a j1 1a j2 2 a jn n
第一章 行列式·行列式的定义
当n=4k+2,4k+3时为奇排列. 当n=4k,4k+1时为偶排列；
线 性 代 数
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第一章
行列式
第一节 行列式的定义
二、 对换
定义4 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余的元素不动, 这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换, 叫做 相邻对换. 例如
线
性
代
数
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结束
第一章
行列式
第一节 行列式的定义
1 三阶行列式
定义6 行标
a11 D = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
记为三阶行列式.
列标
a 13 a 23 = a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 − a11a 23 a 32 − a12 a 21a 33 − a13 a 22 a 31, a 33
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( − 2 ) × ( − 2 ) − ( −4 ) × 2 × ( − 3 )
1 1 2 3 4 9 1 x = 0. x2
[例5] 求解方程
解 方程左端
2 D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12 = x − 5 x + 6,
由于方程组的系数行列式
−2 1 = 1 × 1 × (− 1) + (− 2 ) × (− 3 ) × (− 1) + 1 × 2 × 1 1 − 3 − 1 × 1 × (− 1) − (− 2) × 2 × (− 1) − 1 × (− 3) × 1 −1 1 −1 = − 5 ≠ 0,
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
线性代数第一章
0 0
a11a22 ann
ann
除了以上三种特殊行列式外，还有以下对角行列式和三角行列式：
a2 ，n1
a1n
a1n
a11 a12
a1n
a2 ，n1 a2n a21 a22
an1
an1 an2
ann
an1
n ( n 1)
(1) 2 a1na2 ，n1 an1 ，
1.2.4 特殊行列式
定义4
（4）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为对称行列式．
（1-3）
1.2.1 二阶行列式
定义1
二元线性方程组的解（1-2）可简单表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
(D 0) ．
（1-4）
其中， D a11 a12 为方程组未知数的系数所组成的行列式，称为方程组的系数行列 a21 a22
式；D1
b1 b2
a12 a22
（用方程组的常数项代替系数行列式的第 1 列）；D2
uvgh
分析：按行列式的定义，它应有 4! 24 项．但只有 adeh，adfg，bceh，bcfg 这四项不为
零．与这四项相对应列标的排列分别为 1 2 3 4，1 2 4 3，2 1 3 4 和 2 1 4 3，它们的逆序数分
别为 0，1，1，2，所以第一、四项应取正号，第二、三项应取负号．
解： D adeh adfg bceh bcfg ．
行列式的和，即
a11
a12
bi1 ci1 bi2 ci2
a1n
a11 a12
bin cin bi1 bi2
a1n
a11 a12
bin ci1 ci2
第一章 行列式
6
λ2 ⋰
λ1
n ( n −1)
= (−1) 2 λ1λ2 ⋯λn
λn
例 1.5 计算上三角行列式
a11 a12 ⋯ a1n
D=
a22 ⋯ a2n ⋱⋮
ann
解 由于当 i > j 时， aij = 0 ，故 D 中可能不为 0 的元素 aipi ，其下标应有
pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1, p2 ≥ 2, ⋯, pn ≥ n 。
（1.7）式简记为 det(aij ) ，数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素。 例 1.4 计算行列式
1 2 D= 3 4 解 这是一个四阶行列式，按定义 1.5 展开得
∑ D = (−1)τ a a 1p1 2 p2 a a 3 p3 4 p4
在展开式中应该有 4!= 24 ，注意到，当 p1 ≠ 4 时 a1p1 = 0 ，从而这一项就等
1
类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式
b1a22
− a12b2
=
b1 b2
a12 a22
， a11b2
− b1a21
=
a11 a21
b1 b2
那么（1.2）式可写成
b1 a12
a11 b1
x1 =
b2 a11
a22 a12
， x2
=
a12 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
二、三阶行列式的定义
如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有τ i 个，就是说 pi 这个元素的逆序数是τ i ，
3
全体元素的逆序数的总数
就是这个排列的逆序数。
n
∑ τ = τ1 + τ 2 + ⋯ + τ n = τ i
第一章--行列式
第一章 行列式在求解含有n 个未知量n 个方程的线性方程组的一般解的公式时，人们引进了行列式的概念．如今，行列式在数学的许多分支包括经济学在内的许多学科中都有着广泛的应用，成为了一种常用的数学工具．在本门课程中，它也是研究线性方程组、矩阵及向量的一个重要基础．本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法，并介绍利用n 阶行列式求解n 元线性方程组的克兰姆(Cramer)法则.第一节 二阶与三阶行列式一、 二元一次线性方程组与二阶行列式对于二元一次线性方程组11112212112222,(1.1),(1.2)a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩2212(1.1)(1.2)a a ⨯-⨯ 得112212*********()a a a a x b a b a -=-． (1.3)1121(1.2)(1.1)a a ⨯-⨯ 得112212212211121()a a a a x b a b a -=-． (1.4)当112212210a a a a -≠时，方程组有解为122212211121121112122111221221,b a b a b a b ax x a a a a a a a a --==-- (1.5)（1.5）式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得，其中分母11221221a a a a -是由方程组的4个系数确定的，把这4个数按它们在方程组中的位置，排成两行两列的数表11122122a a a a (1.6)表达式11221221a a a a -称为数表(1.6)所确定的行列式，记作11122122a a a a (1.7)数ij a (i=1,2; j=1,2)称为行列式(1.7)的元素．元素ij a 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第j 列．上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆．如图1-1所示，即实线连接的两个元素(主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积．图 1-1利用行列式的定义，记1112112212212122a a D a a a a a a =-=，1121122212222b a D b a b a b a =-=，1112211121212a b D b a b a a b =-=则式(1.3)、(1.4)可改写为1122,.Dx D Dx D =⎧⎨=⎩于是，在0D ≠的条件下，方程组有唯一解：11D x D =，22Dx D =．例13221-＝３×１－（－２）×２＝７.例 2 解方程组121235435x x x x -=-⎧⎨+=-⎩解133(3)41543D -==--⨯=，1533053D --==--，21515,45D -==-因0D ≠，故方程组有唯一解：1130215D x D -===-，2215115D x D ===二、 三阶行列式与求解二元一次线性方程组类似，从三元一次线性方程组111122133121122223323113223333,,,a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩求解入手，可引出三阶行列式的概念。
线性代数第一章行列式
04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。
数学三【线性代数】第一章 行列式(概念整理)
-4-
二、行列式理论在线性方程组中的应用——克莱姆法则
对方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a x a x a x 0, 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
a12 a1n a11 ai 2 bi 2 ain bin ai1 an 2 ann an1
a12 a1n a11 ai 2 ain bi1 an 2 ann an1
a12 a1n bi 2 bin . an 2 ann
原来的排列次序构成的 n 1 阶行列式,称为元素 aij 的余子式,记为 M ij ,称
Aij (1)i j M ij 为元素 aij 的代数余子式.
（二）几个特殊的高阶行列式
a1 0 1. 对角行列式——形如 0
于其对角线上元素之积.
0 0 a2 0 ,称为对角行列式,对角行列式等 0 an a12 a1n a11 a22 a2 n a21 及 0 ann an1 0 0 a22 0 为 an 2 ann
5. 行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列）,行列式不变,即
a1n a11 ain ai1 ka j1 a jn a j1 ann an1
a12 ai 2 ka j 2 a j2 an 2
a1n ain ka jn , 其中 k 为任 a jn ann
a11 0 2. 上（下）角行列式——称 0
上三角行列式和下三角行列式,他们都等于主对角线上的元素之积.
第章行列式行列式的性质计算
0 16 2 7
1 3 1 2 0 2 1 1 0 8 4 6 0 16 2 7
r34r2 r48r2
1 0 0
3 2 0
1 2 1 1 8 10
r454r3
1 0 0
3 2 0
1 2 1 1 40 8 10
0 0 10 15
0 0 0 5/2
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 (1)23 M 23 M 23
引理 一个 n阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij 外都为零，那末这行列式等于 aij 与它 的代数余子式的乘积，即 D a A ij ij ．
a11 a12 a13 a14 例如 D a21 a22 a23 a24
3111
例2 计算 DD
1 1
3 1
1 3
1 1
1113
3111
6111
解：DD
1 1
3 1
1 3
1 1
c1c2c3c4
6 6
3 1
1 3
1 1
1113
6113
c166
1 1 1
1 3 1
1 1 3
1 1 1
rr23rr11 r4r16
把
ak1 akk
bn1 bnn
p11 0 0 0
证 对D1作运算rikrj 把D1 化为下三角形行列式 设为
D
pk1 c11
pkk c1k
0 q11
0 0
p11 0 D1 p11 pkk
cn1 cnk bn1 bnn
第一章行列式
课 题第一章行列式 §1.1二阶与三阶行列式-§1.3 n 阶行列式的定义教学内容二阶与三阶行列式，全排列与逆序数，n 阶行列式的定义教学目标 理解n 阶行列式的定义；掌握几个特殊行列式的求法。
教学重点 n 阶行列式的定义教学难点 n 阶行列式的定义双语教学内容、安排 行列式：determinant ；对角线法则：diagonal rule ；全排列：total permutation教学手段、措施行列式是研究方程组解的问题的重要工具之一。
本次课主要介绍行列式的定义。
教学过程及教学设计备注 第一章 行列式（determinant ）§1.1二阶与三阶行列式一、 二阶行列式（determinants of order two ） 引例 解二元线性方程组1112121222(1)(2)a x a yb a x a y b +=⎧⎨+=⎩解：利用消元法解得122122*********b a a b x a a a a -=-，112211211221221a b a b x a a a a -=-于是得定义：规定11222112a a a a -为二阶行列式，并记为22211211a a a a 。
注意：①元素ij a )2,1;2,1(==j i ，i 称行标，j 称列标。
（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）本节要求掌握二、三阶行列式定义，及对角线法则。
②对角线法则求2112221122211211a a a a a a a a -=。
③D a a a a a a a a =-=2112221122211211，1222121212221D a b a b b a a b ==-，2221111211211D b a b a a b b a ==- 。
例1 解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=-1212232121x x x x 解：由于2412123,1411212,07122321-===-=≠=-=D D D 故3,22211-====DDx D D x 。
线代_第1章行列式(知识点汇总)
对换改变排列的奇偶性
在排列中,将任意2个元素对调,
其余元素不动----对换
9
3.n 阶行列式
n阶行列式的定义
a11 a12 L
a21 a22 L
a1n
a2n
1
a a t 1 p1 2 p2
L
anpn
L L L L L L L
an1 an2 L ann
(1)t aq1 a1 q2 2 L aqnn
3
第1章行列式----知识结构
3.展开式：余子式Mij，代数余子式Aij ，
Aij 1 i j Mij
| A |
a A n
j1 kj kj
a A n
k 1 kj kj
a A n j1 ij kj
0(i
k)
a A n i 1 ik ij
0(k
j)
4.行列式计算：利用性质及展开定理
4
1.二阶与三阶行列式
二阶行列式： a11 a21
三阶行列式：
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
----大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆6序
全排列及逆序数(续)
逆序数: 一个排列中所有逆序的总数称为 此排列的逆序数. 排列的奇偶性
奇排列：逆序数为奇数的排列; 偶排列：逆序数为偶数的排列.
7
计算排列逆序数的方法
设P1P2…Pn是1,2,…,n这n个自然数的任一排 列，并规定由小到大为标准次序.
线性代数-行列式(完整版).
逆序数的计算方法
不 妨 设 元 素 为1至n的 自 然 数 ，并 规 定 从 小 到 大
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。 考虑元素 i j (i 1,2 n), 如果比 i j大，且排在
i
前面的元素有
j
t
j个，那么ji的逆序是
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习： 计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
2
返 回
第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
3 4 2
解:由主对角线法，有
第1章行列式
j1 j2 jn
和式中仅当 j1 n, j2 n 1,, jn1 2, jn 1时，
a1 j1 a2 j2 anjn 0
D
(1) (n(n1)321) n( n1)
a1na2,n1
an1
(1) 2 12 n
例9 证明上三角行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann
D1
b1 b2
a12 a22
,
D2
a11 a21
b1 b2
当D a11 a12 0时, 方程组的解可表为
a21 a22
x1
D1 D
，x2
D2 D
例1
解二元线性方程组
4xx11
3x2 3x2
5 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
1 3
D
3 (3) 4 15 0
43
方程组有唯一解.又
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
,则
DT
a12
a22
an2
.
an1 an2 ann
a1n a2n ann
性质1 行列式与它的转置行列式值相等.（D=DT） 证：事实上,若记 DT=det(bij),则 bij a ji (i, j 1,2,, n)
(iii)项数为 3！=6 “-” 321 213 132 （奇排列）
推广之，有如下n 阶行列式定义
定义： n阶行列式
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
记
(1) ( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn det (aij )
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a11 det A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a13 a21a32 a11a22 a33 a12 a23 a31 a12 a21a33 a13 a22 a31 a11a23 a32
a21 (a12 a33 a13 a32 ) a22 (a11a33 a13 a31 ) a23 (a11a32 a12 a31 )
线性代数
教材：《线性代数》， 第2版， 居余马 等编，清华大学出版社。 参考书：
1、《线性代数辅导》，第三版，胡金德 等编，清 华大学出版社。
2、 《高等代数学》，第2版，张贤科 等编，清华 大学出版社。
3、《高等代数》，第三版 ，王萼芳， 石生明等， 高等教育出版社。
答疑时间：
每周四（下午-晚上9：30） 地点：基础楼201
1.1.2 n 阶行列式的性质
性质1 行列式D的行与列依次互换，则行列式的值不变
a11
a12 a1n
a11
a21 an1 a22 an 2
a21 a22 a2 n a12 D an1 an 2 ann
a1n a2 n ann
行列式对行和列有相同的性质(下面主要用行讲)
反对角线
a21
a22
如
3 1 3 2 (1) 2 8 2 2
三阶行列式的计算（对角线法）
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
称为矩阵的第i行j 2 4 2 1 0
３×４矩阵
2 1 5 1 3 7 5 7 4
1 3 9 5 3
2 0 8 1 5
5×2 矩阵
a11 a22 a32 a23 a33 a12 a21 a31 a23 a33 a13 a21 a31 a22 a32
再 议 三 阶 行 列 式 的 计 算
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11 M 11 a12 M 12 a13 M 13
a11 det A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22 a33 a13 a21a32 a12 a23 a31 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
a11 (a22 a33 a23a32 ) a21 (a12a33 a13a32 ) a31 (a12 a23 a13 a22 )
a21 a12 a32 a13 a33 a22 a11 a31 a13 a33 a23 a11 a31 a12 a32
性质3（线性性质）
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ai 2 ain D kai1 kai 2 kain k ai1 an1
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元 素的乘积冠以负号. 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
3
例 (1) 计算
0
1
1 5 0 的数值, 1 2 1
1 1
(2) 求
1 x
2
2 3
0
的根.
4 9 x
三阶行列式用于解三元一次联立方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x b2 a x a x a x b 33 3 31 1 32 2 a11 当D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 0时, a33
a11 A11 a12 A12 a13 A13
称 Mij 为 aij 的余子式； Aij (1)i j Mij， 称Aij 为 aij 的代数余子式。
1.1.1 n 阶行列式的定义（递归法） 定义 由n2个数aij(i,j=1,2,,n)组成的n 阶行列式是一个数 当n=1时，D＝a11
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
a11 (a22 a33 a23 a32 ) a12 (a21a33 a23 a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
l 1 n
其中Akl ( 1) k l M kl , (l 1,2, , n ), 故D 0
M kl 是划去第 k 行 , 第 l 列的
n 1 阶行列式，第i , j 行相同, 由归纳假设，M kl 0
推论
行列式有两行元素成比例，则行列式的值为0。
性质5 将行列式的某一行乘以常数加到另一行 (对行列式作倍加行变换), 则行列式的值不变。
例1、 对角行列式，上、下三角行列式
a11 0 0
0 a22
0 0
a11
0
0 0 aii
i 1 n
a21 a22
0 ann
an1 an 2 ann
例2 Dn=
0 0 0 a1
0 0
0 0 0
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 当n2时, D an1 an 2 ann
D= a11 A11 a12 A12 a1n A1n
其中：aij称为行列式的第i行，第j列的元素; Mij是划去D的第i行第j列后的n1阶行列式;
M1j 称为a1j的余子式; A1j =(-1)1+j M1j称为a1j的代数余子式。
a11 a12
an 2
ann
a1n a11
an1 an 2 ann
a12 a1n a11 a12 a1n bi 2 bin
D ai1 bi1 ai 2 bi 2 ain bin ai1 an1 an 2 ann
这段话相当于三元一次方程组，其中x，y，z分别为 上中下三种禾每捆的重量。
一般的n元一次方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
ai 2 ain bi1
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
例如
4 1 202 99 200 2 100 1 4 4 1 4 1 200 100 2 1 4 1 4 1 100 2 1 2 1
200 6 194 .
1
推论 若行列式有一行元素全为零，则行列式 的值等于零（k=0）。
性质4 若行列式有两行元素相同，则行列式的值为0 用归纳法证明：n=2 成立。设命题对 n -1 阶行列式成 立，对第 i, j 行相同的 n 阶行列式D，对第 k（ki, j） 行展开,得
D akl Akl ak 1 Ak 1 ak 2 Ak 2 akn Akn
３×3矩阵
当m=n时，即矩阵 的行数与列数相同 时,称矩阵为方阵。
Ann
主对角线
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1 n a2n a nn
第1章
行列式
1.1 n 阶行列式的定义及性质
二阶行列式用于解二元一次联立方程组
an 1
a2 0
an 0 0 0
=(1)n+1 an Dn-1
= (1)n1 an Dn-1 =(1)n1 an (1)n2 an1 Dn-2
=
(1)
( n1)( n2) 21
an an1 a2 a1
=(1)n(n1)/2a1a2an1an
a11 a22 a23 a32 a33 a21 a12 a13 a32 a33 a31 a12 a13 a22 a23
a11
a22 a23
a32 a33
a21
a12 a13
a32 a33
a31
a12 a13
a22 a23
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3.学习要求 在基本概念上下功夫。 勤于思考，勇于探索。
培养能力。
认真听讲，独立完成作业。
多 做 练 习 啊 ！
《九章算术》卷八第一题： 今有上禾3捆，中禾2捆，下禾1捆，共39斤； 上禾2捆，中禾3捆，下禾1捆，共34斤； 上禾1捆，中禾2捆，下禾3捆，共26斤． 问上中下禾一捆各几何？”(禾即庄稼)
性质2 行列式对任一行 (或列) 按下式展开，其值相等，即
D aik Aik ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain , i 1, , n
k 1
n
n
D akj Akj a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj , j 1,, n
电话：62338357
个人邮件：
Cayley被公 认为矩阵论 Leibniz在十七世纪就 的创立者。 有了行列式的概念。 1.内容简介 行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、 标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其 基本理论基础。 2.课程特点 抽象性强，应用性强。 Vandermonde是第一个对 以离散变量为研究对象。 行列式理论做出连贯的逻 辑阐述的人。