河南省南阳市2018-2018年高二上学期期中考试数学试题(理科)

河南省南阳市2018-2019高二上学期期中考试数学试题（理科）
河南省南阳市2018-2019高二上学期期中考试数学试题（理科）
2018秋期高二期中数学(理)
参考答案
一、选择题：
DBBCB AACAD DC
二、填空题:
13. 5 14. )(24,7- 15.
2
3
16 . 27600 三、解答题 :
17.解：（1）当,0,0,0<>-=x x a 即不等式化为时此时不等式的解集为
{}0|<x x ……………2分
（2）当0a ≠时，方程20ax x -=的两根为0x =或1
x a
=. ……………4分 ∴当0a >时，
10a >，此时不等式的解集为10x x x a ⎧
⎫
<>⎨⎬⎩
⎭
或.…………6分 ∴当0a <时，
10a <，此时不等式的解集为10x x a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
. ……………8分 综上，①当时，0=a 不等式的解集为{}0|<x x .
②当0a >时，不等式的解集为10x x x a ⎧
⎫<>
⎨⎬⎩⎭
或. ③当0a <时，不等式的解集为10x
x a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
……………10分 18.解：（1）由正弦定理得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2=-
即B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2+=……………………………………2分
即A C B C A sin )sin(cos sin 2=+=,由于0sin ≠A ，故2
1
cos =C …………4分
又π<<C 0,所以3
π
=C …………………………………………………5分
（2）由于2=c ，三角形的周长为6，故…4=+b a ………………………6分
由余弦定理有ab b a C ab b a c -+=-+=22222cos 2
()ab b a 32
-+=，即ab 3164-=，故4=ab …………………………8分
所以三角形的面积32
3421sin 21=⨯⨯==C ab S …………………………10分
19.解：（1）设矩形的另一边长为a m ，
则y=45x +180（x ﹣2）+180•2a=225x +360a ﹣360． 由已知ax=360，得，
所以
． ……………………6分
（2）因为x ＞0，所以，
所以
，当且仅当时，等号成立．
即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．………12分
20.解：（1）设数列}{n a 的公差为d ，则{
11222
1510575a d a d +=-+=，
即 {
111
1510575a d a d +=-+=,
解得
{
2
1
1-==a d ， 所以998
9(2)1182
S ⨯=⨯-+
⨯=. …………………6分 （也可利用等差数列的性质解答） (2)由（I ）知21(1)3n a n n =-+⋅-=-，
2
1
11)2)(1(1)4)(4(11+-+=++=++=
+n n n n a a b n n n ，
∴=++++=n n b b b b T Λ321)2
1
11()4131()3121(+-++-+-n n Λ
.422121+=+-=n n n …………………12分 21.解：(1)连接BD ,在BDC ∆中，3==CD BC ,ο120=∠BCD ,
由余弦定理BCD CD BC CD BC BD ∠⋅-+=cos 2222,得
ο120cos 332)3()3(222⋅-+=BD ，得m BD 3=………2分
又CD BC =，ο120=∠BCD ,ο30=∠∴BDC , ο90=∠BDE
BDE ∆中,3=BD ,33=DE ,由勾股定理
36)33(322222=+=+=DE BD BE ,故m BE 6=……………5分
(2).设α=∠ABE ,则αα-=--=∠οοο12060180AEB
在ABE ∆中，由正弦定理34236
sin 60sin )120sin(====-ααAE BE AB ο
ο
)120sin(34α-=οAB ，αsin 34=AE ，…………………………………7分
故)sin 120cos cos 120sin (sin 34)]120sin([sin 34αααααοοο-+=-+=+AE AB
)30sin(12)cos 2
3sin 23(34ο+=+=ααα………………………………9分
ABE ∆为锐角三角形，故οο9030<<α，οοο1203060<+<α 1)30sin(2
3
≤+<∴
οα,1236≤+<AE AB ………………………………11分 所以书架的总长度AE AB +的取值范围是(]
12,36，单位m ………………12分 22. 解：（1）∵，∴
﹣
=1，即
﹣
=，
又
=1，∴{
}是以1为首项，以为公差的等差数列，
∴
=1+（n ﹣1）=n +,∴a n =． …………………5分
（2）∵（）n ＜a k ≤（）n ﹣1，即（）n ＜≤（）n ﹣1，
∴2n ﹣1＜k ≤2n +1﹣1，
∴b n =2n +1﹣1﹣（2n ﹣1）=2n ， …………………7分
∴=（n+1）2n﹣1，…………………8分
∴S n=2•20+3•21+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，
∴2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，
两式相减得：﹣S n=2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n
=2+﹣（n+1）•2n，
=﹣n•2n，
∴S n=n•2n．…………………10分∵S n
﹣S n=（n+1）•2n+1﹣n•2n=（n+2）•2n＞0，
+1
∴{S n}单调递增，
又S8=2048＜4032，S9=4608＞4032，
∴关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解为8…………………12分。