多边形与三角形习题

2014年1月cccgir的初中数学组卷一．选择题（共5小题）1．（2006•日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．已知在正方形网格中，每个小方格的边长都相等，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A、B为顶点的网格平行四边形的个数为（）A．6个B．8个C．10个D．12个3．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（）A．7B．8C．9D．104．（2007•呼伦贝尔）锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C，如果α=∠A+∠B，β=∠B+∠C，γ=∠C+∠A，那么α，β，γ这三个角中（）A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角5．（2013•延安二模）现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）6．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2，则这样的平行四边形有_________个．7．已知△ABC，（1）如图，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=；（2）如图，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；（3）如图，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=．其中结论一定正确的序号数是_________．8．如图，对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S，则S=_________．9．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA 至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2…，按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为S5=_________．第n次操作得到△A n B n C n，则△A n B n C n的面积S n=_________．10．如图，对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2AD，顺次连接A1，B1，C1，D1，得到平行四边形A1B1C1D1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1D1、D1A1至点A2，B2，C2，D2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2D1=2C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接A2，B2，C2，D2记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到平行四边形A5B5C5D5，则其面积S5=_________．11．（2006•沈阳）已知点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC的度数是_________度．三．解答题（共3小题）12．已知△ABC．（1）如图1，若P点为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，试说明：∠P=90゜+∠A；（2）如图2，若P点为∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试说明：∠P=∠A；（3）如图3，若P点为外角∠CBD和∠BCE的角平分线的交点，试说明：∠P=90゜﹣∠A．13．对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A n B n C n．（1）求面积S1；（2）求面积S n．14．阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值．小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以=，由此继续推理，从而解决了这个问题．（1）直接写出S1=_________（用含字母a的式子表示）．请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积．（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2006•日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：三角形的面积．专题：压轴题；网格型．分析：怎样选取分类的标准，才能做到点C的个数不遗不漏，按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有4个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个．解答：解：C点所有的情况如图所示：故选D．点评：此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏．2．已知在正方形网格中，每个小方格的边长都相等，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A、B为顶点的网格平行四边形的个数为（）A．6个B．8个C．10个D．12个考点：平行四边形的判定．专题：网格型．分析：根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，显然图中以A、B为顶点的网格平行四边形的个数为12个．解答：解：如图所示，根据平行四边形的定义，则以AB为边的网格平行四边形有6个，以AB为对角线的网格平行四边形有6个，则共有12个．故选D．点评：本题考查了平行四边形的判定，此题要能够根据平行四边形的定义，分别以AB为边或对角线找到所有的平行四边形．3．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（）A．7B．8C．9D．10考点：等腰三角形的判定；勾股定理．专题：网格型．分析：根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C 以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．解答：解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．4．（2007•呼伦贝尔）锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C，如果α=∠A+∠B，β=∠B+∠C，γ=∠C+∠A，那么α，β，γ这三个角中（）A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的外角性质，及锐角三角形的性质作答．解答：解：由于锐角三角形中三个都是锐角，而α，β，γ分别是其外角，根据三角形外角的性质，可知α，β，γ这三个角都是钝角．故选A．点评：此题主要考查了三角形内角与外角的关系．（1）三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和；（2）三角形的任一外角＞任何一个和它不相邻的内角．5．（2013•延安二模）现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：三角形三边关系．分析：首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解答：解：其中的任意三条组合有2cm、4cm、5cm；2cm、4cm、8cm；4cm、5cm、8cm；2cm、5cm、8cm 共四种情况，根据三角形的三边关系，则2cm、4cm、5cm；4cm、5cm、8cm符合，故选B．点评：此题考查了三角形的三边关系．关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．二．填空题（共6小题）6．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2，则这样的平行四边形有6个．考点：平行四边形的判定．专题：网格型．分析：根据平行四边形ABCD的面积为2可以推知：①平行四边形的底边长为2，高为1；②正方形的边长为；可通过在正方形网格中画图得出结果．解答：解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况：▱ABC2D3、▱ABC1D2、▱AC1BD1、▱AC2BC3、正方形ABD1C2、正方形ABC3C1．故答案为：6．点评：本题考查了平行四边形的判定．本题应注意数形结合，防止漏解或错解．7．已知△ABC，（1）如图，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=；（2）如图，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；（3）如图，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=．其中结论一定正确的序号数是（1）（3）．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和外角之间的关系计算．解答：解：（1）正确；（2）∵∠A=∠ACE﹣∠ABC=2∠PCE﹣2∠PBC=2（∠PCE﹣∠PBC）∠P=∠PCE﹣∠PBC∴2∠P=∠A故（2）的结论是错误．（3）∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠FBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°﹣（∠A+180°）=90°﹣∠A．正确．故填（1）（3）．点评：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．8．如图，对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S，则S=19．考点：三角形的面积．分析：连接A1C，根据图示可知△AA1C与△ABC是同高的两个三角形，由题意可以求得S△AA1C=3S△ABC=3，则S△AA1C1=2S△AA1C=6．S△A1B1C1=3S△AA1C1+S△ABC=19S△ABC．解答：解：如图，连接A1C．∵BA1=2AB，∴AA1=3AB，S△AA1C=3S△ABC，S△AA1C1=2S△AA1C=6S△ABC，所以S△A1B1C1=3S△AA1C1+S△ABC=19S△ABC=19×1=19，即S=19．故答案是：19．点评：本题考查了三角形的面积．解答此题的难点是将所求三角形的面积与已知三角形的面积的数量关系找出来．9．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA 至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2…，按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为S5= 2476099．第n次操作得到△A n B n C n，则△A n B n C n的面积S n=19n．考点：三角形的面积．专题：规律型．分析：连接A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积．解答：解：连接A1C；S△AA1C=3S△ABC=3，S△AA1C1=2S△AA1C=6，所以S△A1B1C1=6×3+1=19；同理得S△A2B2C2=19×19=361；S△A3B3C3=361×19=6859，S△A4B4C4=6859×19=130321，S△A5B5C5=130321×19=2476099，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△A n B n C n，则其面积S n=19n•S1=19n故答案是：2476099；19n．点评：本题考查了三角形的面积．注意找到规律：S n=19n S1是解此题的关键．10．如图，对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2AD，顺次连接A1，B1，C1，D1，得到平行四边形A1B1C1D1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1D1、D1A1至点A2，B2，C2，D2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2D1=2C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接A2，B2，C2，D2记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到平行四边形A5B5C5D5，则其面积S5=135．考点：平行四边形的性质．专题：规律型．分析：根据题意分析可得：平行四边形ABCD的面积为1；每次操作后，每个三角形面积都是原平行四边形面积的3倍，所以新的平行四边形的面积就是原来平行四边形的13倍；按此规律继续下去，可得到平行四边形A5B5C5D5，则其面积S5=135．解答：解：如图，连接BD，B1D，∵B1C=2BC，∴△B1DC的面积是△DBC的面积的两倍，又∵C1D=2DC，△B1C1D的面积是△B1DC的两倍，∴△B1C1C的面积是△DBC的面积的6倍，也就是平行四边形ABCD的面积的三倍，以此类推，其余三个三角形的面积都是平行四边形面积的三倍，∴新的平行四边形的面积是原来平行四边形面积的13倍，按此规律继续下去，那么平行四边形A5B5C5D5的面积是135．故填空答案135．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．11．（2006•沈阳）已知点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC的度数是80度．考点：三角形的内切圆与内心．分析：已知I是△ABC的内心，则IB、IC分别平分∠ABC、∠ACB；由三角形内角和定理，可求得∠IBC+∠ICB 的度数，也就求出了∠ABC+∠ACB的度数，进而可求出∠BAC的度数．解答：解：∵点I是△ABC的内心，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB；△IBC中，∠BIC=130°；∴∠IBC+∠ICB=180°﹣∠BIC=50°；∴∠ABC+∠ACB=100°；∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=80°．故答案为：80．点评：本题主要考查三角形内切圆的性质以及三角形内角和定理．三．解答题（共3小题）12．已知△ABC．（1）如图1，若P点为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，试说明：∠P=90゜+∠A；（2）如图2，若P点为∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试说明：∠P=∠A；（3）如图3，若P点为外角∠CBD和∠BCE的角平分线的交点，试说明：∠P=90゜﹣∠A．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：（1）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可证明；、（2）利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义即可求解；（3）利用三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质即可证得．解答：解：（1）∠P=180゜﹣∠ABC﹣∠ACB=180゜﹣（180゜﹣∠A）=90+∠A（2）∠P=∠PCD﹣∠PBD=∠ACD﹣∠ABC=∠A（3）∠P=180゜﹣∠CBD﹣∠BCE=180゜﹣（∠CBD+∠BCE）=180゜﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180゜﹣（180゜+∠A）=90゜﹣∠A．点评：本题考查了三角形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键．13．对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A n B n C n．（1）求面积S1；（2）求面积S n．考点：面积及等积变换．专题：规律型．分析：（1）首先根据题意，求得S△ABC1=2S△ABC，同理求得S△A1B1C1=19S△ABC，则可求得面积S1的值；（2）根据题意发现规律：S n=19n S0即可求得答案．解答：解：连BC1，∵C1A=2CA，∴S△ABC1=2S△ABC，同理：S△A1BC1=2S△ABC1=4S△ABC，∴S△A1AC1=6S△ABC，同理：S△A1BB1=S△CB1C1=6S△ABC，∴S△A1B1C1=19S△ABC，即S1=19S0，∵S0=S△ABC=1，∴S1=19；（2）同理，S2=19S1=192S0，S3=193S0，∴S n=19n S0=19n．点评：此题考查了三角形面积之间的关系．注意找到规律：S n=19n S0是解此题的关键．14．阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值．小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以=，由此继续推理，从而解决了这个问题．（1）直接写出S1=19a（用含字母a的式子表示）．请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积．（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值．考点：三角形的面积；解二元一次方程组．分析：（1）首先根据题意，求得S△ABC1=2S△ABC，同理求得S△A1B1C1=19S△ABC，则可求得面积S1的值；（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC的面积；（3）设S△BPF=m，S△APE=n，依题意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．得出，从而求解．解答：解：（1）S1=19a；（2分）（2）过点C作CG⊥BE于点G，设S△BPF=x，S△APE=y，∵；，∴．∴，即BP=2EP．同理，．∴S△APB=2S△APF．∴x+84=2y．①（3分）∵，，∴．②由①②，得∴S△ABC=315．（3）设S△BPF=m，S△APE=n，如图所示．依题意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．∴S△PCE=m﹣n．∵，∴．∴2m（m﹣n）=mn，∵m≠0，∴2m﹣2n=n．∴．∴．故答案为：19a．点评：此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．。