八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.1直角三角形三边关系导学案新版华东师大版20180825257
八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系目标二勾股定理与图形的面积华东师大
方法技巧练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日下午2时52分39秒14:52:3922.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时52分22.3.2014:52March 20, 2022
7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为_a_2_＋__b_2_＝__c2． (1)分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示， 你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？ 解：由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2. 因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
(2)分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示， (1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 解：仍成立．理由如下： 由题意得 S1＝π8·b2，S2＝π8·a2，S3＝π8·c2. 因为 a2＋b2＝c2，所以 S1＋S2＝S3. 即(1)中的结论仍成立．
(3)分别以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形， 如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论， 不需要证明)? 解：仍成立．
【点拨】
根据勾股定理可得a2＋b2＝13，由题意知四 个直角三角形的面积和是 1ab×4＝13－1＝12，
2 即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝
25.
6 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
其中阴影部分的面积( B )
A．16
2022秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系__认识勾股定理授课课
解： 根据勾股定理， 可得
长度，可以求出第三 边的长度.
AB2 + BC2 = AC2. 所以 AC = A B 2 ＋ B C 26 2 ＋ 8 2 1 0 .
知1－讲
例2 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a， b，c， ∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝,4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b（结果保留根号）.
知1－导
要点精析： (1)勾股定理揭示的是直角三 角形的三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可 以使用勾股定理； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的 数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； (4) 运用勾股定理，若分不清 哪条边是斜边时，则要 分 类讨论，写出所有可能的 情况，以免漏解或解 ．
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般 都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分 清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a2＋b2 ＝c2及两边之间的关系式；三化简．
知1－讲
例1 在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8.
求AC.
应用勾股定理，由直
角三角形任意两边的
知1－讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第 三边的长．
错解：第三边的长为 32＋ 42 255. 错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此
将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是 斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角 边长，而题中并没有任何说明，因而所求的 第三边长可能为斜边长，也可能为直角边 长．所以需要分情况求解．
正方形R的面积=
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.1直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验
八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、•观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法,利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为(a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形,有（a+b）2=4×12ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b—a）2+4×12ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积;②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出。
【解】①②可以验证勾股定理。
【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=x，则BD=14－x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－2)x+22222(14)56--=，解x x=+=，两式相减得：2215,13AD x AD得:5x=．在Rt△ACD由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( ）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A 城是否受这次风暴的影响?如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理141勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时
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1１.2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图Ｋ-38－10①所示.在图②中，若正方形ＡＢCD的边长为14，正方形IJKＬ的边长为2,且ＩＪ∥AＢ，则正方形ＥFＧH的边长为__＿＿_＿__.
图Ｋ-３8-10
三、解答题
１２．如图K－３8-11,在由边长为１的小正方形组成的网格中,△ＡBC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
根据题意，得
解得
由勾股定理得直角三角形的弦（斜边)为 ＝ ＝１0，
即正方形ＥFGＨ的边长为1０.
12.[解析] （1)根据AＤ=ＢC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，ＣＤ，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出ＡC，CD，AD的长．
解:（1)如图．
(２) 5
13．解：根据图中的数据得ＡC＝9０－40＝５0(mm)，BＣ＝160-40＝120（ｍm)，根据勾股定理，得AB＝ =130(ｍm）．
图K-38－７
9．如图Ｋ－３8－8，学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”.他们仅仅少走了_＿_＿＿___步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
图K-3８-8
1０.如图K-38-９,已知在Rt△ABC中,∠BＣＡ＝９0°，AB=10,分别以ＡC,ＢC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2=______＿_．
图K－３8－１４
问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理）”用探索飞船带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系优秀教学案例
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高他们的自我认知能力。组织学生进行评价，让他们学会欣赏他人，培养他们的公平竞争意识。通过评价，让学生了解自己的不足，激发他们的学习动力，促进他们的全面发展。
1.引导学生观察直角三角形模型，发现三边之间的关系。
2.通过讲解勾股定理的推导过程，使学生理解并掌握直角三角形三边的关系。
3.运用举例、讲解等方法，让学生明确直角三角形三边关系的应用。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，如：“你能用勾股定理解决实际问题吗？”
2.组织学生分享讨论成果，培养他们的合作意识和团队精神。
3.在讨论过程中，关注学生的个体差异，给予他们个性化的指导。
（四）总结归纳
1.引导学生总结直角三角形三边关系的知识点，加深他们对知识的理解。
2.总结本节课的学习方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.强调直角三角形三边关系在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固直角三角形三边关系的知识。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过房屋测量、篮球架高度等实际生活中的例子，引导学生关注直角三角形三边关系在现实生活中的应用，使学生认识到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。
2.问题导向：设计一系列具有启发性的问题，引导学生独立思考，发现直角三角形三边之间的关系。在解决问题的过程中，培养学生运用已学的知识解决实际问题的能力，提升他们的知识运用水平。
14.1.1 直角三角形三边的关系
a2 b2 c2
勾股定理（gou-gu theorem)
即 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。
在西方又称毕 达哥拉斯定理！
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理 是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯 首先发现的。因此又称 此定理为“毕达哥拉斯 定理”。法国和比利时 称它为“驴桥定理”， 埃及称它为“埃及三角 形”等。但他们发现的 时间都比我国要迟得多。
（3）已知：b、c，求a? (a c2 b2 )
2、设未知数（如x、y等），用勾股定理建立方
程，求出未知数的值？
?
当堂练习
想 小明的妈妈买了一部29英寸（74 一 厘米）的电视机。小明量了电视机的 想 屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
华罗庚
1
1
美丽的勾股树
你能运用勾股定理的知识解决实际
生活中的问题吗?
主要运用： 1、在直角三角形中，已知任意两边，求第三边？ (设a、b为直角边、c为斜边) （1）已知：a、b，求c?
（ c2=a2＋b2
c= a2 b2
）
（2）已知：a、c，求b? (b c2 a2 )
熟记常见的几组勾股数
（1）3、4、5； （2）6、8、10； （3）5、12、13； （4）8、15、17； （5）7、24、25 （6）9、12、15
总统证法
a
c
b
cb a
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
14.1勾股定理——直角三角形三边的关系
Z=625-576=49 Z=7
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝ 90°．
（1） 已知a＝6， b＝10， 求c；
（2） 已知a＝24， c＝25， 求b．
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米?
3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现 屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角 线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电 视机是多少英寸的?”
正方形R的面积＝ 25 平方厘米．
正方形P、 Q、 R的面积之间的关系
是
SP+ SQ= SR
．
（每一小方格表示1平方厘米） 直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间
分“割”成若存干在个关系直A角C边2+RBC212=AB32 4 4．1 为在整一般数的直的角三三角角形中形，两。直角边的平方和等于斜边的平2方5也成立！
？
2.16
解 在Rt△ＡＢＣ中， ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米， 根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ 2 ＝ ５４. １ 2 －２１. ６ 2 ≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
人教版2020八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定教案 (新版)
C.直角三角形D．钝角三角形
4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是( )
A.直角三角形B．锐角三角形
C.钝角三角形D．不能确定
图14－1－
5.如图14－1－：四边形ABCD中已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝900，求这个四边形的面积．(连接AC)
AC＝b＝A′C′，
AB＝c＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴.同学们还能找出哪些勾股数呢？
2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
教学重点
通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点
解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件、四个全等的直角三角形图片
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课的勾股定理内容是什么？画出图形，写出表达式.
②[讲授效果反思]
注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想、验证及证明的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号 当堂训练1，2，5
错题题号 例1
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2
华师大版八年级上册电子课本 第14章 勾股定理(新版)-
第14章勾股定理§14.1勾股定理1. 直角三角形三边的关系2. 直角三角形的判定阅读材料勾股定理史话美丽的勾股树§14.2勾股定理的应用小结复习题课题学习勾股定理的“无字证明”第14章勾股定理还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．§14.1 勾股定理1. 直角三角形三边的关系本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c 关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R 的面积．即AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，图14.1.1这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；正方形Q的面积＝平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2正方形R的面积＝平方厘米．我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．做一做在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立．（每一小格代表1平方厘米）图14.1.3概括数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）图14.1.4 解 如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝２.１６米， ＡＣ＝５.４１米，根据勾股定理可得ＡＢ＝ －ＢＣ AC 22 ＝22 １６.－２ ４１.５≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A 到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米． 练习1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ， ∠B＝90°．（1） 已知a ＝6， b ＝10， 求c ；（2） 已知a ＝24， c ＝25， 求b ．2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．图14.1.5 图14.1.6 用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图14.1.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图14.1.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．图14.1.7 图14.1.8例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B 有多远?图14.1.9 解 如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，AC ＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，根据勾股定理可得ＡＢ＝22BC AC -＝22128160-＝96（米）．答： 从点A 穿过湖到点B 有96米．练习1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积与周长．2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?（第1题）（第2题）2. 直角三角形的判定古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗?图14.1.10试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：（1） a＝3， b＝4， c＝5；（2） a＝4， b＝6， c＝8；（3） a＝6， b＝8， c＝10．可以发现，其中按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形．在这三组数据中，（1）、（3）两组都满足a2＋b2＝c2，而组（2）不满足．以后我们会证明一般的结论：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角．例 3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 13， 11， 9．解因为 252＝２４2＋７2，３７2＝３５2＋１２2，１３2≠１１2＋９2，所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形．练习1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角．（1） 12， 16， 20；（2） 8， 12， 15；（3） 5， 6， 8．2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?习题14.11. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形．利用此图的面积表示式验证勾股定理．（第1题）2. 已知△ＡＢＣ中，∠B＝９０°， AC＝１３cm，ＢＣ＝５cm，求ＡＢ的长．３. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长．４. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系．（第４题）（第5题）5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．6. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一条边所对的角是直角?（1） a＝25， b＝20， c＝15；（2） a＝1， b＝2， c＝3；（3） a＝40， b＝9， c＝40；（4）a∶b∶c＝5∶12∶13．阅读材料勾股定理史话勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史．远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了．我国古代也发现了这个定理．据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日＝勾２＋股２．这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情形了．人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的．国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（Pythagoras）学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理．勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多．1940年卢米斯（E.S. Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子——《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达·芬奇和美国第２０任总统詹姆士·阿·加菲尔德（James Abram Garfield， 1831～1881）的证法．美丽的勾股树你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．§14.2 勾股定理的应用勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．图14.2.1分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形 ＡＢＣD ，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC 之长．（精确到０.０１cm ）图14.2.2解 如图14.2.2，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm ， ∴ AC＝22BC AB +＝22104+＝229≈１０．７７（cm ）（勾股定理）．答： 最短路程约为１０．７７cm ．例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图１４.２.３所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H ．解 在Rt△OCD 中，由勾股定理得ＣＤ＝22OD OC -＝228.01-＝０.６米，C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．做一做图14.2.4如图14.2.4，以直角三角形ＡＢＣ的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形．试将图中5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形．练习1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离．2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?（第１题）例3如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．图14.2.5 图14.2.6解（1）图14.2.6中ＡＢ长度为22．（2）图14.2.6中△ＡＢＣ、△ＡＢD就是所要画的等腰三角形．例4如图14.2.7，已知CD＝６m， AD＝８m，∠ADC＝９０°， BC ＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．图14.2.7解在Rt△ADC中，AC2＝ＡＤ2＋ＣＤ2＝６2＋８2＝１００（勾股定理），∴ AC＝１０m．∵ ＡＣ2＋ＢＣ2＝１０2＋２４2＝６７６＝ＡＢ2，∴ △ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形），∴ S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６（m2）．练习1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能值．2. 利用勾股定理，分别画出长度为3和5厘米的线段．习题14.21. 若等腰直角三角形的斜边长为2cm，试求出它的直角边和斜边上的高的长度．2. 下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长度．（第２题）（第3题）3. 如图，为了加固一个高2米、宽3米的大门，需在相对角的顶点间加一块木条．求木条的长度．4. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C＝３０°， 求∠B 的大小．5. 已知三角形的三边分别是n ＋1、 n ＋2、 n ＋3，当n 是多少时，三角形是一个直角三角形?6. 如图，AD⊥CD， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 若∠CＡＢ＝５５°，求∠B 的大小．（第6题）小结一、 知识结构二、 概括本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此产生的一种判定直角三角形的方法．如果知道了直角三角形任意两边的长度，那么应用勾股定理可以计算出第三边的长度；如果知道了一直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法个三角形的三边的长，也可以判断这个三角形是否是直角三角形．勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题，在现实生活中有许多重要的应用．复习题A组1. 求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．（第1题）2. 如图，以Rt△ＡＢＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．（第2题）3. 试判断下列三角形是否是直角三角形：（1）三边长为m2＋n2、 mn、 m2－n2（m＞n＞0）；（2）三边长之比为1∶1∶2；（3）△ＡＢＣ的三边长为a、 b、 c，满足a2－b2＝c2．4. 一架 2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物０.7米，如果梯子的顶部滑下０.4米，梯子的底部向外滑出多远?5. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A、 B、 C、D的面积和．（第5题）B组6. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０， BD是AC边的高，DC＝２，求BD的长．（第7题）7. 有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m， CD＝１２m， DA＝１３m，求该四边形地ＡＢＣD的面积．8. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出5组勾股数．9. 已知△ＡＢＣ中，三条边长分别为a＝n2－１， b＝2n， c＝n2＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．C组10. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．（第10题）（第11题）11. 如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm2．求此时AD的长．（第12题）12. 折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何?意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子?课题学习勾股定理的“无字证明”在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为(a+b) 2=c2+4·（１/２ab）,由此可以推出勾股定理a2+b2=c2．这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．现在请你和大家一起，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，相信你一定能够发现更多的有趣图形，验证勾股定理．实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空间与图形等领域中的许多数学公式和规律！- 21 -。
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 1 直角三角形三边的关系 第1课时 探索直角三角形三边的关系
14.1 勾股定理
目标突破
目标一 理解勾股定理
例1 教材补充例题 (1)求出如图14－1－1所示直角三角形中未 知边的长度；
图14－1－1
14.1 勾股定理
例1 教材补充例题 (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9 ，求AB的长； (3)已知图14－1－2中的正方形是以直角三角形的边长为边的正方形 ，图中所标的数为其所在正方形的面积，那么正方形A的面积是多少 ？
心思在如何在课件中贯彻案例的设计意图上、如何增强课件的实效性上，既是技术上的进步，也是理论上的深化，通过几个相关案例的制作，课件的概 念就会入心入脑了。 折叠多媒体课件 多媒体教学课件是指根据教师的教案，把需要讲述的教学内容通过计算机多媒体(视频、音频、动画)图片、文字来表述并构成的课堂要件。它可以生动、 形象地描述各种教学问题，增加课堂教学气氛，提高学生的学习兴趣，拓宽学生的知识视野，10年来被广泛应用于中小学教学中的手段，是现代教学发 展的必然趋势。
图14－1－4
14.1 勾股定理
反思
一直角三角形两边的长分别为3和4.求第三边的长． 解：设第三边长为x，则根据勾股定理，得x2＝32＋42＝52， 所以x＝5，因此第三边长为5. (1)错因分析： (2)纠错：
14.1 勾股定理
【答案】 (1)题干中没有明确第三边是斜边还是直角边，误认为第三边就是斜边， 从而造成漏解． (2)当已知两边均为直角边时，由勾股定理得第三边长为 5； 当 4 为斜边长时，由勾股定理得第三边长为 7. 故第三边的长为 5 或 7.
编后语
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14.1勾股定理 直角三角形三边关系
做一做：在网格上作出一个直角三 角形，并以三边为边作正方形 ．
观察左图，小组内讨论合作 完成下面的填空：
正方形P的面积=
9 平方厘米，
正方形Q的面积= 16 平方厘米；
R
c a
A
正方形R的面积=
b
平方厘米；
Q
B
P
C
探究活动二: 对于一般直角三角形三边关系的探索：
做一做：在网格上作出一个 直角三角形，并以三边为边 作正方形 ．
能力提升：
等腰三角形两边长为8cm和4cm，求底边上的高。
分析：先考虑求出三边长，要求高就肯定有直角，想到勾股定理。 抓住等腰，利用等腰三角形的性质求出两边，继而求出第三边。
A
B D
C
练习 1 如图，在四边形 ABCD中，DBC BAD 90 , AD 3, AB 4, BC 12,
B
C
问题情境：
某楼房三楼失火，消防队员赶 来救火，了解到每层楼高2.8米， 消防队员取来6.5米长的云梯， 如果梯子的底部离墙基的距离 是2.5米，请问消防队能否进入 三楼灭火?
6.5 要解决这个问题,需要我们一 起来进行下面的探索和学习. 2.5
?
练习：请分别以3cm、4cm；6cm、8 cm 为直角边画直角三角形，再量出斜边的长 度。并找出三边的关系，完成下表：
a=7, a=5,
b=24, 求c； c=8,
求b；
例2、
等腰直角三角形斜边长为4，则直角边长为多少？
分析：首先确定是直角三角形，而且是等边的，即是间接的 告诉了两边，所以想到勾股定理
A
解： ∵三角形ABC为直角三角形，且AB=BC AC=4，∠B=90° ∴AB2+BC2=AC2 ∴2AB2=AC2=16 ∴AB2=8
华师版八年级数学上册课件-14.1.1直角三角形三边的关系
A D
C
B
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图), 这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
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第14章 勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方
法．（重点）
2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历
观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合
赵爽弦图
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方
即形c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为 2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
的数学思想．（难点）
导入新课
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的 距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
讲授新课
直角三角形三边的关系
八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理2直角三角形三边的关系__验证勾股定理授课新华东师大1
知1－讲
3．用拼图法证明命题1的思路： (1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面
积不会改变； (2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； (3)利用等式性质变换证明结论成立，即拼出图形→写出
图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推出 命题1的结论．
知1－讲
例1 图14.1-1是用硬纸板做成的四个两直角边长分别 是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个 边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明 命题1的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)证明命题1.
知2－讲
(2)已知直角三角形的一边确定另两边的关系； (3)证明含有平方关系的几何问题； (4)作长为n(n≥1，且n为整数)的线段； (5)一些非直角三角形的几何问题、日常生活中的
应用问题，对于这些问题，首先要将它们转化， 建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方 程或方程组解决．
知2－讲
例2 如图，Rt △ABC的斜边AC比直角边 AB长 2cm，另一直角边BC长为6 cm.求AC的长.
知2－讲
本题运用建模思想解题，根据实际问题画出直 角三角形，再运用勾股定理解答．当图形不是直角 三角形时，常常通过作垂线构造直角三角形．
知2－讲
例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折 叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD 的长．
导引：利用折叠前后重合的线段相等、重合的角相等， 通过勾股定理列方程，在Rt△BDE中求出线段 DE的长，从而得到CD的长．
解： 由已知AB=AC － 2, BC =6cm， 根据勾股定理，可得 AB2 + BC2 = (AC － 2)2 +62 = AC2, 解得AC= 10(cm).
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.
1 直角三角形的三边关系第1课时 探索直角三角形的三边关系课前知识管理1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：如果直角三角形的两直角边分别是b a ,，斜边是c ，那么222c b a =+. 图形说明：如图，正方形A 中含有_________个小方格，即A 的面积是_________个单位面积；正方形B 中含有_________个小方格，即B 的面积是_________个单位面积；正方形C 中含有_________个小方格，即C 的面积是_________个单位面积.由此得出正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积.即若正方形A 的边长为,a 则其面积为2a ，正方形B 的边长为b ，其面积为2b ，正方形C 的边长为c ，其面积为2c ，由此可推出：222c b a =+.说明：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以上述反映直角三角形三边关系的命题通常被称为勾股定理.2、勾股定理提示了直角三角形三边之间的数理关系，是直角三角形的一个重要性质，运用勾股定理进行计算时，一要注意勾股定理的适用条件，二要注意公式的灵活变形. 适用条件：勾股定理适用的前提条件是 三角形；公式变形：根据公式222c b a =+可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.在计算时要会灵活变形，还常常与平方差公式和完全平方公式结合使用，比如：22b a c +=，()ab b a b a c 22222-+=+=，()ab b a b a c 22222+-=+=，()()b c b c b c a -+=-=222.注意事项：运用勾股定理求边长，要分清斜边和直角边，若没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解.名师导学互动典例精析：知识点1：直接运用勾股定理例1、在△ABC 中，∠C =90°，(1)若a =8，b =6，则c =_________；(2)若 c =20，b =12，则a =_________；(3)若a ∶b =3∶4，c =10，则a =_________，b =_________.【解题思路】在△ABC 中，∠C =90°，所以有关系：a 2+b 2=c 2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.【解】根据题意可得a 2+b 2=c 2.(1)若a =8，b =6，所以82+62=c 2.即c 2=100，c ＞0，所以c =10；(2)若c =20，b =12，所以a 2+122=202，即a 2=202－122=(20+12)(20－12)=32×8=162，a ＞0，所以a =16；(3)若a ∶b =3∶4，可设a =3x ，b =4x ，所以(3x )2+(4x )2=102.化简，得9x 2+16x 2=100，25x 2=100，x 2=4，x =2(x ＞0)，所以a =3x =6；b =4x =8.【方法归纳】综合上述解法可以发现，形(即△ABC 为直角三角形)与数(a 2+b 2=c 2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.对应练习：在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =3，b =4，则c =_______；（2）若a =6，c =10，则b =________.知识点2：勾股定理的简单应用例2、智能机器猫从平面上的O 点出发.按下列规律行走:由O 向东走12厘米到A 1,由A 1向北走24厘米到2A ,由2A 向西走36厘米到3A ,由3A 向南走48厘米到4A ,由4A 向东走60厘米到5A ,由5A 向北走72厘米到6A ，问:智能机器猫到达6A 点与O 点的距离是多少厘米?【解题思路】如图所示,当智能机器猫到达6A 点时,相对O 点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．【解】因26OA =362+482,即6OA =60．所以, 6A 点到O 点的距离为60厘米．【方法归纳】应用勾股定理要注意两点：一是前提条件为直角三角形，非直角三角形的三边之间没有这样的关系；二是解题时要注意区分斜边与直角边，不可乱用.对应练习：如图，在水塔O 的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B ，在AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ） A 45cm B 40cm C 50cm D 56cm知识点3：利用勾股定理求线段和例3、已知直角三角形ABC 中，∠CAB=90°，AC=,m AB=n ，D 为BC 中点，E 是AB 上任意一点，且EF ⊥AD ，EP ⊥BD ，试确定EF+EP 的值.【解题思路】由EF ⊥AD ，EP ⊥BD ，联想到连结DE ，从而将三角形ABD 的面积分割为两部分，通过面积相等关系确定EF+EP 的值.【解】连结ED ，在直角三角形ABC 中，∠CAB=90°，AC=,m AB=n ，故有BC=22n m +；D为BC 中点，所以AD=BD=222n m +.因22122n m EF S AED +⨯=∆，,41mn S ABD =∆，22122n m EP S BED+⨯=∆，故有22122n m EF +⨯+22122n m EP +⨯=mn 41，∴EF+EP=.22nm mn+.【方法归纳】将三角形面积巧妙的分割为若干小三角形面积，从而求得相应线段之间的关系，这里体现出“割补”的数学思想方法.对应练习：在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则222BC AC AB ++= . 知识点4：利用勾股定理求面积例4、如图，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝7，BC=24，P 是∠A ，∠C 的平分线的交点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，求BEPD S 四边形.【解题思路】显然四边形BEPD 以四边形BEPD 【解】设PD=PE=PF=mCA m BC m AB m ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅212121=由勾股定理知2524722=+=AC ，所以，247)25247(⨯=++m ，3=m ，故932==BEPD S 四边形.【方法归纳】求不规则四边形图形面积通常把四边形分割成三角形来求解.对应练习：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD=1，∠A ＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD 的面积.ADB C E知识点5：利用勾股定理探究规律例5、如图，设四边形ABCD是边长为1再以对角线AE为边作第三个正方形AEGHa1=1，•按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，a n，则a2，a3，a4的值各为多少？（2）根据以上规律写出a n的表达式．【解题思路】利用勾股定理求斜边的长，依次可求出a2，a3，a4，再比较它们的值，•即可写出a n．【解】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=1，∠B=90°，所以在Rt△ABC中，2211AB BC+=+2同样可求得4，8，即a22a34=2，a48（2）a n12n-（n为正整数）．【方法归纳】将图形与数字有机结合，善于发现和总结规律，是解题的关键．对应练习：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题．1）2+1=2，S1=12；2）2+1=3，S2=22；32+1=4，S3=32；…（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求S 12+S 22+S 32+…+S 102的值．易错警示例6、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ． 错解：由勾股定理，得5432222=+=+=b ac .错解分析：这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况． 正解：若∠C 为直角，则有5432222=+=+=b ac ；若∠B 为直角，则有7342222=-=-=a b c .例7、已知Rt △ABC 中，∠B=90°，22,2==c a ，求b .错解：由勾股定理，得()()62222222=-=-=a c b错解分析：这里错在盲目地套用勾股定理“222c b a =+”，殊不知，只有当∠C=90°时，222c b a =+才成立，而当∠B=90°时，勾股定理的表达式应为222b c a =+.正解：∵∠B=90°，∴222b c a =+，∴()()102222222=+=+=a c b .课堂练习评测考点1：利用勾股定理比较线段大小1、如图，每个小正方形的边长为1，ABC ∆的三边c b a ,,的大小关系式：（ ）A.b c a <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c <<考点2：利用勾股定理计算线段长度2、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 10 cm3、如图，ABC ∆和DCE ∆都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）A. 3B. 23C. 33D.434、如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是( )A ．2.5B ．3C ．4D ．55、已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ．考点3：利用勾股定理作线段6、如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段__________条.考点4：勾股定理的简单应用 7、假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米？课后作业练习一、填空题：1．在△ABC中，∠C=90°．（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于_______．（3）已知∠A=45°，c=18，则a2=______．2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．3．△ABC的周长为40cm，∠C=90°，BC：AC=15：8，则它的斜边长为______．4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，•两直角边分别为________．二、选择题5．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．22 D．106．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）．A．6cm B．5cm C．3060. 1313cm D cm7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A．5 B．3 C．1 D．1 28．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•则CN 的长为（）．A．72B．258C．278D．154三、解答题9．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出①一个面积是2的直角三角形；②一个面积是2的正方形.10．如图，等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为8．（1）求底边BC的长；（2）S△ABC．11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF•的面积．12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，•使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？四、探究题13．小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？14．如图所示，长方形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，•使点D 与点B 重合．求：（1）折叠后DE 的长； （2）以折痕EF 为边的正方形面积．C 'DCBA FE D CB A15、铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25 km ，C 、D 两村庄（视为两个点）DA ⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA ＝15 km ，CB ＝10 km ，现在要在铁路上建一个土特产收购站E 使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？16、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？17、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形. （1）直接写出单位正三角形的高与面积. （2）图①中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？ （3）求出图①中线段AC 的长（可作辅助线）. （4）求出图②中四边形EFGH 的面积.14.1.1对应练习答案：1.提示：（1）22c a b =+2）22b c a =-.答案：（1）c =5；（2）b =8.2.答案：B.3.答案：84.解：延长BC 交AD 的延长线于E ，则△ABE 和△CDE 均为直角三角形.因为∠A=60°，所以∠E=30°.又2=AB ，CD=1，所以AE=2AB=4，CE=2CD=2，由勾股定理得322=-=CD CE DE ，3222=-=AB AE BE ，所以CDE ABE ABCD S S S ∆∆ -=四边形312132221⨯⨯-⨯⨯=323=. 5.答案：（1）n ）2+1=n+1，S n n （2）OA 105510;(3)4．课堂练习作业参考答案：1、答案：C2、答案：B3、答案：D4、答案：A5、答案：26、答案：87、答案：10参考答案：一、1．（1）4 （2）60 （3）1622．6 8 103．17cm 4．4.8 6和8二、5．D6．D7．A8．B三、9．提示：面积是2的直角三角形，两条直角边分别是1和4，或2和2；面积是2的正方形边长是2.答案：10．答案：因为AD⊥BC于D．所以在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD2＋BD2＝AB2，即BD2＝100－64＝36 所以BD＝6，所以BC＝BD×2＝12 (等腰三角形，底边上的高平分底边即“三线合一”)，S△ABC＝12×BC×AD＝12×12×8＝48（平方单位）.11．169厘米2 • 12．12米四、13．解：矩形相邻两边分别为a m，b m，根据题意可得：2221048a bab⎧+=⎨=⎩，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=196，即a+b=14，则矩形周长为28米.14．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-•（9-x）2=32，故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，连BD即BD与EF•互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，∴以EF为边的正方形面积为144cm2．15、答案：如图，若设AE ＝x ，则BE ＝25－x ．因为DA ⊥AB 于A ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得AD 2＋AE 2＝DE 2，因为CB ⊥AB 于B ，所以在Rt △ECB 中 EB 2＋BC 2＝CE 2，因为DE ＝CE 所以DE 2＝CE 2，所以AD2＋AE 2＝EB 2＋BC 2 所以152＋x 2＝(25－x )2＋102 x ＝10.答：E 站应建在距A 站10 km 处.16、当CD 为斜边上的高时，CD 最短，从而水渠造价最价， ∵CD ·AB=AC ·BC ∴CD=AB BC AC ⋅=48米，∴AD=22224880-=-CD AC =64米. 所以，D 点在距A 点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元． 17、解：（1）单位正三角形的高为23，面积是4323121=⨯⨯. （2）由图①可直接得出平行四边形ABCD 含有24个单位正三角形，因此其面积为43×24=36.（3）过A 作AK ⊥BC 于点K （如图①所示），则在Rt △ACK 中，252111,233233=++==⨯=KC AK ，故1322=+=KC AK AC . （4）过点G 、H 、E 、F 作矩形MNPQ （如图②）.∵2112111111,33236=+++++==⨯=NP MN ，∴四边形MNPQ 的面积=2333.∵8392332321=⨯⨯=∆EMF S ，83152332521=⨯⨯=∆FNG S ；2333321=⨯⨯=∆GPH S ，3432421=⨯⨯=∆EQH S .∴四边形EFGH 的面积=383423383158392333=----.。
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系(第1课时
【拓展提升】
例2 △ABC中，BC边的上的高为AD，AB＝13，BC＝19，AD＝5，求BD及AC的长.
图14－1－
培养学生知识的综合与拓展提高应考能力
活动
四：
课堂
c＝ ，a＝ ，b＝ .
提纲挈领，重点突出
反思，更进一步提升.
【教学反思】
①[授课流程反思]
设置问题情景，表达数学来源于生活，通过观察感悟图形中的美妙之处，表达勾股定理的美学价值，激发学生的求知探索欲望.
②[讲授效果反思]
通过画直角三角形，操作、观察、计算、探索出勾股定理的内容，让学生切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的根底．这种方法符合学生认识图形的过程，培养了学生合作学习、主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作交流的学习习惯，最后通过例题稳固勾股定理，体会勾股定理定理的变式.
(2)各小组之间交流结论，一致得出：两直角边的平方和等于斜边的平方.
教师活动：用几何画板，画任意的直角三角形，然后有度量和计算功能，做出一般直角三角形三边关系的表格．同样得到两直角边的平方和等于斜边的平方.
板书：[勾股定理]直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
提示：注意勾股定理中的关键点.
教师提问：你能证明这一结论吗？
活动
三：
开放
训练
表达
应用
【应用举例】
例1 在Rt⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8.求AC.
变式：(例1补充)在Rt△ABC，∠C＝90°
(1)a＝b＝5，求c；
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系(第2课时
问题2：比较正方形的面积，锐角三角形的三边长满足的关系是什么？钝角三角形的三边长满足的关系是什么？
【应用举例】
图14－1－
1.课本P6中的随堂练习
2.课本P6中的习题1.2中的T1、T3
【知识网络】
§14.1.1直角三角形三边关系(2)
一、验证勾股定理→拼图→面积法(等积法)
二、例
三、练习
定理变形：1.(a＋b)2＝ab×4＋c22＝ ab×4＋(b－a)2
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
巧妙引用“总统证法〞引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，以景激情，以情促思，引领学生不断探索，不断深入.
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图4如何验证勾股定理？
【探究2】拓宽视野，深入了解勾股定理的证法
用图4验证勾股定理的方法，据记载最早是三国时期数学家赵爽在为?周髀算经?作注时给出的．事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，几千年来，人们已经发现了400多种，其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就能直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明〞，我们来欣赏几种！(课件出示)
例1 【教材例2】如图14－1－，Rt⊿ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长.
变式：如图14－1－，在Rt⊿ABC中，∠C－90°，AD、BE是中线，AD＝，BE＝，求AB的长.
例2 【教材p111例3】
图14－1－
如图14－1－，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形．通过测量，得到AC的长为16米，BC的长为12米．问从点A穿过湖到点B有多远？
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14.1.1 直角三角形三边关系【学习目标】
1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．会应用勾股定理解决实际问题
【学习重难点】
1.探索勾股定理的证明过程
2.运用勾股定理解决实际问题
【学习过程】
一、课前准备
直角三角形的性质：
二、学习新知
自主学习：
一、探索勾股定理
试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺直角边a直角边b斜边c 关系1
2
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．
由图14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系
图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P 、 Q 的面积之和等于大正方形R 的面积．即
AC ＋ＢＣ＝ＡＢ，
2
2
2
图14.1.1
这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
试一试
观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积＝ 平方厘米；
正方形Q 的面积＝ 平方厘米；
（每一小方格表示1平方厘米）
图14.1.2
正方形R 的面积＝ 平方厘米． 我们发现，正方形
P 、 Q 、 R 的面积之间的关系
是 ．
由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系 ．
由图14.1.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则 222c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
△ABC 中，∠C=90°, 则(a 、b 表示两直角边，c 表示斜边) 222c b a =+变式： 222222,a c b b c a -=-=实例分析：
例1、Rt △ABC 中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90° （1） 已知a=8,b=10,求c. (c=6) （2） 已知a=5,c=12,求b (b=13) 注意：“∠B 为直角”这个条件。
例2如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC 斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A 到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）
【随堂练习】
1、已知在Rt△ABC 中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；② 若c=25，b=15，则a=________。
2、斜边为13cm ，一条直角边长为12cm ，则另一条直角边为_______cm.
3、如图，以数轴的单位长度线段做正方形。
以数轴的原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则A 表示的数是（ ）
A 、
B 、1.4
C 、 D
2
1
1
21-1
4、在Rt△ABC 中，=90°，，AC=b ，BC=a C ∠c AB =①若a=10,b=24，求c ； ②若a=16，c=20,求b. 【中考练习】
图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是( )
A ．13
B ．26
C ．47
D ．94
【参考答案】 随堂练习
1、①5；② 20.
2、15.
3、D
4、①c=26; ②b=12. 中考连线 C。