2013年高考数学 考前冲刺大题精做 专题3 数列综合篇 文(教师版)
2013高考数学复习资料----数列(教师版)
2013高考数学复习资料----数列（教师版）1、数列的有关概念、性质、通项公式、求和公式。
（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ）A B C D2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝ ；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
备战2013高考真题测试：数列大题文科教师版
6 (1 2n ) (3n 1) 2n 1 2 1 2
(3n 4)ห้องสมุดไป่ตู้ 2n 1 8
即 Tn 8 (3n 4) 2n 1 ,而当 n 2 时, an 1bn 1 (3n 4) 2n 1 所以 Tn 8 an 1bn 1 (n N * , n 2) 4． 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y x 2 该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有
2
Sn , 2an 1
2
sn 1 ,
上述两个式子相减得: an 2an1 所以数列 an 是等比数列 综上,若 a1 0 若 a1 0，则an
则a n 0
2n
1 , 所以，bn 2 n lg 2 an
(2)当 a1 0 ,且 100时，令bn lg
6
f (1) f (n 1) 的大小,并说明理由. f (0) f (1)
1 n ' 【解析】(1)由已知得,交点 A 的坐标为 a , 0 ,对 y x 2 a n求导得 y 2 x 2 2 则抛物线在点 A 处的切线方程为:
y 2a n ( x a ), 即y 2a n x a n.则f (n) a n 2
求证: bk ak ( k 1, 2,...m ); (3)设 m 100 ,常数 a ( 1 , 1) .若 an an2 (1) 2 求 (b1 a1 ) (b2 a2 ) (b100 a100 ) . 【解】(1)数列 {an} 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5 (2)因为 bk max{a1 , a2 , , ak } , bk 1 max{a1, a2 , , ak , ak 1} , 所以 bk 1 bk 因为 ak bm k 1 C , ak 1 bm k C , 所以 ak 1 ak bm k 1 bm k 0 ,即 ak 1 ak 因此, bk ak (3)对 k 1, 2, , 25 , a4 k 3 a(4k 3) 2 (4k 3) ; a4 k 2 a(4k 2) 2 (4k 2) ;
重庆2013年(春)高三考前冲刺测试卷数学(文史类)参考答案
重庆2013年（春）高三考前冲刺测试卷数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1～5 BADAC 6～10 CDCBA 提示：10.22()||||11PM PA PA AM PA PA PM ⋅=+⋅==-> ，2||2PM > ，∴圆心M 到直线0=++a y x 的距>，解得(,6)(2,)a ∈-∞--+∞ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相对应位置上．11.2112.213.2214y x -= 14.9815.[1,)+∞三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）不能报考该有院校的学生有：50(0.60.32)0.212⨯+⨯⨯=人………………7分 （Ⅱ）依题意有(0.60.33 2.5)0.21x +⨯++⨯= 解得1x =………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知112b a =，11812b a =+，所以2411==b a ,，n n n b n a 213=+=∴,；………………6分 （Ⅱ）1413+=++=n n n c n ，)(322145+=⋅++=n n n n S n 54322>+=∴k k S k 解得29>k 或6-<k ，又k 为正整数，k ∴的最小值为5．………………13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）42262=+A Acos cos即412132=-++A A cos )cos ( 02322=-+A A cos cos 21=∴A cos 所以3πA =；………………7分（Ⅱ）bca bc cb bc a c b A 22222222-+-=-+=)(cos bc bc 292121-+=∴ 8=∴bc3221==∴A bc S sin ．………………13分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()2ln 22f x x x a '=++-，(1)422f a a '=-=⇒=.………………5分 （Ⅱ）()0f x ≤在1[,]x e e ∈恒成立32ln a x x x ⇔≥++在1[,]x e e ∈恒成立，令3()2ln g x x x x=++，则求得()g x 在1[,]x e e ∈上的最大值即可. 由2(1)(3)()x x g x x -+'=知，()g x 在1[,1]e上递减，在[1,]e 上递增，故11max ()max{(),()}23g x g g e e e e==-++.………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连结1BC ，2111==C B BB BE BC BCE Rt Δ∴∽11BC B Rt Δ 易得1BC CE ⊥又BC AB ⊥ 111C B A ABC -是直三棱柱⊥∴AB 面11B BCC CE AB ⊥∴从而⊥CE 面1ABC 1AC CE ⊥∴；………………6分（Ⅱ）设三棱锥ACE B -的高为h ，则由ABC E ACE B V V --=得2211213131⋅⋅⋅⋅=ACE hS Δ又26==CE AE 2=AC ∴易得22=ACE S Δ 21=∴h ．………………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题得12||||PQ F F =，即22a c c =，2e ∴=………………5分 （Ⅱ）设00(,)P x y ，20||a PQ x c =+，12||||PQ F F = ，202a x c c∴=-0a x a -<< ，22a a c a c∴-<-< 解得112e <<………………12分EB 1A 1C 1CBA。
2013高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 数列的应用(含解析)
图1 图2 图3 图4数列的应用【考点导读】1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。
【基础练习】1．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24第4行 32 30 28 26 ……………则2008在第 251 行 ，第 5 列。
2．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含 2221n n -+ 个互不重叠的单位正方形.3．若数列{}n a 中，311=a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a 13n . 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为2- 。
5．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =6- 。
【X 例导析】例1．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入自然数1时，从B 口得到13 ，记为()113f = ；②当从A 口输入自然数()2n n ≥时，在B 口得到的结果()f n 是前一个结果()1f n -的()()211213n n ---+倍。
（1）当从A 口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B 口分别得到什么数？并求()f n 的表达式； （2）记n S 为数列(){}f n 的前n 项的和。
当从B 口得到16112195的倒数时，求此时对应的n S 的值.分析：根据题意可以知道()f n =()1f n -⋅()()211213n n ---+，所以可以采用迭乘法求出()f n 的表达式，这样就可以解决题目中的问题。
2013版高考数学考前3个月(上)专题复习课件专题九第三讲数列
本
(2)Tn＝b11b2＋b21b3＋b31b4＋…＋bnb1n＋1
讲 栏 目
＝1×1 3＋3×1 5＋5×1 7＋…＋2n－1×1 2n＋1
开 关
＝12×1－13＋12×13－15＋12×15－17＋…＋12×2n1－1－2n1＋1
＝12×1－2n1＋1＝2nn＋1.
由
Tn＝2nn＋1>12
000112,得
1 n>
001 10 ,
∴满足
1 Tn>2
000112的最小正整数
n
的值为
101.
题型突破
第三讲
第一步：根据已知条件利用方程思想或 an＝Sn－Sn－1 (n≥2)求出数列
本 讲
的通项公式；
栏 目
第二步：利用错位相减法、裂项相消法等求出数列前 n 项和；
开 关
列.
(1)求数列{an}的通项公式；
本 讲 栏
(2)求数列{2a n }的前 n 项和 Sn. 解 (1)由题设知公差 d≠0,由 a1＝1,a1,a3,a9 成等比数列得1＋12d＝
目 开 关
1＋8d 1＋2d,
解得 d＝1 或 d＝0(舍去),
故{an}的通项公式为 an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)解 因为 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋2 1.
所以{bn}的通项公式为 bn＝－nn＋2 1.
题型突破
第三讲
题型二 求数列的通项或前 n 项和
数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法备受高考命题者的
青睐,历年来都是高考命题的热点,数列的通项与求和问题更是高考
属于中档题,主要考查灵活运用两种数列分析问题、解决问题的能力.
2013年高考数学考前冲刺大题精做专题02数列基础篇(教师版)
2013年高考数学 考前冲刺大题精做 专题02 数列基础篇（教师版）【2013高考会这样考】对于数列的基础知识，有如下考法：1、 求数列的通项是高考数列命题的热点，主要以解答题中某一问的形式出现；2、 以数列为载体，考查数列求和的各种技巧与方法，经常出现的是基本公式法、裂项相消法、错位相减法；3、 灵活应用等差数列、等比数列的基本公式和性质对问题进行求解；4、 合理使用n S 与n a 的关系配合进行解题，注意化简的过程的运算.5、 注意递推关系的使用.【高考还原2：（2012年高考（陕西理））】设{}n a 的公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的公比；（2）证明：对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.所以,对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列证法二：对任意k N +∈,12(1)21k k a q S q-=- 212111121(1)(1)(2)111k k k k k k a q a q a q q S S q q q++++++----+=+=--- 2111212(1)(2)2()11k k k k k k a q a q q S S S q q ++++----+=---211[2(1)(2)1k k k a q q q q++=-----21(2)01ka q q q q=+-=-，因此,对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.【细品经典例题】【经典例题1】在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （1）求n a 与n b ；（2）求12111...nS S S +++的取值范围．式，故应使用裂项法进行求和进行求解.【经典例题2】已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*,2)1(N n a a S n n n ∈+=（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）设++==21,21b b T S b n nn …n b +，求n T .【精选名题巧练】 【名题巧练1】在数列{}n a 中，*32111,21()23n n a a a a a n N n=++++=-∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若存在*n N ∈，使得(1)n a n n λ≤+成立，求实数λ的最小值.【名题巧练2】某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。
高考数学考前冲刺大题精做专题03数列综合篇教师版
高考数学 考前冲刺大题精做 专题03 数列综合篇（教师版）【2013高考会这样考】1、 注意数列与不等式的交汇；在证明不等式的过程中，经常涉及分析法、放缩法以及数学归纳法等；2、 注意数列与函数的交汇；数列是特殊的函数，可以利用函数的研究方法来对数列进行研究，但注意*n N ∈；3、 数列问题中求解参数的取值范围，首选分离参数法；4、 对于新定义数列，读懂问题，将问题转化为平常的知识进行求解. 【原味还原高考】【高考还原1：（2012年高考（重庆理））】设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠.（I ）求证:{}n a 是首项为1的等比数列； （II ）若21a >-,求证:1()2n n nS a a ≤+,并给出等号成立的充要条件. 试题重点：本题主要考查等比数列的定义、n S 与n a 的关系、分析法、推理与证明，考查学生的化归与转化能力.试题难点：本题有两个难点，一是如何证明“1()2n n nS a a ≤+”，此时应该先使用分析法将式子转化为“()()21122221132n n na a a a n --++++≤+≥L ”，再通过构造“(21r a -)(21n ra --)>0”进行证明；二是如何得到“等号成立的充要条件”，此时，需应用特殊到一般的数学思想，先看出“当1n =或2时等号成立”；再由“()()2222211122nn n a a a a n +++++≤+≥L ”看出“21a =时等号成立”. 试题注意点：数列与不等式证明的综合交汇，是高考的热点，也是难点，此时应当合理的使用已有的证明方法与手段（常用方法：分析法、数学归纳法），使得条件往结论靠拢, 【高考还原2：（2012年高考（大纲理））】函数2()23f x x x =--.定义数列{}n x 如下:112,n x x +=是过两点(4,5),(,())n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （1）证明:123n n x x +≤<<;（2）求数列{}n x 的通项公式.1311()135n n n x x --=-⋅+,故11195143351351n n n n x ---⨯-==-⨯+⨯+. 【高考还原3：（2012年高考（湖南理））】已知数列{a n }的各项均为正数,记A(n)=a 1+a 2++a n ,B(n)=a 2+a 3++a n+1,C(n)=a 3+a 4++a n+2,n=1,2。
【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题03 数列(教师版)
【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题03 数列（教师版）【考纲解读】1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.【考点预测】1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理】 1.证明数列{}n a 是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：1n n a a d +-=为常数；（2）等差中项法：112(2)nn n a a a n +-=+≥.2.证明数列{}n a 是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：1n naq a+=(非零常数)；（2）等差中项法：211(2)nn n a a a n +-=⋅≥.3.常用性质:(1)等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;(2)等比数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅.4.求和:(1)等差等比数列,用其前n 项和求出;(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前n 项和的常用性质. 【考点在线】考点1 等差等比数列的概念及性质在等差、等比数列中，已知五个元素1n a ,a ,n,d 或q ，n S 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。
2013高考数学复习资料----数列(教师版)
2013高考数学复习资料----数列（教师版）1、数列的有关概念、性质、通项公式、求和公式。
（1）已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ）A B C D2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝ ；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
2013年高考数学二轮专题辅导与训练 专题三第2讲数列求和及数列的综合应用课时训练提能
专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用课时训练提能[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于A.n n ＋12B ．－n n ＋12C ．(－1)n ＋1n n ＋12D ．以上答案均不对解析 对n 赋值验证，只有C 正确． 答案 C2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为 A ．11B ．99C ．120D ．121解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120. 答案 C3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝ A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析 ∵a n ＝(－1)n(3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 答案 A4．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋1(n ∈N )，则f (n )等于 A.27(8n－1)B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1)D.27(8n ＋4－1)解析 显然，f (n )为数列{23n ＋1}的前n 项和S n ＝24＋27＋210＋…＋23n ＋1与2的和．数列{23n ＋1}为一个首项为a 1＝24，公比为q ＝23的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得S n ＝24[1－23n]1－23＝168n－17， 故f (n )＝2＋S n ＝2＋168n－17＝16×8n－27＝2×8n ＋1－27＝27(8n ＋1－1)． 答案 B5．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 010的值为A.2 0072 008 B.2 0082 009 C.2 0092 010D.2 0102 011解析 ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 2 010＝1－12＋12－13＋…＋12 010－12 011＝1－12 011＝2 0102 011.答案 D6．甲、乙两间工厂的月产值在2010年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2010年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2011年6月份的月产值大小，则有A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定解析 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 112≥a 1a 11＝b 1b 11＝b 26＝b 6，由于在等差数列{a n }中，公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6＞b 6.答案 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n ＝________.解析 由已知条件可得数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1. 答案4n n ＋18．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－29．数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 解析 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)． 两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4. ∴{a n }为a 2为首项，公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49.∴log 4S 10＝log 449＝9. 答案 9三、解答题(每小题12分，共36分)10．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n 为奇数，n ， n 为偶数，试求其前n 项和．解析 (1)当n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n )＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n －1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－4n ＋121－4＋n －12×2＋n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－12×2＝13·2n ＋2＋n 24－1112. (2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n )＝21－4n21－4＋n2×2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－12×2＝13·2n ＋1＋n 24＋n 2－23. 11．(2012·武昌模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n(n ∈N ＋)．(1)设b n ＝a n －2n3n，证明：数列{b n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－a n －2n3n＝1，∴{b n }为等差数列． 又b 1＝0，∴b n ＝n －1. ∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n.(2)设T n ＝0·31＋1·32＋…＋(n －1)·3n，则 3T n ＝0.32＋1·33＋…＋(n －1)·3n ＋1.∴－2T n ＝32＋…＋3n －(n －1)·3n ＋1＝91－3n －11－3－(n －1)·3n ＋1.∴T n ＝9－3n ＋14＋n －1·3n ＋12＝2n －3·3n ＋1＋94.∴S n ＝T n ＋(2＋22＋ (2))＝2n －33n ＋1＋2n ＋3＋14.12．(2012·丰台一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1.数列{b n }满足b 1＝2，b n＋1－2b n ＝8a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式；(3)设数列{b n }的前n 项和为T n ，是否存在常数λ，使得不等式(－1)nλ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n－1)－(2n －1－1)＝2n －1，因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1.所以a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 因为b n ＋1－2b n ＝8a n ， 所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2，即b n ＋12n ＋1－b n2n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为b 121＝1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以b n ＝(2n －1)·2n.(3)存在常数λ使得不等式(－1)nλ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立．因为T n ＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n①所以2T n ＝1·22＋3·23＋…＋(2n －5)·2n －1＋(2n －3)·2n＋(2n －1)·2n ＋1②由①－②得－T n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1，化简得T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.因为T n －6T n ＋1－6＝2n －3·2n ＋12n －1·2n ＋2＝2n －34n －2＝12－24n －2＝12－12n －1. (ⅰ)当n 为奇数时，(－1)λ＜1＋T n －6T n ＋1－6，所以λ＞－1－T n －6T n ＋1－6，即λ＞－32＋12n －1.所以当n ＝1时，－32＋12n －1的最大值为－12，所以只需λ＞－12.(ⅱ)当n 为偶数时，λ＜1＋T n －6T n ＋1－6，所以λ＜32－12n －1，所以当n ＝2时，32－12n －1的最小值为76，所以只需λ＜76.由(ⅰ)(ⅱ)可知存在－12＜λ＜76，使得不等式(－1)nλ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立．。
备战2013高考真题测试：数列文科教师版
数列强化测试（时间90分钟，每小题5分，总分100分）一、选择题1．设函数3()(3)1f x x x =-+-,{}n a 是公差不为0的等差数列,127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则=++721a a a （ ）A ．0B ．7C ．14D ．21【答案】D【解析】∵{}n a 是公差不为0的等差数列,且127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+= ∴14]1)3[(]1)3[(]1)3[(737232131=-+-++-+-+-+-a a a a a a ∴147)(721=-++a a a ∴21721=++a a a【点评】本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.2 ．若2sin sin sin ()777n n S n N πππ*=+++∈ ,则在10021,,,S S S 中,正数的个数是 （ ）A ．16.B ．72.C ．86.D ．100. 【答案】C 【解析】 令7πα=,则7n n πα=,当114n ≤≤时,画出角序列n α终边如图, 其终边两两关于x 轴对称,故有1221,,,S S S 均为正数, 而01413==S S ,由周期性可知,当141314k n k -≤≤时,0n S >,而014114==-k k S S ,其中1,2,...7k =,所以在10021,,,S S S 中有14个为0,其余 都是正数,即正数共有1001486-=个,选C. 3 ．在等差数列{}n a 中,已知4816,a a +=则210a a += （ ）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】B【解析】,故选B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题. 4 ．数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{n a }的前60项和为 （ ）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830【答案】D48111(3)(7)210,a a a d a d a d +=+++=+ 21011121048()(9)210,16a a a d a d a d a a a a +=+++=+∴+=+=x【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】【法1】有题设知211a a -=,① 323a a += ② 435a a -= ③ 547a a +=,659a a -=, 7611a a +=,8713a a -=,9815a a +=,10917a a -=,111019a a +=,121121a a -=,∴②-①得132a a +=,③+②得428a a +=,同理可得572a a +=,6824a a +=,9112a a +=,101240a a +=,∴13a a +,57a a +,911a a +,是各项均为2的常数列,24a a +,68a a +,1012a a +,是首项为8,公差为16的等差数列,∴{}n a 的前60项和为115215816151418302⨯+⨯+⨯⨯⨯=.【法2】可证明:14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+112341515141010151618302b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 5 ．观察下列事实1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4 , 2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8, 3x y +=的不同整数解(),x y 的个数为12 .则20x y +=的不同整数解(),x y 的个数为 （ ） A ．76 B ．80 C ．86 D ．92【答案】B【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,则所求为第20项,可计算得结果. 6 ．定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数:①2()f x x =;②()2x f x =;③()||f x x =;④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①,22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数,故①符合条件;对于②,111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==,不是常数,故②不符合条件;对于③,1()()n n f a f a +===是常数,故③符合条件;对于④, 11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=,不是常数,故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等.7 ．数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2012S 等于 （ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．0【答案】A【解析】由cos 2n n a n π=,可得20121021304120121S =⨯-⨯+⨯+⨯++⨯2462010201225031006=-+-+-+=⨯=【考点定位】本题主要考察数列的项、前n 项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和. 8 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S = （ ）A ．12n -B ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112n -【答案】B【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用.【解析】由12n n S a +=可知,当1n =时得211122a S ==当2n ≥时,有12n n S a += ① 12n n S a -= ② ①-②可得122n n n a a a +=-即132n n a a +=,故该数列是从第二项起以12为首项,以32为公比的等比数列,故数列通项公式为2113()22n n a -⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(2)n n =≥,故当2n ≥时,1113(1())3221()3212n n n S ---=+=-当1n =时,11131()2S -==,故选答案B9 ．某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着n 的增大,n S 变化超过平均值的加入,随着n 增大,n S 变化不足平均值,故舍去. 10．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =,则12a a =D ．若31a a >,则42a a >【答案】B【解析】当10,0a q <<时,可知1320,0,0a a a <<>,所以A 选项错误;当1q =-时,C 选项错误;当0q <时,323142a a a q a q a a >⇒<⇒<,与D 选项矛盾.因此根据均值定理可知B 选项正确. 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做.11．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a = （ ） A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】选A【解析】2231177551616421a a a a a a =⇔=⇔==⨯⇔= 二、填空题12．首项为1,公比为2的等比数列的前4项和4S =______【答案】:15【解析】:44121512S -==-【考点定位】本题考查等比数列的前n 项和公式13．已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ,)(2n n a f a =+.若20122010a a =,则1120a a +的值是_________.【解析】21()1n n a f a a n+==+(*),11=a ,所以有:312a =,523a =,735a =,958a =,11813a =;又20122010201011a a a ==+,得01201022010=-+a a ,令t a =2010,则012=-+t t ,由题设0>t ,所以t =,变形(*)为121n n a a +=-,则20101200811t a t a t-=-==,故2n a t ==,所以2011813a a +==14．已知等比数列{}n a 为递增数列.若10,a >且()2125,n n n a a a +++=则数列{}n a 的公比q =____________.【答案】2【解析】 因为数列为递增数列,且【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 15．等比数列{n a }的前n 项和为n S ,若3230,S S +=则公比q =_______【命题意图】本题主要考查等比数列n 项和公式,是简单题.【解析】当q =1时,3S =13a ,2S =12a ,由S 3+3S 2=0得,19a =0,∴1a =0与{n a }是等比数列矛盾,故q ≠1,由S 3+3S 2=0得,3211(1)3(1)011a q a q q q--+=--,解得q =-2. 16．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比不为1。
高考数学考前冲刺大题精做专题 数列综合篇(学生)
2013年高考数学 考前冲刺大题精做 专题03 数列综合篇（学生版）【2013高考会这样考】1、 注意数列与不等式的交汇；在证明不等式的过程中，经常涉及分析法、放缩法以及数学归纳法等；2、 注意数列与函数的交汇；数列是特殊的函数，可以利用函数的研究方法来对数列进行研究，但注意*n N ∈；3、 数列问题中求解参数的取值范围，首选分离参数法；4、 对于新定义数列，读懂问题，将问题转化为平常的知识进行求解.【原味还原高考】【高考还原1：（2012年高考（重庆理））】设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠.（I ）求证:{}n a 是首项为1的等比数列； （II ）若21a >-,求证:1()2n n nS a a ≤+,并给出等号成立的充要条件.【高考还原2：（2012年高考（大纲理））】函数2()23f x x x =--.定义数列{}n x 如下:112,n x x +=是过两点(4,5),(,())n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （1）证明:123n n x x +≤<<; （2）求数列{}n x 的通项公式.【高考还原3：（2012年高考（湖南理））】已知数列{a n }的各项均为正数,记A(n)=a 1+a 2++a n ,B(n)=a 2+a 3++a n+1,C(n)=a 3+a 4++a n+2,n=1,2。
（1）若a 1=1,a 2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ a n }的通项公式.（2）证明:数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意N n *∈,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q 的等比数列.【细品经典例题】【经典例题1】已知数列{n a }、{n b }满足：111,1,4(1)(1)n n n n n n b a a b b a a +=+==-+． （1）求1234,,,b b b b ； （2）设11n n c b =-，求证数列{}n c 是等差数列，并求n b 的通项公式； （3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围.【经典例题2】已知数列{}n a ，如果数列{}n b 满足满足*111,(2,)n n n b a b a a n n N -==+≥∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“生成数列”.（1）若数列{}n a 的通项为n a n =，写出数列{}n a 的“生成数列”{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 的通项为n c An B =+, (A.、B 是常数)，试问数列{}n c 的“生成数列”{}n l 是否是等差数列，请说明理由；（3）已知数列{}n d 的通项为2nn d n =+，设{}n d 的“生成数列”为{}n p ；若数列n {}L 满足n n nd n L p n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数，求数列n {}L 的前n 项和n T .【精选名题巧练】【名题巧练1】某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为m ()400600m <<，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20﹪改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30﹪改选“音乐欣赏”，用n n b a ,分别表示在第n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．（Ⅰ）若500=m ，分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数23,a a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明数列{}600-n a 是等比数列，并用n 表示n a ；（ⅱ）若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求m 的取值范围．【名题巧练2】已知数列{}n a 的前n项和为n S ，且12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.【名题巧练3】已知数列{}n a 满足：11=a ，2(0)a a a =≠，nn n a ap a 212++⋅=（其中p 为非零常数，*N n ∈）． （1）判断数列}{1nn a a +是不是等比数列？ （2）求n a ；（3）当1=a 时，令2n n nna b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．【名题巧练4】设1a ，2a ，…20a 是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足190≤≤k 的整数k ，数列1b ，2b ，…20b 由⎩⎨⎧-++20k n k n a a 时，当时，当20-20201≤<-≤≤n k k n 确定。
2013年高考数学 考前冲刺大题精做 专题6 圆锥曲线综合篇 文(教师版)
文科数学考前冲刺大题精做专题——系列六、圆锥曲线综合篇（教师版）【2013高考会这样考】1、 在解椭圆中的最值与X 围问题时，要考虑到椭圆的限制条件对自变量取值的影响；2、 与平面向量等知识的结合，综合考查圆锥曲线的相关运算；3、 以直线和圆锥曲线为载体，研究弦长、最值、取值X 围、三角形的面积问题是高考考查的热点.所以)2,(26M【名师剖析】试题重点：本题考查双曲线的方程、双曲线的性质、直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系，考查化归与转化的能力以及数形结合的数学思想.试题难点：第（3）问，可以得到2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅，进而利用根与系数的关系化简求解.试题注意点：在设直线的方程的时候，必须考虑直线是否垂直于x 轴的情况【高考还原2：（2012年高考（某某文））】如图,椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>3,直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.（Ⅰ）求椭圆M 的标准方程; 【来源：】（Ⅱ） 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.（1）不妨设点S 在AD 边上,T 在CD 边上,可知)1,2(),2,2(,51---<≤D m S m .（3）不妨设点S 在AB 边上,T 在BC 边上,可知,15-≤<-x由椭圆和矩形的对称性可知当53m =-时STPQ 取得最大值255;综上所述当53m =±和0时,||||PQ ST 取得最大值255.【高考还原3：（2012年高考（某某文））】如图,在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦2F 点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.已知(1)e ，和32e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程;（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平行,2AF 与1BF 交于点P.（i ）若126AF BF -=求直线1AF 的斜率; （ii ）求证:12PF PF +是定值.同理,)2222211 =2m mBFm+-++.②（i ）由①②得,2122212m m AF BF m +-=+.解22216=22m m m ++得2m =2.【细品经典例题】【经典例题1】设椭圆()012:222>=+a y ax C 的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，求椭圆的离心率； （2）对于由（1）得到的椭圆C ，过点P 的直线l 交x 轴于点()0,1-Q ，交y 轴于点M ，若2MP PQ =，求直线l 的斜率.根据题意，得()()0000,12,y x k y x +±=-…………9分解得⎩⎨⎧-=-=k y x 002或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=33200k y x …………11分【名师剖析】【经典例题2】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12，一个焦点是()1,0-,过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A ，B.（1）求椭圆Ω的方程；（2）若在椭圆Ω：()222210x y a b a b +=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.求证:直线AB 恒过定点C ，并出求定点C 的坐标.（3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.标都适合方程13t x y +=，故直线AB 的方程是13t x y +=，显然直线13tx y +=恒过点（1,0），【精选名题巧练】【名题巧练1】已知椭圆221:12x C y +=. （Ⅰ）我们知道圆具有性质：若E 为圆O ：222(0)x y r r +=>的弦AB 的中点，则直线AB 的斜率AB k 与直线OE 的斜率OE k 的乘积AB OE k k ⋅为定值。
【走向高考】2013年高考数学总复习 阶段性测试题三 北师大版
阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012·某某调研)甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度关系是( )A．甲大B．乙大C．相等 D．无法比较[答案] B[解析]v1＝s1′＝3t2－4t＋1，v2＝s2′＝6t－1，所以在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．2．(2011·某某文)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 B．－3C．9 D．15[答案] C[解析]本题考查导数几何意义，求导公式等知识．导数最基本运算及应用是每年必考内容．由y＝x3＋11知y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0易知选C.3．(2012·某某模拟)已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为( )A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1[答案] A[解析]先求f(x)的导函数，再代入验证．当f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)时，f′(x)＝3(x－1)2＋3且f′(1)＝3(1－1)2＋3＝3.4．(2012·某某调研)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－3,1)上y ＝f (x )是增函数B ．在(1,3)上y ＝f (x )是减函数C ．在(4,5)上y ＝f (x )是增函数D ．在x ＝2时y ＝f (x )取到极小值 [答案] C[解析] 由导函数图像与原函数的关系可知函数y ＝f (x )在(－3，－32)上是减函数，在(－32，1)上是增函数，知A 错；由函数y ＝f (x )在(1,2)上是增函数，在(2,3)上是减函数，知B 错；由函数y ＝f (x )在(4,5)上是增函数知C 正确；由函数y ＝f (x )在x ＝2时取极大值，知D 错．5．(2012·某某一模)如果函数f (x )＝x 4－x 2，那么f ′(i )＝( ) A ．－2i B ．2i C ．6i D ．－6i [答案] D[解析] 因为f ′(x )＝4x 3－2x ， 所以f ′(i )＝4i 3－2i ＝－6i .6．(2012·某某调研)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)<0B ．f ′(x 0)>0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x 0，f (x 0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，故f ′(x 0)＝3.故选B.7．(2012·某某质检)函数f (x )＝e xcos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4C ．1 D.π2[答案] B[解析]f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x(cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(x )|x ＝0＝e x(cos x －sin x )|x ＝0＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B.8．(文)(2012·某某模拟)已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值X 围是( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a <3D ．a ≤3 [答案] D[解析] 由f (x )＝x 3－ax ，得f ′(x )＝3x 2－a ， 由3x 2－a ≥0对一切x ∈(－∞，－1]恒成立， 3x 2≥a ，∴a ≤3.若a <3，则f ′(x )>0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立． 若a ＝3，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0恒成立，x ＝－1时，f ′(－1)＝0，∴a ≤3.(理)(2011·新课标理)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103B ．4 C.163D ．6 [答案] C[解析] 本题考查了定积分的应用． 依题意，如图所示，由⎩⎨⎧y ＝x y ＝x －2得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝(23x 32 －12x 2＋2x)|40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 故选C .9．(2012·东北师大附中模拟)已知函数f(x)在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(2)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( )A ．f (－1)＝f (1)B ．f (－1)>f (1)C ．f (－1)<f (1)D ．以上答案都不对 [答案] B[解析]∵f (x )＝x 2＋2xf ′(2)， ∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，即f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＝(x －4)2－16，且在(－∞，4]上为减函数， ∵－1<1<4，∴f (－1)>f (1)．10．(文)(2012·某某一模)若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根 [答案] B[解析] 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ，而a >2，所以f ′(x )≤0⇔0≤x ≤2a .又(0,2)(0,2a )，故f (x )在区间(0,2)上递减，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (2)＝113－4a <0.故f (x )的图像在(0,2)上与x 轴有一个交点．(理)(2011·某某理)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) [答案] B [解析]本小题考查内容为导数的应用及数形结合思想．解法一：令g (x )＝2x ＋4，∴g ′(x )＝2，∴f ′(x )>g ′(x )， 如图，f (x )>2x ＋4， 解为x >－1.解法二：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0.∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．[点评] 本题考查导数与单调函数之间的关系，以及解不等式的相关知识，难度较大．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)(2012·某某一模)已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M －m ＝________.[答案] 32[解析]∵f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)， 由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，可知M －m ＝24－(－8)＝32.(理)(2012·某某一模)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t ＝________.[答案] 3[解析]⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x)|t0＝t 2－t ＝6，∴t＝3或t ＝－2(舍去)．12．(2012·某某一模)已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是________．[答案] 3x ＋y －1＝0[解析] 由已知得y′＝1x －4，所以当x ＝1时有y′＝－3，即过点P 的切线的斜率k＝－3，又y ＝ln 1－4＝－4，故切点P(1，－4)，所以点P 处的切线方程为y ＋4＝－3(x －1)，即3x ＋y ＋1＝0.13．已知函数f(x)＝x 3－3a 2x ＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值X 围是________．[答案]⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ [解析] f′(x)＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a)(x －a)， 由f′(x)<0，得－a<x<a ，∴f(x)在区间(－∞，－a)内递增，在区间[－a ，a]内递减，在区间(a ，＋∞)内递增， 极大值为f(－a)＝2a 3＋a ＝a(2a 2＋1)>0，① 极小值为f(a)＝a(1－2a 2)<0，② 由①②得a∈⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 14．(2012·某某调研)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．[答案] 2[解析] 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切， 设P(x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴P(1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.15．(2012·某某一模)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2012·某某一模)已知函数f (x )＝x 3－3x ＋1.试判断函数f (x )的单调性，并求其单调区间．[解析] 因为f (x )＝x 3－3x ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 由f ′(x )<0，解得x ∈(－1,1)；由f ′(x )>0，解得x ∈(－∞，－1)或x ∈(1，＋∞)． 所以f (x )在[－1,1]上单调递减， 在(－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的单调减区间是[－1,1]， 单调增区间是(－∞，－1]与[1，＋∞)．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ，f (1)＝1－3a ＋3b ＝－11，① f ′(1)＝3－6a ＋3b ＝k ＝－12.②解由①、②组成的关于a ，b 的方程组，得a ＝1，b ＝－3.(2)f (x )＝x 3－3x 2－9x ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.∴f (x )在(－∞，－1]，[3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数．18．(本小题满分12分)(2011·某某理)设f (x )＝e x1＋ax2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值X 围． [解析] 对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.19．(本小题满分12分)(2011·某某理)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…，P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.[解析] (1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x得Q k －1(x k －1，ex k －1)点处切线方程为y －ex k －1＝ex k －1(x －x k －1)．由y ＝0得x k ＝x k －1－1 (2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)， 所以|P k Q k |＝ex k ＝e－(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n1－e －1＝e －e 1－ne －1. 20．(本小题满分13分)(2011·某某卷)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.21．(本小题满分14分)(文)(2012·某某一模)已知函数f (x )＝mx 3＋3x 2－3x ，m ∈R . (1)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，试求m 的值，并求f (x )在点M (1，f (1))处的切线方程；(2)设m <0，若函数f (x )在(2，＋∞)上存在单调递增区间，求m 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3mx 2＋6x －3. 因为函数f (x )在x ＝－1处取得极值， 所以f ′(－1)＝0，即3m －9＝0，解得m ＝3. 于是函数f (x )＝3x 3＋3x 2－3x ，f (1)＝3，f ′(x )＝9x 2＋6x －3.函数f (x )在点M (1,3)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝12， 则f (x )在点M 处的切线方程为12x －y －9＝0.(2)当m <0时，f ′(x )＝3mx 2＋6x －3是开口向下的抛物线，要使f ′(x )在(2，＋∞)上存在子区间使f ′(x )>0，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，－1m≥2，f ′－1m>0，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－1m <2，f ′2>0.解得－12≤m <0，或－34<m <－12，所以m 的取值X 围是(－34，0)．(理)(2012·某某一模)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过这两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.[解析] (1)∵函数f (x )的图像关于原点对称，word11 / 11 ∴对任意实数x 有f (－x )＝－f (x )，∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ，即bx 2－2d ＝0恒成立，∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，∵当x ＝1时，f (x )取极小值－23， ∴3a ＋c ＝0且a ＋c ＝－23. 解得a ＝13，c ＝－1. (2)当x ∈[－1,1]时，图像上不存在这样的两点使结论成立． 假设图像上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x )＝x 2－1知两点处的切线斜率分别为k 1＝x 21－1，k 2＝x 22－1，且(x 21－1)·(x 22－1)＝－1.(*)∵x 1，x 2∈[－1,1]，∴x 21－1≤0，x 22－1≤0.∴(x 21－1)(x 22－1)≥0.此与(*)相矛盾，故假设不成立．(3)证明：f ′(x )＝x 2－1，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当x ∈(－∞，－1)或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )在[－1,1]上是减函数，且f (x )max ＝f (－1)＝23，f (x )min ＝f (1)＝－23. ∴在[－1,1]上，|f (x )|≤23， 于是x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤23＋23＝43.。
2013高考试题选编：数列(普通)(教师)(含答案)
2013高考试题选编（教师）1．（2013年上海高考数学试题（文科））在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a +=_________.【答案】151 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 (A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-【答案】C 2 ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( )A.3B.4C.5D.6 【答案】C3 ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 【答案】A4．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________. 【答案】49-5．（2013年高考湖南卷（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2nn n n S a n N *=--∈则 (1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________. 【答案】116-;10011(1)32-6．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =【答案】647．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n 项和n =S __________.【答案】25766n n - 8．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【答案】209．（2013年高考新课标1（理））若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.【答案】n a =1(2)n --.11．（2013年高考大纲卷（文））等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==(I)求{}n a 的通项公式;(II)设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【答案】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a =⎧⎨=⎩,所以11164182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩. 解得,111,2a d ==.所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. (Ⅱ1222(1)1n n b na n n n n ===-++, 所以2222222()()()122311nn S n n n =-+-++-=++ 12．（2013年高考湖南（文））设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a ∙=-11,∈n N *(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.【答案】解: (Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当 .1,011=≠⇒a a11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为(Ⅱ)nn n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT上式左右错位相减:n n n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒.13．（2013年高考山东卷（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244S S =,122+=n n a a(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ,求{}n b 的前n 项和n T14．（2013年高考浙江卷（文））在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.(Ⅰ)求d,a n ; (Ⅱ) 若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|++|a n | . 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或(Ⅱ)由(1)知,当0d<时,11n a n =-,①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ 10．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2a =求数列{}n a 的通项公式;(3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< . 【答案】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴=(2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =, 由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦11．（2013年高考江西卷（文））正项数列{a n }满足2(21)20n n a n a n ---=.(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令1(1)n nb n a =+,求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】解:(21)20n n ---=2n n n n （1）由a a 得（a -2n)(a +1）=0 由于{a n }是正项数列,则2n =n a . (2)由(1)知2n =n a ,故11111()(1)(1)(2)2(1)n n b n a n n n n ===-+++11111111(1...)(1)222312122nT n n n n ∴=-+-++-=-=+++n12．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.(I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥ ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105m a a a +++=- 或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,不存在这样的正整数m . 13．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列{}na的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}nc 的前n 项和n R .14．（2013年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a +=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+.于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =. (2)证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 222211111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦。
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（2）设 的 前 项和为 ,求 .
【名师点拨】（1）求导，令“ ”，求出极小值点（2）分类讨论，得到对应的 ，进而求出 .
【名师剖析】
试题重点：本题考查导数的基本运算、函数的极值、三角函数的基本运算，考查学生的化归与转化能力.
试题难点：第（2）问中，可以得到“ ”，可知 的取值受到n的影响，因此必须对n的取值进行分类讨论.
若a1 ,当n
上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列
综上,若a1= 0,
若a1
（2）当a1>0,且所以,{bn}ຫໍສະໝຸດ 调递减的等差数列(公差为-lg2)
则b1>b2>b3>>b6=
当n≥7时,bn≤b7=
故数列{lg }的前6项的和最大
【高考还原2：（2012年高考（安徽文））】设函数 的所有正的 极小值点从小到大排成的数列为 .
,即 .
又 ,
从而 , , ,
因此
=
=
= = =
.
【细品经典例题】
【经典例题1】已知数列{ }、{ }满足： ．
（1）求 ；
（2）设 ，求证数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（3）设 ，不等式 恒成立时，求实数 的取值范围.
（3） =
所以 =
= =
<0恒成立
即 恒成立即可满足条件，
【经典例题2】已知数列 ，如果数列 满足满足 ，则称数列 是数列 的“生成数列”.
试题注意点：分类讨论思想是高中阶段一种重要的使用方法.
【高考还原3：（2012年高考（上海文））】对于项数为m的有穷数列数集 ,记 (k=1,2,,m),即 为 中的最大值,并称数列 是 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数 列是1，3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的 ;
【名题巧练1】某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设
【名题出处】2013福建省厦门市高中毕 业班质量检查
（Ⅱ）（ⅰ）由题意得 ，
，………5分
，--------------------6分
， ， 数列 是等比数列，--------------7分
，得 --- -------------8分
（1）判断数列 是不是等比数列？
（2）求 ；
（3）当 时，令 ， 为数列 的前 项和，求 ．
【名题出处】2013江西省新余市第一中学高中毕业班质量检查
数列 是等比数列．…………………………3分
（2） 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，即 ．…………4分
…………14分
……6分
= = ……7分
【名题巧练6】已知函数 （ 为常数， ），且数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
（ 2）设 是 的控制数列,满足 (C为常数,k=1,2,,m).
求证: (k=1,2,,m);
（3）设m=100,常数 .若 , 是 的控制 数列,
【名师点拨】（1）根据控制数列的定义进行求解；（2）利用综合法进行证明；（3）可以得到“ , , ,
”，进而可以证明数列为控制数列.
因为 ,所以 ,即 ;
∵ ，
∴数列 是以4为首项,2为公比的等比数列.
∴ ,即 .……………6分
当 时, ，………7分
又 也满足上式,
∴ . ……………8分
法2：由③式得： ，
得 . ④……………4分
当 时, ,⑤……………5分
⑤-④得： .……………6分
由 ，得 ，
∴ .……………7分
【名题巧练3】已知数列 满足： ， ， （其中 为非零常数， ）．
4、对于新定义数列，读懂问题，将问题转化为平常的知识进行求解.
【名师点拨】（1）利用已知条件可以证明数列 是等比数列，进而使用等比数列的通项公式进行求解；（2）化简可得“ ”，故,{bn}单调递减的等差数列，显然 数列{lg }的前6项的和最大.
【名师解析】（1）取n=1,得
若a1=0,则s1=0, 当n
【名师点拨】（1）使用数列前n项和 与 之间的关系可以求出通项公式；（2）使用定积分表示封闭图形的面积，再计算积分.
【名师解析】
【名题巧练9】设数列 的各项都是正数， 为数列 的前n项和，且对任意 数列 的通项公式；对于 ，两边同时取自然对数得一个公比为2的等比数列，可以求出数列 的通项公式【来源 ：】；（2）利用（1）的结论得到 ，可以使用错位相减法求出数列 的前n项和公式；（3）将所求不等式化为 ，然后拆分成两个不等式，并结合最值问题进行探究.
（1）若数列 的通项为 ，写出数列 的“生成数列” 的通项公式；
（2）若数列 的通项为 , (A.、B是常数)，试问数列 的“生成数列” 是否是等差数列，请说明理由；
（3）已知数列 的通项为 ，设 的“生成数列”为 ；若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
（2）
当 时 = ，由于 （常数），
【名师 剖析】
（或用导数求 在 上的最大值.）
令 ，由 可得
【名题出处】2012-2013安徽省望江中学月考
，
当
【名题巧练2】已知数列 的前 项和为 ，且 N .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 是 三个互不相等的正整数，且 成等差数列，试判断 是否成等比数列？并说明理由 .
【名题出处】2013广东省广州市高中毕业班质量检查
【名师点拨】（1）利用题设条件够着两个式子，两式对减可得结论；（2）利用反证法证明.
文科数学考前冲刺大题精做专题——系列三、数列综合篇（教师版）
【2013高考会这样考】
1、注意数列与不等式的交汇；在证明不等式的过程中，经常涉及分析法、放缩法以及数学归纳法等；
2、注意数列与函数的交汇；数列是特殊的函数，可以利用函数的研究方法来对数列进行研究，但注意 ；
3、数列问题中求解参数的取值范围，首选分离参数法；
（1）若 ，当 时，求数列 的前 项和 ；（2）设 ，如果 中的每一项恒小于它后面的项，求 的取值范围.
当 时， .…………3分
【名题巧练7】数列 的前 项和为 ，对 ，点 恒在直线 上，点 恒在抛物线 上，其中 为常数。
（1）求数列 的通项公式；
（2 ）求直线 与抛物线 所围成的封闭图形的面积。
【名题出处】2013福建省莆田市高中毕业班质量检查
试题重点：本题考查数列的通项公式、等差数列的判定、数列求和的方法，考查化归与转化的数学思想以及分类讨论的数学思想.
试题难点：在求“数列 的前 项和 ”的过程中，涉及分类讨论，分组求和.
试题注意点：使用分组求和的过程中，应当合理进行分组，将数列分成我们常 见的，力所能及的数列进行求解.
【精选名题巧练】