练习一参考答案

一、选 择 题（10×3分）：
1）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则事件A 为
(A)甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙两种产品均畅销
(C)甲种产品滞销 (D) 甲种产品滞销或乙种产品畅销 答(D)
2）若两事件A 和B 同时出现的概率P(AB)=0，则
(A) A 和B 不相容 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A)=0或P(B)=0 答 (C)
3）设(),~2,σμN X 则随着σ的增大，)(σμ<-X P
（A ）单调增大 （B ）单调减少 （C ）增减不定 （D ）保持不变 答 (A)
4）设X 的分布函数为)(x F ，则13+=X Y 的分布函数()y G 为
（A ） ()3131-y F （B ）()13+y F （C ）1)(3+y F （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-313
1
y F
答( D)
5) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为
⎩
⎨⎧<<<<=其他,01
0,10,4),(y x xy y x f 则 )(Y X P <=
（A ）dx xydy )4(1
01
⎰⎰ (B)
dx xydy x
)4(0
10
⎰⎰
(C)
dx xydy x
)4(1
10
⎰⎰
(D)
dx xydy x
)4(10
⎰⎰∞
- .
答 (C)
7) 设(X ,Y )为二维随机变量，则
(A)若X 与Y 独立，X 与Y 必定不相关 (B) 若X 与Y 不独立，X 与Y 必定不相关 (C)若X 与Y 独立，X 与Y 必定相关 (D)若X 与Y 不独立，X 与Y 必定相关 答 (A)
8）n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X D i =)(,
则这些随机变量的算术平均值∑==n
i i X n X 1
1的数学期望和方差分别为
(A ) n a
,b (B )a ,2n
b (C )a ,n b (D )a ,n b 2
答 (C)
9)设50021,,,X X X 为独立同分布的随机变量序列,且),1(~1p B X ,则下列不正确的为
(A) 按概率）(5001500
1
p X i i ≈∑= (B) ),500(~500
1
p B X
i i
∑=
(C) )()(500
1a b b X a P i i Φ-Φ≈⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<∑=
(D) .)1(500500)1(5005005001⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∑<=p p p a p p p b b X a P i i ΦΦ
答 (C)
二 填 空 题（10×3分）：
1）设B A ,为随机事件，3.0)(,7.0)(=-=B A P A P ，则)(AB P ＝ 0.6 .
2）从6名侯选人甲、乙、丙、丁、戊、已中选出4名委员，则甲、乙中恰有1人 被选中的概率为
15
8
. 3）设随机变量X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它0
20)1(41
)(x x x f ， 对X 独立观察3次，则至少有2次的结果大于1的概率为
0.6836256
175
≈
4）设随机变量X 的分布函数为：1
100
10
)(2
>≤≤<⎪⎩
⎪
⎨⎧=x x x x x F ，则X 的概率密⎩⎨
⎧≤≤=其他
1
02)(x x x f ， (0.30.7)______
P X <<= 0.4 5）设)2/1,0(~),2/1,1(~N Y N X ，且相互独立.Y X Z -=,则)0(>Z P 的值为 (1)Φ
(结果用正态分布函数Φ表示)
6）已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥
<<}82{X P 9
5
7）设X 服从参数为λ的Poisson 分布，且已知E[(X -1)(X -2)]=1，则λ= 1或2
三 计 算 题（5×8分）：
1）某商品成箱出售，每箱装有该产品有20件，已知其中无次品、正好一件次品、正好两件次品的概率分别为0.8,0.12,0.08.允许顾客任取一箱并开箱后任取4 件检查,若未发现次品,则顾客必须买下,否则可不买.问顾客买下此箱的概率为多少？ 若已知顾客买下一箱，问此箱无次品的概率是多少？
1、解：}4{件商品是正品=B
}{1取无次品的一箱=A
}{2取有一件次品的一箱=A }{3取有两件次品的一箱=A
易见的一个划分是Ω321,,A A A
08.0)(12.0)(,8.0)(321===A P A P A P ，
420
418
342041021)|()|(,1)|(C C A B P C C A B P A B P ===，
(1) 由全概率公式，得947.0)|()()(3
1
==∑=i i i A B P A P B P
(2)845.0947
.08
.01)()()|()()()|(1111≈⨯===B P A P A B P B P B A P B A P
2）设随机变量X 的概率密度为：∞<<∞-=-x ce x f x
)(，
求：（1）常数c ；
（2）X 的分布函数；
（3）X 的值落)1,1(-在内的概率。

解：(1)⎰⎰⎰
+∞
-∞
-+∞
∞
-+==0
0)(1dx ce dx ce dx x f x x ,解得2
1=
c
（2）⎰
∞
-=
x
dt t f x F )()(
当t x t e dt e x F x 2
1
21)(,0==<⎰∞-
当t x t t e dt e dt e x F x --∞--=+=≥⎰⎰2
1
1[21)(,000
（3）111100112
1
211)1()1(2121)11(------=--=--=+=<<-⎰⎰e e e F F dx e dx e X P x x
3）设A ,B 为随机事件，且2
1
)(,31)(,41
)(=
==B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨
⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩
⎨⎧=
求：（1）二维随机变量(X ,Y )的概率分布（列表）； （2）X 和Y 的相关系数.XY ρ 解 由于12
1
)()()(=
=A B P A P AB P ，,61)()()(==
B A P AB P B P
所以 121)(}1,1{=
===AB P Y X P ，6
1)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ,12
1
)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P
)(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-====3
2
)()()(1=
+--=AB P B P A P （或3
2121611211}0,0{=---===Y X P ）
故(X ,Y )的概率分布为
Y
X 0 1 0 32 12
1
1
61 12
1 (2) X , Y 的概率分布分别为
X 0 1 Y 0 1 p
43
41 p 65 6
1 则61
,41==
EY EX ，163=DX ，365=
DY , 12
1)(=XY E , 故 241
)(),(=
⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DY
DX Y X Cov XY ρ
4）设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎪⎩⎪⎨
⎧≤>=-.
0,
0;
0,
)(y y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度.
解：由X 与Y 相互独立及各自的概率密度，得),(Y X 联合概率密度函数为：
⎩⎨⎧>≤≤=-其它,
00
,0,),(y x e y x f y
设随机变量Y X Z +=的分布函数为)()()(z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤= ⑴ 当0≤z 时，0)()(=≤=z Z P z F Z ⑵ 当10≤<z 时，)()(z Z P z F Z ≤=
dy e
dx y
x z z --⎰
⎰
=
dx e z x z
)1(0
--=⎰1-+=-z e z
⑶ 当1>z 时，
)()(z Z P z F Z ≤=dy e dx y x z --⎰
⎰=0
1
0dx e z x )1(1
--=⎰z z e e ---+=11
6分
综合⑴、⑵、⑶ 得随机变量Y X Z +=的分布函数为：
⎪⎩
⎪⎨⎧>-+≤≤+<=--1,)1(1100,
0)(z e e z e z z z F z z
Z ，
求导得随机变量Y X Z +=的概率密度函数为：
⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=--1
,)1(10,100)(z e e z e
z z f z
z
Z ，。