第七章时域数值法_工学_高等教育_教育专区.

+
R R2
jωρ
−
e
jω
R c
⎤ ⎥
⎫ ⎪ ⎬
ds′
⎦ ⎭⎪
∫ J s
=
n× Hi
+
1
4π
n×
s
⎡1
⎢ ⎣
R2
− jω R
Jse c
+
1 Rc
jω
J
s
−
e
jω
R c
⎤ ⎥
×
⎦
R ds′ R
∫ n× Ei
=1
4π
⎧
− jω R
n×
s
⎪ ⎨ ⎪⎩
jωμ J s
e
R
c
−
1
ε
⎡ ⎢ ⎣
R R3
ρ
−
e
jω
R c
+
1
εμ
∇∇ ⋅
A ( r ,t )
∫ ∫ n× ∂ Ei = μ n× ∂2 Js (r′,τ ) ds′ − 1 n× ∇∇ ⋅ Js (r′,τ ) ds′
∂t
4π ∂t 2 s R
4πε
sR
按时间步进求解：
∫ ∫ n× ∂ ∂t
Ei
=
μ 4π
n
×
∂2 ∂t 2
s
Js (r′,τ ) ds′ −
第七章：时域数值法
• 时域积分方程法 • 时域有限差分法
一、时域积分方程法
• 时域积分方程的推导 • 基于时间步进的数值求解
1、时域积分方程的推导：
1.1利用推迟势得到时域积分方程
⎛ ⎜
∇
2
⎝
−
μ0ε 0
∂2 ∂t 2
⎞ ⎟ ⎠
⎡ A⎤
⎢⎣ϕ ⎥⎦
=
−
⎡μ0J
⎢ ⎣
ρ
/
ε0
⎤ ⎥ ⎦
∇
⎛ ⎜⎝
1 R3
+∂
∂τ
Apq
(τ
)
1 cR
2
⎤ ⎥⎦
×
RVi
(
r
′
)U
j
(τ
)ds′
在各小块中令被积 函数中的R为常数
R = ri − rp′

1 2
J
s
(
ri
,t
)
=
n
×
H
i
(
ri
,t
)
+
∑∑ ( ) ( ) 1
4π
n×
Ns p =1
Ni
ΔSP
q =1
⎡ ⎢ Apq ⎢⎣
τ
1 +∂
Rip3 ∂τ
Apq
τ
1 cRip 2
∑ ( ) ( ) n
2π
×
Ns
ΔSP
p =1
⎡1
⎢ ⎢⎣
Rip
3
Apq
τ
+1 ∂
t=t j cRip2 ∂τ
Apq
τ
⎤
t=t j
⎥ ⎥⎦
×
Rip
p≠i
时间取样间隔的限制：
( ) Ai,j = 2n × H i ri ,t j +
∑ ( ) ( ) n
2π
×
Ns
ΔSP
p =1
⎡1
⎢ ⎢⎣
Rip
3
Apq
1
4π
n×
s
[Js
× ∇′g]ds′
∇′g
=
∇′
⎛ ⎜
⎝
e− jkR R
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜⎝
1 R2
+
jω
Rc
⎞ ⎟⎠
R R
− jω R
ec
( ) ∇
′
s
⋅
J
s
= − jωρ (r′,ω )
∫ n× Ei
=
1
4π
⎧
n×
⎪ ⎨
jωμ
J
s
s ⎩⎪
− jω R
ec R
−
1
ε
⎡ ⎢ ⎣
R R3
ρ
−
e
jω
R c
同一平面上的电流之间没有相互作用， 在一小单元内没有自相互作用。
2.基于时间步进的数值求解：
2.1 空间和时间离散
S → ΔSi
t → Δt 按入射波形，应能反应时间的变化
Ns Ni
JS (r′,t ) = ∑ ∑ Ai,j (r′,t )Vi (r′)U j (t ) i=1 j =1
Vi (r′) = ⎧⎨⎩10,, r其′∈它ΔSi
R
1
4πε
n×∇∇ ⋅
s
Js (r′,τ ) ds′
R
( ) ( ) ( ) ∂2
( ) F ( ) ∂t2
r ,t
F =
t =t j−1
ri ,t j
− 2F
ri ,t j−1 Δt 2
+F
ri ,t j−2
( ) n× F
τ
+1
cR t=t j
2
ip
∂
∂τ
Apq
τ
⎤
t
=t
j
⎥ ⎥⎦
×
Rip
p≠i
为了能使用递推求得Js 如果j-q=1时:
( ) Δt ≤ Rip min c
Apq (τ ) 取以 τ q−1 为中点的插值
( ( ))(( ) ) ( ) Ai,j
t
=
tj −t t j − t j−1
t j+1 − t t j+1 − t j−1
t
=
t j−1 − t t j−1 − t j−2
tj −t t j − t j−2
Ai , j−2
( )( ) + t j−2 − t ( )( ) t j−2 − t j−1
tj −t t j − t j−1
Ai , j−1
( )( ) + t j−2 − t ( )( ) t j−2 − t j
=
1
4π
n
×
∫
s
⎧ ⎨ ⎩
μ
R
∂
∂τ
Js
( r ′,τ
)−
ρ
( r ′,τ
ε
)
R R3
−
1
ε
∂
∂τ
ρ (r′,τ
)
R cR2
⎫ ⎬
ds′
⎭
∫ J s
=
n× Hi
+
1
4π
n×
s
⎡1 ⎢⎣ R
Js
( r ′,τ
)+
1 c
∂
∂τ
Js
( r ′,τ
)⎤⎥⎦ ×
R R2
ds′
1.2利用频域公式转换到时域
EFIE和MFIE：
∑ ( ) ( ) n
2π
×
Ns
ΔSP
p =1
⎡1
⎢ ⎢⎣
Rip3
Apq
τ
+1 ∂
t=t j cRip2 ∂τ
Apq
τ
⎤
t =t
j
⎥ ⎥⎦
×
Rip
p≠i
Aiq = 0 q<1
τ
= tj
−
Rip c
Ai1 = 2n × H i (ri ,t0 )
然后再迭代求解。
2.5 后处理 已知电流求远区散射场 远区场为0
R
1
4πε
n× ∇∇ ⋅
s
Js (r′,τ ) ds′
R
第一步：对空间和时间离散
空间可划分为矩形块单元，每个单元的中点为 ri 时间均匀离散取样，取样点为 t j
由于空间和时间求导都处于积分外，所以空间和时间 上都可采用脉冲基函数（均匀分布）：
( ) ( ) Ai, j r ,t = Ai,j = J ri ,t j
电场：
Es
=
−
1
4π
∫
s
⎧ ⎨ ⎩
μ
R
∂
∂τ
Js
( r ′,τ
)−
ρ
( r ′,τ
ε
)
R R3
−
1
ε
∂
∂τ
ρ (r′,τ
)
R cR2
⎫ ⎬
dS ′
⎭
∇
′
s
⋅ Js
( r ′,τ
)
=
∂
∂τ
ρ
( r ′,τ
)
远区场：
∫ E s
=
−
1
4π cR
s
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
μ ε
∂
∂τ
J
s
(
r
′,τ
)
−
R
εR
∇
′
s
⋅
J
t j−1 − t t j−1 − t j
Ai , j
2.4 时间步进求解：
( ) f t = e−g2t2
Δt ~ (2 / g ) / 5 = 0.4 / g
初始时刻：
入射场与散射体最先的
接触点的入射值为最大
值的
−3
−2
10 ~ 10
g = 1.0e9
( ) ( ) Js ri ,t j = Ai,j = 2n × H i ri ,t j +
( r ′,τ
)+
1 c
∂
∂τ
Js
( r ′,τ
)⎤⎥⎦ ×