逐点比较法

对于位于直线上方的Pi’点，有 Fi=YiXe －XiYe＞0
对于位于直线上的Pi点，有 Fi=YiXe －XiYe=0 对于位于直线下方的Pi”点，有 Fi=YiXe －XiYe＜0 Y Pi’ A （Xe、Ye） Pi (Xi，Yi) o Pi” X
2. 进给控制 当Fi＞0时，向+X方向进给一步，使动点接近直线OA； 当Fi＜0时，向+Y方向进给一步，使动点接近直线OA； 当Fi=0时，向任意方向进给一步，但通常归于Fi＞0 处理；
逐点比较法第一象限的顺圆弧插补算法
当动点Pi（Xi，Yi）位于圆弧上时有 Xi2＋Yi2－R2=0
Y B
当Pi点在圆弧外侧时，则OPi大于圆弧半径R，即(Xb,Yb) F<0 Ri 2 2 2 Xi ＋Yi －R >0 当Pi点在圆弧内侧时，则OPi小于圆弧半径R，即 Xi2＋Yi2－R2<0

1 2 3 4 5 6 7 8
F0=0 F1<0 F2<0 F3<0 F4>0 F5<0 F6>0 F7>0
-Y +X +X +X -Y +X -Y -Y
F1 F0 2Y0 1 7
F2 F1 2 X 1 1 6
F3 F2 2 X 2 1 3
F4 F3 2 X 3 1 2
表3-2 圆弧插补过程
步数 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
F0 0
X0=0,Y 0=4 X1=0,Y 1=3 X2=1,Y 2=3 X3=2,Y 3=3 X4=3,Y 4=3 X5=3,Y 5=2 X6=4,Y 6=2 X7=4,Y 7=1 X8=4,Y 8=0
∑=8 ∑=7 ∑=6 ∑=5 ∑=4 ∑=3 ∑=2 ∑=1 ∑=0
思考

1插补是锯齿形的，而肉眼看到的或者是测 量时却是直线呢？ 2其它象限的偏差计算公式

逐点比较法第一象限的顺圆弧插补算法
在圆弧加工过程中，可用动点到圆心的距 离来描述刀具位置与被加工圆弧之间关系。 设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点A （Xa，Ya），终点B（Xb，Yb），圆弧半 径为R，加工点可能在三种情况出现，即圆 弧上、圆弧外、圆弧内。
Y A （Xe、Ye） P (Xi，Yi) Pi” X
Pi’ o
Y
3.偏差函数的递推计算 若Fi≥0沿+X方向进给一步，有
Xi 1 Xi 1 Yi 1 Yi 1 Fi 1 Yi 1X e Xi 1YE Fi Ye
Fi＜0时，沿+Y方向进给一步，有
A （Xe、Ye）
Xi 1 Xi Yi 1 Yi 1 Fi 1 Yi 1Xe Xi 1Ye Fi X e
o
X
4. 终点判别 1）判断插补或进给的总步数：Ｎ＝Ｘe＋Ｙe； 2）分别判断个坐标轴的进给步数； 3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。
例：设OA为第一象限的直线，其终点坐标为Xe=2， Ye=3。用逐点比较法加工出直线OA
Y
3 A(2,3)
2
1 o 1 2 X
逐点比较法直线插补过程
序号 0 1
偏差判别 进给 F0=0 +X +Y +Y +X +Y
2
3 4 5
F1=－3 F2=-1
F3=1 F4=-2
偏差计算 终点判别 F0=0 ∑=５ ∑=4 F1=F0-Yｅ=-3 F2=F1+Xｅ=-1 ∑=3 ∑=2 F3=F2+Xｅ=1 F4=F3-Yｅ=-2 ∑=1 ∑=0 F5=F4+Xｅ=0
如图示：加工曲线AB，A为起点，B为终点。
Y B
A
X
一、逐点比较法插补原理及特点
逐点比较法是一种逐点计算、判别偏差并纠正，以逼近理论轨 迹的方法，在插补过程中每走一步要完成以下四个工作节拍： 偏差判别——判别加工点对规定几何轨迹的偏离位置； 进给——根据判别结果控制某坐标工作台进给一步； 偏差函数计算——计算新的加工点对规定轨迹的偏差； 终点判别 ——判别是否到达规定轨迹的终点，到达则停止插补， 否则返回第一步；
图3-3
开始 偏差判别 坐标进给 偏差计算
3 2 1 终点判别 O 1 y
E
Y 给结束
2 N 3
4
逐点比较法工作循环图
所以加工过程为：
Y
3 A(2,3)
2
1 o 1 2 X
习题： 设欲加工第一象限直线OA，起点在原点，终点坐标 Xe=4,Ye=2,试写出插补计算过程，并绘制插补轨 迹。
Y
2
1
O 1 2 3 4 X
Y F≥0
Y
F<0
F<0
F≥0
X
X
a) 顺圆弧
b) 逆圆弧
图3-9 第一象限顺、逆圆弧
例3-2 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图3-11所示，起 点A（0，4），终点B（4，0），试用逐点比较法进行插 补。
Y 4 3 2 1 O 1 2 3 4 B(4,0) X A(0,4)
图3-11 圆弧插补实例
F5 F4 2Y4 1 3 F6 F5 2 X 5 1 4
F7 F6 2Y6 1 1
F8 F7 2Y7 1 0
Y
Y
NR2
NR1
X
SR2
SR1
X
O
NR3
NR4
SR3
SR4
a) 逆圆弧
b) 顺圆弧
图3-12 四个象限圆弧进给方向
表3-3 四个象限的圆弧插补计算
二：逐点比较法直线插补
1．偏差函数的构造
对于第一象限直线OA，其方 程可表示为：
Y
Pi’ A （Xe、Ye） Pi (Xi，Yi) o Pi” X 图1 逐点比较法直线插补
Y KX
Ye X Xe
YX e XYe 0
若刀具加工点Pi（Xi，Yi），则 该点的偏差函数Fi可表示为：
Fi YX i e Xi Y e
插补算法归纳为两类：脉冲增量插补算法和数字增量插补 算法。


脉冲增量插补算法 该插补为行程标量插补，常用于开环系统。每次插补结 束产生一个行程增量，以脉冲的方式输出。一个脉冲所 产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量，通常用δ 表示。 普通精度机床 δ =0.01mm，较精密机床取 δ =1um,0.5um 。 •数字增量插补算法 •该插补为时间标量插补，分两步进行。首先计算出插补周 期内各坐标轴的增量值，称为粗插补；然后再跟据采样得 到的实际位置增量计算跟随误差，得到速度指令输出给伺 服驱动系统，称为精插补。适用于闭环或半闭环系统。
Fm≥0，－ X X O
SR4
Fm≥0，＋ X
Fm＜0，＋ X
NR1
Fm＜0，－ Y
Fm≥0，＋ Y
NR2
＋ΔX
－ΔYFΒιβλιοθήκη 0Pi (Xi,Yi)
F>0
R X
A(Xa,Ya)
O
用 Fi 表示Pi点的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为:
Fi X i 2 Yi 2 R2
四个工作节拍
1、偏差判别： Fi=Xi2＋Yi2－R2 Fi=0，插补点恰在圆弧上（on）； Fi>0，插补点在圆弧上方（up）； Fi<0，插补点在圆弧下方（down）； 2、进给控制： 当Fi > 0时，向Y负向进给一步； 当Fi < 0时，向X正向进给一步； 3、偏差计算： 如果向X正向进给一步，则 Fi＋1=（Xi＋1）2 ＋（Yi＋1）2－R2 =（Xi＋1） 2 ＋Yi2 －R2＝ Fi+2Xi＋1 同理，如果向Y负向进给一步，则 Fi＋1=（Xi＋1）2 ＋（Yi＋1）2－R2 =Xi2 ＋（Yi-1）2 －R2＝Fi-2Yi＋1 4、终点判别： 与直线插补判别方法相同。
Fm ≥0 时: Fm+1＝Fm －2Ym ＋1 Ym+1＝Ym －1 Fm ＜0 时: Fm+1＝Fm ＋2Xm ＋1 Xm+1＝Xm ＋1
NR4
Y
＋ΔY
＋ΔX
Fm≥0，－ Y 逆圆(NR) Fm＜0，－ X
Fm＜0，＋ Y
SR2
＋ΔX －ΔX －ΔX
＋ΔY －ΔY ＋ΔY Fm ≥0 时: Fm+1＝Fm －2Xm ＋1 Xm+1＝Xm －1 Fm ＜0 时: Fm+1＝Fm ＋2Ym ＋1 Ym+1＝Ym ＋1
数控技术
机电系
第四章 计算机数控装置的插补原理
第一节 插补原理与程序设计 一. 插补及其算法 插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算 出若干个中间点的坐标值。 直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，大多数CNC系统 都具有直线和圆弧的插补功能。高档CNC系统还具有抛物 线、螺旋线等插补功能。
Fm＜0，＋ Y 顺圆(SR) Y Fm≥0，－ Y
线型
Fm ≥0 时, 进给方向 －ΔY ＋ΔY －ΔY
Fm ＜0 时 进给方向 ＋ΔX －ΔX －ΔX
偏差计算公式
SR1
Fm≥0，＋ X O Fm＜0，－ X Fm＜0，＋ X X Fm≥0，－ X
SR3
NR2
Fm≥0，＋ Y Fm＜0，－ Y