1.2.1_任意角的三角函数(2)

o
+
x
_
o
+ _
+
+
sin
cos
tan
有向线段:带有方向的线段（或规定了起点 和终点的线段） 有向线段的符号:规定与x轴y轴正方向一致的 有向线段为正，与x轴y轴正方向相反的有向线 段为负．
有向线段的数量:有向线段的长度加符号.
过点P作x轴的垂线，垂足为M，显然，有向 线段OM的长度为｜x｜．如果x＞０，有向线段 OM 与x轴同向，其数量为x；如果x＜０，有向 线段OM与x轴反向，其数量也为x．故总有OM ＝x．同理可知MP＝y．所以，sinα＝MP，cosα ＝OM．有向线段MP，OM分别叫做角α的正弦 y 线、余弦线． １ Ｐ (x , y )
例3.分别写出满足下列条件的集合.
(1)tanθ≥－1;
动画
(2) －
1 ≤sinθ< 2
3 . 2
析：利用三角函数线.
动画
1 1 (1) {|k k , k Z } 4 2 1 1 2 7 (2) {|2k 2k 或2k 2k , k Z } 6 3 3 6
思考：怎样运 用有向线段表 示x，y？
-１
O Ｍ１ x
-１
先研究当角α终边在y轴的右侧时， 在角α终边上取点T（１，y′）， 则tanα＝y′＝AT； y １ T(1,y′)
-１
O
-１
A(1,0) １ x
思考：怎样运用有向线段表示tanα？
如果角α的终边在y轴的左侧呢？ 在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′), 由于它关于原点的对称点Q(-1，-y′)在角α 终边上， 故有tanα＝y′＝AT． 即总有tanα＝AT．因此，我们把有向线段 y AT叫做角α的正切线． １ T(1,y′)
例4. (1)若－2π/3≤θ≤π/6, 试确定sinθ的取值范 围. (2)若30°≤θ≤120°且θ≠90°, 试确定tanθ的 取值范围. 析：⑴观察－2π/3≤θ≤π/6时的正弦线. ⑵观察30°≤θ≤120°时的正切线.
动画1 动画2
1 (1) 1 sin 2
3 (2) tan 3或 tan 3
sinα<α<tanα
利用三角函数线判断下列数值的大小关系并证明.
（1）若为锐角，比较sin＋cos与1； （2）若为任意角，比较|sin|＋|cos|与1； （3）若为锐角，比较 ， sin，tan.
探究拓展
1. 利用三角函数线探究正弦函数、余弦 函数、正切函数的值域. 2. 利用三角函数线探究正弦函数、余弦 函数在[0,2π]的单调性.
3. 利用三角函数线探究正切函数在
(-π/2,π/2)上的单调性.
1.利用单位圆中的三角函数线比较大小:
⑴ sin25°__________sin1 <
⑵ cos2π/3_________cos4π/5 >
⑶ tan2π/3_________tan4π/5 <
2. 利用单位圆写出符合下列条件的角α. ⑴ sinθ>－1/2
1 7 {|2k 2k , k Z } 6 6
⑵ cosθ>－1/2 ⑶ tanθ>1
2 2 {|2k 2k , k Z } 3 3
思考：怎样运用有向 线段表示tanα？ -１
O
A(1,0) １ x
Q(-1,-y′)
有向线段MP，OM，AT都称为三角 函数线． 当角α终边在不同象限时，其三角函 数线如动画所示： 动画
注：当角α的终边在x 轴上时,正弦线、正 切线分别变成一个点; 当角α的终边在y轴上 时,余弦线变成一个 点,正切线不存在.
例1.作出下列各角的正弦线, 余弦线、
正切线. (1) 11π/6 ; (2) －2π/3.
１ y Ｍ -１ O １ y
T
-１
Ｍ A(1,0) O １ x Ｐ T -１
A(1,0) １ x
Ｐ
-１
例2. 在单位圆中作出符合下列条件的 角的终边: (1) cosx=1/4; (2) tanx=－1/2; (3) sinx=0.75
Байду номын сангаас
1 1 {|k k , k Z } 4 2
3
利用三角函数线解方程:
（2）cos x＝1/2.
（1）sin x＝1/2；
4
利用三角函数线解不等式
（1）sin x＜1/2；
（2）sin x＞cos x.
5. 当α为锐角时(单位为弧度), 试利用单位圆
及三角函数线比较α, sinα, tanα的大关系.
任意角的三角函数(2)
1. 任意角三角函数的定义 2. 三角函数的定义域
函数
P(x,y)
sin
cos
o x
y sin r
x cos R r
定义域 R

y tan x
tan
{ |
2
k , k Z }
3. 三角函数值的符号
y
y
y
+ _
o
+ _
x
_ _