2.2.1(2)椭圆标准方程2
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
§2.2.1椭圆及其标准方程（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】熟练椭圆方程的求解【知识回顾】1. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.小结：【新知构建】用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上．(2)设方程：①依据上述判断设方程为 或 ．②在不能确定焦点位置的情况下也可设 ．(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．例1 已知圆A ：(x ＋3)＋y ＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．例2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．小结： 22125169x y +=【当堂练习】1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．小结：【课后作业】1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．32. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，1)3.椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284. 一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．5. 与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为 ．6.△ABC 的三边a ＞b ＞c 且成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，求顶点B 的轨迹方程。
2.2.1.2 椭圆及其标准方程(2)
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
a 2 b2 c 2 (a c 0, a b 0)
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
方法总结
椭圆的定义及其标准方程是学习椭圆 其他知识的基础. 学会运用定义思考 , 有时也是相当不 错的一个思考方向 . 即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化 , 定义是最原始 , 也是最容 易想到的地方.
主讲人：闫天霞
天津市第四十七中学
高二数学 选修2-1
第二章
曲线与方程
2.2椭圆及其标准方程（2）
2.2椭圆及其标准方程(二)
回顾：椭圆的定义
平面内与两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定值 2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a ＞ |F1 F2 | 。
这两个定点叫做焦点；两定点之间的距离叫做
焦距，焦距|F1 F2 |用2c（c＞0）表示。 1. 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ 平面内----这是大前提
y
A
点A，B的坐标分别是（-1，0）， （1，0），直线AM，BM相交于 点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率的商是2，那么点M的轨迹 是什么？为什么？
思考题答案
思考题:点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直 线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的 斜率的商是2，那么点M的轨迹是什么？为什么？
例题讲解
例1 （ 1 ）已知椭圆的两个焦点 坐标分别是( 2,0), ( 2,0) 5 3 并且经过点( , ), 求它的标准方程。 2 2 解：因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准 方程为 x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b 由椭圆定义知
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 . 2 2 2 2 a 10. 又 c 2, b 2 a 2 c 2 10 4 6 x2 y2 因此，所求椭圆的标准 方程为 1 10 6
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代 入 法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（ ），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM， 相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】 课前练习】
x2 y 2 过 ， ， 1.(09山东 设椭圆 山东)设椭圆 山东 设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， 两点， 为坐标原点 为坐标原点， 两点 （I）求椭圆E的方程； ）求椭圆 的方程； 的方程 2 2 x y 两点, ， ， 两点 因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点 解:因为椭圆 因为椭圆 a b
PD， 为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为 设点 的坐标为 ， 的坐标为 则
2.2.1椭圆的标准方程(2)解析
定
相 同 点
讲 课 人 ： 邢 启 强
义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 、 b、 c的 关系
焦点位置的 判断
a b c
2 2
2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
14
课堂小结
求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤去展 开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何 条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.
(0,4)
.
变1：已知方程 表示焦点在 y轴上的椭圆，则m的取值范围是 (1,2) .
变2：方程 下列条件的m的取值范围： ①表示一个圆； ②表示一个椭圆； ③表示焦点在x轴上的椭圆。
讲 课 人 ： 邢 启 强
x2 y2 ＋ ＝ 1 ，分别求方程满足 25－m 16＋m
4
例题讲评
例 2⑴已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
讲 课 人 ： 邢 启 强
2
2
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
7
巩固练习
已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
讲 课 人 ： 邢 启 强
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y y M M
F2 x
2.2.1椭圆及其标准方程(二)2
2.2.1椭圆及其标准方程（二）【教学目标】1.理解椭圆的定义及标准方程；2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学科素养】数学抽象、逻辑推理，数学运算.【教学重点】椭圆的定义及标准方程的推导.【教学难点】理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学法指导】教师启发讲授，学生探究学习.复习回顾问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？新知探究例2：如图，在圆422=+y x 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？ 点评：相关点法（代入法）（设计意图：利用直线中点坐标公式，探求动点轨迹）变式训练2：教材第50页B 组第一题例3：如图所示，设A ，B 的坐标分别是()()0,5,0,5-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-，求Ｍ点得轨迹方程。
（设计意图：把直线相关知识与椭圆结合到一起，加强知识之间的联系，以此培养学生 的知识串联能力）点评：参数法变式训练3：(教材第42页练习第4题)小结：求解与椭圆相关的轨迹问题的方法1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；（3）52,10==+c b a2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（ ）A (0, ±3)B (±3, 0)C (0, ±5)D (±4, 0)3、在方程22110064x y +=中，下列a, b, c 全部正确的一项是（ ） A a=100, b=64, c=36 B a=10, b=6, c=8C a=10, b=8, c=6D a=100, c=64, b=36 教材第42页练习第1题、第3题.课堂小结1.椭圆的概念及标准方程；2.求椭圆方程的方法.作业布置 习题2.2A 组5 、7板书设计椭圆及其标准方程1、椭圆的定义 例2： 例32、椭圆的标准方程课后感悟。
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
∵y1≠0，∴y≠0.已知点 P 在椭圆上，将上面结果代入已知椭 3x2 圆方程，有 ＋(3y)2＝1 (y≠0)， 9
2.2.1
1．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是
2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1
跟踪训练 1 已知圆 A： (x＋3)2＋y2＝100， 圆 A 内一定点 B(3， 0)，圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程．
解
如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过
点 B，∴|PB|＝r. 又∵圆 P 与圆 A 内切， 圆 A 的半径为 10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. x2 y 2 ∴点 P 的轨迹方程为25＋16＝1.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1
探究点二 相关点法求轨迹方程 例 2 如图，在圆 x2＋ y2＝ 4 上任取一点 P， 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD， D 为垂足． 当 点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)， y0 则 x＝x0，y＝ 2 .从而得 x0＝x，y0＝2y
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2.2.1
x2 2 4．椭圆 ＋y ＝1 上有动点 P，F1，F2 是椭圆的两个焦点， 9 求△PF1F2 的重心 M 的轨迹方程．
解 设 P，M 点坐标分别为(x1，y1)，(x，y) 9－1＝2 2. ∵在已知椭圆方程中，a＝3，b＝1，∴c＝
2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
问题拓展
y
例2 如图，已知点B是 圆C：(x+1)2+y2=16上 一动点，A(1, 0)，线 段AB的垂直平分线l 交BC于点M，求M的 轨迹方程. 变题： 已知动圆M过定点A(1, 0) 且与定圆C：(x+1)2+y2=16 内切，求动圆圆心M的轨 迹方程.
l
M C O A
B
x
y
M
C O A
B
x y 1 上的一点，若点P 例2 设点P是椭圆 16 12
到两焦点F1，F2的距离之差为2，则DPF1F2是 （ B ） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形
2
2
动圆M与圆(x+1)2+y2=36内切，与(x－1)2+y2=4 外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
标准 方程 焦点 a,b,c
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
F1(-c,ห้องสมุดไป่ตู้0) F2(c, 0)
F1(0, c) F2(0, -c)
a2=b2+c2 (a>b>0)
定义应用
例1 平面内到两定点A(-1,0)，B(1,0)的距离之和 等于2的点的轨迹是（ D ） (A)椭圆 (B)圆 (C)直线 (D)线段
共焦点的椭圆系方程：
x2 y2 2 2 1 ( k m , k n ) 2 2 m k n k
轨迹问题
例4 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P做x 轴的垂线段PD，D为垂足. 当点P在圆上运动时， 线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
y P
M
O D x
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段 垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从 而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两 个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点 的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12
2.2.1椭圆的标准方程 (2)
（2）已知a 10，b 6；
（3）两个焦点坐标分别是（0，-2）、（0，2），且经过点（-
3 2
，5 ）； 2
椭圆标准方程的识别
已知方程： x2 y2 1
25 k k 9
（1）表示椭圆时实数k 的取值范围是______ （2）表示焦点在x 轴上的椭圆时实数的取值范围是_______ （3）表示焦点在y 轴上的椭圆时实数的取值范围是________ （4）椭圆的焦距长为6，则实数的值是_____
1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等， 右边为“1”．
2．焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的分母较大，焦点在 y 轴上⇔标准方程中 y2 项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判 断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位 置看大小，焦点随着大的跑”．
1．椭圆的标准方程（分类），根据条件求椭圆标准 方程 2．椭圆标准方程中字母的含义及三者之间的关系 3．椭圆方程本质特征的认识
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程
1．椭圆的定义：
平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（ 大于F1F2 )的点的轨迹
注意点：
1平面内
2到两个定点之和为定值 2a
32a F1F2
PF1 PF2 2a(2a 2c 0)
以F1，F2所在直线为 x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 xOy
F1，F2的坐标分别为 - c，0，c，0
设Px，y为椭圆上任意一点，根 据椭圆定义知
PF1 PF2 2a
x c2 y2 (x c)2 y2 2a
将这个方程移项后两边平方，得
y
▪o F1
原创2：2.2.1 椭圆及其标准方程
2.椭圆 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离 和 为 8 ， 焦 距 为 2 15 ， 则 此 椭 圆 的 标 准 方 程 为
＋x2＝1
________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为 ＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆 ＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？
【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin
2.2.1 椭圆的标准方程(二)
2．2.1 椭圆的标准方程(二)编制人 林野 审校人 林野 编制时间 2013-11-26学生姓名 学号 班级 小组【学习目标】1. 加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解椭圆方程问题．2. 通过例题的学习，进一步用运动、变化的观点认识椭圆，3. 感知数学与实际生活的联系，通过生成椭圆的不同方法，体会椭圆的几何特征的不同表现形式.【学习重点】加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解椭圆方程问题．【学习难点】加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解椭圆方程问题．【学习方法】启发式【课前自主学习】1,设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是______________．2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为________．3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的_____条件．4．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么PF 1是PF 2的________倍．【学习过程】探究点一 待定系数法求椭圆方程例1 已知椭圆的焦点F 1，F 2在x 轴上，且a ＝2c ，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B两点且△ABF 2的周长为16，那么椭圆的标准方程为____________．变式训练1 (1)过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是__________； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142的椭圆的标准方程是探究点二定义法求椭圆方程例2如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．变式训练2已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．探究点三 相关点法求椭圆方程例3 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？为什么？变式训练3 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M为PD 上一点，且MD ＝45PD .当P 在圆上 运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．当堂训练：1.已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m ＝________.2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为________． 3．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为______________．4．椭圆x 29＋y 2＝1上有动点P ，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程．1．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.2.2.1 椭圆的标准方程(二)一、基础过关1．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为__________．2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则PF 2＝________.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是________．4．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系说法正确的是________(填序号)．①有相等的焦距，相同的焦点；②有相等的焦距，不同的焦点；③有不相等的焦距，不同的焦点．5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－2 3，0)，且a ＝2b ，则该椭圆的标准方程是______________．6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，PF 1＝43，PF 2＝143.求椭圆C 的方程． 8．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．二、能力提升9．设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.10．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为______________．11．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2 的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．12．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．13．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2 ＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．三、探究与拓展14．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当的平面直角坐标系，求以M ，N 为焦点，且经过点P 的椭圆的方程．答案1.⎝⎛⎭⎫0，±320 2.723．椭圆4．②5.x 216＋y 24＝1 6.⎝⎛⎭⎫π4，π27．解 因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2＝PF 22－PF 21＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1. 8．解 由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ＝4，即AB ＋BC ＝4，∴点B 到定点A 、C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1.∴b ′2＝3.又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (－2<x <0)． 9．610．x 2＋43y 2＝1 11．②③12．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 236＝1， 即x 2＋y 2＝36，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.13．解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 点在椭圆上， ∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1 (a >b >0)．14．解 如图所示，以MN 所在的直线为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， M (－c,0)，N (c,0)，P (x 0，y 0)．由tan ∠PMN ＝12， tan ∠PNx ＝tan(π－∠MNP )＝2，得直线PM ，PN 的方程分别是y ＝12(x ＋c )，y ＝2(x －c )． 联立解得⎩⎨⎧ x 0＝53c ，y 0＝43c ，即点P ⎝⎛⎭⎫53c ，43c .又∵S △PMN ＝12MN ·|y 0|＝12×2c ×43c ＝43c 2， ∴43c 2＝1，即c ＝32， ∴点M ⎝⎛⎭⎫－32，0，N ⎝⎛⎭⎫32，0， P ⎝⎛⎭⎫536，233. ∴2a ＝PM ＋PN ＝⎝⎛⎭⎫536＋322＋⎝⎛⎭⎫2332＋ ⎝⎛⎭⎫536－322＋⎝⎛⎭⎫2332＝15， 即a ＝152. ∴b 2＝a 2－c 2＝154－34＝3. ∴所求椭圆的方程为x 2154＋y 23＝1.。
2.2.1《椭圆及其标准方程(二)
x y 4
'2
'2
例 7 如图 2.1 6, 设点A, B 的坐标分别为 5,0, 5,0 . 直线 AM , BM 相交于点M , 4 且它们的斜率之积是 , 9 求点 M的轨迹方程.
A
y
M
B
O
x
图2.1 6
分析 设点M的坐标为 x, y , 那么直线AM , BM 的斜率就可以用含 x, y的式子表示 .由于直线AM , 4 BM 的斜率之积是 ,因此可以建立 x, y之间的 9 关系式, 得出点M的轨迹方程.
所以设它的标准方程为
x2 a
2
你还能用其 他方法求它 的方程吗？
y2 b
2
1(a b 0). 由椭圆的定义知
5 3 2 ( 2) ( 0) 2 2 10, 2 2
5 3 2 2 a ( 2) ( 0 ) 2 2 2
所以 a 10.
2 2 2 b a c 10 4 6. 又因为 c 2 ，所以
复习：
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
1.椭圆的定义:
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
B
x
x2 y2 化简, 得点 M的轨迹方程为 1 x 5 . 25 100/ 9
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 aLeabharlann =b +c例1.写出椭圆的标准方程
第4课时椭圆的标准方程(二)
2.2.1椭圆的标准方程（二）目的：1、复习上节的标准方程，并进一步理解标准方程的不同。
2、通过练习加深对椭圆定义和方程的理解。
重点：椭圆的标准方程。
过程：一、复习：1、椭圆的定义。
2、方程的推导：（在文科班）把上节的内容复习一遍，并且推导焦点在y 轴上的椭圆的方程，并把上节的练习再做一遍。
二、练习：1、在平面上到两个定点F 1，F 2距离之和等于定值2a 的点的轨迹为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
2、平面内两个定点间的距离为8，写出到这两个定点距离之和为10的点的轨迹方程． 解： 所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用F 1，F 2表示，不妨以F 1，F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则2a=10，2c ＝8，因为b 2=a 2-c 2=9，故所求的方程为x 225 +y 29 =1,(另一种情况x 225 +y 29=1也可以，但只有一解）。
本题的主要问题是：很多学生不建立坐标系就写出了方程．强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系．3、已知：∆ABC 的一边长BC=6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．解： 以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点A(x ，y)，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得顶点A 的点的轨迹x 225 +y 29=1（特别强调检验）因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件．4、 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是 [ ]A.x 24 +y 22 =1与y 24 +x 22 =1B.x 24 +y 22 =1与x 28 +y 24=1 C.x 24 +y 22 =1与x 216 +y 24 =1 D. x 24 +y 22 =1与x 24+m +y 22+m=1 由学生口答，答案为D ．5、求椭圆x216+y225=1上一点M（2.4,4)与焦点的距离。
高二数学2.2.1椭圆的标准方程2(经典)
高二数学2.2.1椭圆的标准方程2学案学习目标：1、掌握椭圆的标准方程，并会应用椭圆的标准方程解决一些简单问题；2、应用椭圆的定义解决焦点三角形有关问题；3、综合应用椭圆的定义与标准方程解决一些简单问题； 重点：理解椭圆的定义与掌握椭圆的标准方程；难点：综合应用椭圆的定义与标准方程的解决一些简单问题； 学习过程： 复习与巩固1、椭圆的定义：______________________________________________________思考：命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和︱P A ︱+︱PB ︱=2a （a ＞0，且a 是常数）；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2、椭圆的标准方程:_____________________________________________________________思考：已知52,10==+c b a ，则此椭圆的方程是 3、待定系数法：________________________________________________________________ 思考：焦点在坐标轴上，且经过两点)2,3(-A 、)1,32(-B 的椭圆方程是 ．完成学习目标1： 掌握椭圆的标准方程，并会应用椭圆的标准方程解决一些简单问题；例1、1、若方程1222=+a y ax 表示焦点在y 轴上的椭圆 , 则a 的取值范围_________________ 1、 已知方程125)43()73(22+=+++m y m x m 表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围______ 练1、如果方程1422=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 。
练2、如果方程x 2＋ky 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围________________完成学习目标2：应用椭圆的定义解决焦点三角形有关问题；例2、已知21,F F 为椭圆1641002=+yx 的左右焦点，P 是椭圆上的点，且321π=∠PF F ，求此时21PF F ∆的面积练习：已知21,F F 为椭圆1641002=+yx 的左右焦点，P 是椭圆上的点，且3221π=∠PF F ，求此时21PF F ∆的面积小结：完成学习目标3：综合应用椭圆的定义与标准方程解决一些简单问题；例3、（1）已知经过椭圆1162522=+y x 的右焦点F 2做垂直于x 轴的直线AB 交椭圆与A , B 两点, F 1是椭圆的左焦点.（1）求△AF 1B 的周长；（2）如果AB 不垂直于x 轴, △AF 1B 的周长有变化吗?为什么?（2）已知P 为椭圆1422=+y x 上任意一点，1F ,2F 是椭圆的两个焦点，求（1）||||21PF PF ∙的最大值（2）2221||||PF PF +的最小值五、课堂小结：六、课堂检测：过椭圆1162522=+y x 的一个焦点M 的直线与椭圆交于B A ,，求B A ,与椭圆的另一个焦点N 围成ABN ∆的周长。
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1. 进一步熟悉椭圆的定义，并能用来 解答相关问题； 2. 能根据已知条件求出椭圆的标准方程；
3. 通过椭圆的定义和标准方程的应用， 培养分析、运算和推理等数学能力.
复习回顾：根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹
y P
y F2
2.已知动圆P过定点A(-３,０),并且在定 圆B: (x-3)2+y2=64的内部与其相切，求动圆 圆心P的轨迹方程。
y
P A O B x
检测练习：
2.已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC 的周长为16，求顶点A的轨迹。
小结
求椭圆标准方程的方法：定义法、待定系数法、椭圆系法 1、待定系数法 ——先确定焦点位置，再选择相应 的方程形式；若无法判断，则应进 行分类讨论， x2 y 2 也可设为 1(m 0, n 0, m n) 或mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 避免讨论 2、定义法 ——由已知条件确定所求点的轨迹是否 符合椭圆定义 3、椭圆系法——共焦点的椭圆，可用椭圆系求标准方程
a2-c2=b2 哪个变量对应的分母大，焦点就在哪 个轴上
x2 y2 练习1.已知椭圆的方程为：25 16 1 ，则 5 ，b=_______ 4 3 a=_____ ，c=_______ ，焦点坐标 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 6 为：____________ 若CD为过 20 左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________
m n
检测练习：
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)a=4，b=1，焦点在 x 轴上； (2)b=3，经过点(0，-4)，焦点在 y 轴上； (3)焦点坐标为(-5，0)和(5，0)，椭圆上一 点与两焦点的距离的和是26；
2 3 )和(0， 2 3 )，且经 (4)焦点坐标为(0，
过点( 6, 5)
C
F1 D
F2
x2 y2 1 ， 变式：已知椭圆的方程为： 4 5 则a=_____ ，c=_______ ，焦点 2 1 5 ，b=_______ (0,-1) 、(0,1) 坐标为： ___________ 焦距等于__________; 2 曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到 2 5 3 ，则 另一个焦点F2的距离等于_________ 2 52 △F1PF2的周长为___________
P 1 ( 6,1), P 2 (3, 2)
----待定系数法
例2.在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1，0)，Q
为圆周上任一点，AQ的垂直平分线与QC的连
线的交点为M，求点M的轨迹方程。 ----定义法
例3.求经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36
有共同焦点的椭圆方程。
----利用椭圆系法
y F2
O
P x
F1
练习2：
1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
则k的范围是
(0,4)
.
2.椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点是
0,
nm
.
题型二：由已知条件求椭圆的标准方程
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)两个焦点的坐标分别是(-3，0)、(3，0)， 椭圆上一点P与两个焦点的距离之和等于8 (2)两个焦点的坐标分别是(0，-4)、(0，4)， 且椭圆经过点 ( 3, - 5) (3)椭圆，且经过两点
x
O
不 同 点
图
形F1Oຫໍສະໝຸດ P xF2F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c