6第二章第1.2节

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第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
二、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX k p (1 p)
k
1 k
, k 0,1
或
X
pk
X ~ B 1， p
0 1-p
1 p
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布．
n
解: 由分布律的性质，得
1 1 PX n c n 1 n 1 4
该级数为等比级数，故有
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1 n c 1 4 1 c c 1 3 n1 4 1 所以 c 3 ． 4
第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
Z 500
表示该电子元件的寿命不超过500小时这一随机事件．
Z 1000
表示该电子元件的寿命大于 1000小时这一随机事件． 注意Z 的取值是不可列无穷个！
7
第二章
随机变量及其分布
§1 随机变量
例5 掷一枚硬币，令
1 掷硬币出现正面 ; X 0 掷硬币出现反面 .
则X是一个随机变量．
说明：
在同一个样本空间上可以定义不同的 随机变量．
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第二章
随机变量及其分布
§1 随机变量
例6 掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量 X 表示出现的点数．我们还可以定义其它的随机 变量，例如我们可以定义：
1 出现偶数点; Y 0 出现奇数点.
1 点数为6; Z 0 点数不为6.
11
12
30
第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
例 6 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的 命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相 应的概率是多少？
解: 对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令
X 表示 300射击中命中目标的次数 ．
则由题意
X ~ B 300， 0.44．
由于 300 1 0.44 132.44，它不是整数
3
3 2 2 2 2
1， 4， 5 2， 3， 4 2， 3， 5 2， 4， 5 3， 4， 5
1 2 2 1 1
第二章
随机变量及其分布
§1 随机变量
由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着 变量X 的一个确定的取值，因此随机变量X 是样本空 间S上的函数：
X X e
2
3
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0
n=12 p=0.9
0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0
n=12 p=0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y 100
表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；
50 Y 100
表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一 随机事件． 注意Y的取值是可列无穷个！
6
第二章
随机变量及其分布
§1 随机变量
例4 观察某电子元件的寿命（单位：小时），令 Z：该电子元件的寿命． 则Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数．
如果 n 1 p 是整数，则 k 0 n 1 p 或 n 1 p 1 ；
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第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
二项分布的分布形态
0,4
0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 1
n=3 p=0.1
0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
n=15 p=0.1
X
-3
1 8
-1
3 8
1
3 8
3
1 8
pk
6 P 1.5 X 3 P X 1 P X 1 . 8
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第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量例3 来自随机变量 X 的分布律为1 PX n c 4

n
n 1， 2， 试求常数 c．
1， 2， 3 1， 3， 4 S 2， 3， 4 3， 4， 5
1， 2， 4 1， 2， 5 1， 3， 5 1， 4， 5 2， 3， 5 2， 4， 5

考察取出的3只球中的黑球的个数。
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第二章
随机变量及其分布
设X表示该学生靠猜测能答 对的题数 , 1 则 X ~ B 5， 4
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第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
所以
P 至少能答对 4道题 P X 4
P X 4 P X 5
1 3 1 C 4 4 4
例4 设汽车在开往目的地道路上需经过四盏信号灯，每 盏信号灯以概率p禁止汽车通过. 以X表示汽车首次停下 时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布律. (信号灯 的工作是相互独立的).
P{X=3} =(1-p)3p
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第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
例4(续) 解: 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为 X pk 0 1 2 3 4
§1 随机变量
记取出的黑球数为X，则X 的可能取值为1，2，3． 因此，X 是一个变量．X 的取值情况可由下表给出.
X 取什么值依赖于试验结果，即X 的取值带有随机性， 所以，我们称X为随机变量．
样本点 黑球数 X 样本点 黑球数 X
1， 2， 3 1， 2， 4 1， 2， 5 1， 3， 4 1， 3， 5
这说明， Bernoulli 分布是二项分布的一个 特例．
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二项分布的概率背景
进行n重 Bernoulli 试验，A是随机事件。设在每次试验 中
P A p ，
P A 1 p q
令 X 表示这 n 次 Bernoulli 试验中事件A发生的次数．
则 X ~ B n， p
其中 n 为自然数，0
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p 1 为参数

第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
分布律的验证
⑴ 由于 0 p 1
以及 n 为自然数，可知
C p 1 p
k n k
n
n k
0
k 0， 1， ， n
p 1 p 1
n
⑵ 又由二项式定理，可知
P X k
达到其最大值的 k 0 称为该二项分布的最可 能次数．
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第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
PX k n 1 p k 1 PX k 1 kq
可以证明：
q 1 p
如果 n 1 p 不是整数，则 k 0 n 1 p ；
PX k =—— 5
C 10
C k 1
k 5， 6， ， 10 .
具体写出，即可得 X 的分布律：
X
14
5
1 252
6
5 252
7
15 252
8
35 252
9
70 252
10
126 252
pk
第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
例2 将 1 枚硬币掷 3 次，令
X：出现的正面次数与反面次数之差． 试求 （1）X 的分布律； ( 2 ) P 1 . 5 X 3. 解： X 的可能取值为 -3， - 1，1，3． 并且分布律为
p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p
(1-p)4
或写成 P{X= k} = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 P{X= 4} = (1-p)4
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第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
例 4(续) 以 p = 1/2 代入得 X pk 0 1 2 3 4
0.5 0.25
0.125
25
第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
例5 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能 答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测 至少能答对4道题的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验， 1 A 答对一道题 ， 则 P A 4 则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．
第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
2)离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为
x1 ， x 2 ， ， x n ，
并设 P X x n p n 则称上式或
n 1,
x2
p2
2,


X
pk
x1
p1
， xn
， pn
为离散型随机变量 X 的分布律．
则
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X ~ B 1, p
第二章
随机变量及其分布
§2离散型随机变量
2）二项分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX k C p 1 p
k n k n k
k 0， 1， ， n
则称随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布，
记作 X ~ Bn， p