电路分析基础第二章2-5

如果我们选树如图（c）所示，则显而易见，若以节点 4 为 节点，则三个树支电压就是2-2节中所定义的节点电压。
电路分析基础——第一部分：2-5
4/23
一个具有n个节点的网络，有n-1个树支，就有n-1 个树支电压。
如何写出求解这n-1个电压变量的独立方程？
为此，我们要引用图论中“割集”(cut-set)，特别 是“基本割集”的概念。 那么，什么叫做割集呢？ 仍以图2-8 为例，现将电路重绘于图2-35（a）， 其连通图如（b），（c）所示。
电路分析基础——第一部分：2-5
图2-36 例2-15 II
1 i1 i6 0.1 3A i5 i3 1 – 2V + i2 1V – i
18/23
I III
IV
7
0.5 + i4
III I II
(a)
(b)
电路分析基础——第一部分：2-5
19/23
I 因此，树支电压依次可表示为 ut4、 IV II ut5、ut6和ut7，其中ut4=2V，ut7 i7 i1 1V =1V均为已知， 1 i1 1V i6 III i2 故实际求解对象 – + i7 为ut5、ut6，割集 i6 0.1 i 2 i4 III I 和IV的方程可 i3 3A 0.5 + i4 i 2V 3A i5 3 以不必列出。 1
4
电路分析基础——第一部分：2-5
7/23
G5 割集定义中的第二个条件十分必要。 G1 G3 1 仍以图（b）为例，如果我们切割支路G5、 2 G4 3 iS G2 G1、电流源支路和G4，图可以分为两个分 离部分（符合第一个条件），但如果少切 割集 割G4 ，图仍然分为分离的两部分（不符合 4 第二个条件）。 非割集 通过规定两个条件，我们可以确定G5、G1、电流源支路是 割集，而G5、G1、电流源支路和G4不是割集。 割集的参考方向：与流进或流出节点电流方 向的定义类似，可以任意为割集选定一个方 1 2 3 向，通常选定割集方向与树枝电流的参考方 I I 向或关联参考方向一致。 II 割集概念下的KCL描述：对于网络任一割集，
G5 G1 G3
2
G2 G4
3
电路分析基础——第一部分：2-5
进一步整理后，得 (G5+G1)ut5 – G1ut3 = is – G1ut5 + (G3+G4+G1)ut3 – G4ut2 = – is (G2+G4)ut2 – G4ut3 = is
12/23
（2-14）
第三步，从（2-14）式解出树支电压ut5、ut3、ut2，进 一步便可算出电路中所有的电压和电流。 为便于今后直接写出割集方程，我们也可以对式 （2-14）中的各式进行总结，找出规律性的东西。
电路分析基础——第一部分：2-5
显然，其余支路（连支） 电压可表示为 u 支路a：14 = u12 + u23 + u34 支路d：u24 = u23 + u34 支路e：u13 = u12 + u23 1 a 4 b e f 2 c 3 d1 b
3/23
2 c 3 f 4
也就是说，所有支路电压都可以 用这三个树支电压来表示。
电路分析基础——第一部分：2-5
图2-35 连通图切割的例子
i5 1 i S i1 G1 G5 2 i3 G3 i2 G2 4 i4 G4 31 I II 4 III 4 1 2 3 2
5/23
3பைடு நூலகம்
(a)
(b)
(c)
电路分析基础——第一部分：2-5
6/23
割集：①如果切割（或移去）某些支路，就会使图形成为两个 分离部分，②但只要少切割（或移去）其中任一支路图形仍然 连通，这些支路的集合就称为割集。 例如：在图（b）中，切割用虚线表 示，例如切割II使节点1、3与节点2、 4分为两个分离部分，所切割的支路 G3、G4、G1和电流源支路的集合就 是割集II。 割集的多样性：一个连通图可以有许 多不同的割集，图（b）中就表明了 三种不同的割集。 1 I II 4 1 2 III 3 2 3
电路分析基础——第一部分：2-5
17/23
注意： 注意：在用割集分析时，往往把感兴趣的支路选为树支，使其 电压成为直接求解对象。电路中的电压源支路都应尽量选为树 支，因为电压源是已知的，可以减少未知独立变量的个数。 例2-15 试列出图2-36(a)所示电路的割集方程。并求出各支路 电流。 1 i 1 1V 解：选树如图(b)所示，其中 – i + 7 包含2V和1V电压源支路。各 0.1 i2 i6 支路的标号与图中各支路电 i3 0.5 + i4 3A 流的下标相同，不再另行标 1 明。 i5 – 2V
即 4ut5 + 3ut6 = – 10 3ut5 + 13ut6 = – 4 解得 ut5 = – 2.75V, ut6 = 0.326V
20/23
I IV
i7
1V
II
i1 i6 III
i2 i4
2V
如果把割集II、III的参考方向箭头移 到其公共支路，可以发现方向是一 致的，故第一方程中ut6的系数为正， 其余树支电压前的系数依次类推。 此时 i6 =
电路分析基础——第一部分：2-5
2/23
例如：以图2-34(a)所示的图为例，设选树如图(b)所示， 则树支电压为u12、u23、u34。
2 b 1 a 4 e f 4 c 3 d 1 f b 2 c 3 1 a 4 f 3 d 2
(a)
(b)
(c)
图2-34 (a)某电路图，(b),(c)为两树
电路分析基础——第一部分：2-5
11/23
由于每个方程都各自含有一项其它方程所没有的树支电流， 因而它们是一组独立方程。 第二步，如以所选的树支电压ut5、ut3、 ut2 （下标 t 表示树支）表示，则（21 13）式将为 G5ut5 + G1(ut5 – ut3) = is G3ut3 – G4(ut2 – ut3) – G1(ut5 – ut3) = – is G2ut2 + G4(ut2 – ut3) = is 4 I iS II III
电路分析基础——第一部分：2-5
总结 第一步，我们要为割集选定一个参考方向， 该方向应该与该割集中的树支的关联参考 1 方向一致。图2-35（b）中各割集的参考方 I I 向用箭头标示于虚线（切割）两端。 第二步，对（2-14）各式进行分析。
13/23
2 II 4
3
III
第一式：割集 I 的方程，树支为G5， (G5+G1)ut5 – G1ut3 = is 树支电压为ut5， 第一项，割集 I 所有电导之和与割集 I 树支电压ut5的乘积； 第二项，割集 I 和割集 II的公共电导之总和与割集 II 树支电压 ut3的乘积；
G11ut1+G12ut2+…+G1(n-1)ut (n-1) = is11 G21ut1+G22ut2 +…+G2 (n-1)ut(n-1) = is22 ……………..…………………………………
15/23
G(n-1)1ut1+G(n-1)2ut2+…+G(n-1)(n-1)ut(n-1) = is(n-1)(n-1) 自电导：G11、G22、…、G(n-1)(n-1)。它们分别是各个 基本割集上所有电导之和，如： G22= G3+G4+G1 ；
III
3A
i5 i3
I
II
ut6 = 3.26A 0.1 u1 = – ut4 – ut5 – 1 = – 2 + 2.75 – 1 = – 0.25A i1 = 1
电路分析基础——第一部分：2-5
– ut6 – ut5 – ut4 u2 i2 = = 0.5 0.5 = – 2(2–2.75+ 0.326) = 0.85A i3 = u3 = – u – u t6 t5 1 = – 0.326 + 2.75 = 2.42A
流过割集支路的各支路电流代数和为零。
4
III
电路分析基础——第一部分：2-5
例如：图2-35(b)割集 II的各支 路电流应有以下关系： – i4 + i3 – i1 + is = 0 式中，我们把从不同方向穿 过割线的电流冠以不同的符号。
G5 G1 G3
8/23
1 I
2 iS II
G2 G4
3
III 4 割集上使用KCL实际上是应用了KCL的推广：流进（或流 出）一个封闭面（线）的电流代数和为零。 根据每个割集可以写出一个KCL方程，则可以列出很多方 程来。怎样才能保证写出的方程是独立的，并且恰好n-1个呢？
1 I
G1
G3
2 iS II 4
G2 G4
3
其它三式也可以作出类似的总结。
III
对于有 n-1 个基本割集的网络，一共有 n-1 个方程，每个 方程的左边最多有 n-1 项，为所有基本割集中树支支路电压的 线性组合；右边为割集中的电流源电流的代数和。
电路分析基础——第一部分：2-5 一般基本割集方程：
电路分析基础——第一部分：2-5
“基本割集” (fundamental cut-set)的概念： ① 对图任意选定一树，图2-35b、c分 别表示选出的两树，树支用粗线表示； ② 在切割时，应使所得的每个割集包 含且只包含一条树支，这样的割集叫做 “基本割集” 。 由于树支数正好n-1个，所以，由基 本割集写出的KCL方程正好也是n-1个。 在图2-35（c）中，正好能使基本割 集的KCL方程恰好就是节点1、2、3处的 KCL方程。 1 1 I I II 4 2
3A
21/23