高中数学人教A版必修1至必修5基础知识汇总
新课标人教a版高中数学全部知识点
新课标人教a版高中数学全部知识点新课标人教A版高中数学涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
以下是该版本高中数学的全部知识点概述：1. 集合论- 集合的概念和表示- 集合的运算（交集、并集、补集、差集）- 子集和幂集- 集合恒等式和代数运算2. 函数- 函数的定义和性质- 函数的表示方法（解析式、图象、列表）- 函数的单调性、奇偶性和周期性- 反函数和复合函数- 基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）3. 三角学- 三角函数的定义- 三角函数的图象和性质- 三角恒等式- 解三角形- 三角函数的反函数4. 向量- 向量的基本概念- 向量的运算（加法、减法、数乘、点积、叉积）- 向量的坐标表示- 向量在几何和物理中的应用5. 几何- 平面几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） - 空间几何（立体几何、向量空间）- 几何证明方法- 几何变换（平移、旋转、缩放）6. 概率与统计- 随机事件和概率- 概率的计算- 随机变量及其分布- 统计数据的收集、整理和分析- 统计图表和统计量7. 数列与级数- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列- 数列的求和- 无穷级数的概念和性质8. 微积分- 极限的概念和性质- 导数的概念和运算- 微分的应用- 积分的概念和运算- 积分的应用9. 线性代数- 矩阵的概念和运算- 行列式的概念和性质- 线性方程组的解法- 向量空间和线性变换10. 算法与逻辑- 算法的基本概念- 逻辑运算和逻辑推理- 算法的实现和优化这些知识点构成了高中数学的基础框架，通过系统学习，学生可以掌握数学的基本概念、原理和方法，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
(word完整版)人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全
高中数学必修一常用公式及结论归纳总结1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。
集合的表示有列举法、描述法。
描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{N x x x ∈<且2、常用数集及其表示方法（1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N *或N + ：1、2、3、…… （3）整数集Z ：-2、-1、0、1、……（4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R ：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于∉例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1)，记作B A ⊆或A B ⊇.若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，记作Q P ⊄ （2）真子集的概念若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,B 的真子集(如图2). A ≠⊂B 或B ≠⊃A .（3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B.B A A B B A =⇔⊆⊆,5、重要结论（1）传递性：若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个(即不计空集)；非空的真子集有2n–2个.7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x |x ∈A ，且x ∈B ｝． （2）一般地，对于给定的两个集合A,B 图1)或 (图2)集．记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x |x ∈A ，或x ∈B ｝． （3）若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合， 叫做A 在U 中的补集，记作AC U ,{}A ,U |A C U ∉∈=x x x 且注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了Φ=A 的情况。
高中数学人教A版必修第一册知识点总结
高中数学人教A版必修第一册知识点总结本册教材是高中数学人教版A版(2024)的必修第一册，总共包括了四个单元：集合与常用逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、几何与向量。
接下来将对这四个单元的知识点进行总结。
一.集合与常用逻辑1.集合与元素-集合的表示方法：列举法、描述法、条件法-集合之间的关系：相等、含于、相交、并集、交集、互补集2.集合的运算-并集、交集、差集、补集-嵌套集合的化简-运算律：交换律、结合律、分配律3.常用逻辑关系-全称量词、存在量词-逻辑运算：与、或、非-条件命题、充分条件、必要条件4.命题及命题的逻辑运算-命题的分类：命题主体、命题联结词、命题陈述、命题基础-命题的逻辑运算：否定、合取、析取、蕴含、等价二.函数与方程1.函数的概念-自变量、因变量、函数值-射影函数、指示函数2.函数的表示方法-函数的解析式-函数的图像3.函数的性质-定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性-奇函数、偶函数-反函数4.一次函数-一次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换5.二次函数-二次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换-最值、对称轴、零点及判别式三.数列与数学归纳法1.数列的概念-有限数列、无限数列、数列的一般表示2.等差数列-等差数列的概念及公式-等差数列前n项和公式-通项公式的推导3.等比数列-等比数列的概念及公比-等比数列前n项和公式-通项公式及其推导4.递推数列-递推数列的概念及表示-递推公式5.数学归纳法-数学归纳法三个步骤：证明基础、证明步骤、加强归纳前提四.几何与向量1.向量的概念-向量的定义、表示方法、相等与运算-向量的数量表示-零向量、单位向量2.向量的线性运算-加法、减法、数乘-加减法运算律、数乘运算律3.向量的坐标表示-坐标运算、线性变换4.向量的数量积-向量的点乘、模长及其性质-向量的夹角及性质5.平面向量的应用-共线向量、垂直向量、平行向量-向量在直角坐标系中的投影-多边形面积与向量运算-向量与几何问题的应用以上是《高中数学人教A版(2024)必修第一册》的知识点总结。
人教版高中数学知识点汇总(全册版)
① f (x) 是整式时，定义域是全体实数． ② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个 最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是
提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数 的值域或最值．
对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一.
（4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{ x | x 具有的性质}，其中 x 为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
人教版高中数学知识点（必修＋选修）
高中数学 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N 表示自然数集， N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集.
高中数学复习全册知识总结,必修1-5重点归纳,赶快背
高中数学复习全册知识总结，必修1-5重点
归纳，赶快背
高中数学必修1-5重点归纳如下：
一、必修一：函数与导数
1、定义域，值域；函数的分类以及函数的性质判断；
2、延拓函数定义及延拓函数的图象；
3、定义导数，求解一次函数的导数，包括指数函数和对数函数的导数；
4、求极限，利用极限的运算求导数；
5、求多变量函数的偏导数，梯度和方向导数；
二、必修二：应用类函数几何
1、单调函数，偶函数，周期函数及其变换；
2、指数函数，对数函数及其变换；
3、不定积分，定积分，面积函数及其在定义域上的性质；
4、反函数及其图象；
三、必修三：统计与概率
1、实践统计，频率表；
2、概率的定义及其分类，概率的计算；
3、随机事件的相互独立性，正、多项式分布，正态分布；
四、必修四：空间初步
1、定义空间中的点，直线，平面；
2、平行线，平行平面，非平行线，空间的顶点；
3、空间的距离，空间的弦长，空间的体积；
4、垂心线，平面斜率，直线斜率，平面及直线的相交；
五、必修五：曲面与向量
1、曲线求法，勒让德定理；
2、向量的定义，向量的运算；
3、平行四边形，平行四边形内角和；
4、向量积，叉积及其共面与垂直；。
高中数学必修1--4知识点精华归纳总结-修改版 (新课标人教A版)
高中数学必修知识点归纳新课标人教A 版必修1数学知识点第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要素：确定性、互异性、无序性.2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.3、 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 属于不集合A ，记作a ∉A ； 4、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .5、 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（韦恩图法Venn ）.（1）把集合的元素一一列举出来，并用花括号{}括起来表示集合的方法叫做列举法. （2）用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.（3）用平面上封闭曲线（框或圆）的内容代表集合，这种图称为Venn 图. §1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集.记作B A ⊆（或A B ⊇）， 读作：“A 含于B ”（或“B 包含A ”） 2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有2n 个子集，2n —1个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：A ⋂B(读作A 并B).2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：A ∪B(读作A 交B).3、一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有 元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.4、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A ，即 C U A ={x|x ∈U ，且x ∉A}.§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数， 记作：()A x x f y ∈=,.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2、 设a 、b 是两个实数，而且a < b ，我们规定： （1） 满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]；（2） 满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ，b ）；（3） 满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b),(a ，b]；这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点. 3、————————————————分段函数 4、一般地，我们有：设A ，B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. §1.3.1、单调性与最大（小）值1、 一般地，设函数f(x)的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数. 2、 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1） 对于任意的x ∈I ，都有f(x) ≤M ； （2） 存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M.那么，我们称M 是函数y=(x)的最大值. 3、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.步骤：取值→作差→变形→定号→判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=； ⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 3、导数的运算法则 （1）'()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 4、复合函数求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.6、求函数的最值(,)a b 内的极值（极大或者极小值） (2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质).第二章：基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根.其中+∈>N n n ,1.2、 当n 为奇数时，a a n n=；当n 为偶数时，a a n n=. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作√0n=0.式子√a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开放数.3、 我们规定： ⑴m n mn a a=()1,,,0*>∈>m Nn m a ；⑵()01>=-n a ann； 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.4、一般地，无理数指数幂a a (a >0，a 是无理数)是一个确定的常数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 4、 运算性质： ⑴()Q s r a aa a sr sr∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a ars sr ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab rr r∈>>=,0,0.§2.1.2、指数函数及其性质1、一般地，函数y= a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .记住图象：()1,0≠>=a a a y x3、 性质：§2.2.1、对数与对数运算1、 一般地，如果a x =N ，(a>0，且a ≠1)，那么数x叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数.通常我们将以10为底数的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lgN . 另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为lnN. 指数与对数间的关系：a ＞0,a ≠1时，log x a a N x N =⇔=；负数和零没有对数； 2、对数恒等式：log a NaN =.3、基本性质：01log =a ，1log =a a .4、运算性质：0,0,>>N M ，那么： ⑴()N M MN a a a log log log +=； ⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a na log log =（n ∈R ）.5、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .6、重要公式：log log n ma a mb b n= 7、倒数关系：ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a .§2..2.2、对数函数及其性质1、一般地，我们把函数y= log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 记住图象：()1,0log ≠>=a a x y a————————————————反函数3、 性质：§2.3、幂函数1、一般地，函数y=x n 叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数.2、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用§3.1.1、方程的根与函数的零点1、对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.2、方程()0=x f 有实数根⇔函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ⇔函数()x f y =有零点. 2、 零点存在性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解1、 对于在区间[a ，b ]上连续不断、且f(a )·f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2、 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值得步骤如下：（1）确定区间[a ，b ]，验证f(a )·f(b)＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a ，b ）的中点x 1; （3）计算f(x 1)；①若f(x 1)=0，则x 1就是函数的零点；②若f(a )·f(x 1)＜0，则令b= x 1(此时零点x 0∈（a ，x 1）)；③若f(x 1)·f(b )＜0，则令a = x 1(此时零点x 0∈（x 1，b ）) .（4）判断是否达到精确度ε：即若|a-b |<ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复2~4. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.必修2数学知识点第一章：空间几何体§1.1、空间几何体的结构§1. 1.1、柱、锥、台、球的结构特征常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球.1、 棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的测棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.2、 棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.3、 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 圆柱和棱柱统称为柱体.4、 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.圆锥和棱锥统称为锥体.5、 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.6、 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台. 棱台和圆台统称为台体.7、 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.§1. 1.2、简单组合体的结构特征 §1.2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的.§1.2.1、空间几何体的三视图球的三视图都是圆，长方体的三视图都是矩形. §1.2.2、空间几何体的直观图我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图. §1.2.3、平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点.§1.3、空间几何体的表面积与体积§1.3.1、柱体、锥体、台体的表面积与体积 底面半径为r ，母线长为l⑴ 柱侧面积；lr S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面 ⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()h S S S S V 下下上上台体+⋅+=31⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 §2. 1、点、直线、平面之间的位置关系我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面.1、 公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公里1可以用符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊆α.2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公里3可以用符号表示：P∈α∩β⇒α∩β=l，且P∈l.4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（空间平行线的传递性）.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.6、空间两条直线的位置关系有且只有三种：平行、相交、异面.直线与直线平行和相交统称为共面直线.已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a，∥a，b，∥b，我们把a，与b，所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.7、直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.8、两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行、相交.平面α与平面β平行，记作α∥β§2. 2、直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）.可以用符号表示：aα，b⊆α，且a∥b⟹a∥α.性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）.2、平面与平面平行的判定判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）.可以用符号表示：a⊆β，b⊆β，a∩b=P，a∥α，b∥α⟹β∥α.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）.§2. 3、直线、平面垂直的判定及其性质1、直线与平面垂直的判定如果直线l与平面α内任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）.一条直线P A和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、平面与平面垂直的判定从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，平面角是直角的二面角叫做之二面角.定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）.性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.（简称面面垂直，则线面垂直）.第三章：直线与方程§3.1、直线倾斜角与斜率1、倾斜角与斜率当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°.把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tan a.经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式k =y 2−y 1x 2−x 1.2、 两条直线平行与垂直的判定两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇒k 1=k 2如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于—1；反之，如果它们的斜率之积等于—1，那么它们互相垂直.即l 1⊥l 2⇒k 1k 2=-1.§3.2、直线的方程 1、 直线的点斜式方程()00x x k y y -=- （1）方程（1）由直线上一点及其斜率确定，我们把（1）叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 2、 直线的斜截式方程（2）把直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距. 方程（2）由直线的斜率k 它在y 轴上的截距b 确定，所以方程（2）叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 3、 直线的两点式方程y −y 1y 2−y 1=x −x 1x 2−x 1 （3）这就是经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（其中x 1≠x 2，y 1≠y 2）的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 4、 直线的截距式方程x a +yb =1 (4) 我们把直线与x 轴交点（a ，0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b .方程（4）由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程. 5、 直线的一般式方程我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C =0 （5）（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.它表示过点（0，−CB ），斜率为−AB 的直线.6、对于直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ；⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .4、对于直线：:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔； ⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔12211221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .§3.3、直线的交点坐标与距离公式 1、 两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 2、两点间的距离两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）间距离公式：()()21221221y y x x P P -+-=3、 点到直线的距离 点P 1（x 0，y 0）到直线l : Ax ＋By ＋C =0的距离公式： 2200B A CBy Ax d +++=可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立. 4、 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线的长.两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，b kx y +=则 2221BA C C d +-=第四章：圆与方程 §4.1、圆的方程 1、 标准方程（x －a ）2＋（y －b ）2 = r 2. (1)把方程（1）称为圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程. 2、 圆的一般方程：x 2＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F = 0. (2)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程（2）表示一个圆，其中圆心为(,)22D E --，半径为r =方程（2）叫做圆的一般方程. §4.2、直线和圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .弦长公式：222d r l -==2、圆与圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<. §4.3、空间直角坐标系 1、 空间直角坐标系以O 为原点，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴 .这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中O 为坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别成为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.空间一点M 的坐标可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，有序实数组（x ，y ，z ）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x ，y ，z ）.其中x 叫做M 的横坐标，y 叫做M 的纵坐标，z 叫做M 的竖坐标.2、 空间中两点间距离公式：空间中点P 1（x 1，y 1，z 1），P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离：()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=必修3数学知识点第一章：算法初步§1.1、算法与程序框图 1、 算法的概念算法是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程.2、 程序框图的概念程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 3、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言； 4、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；5、算法的三种基本结构： 顺序结构、条件结构、循环结构⎧⎨⎩当型循环结构直到型循环结构⑴顺序结构示意图：（图1）⑵条件结构示意图：①IF -THEN -ELSE 格式：（图2）②（图3）⑶循环结构示意图：①②（图5）§1.2、基本算法语句1（“=”有时也用“←”）.3、条件语句条件语句与程序框图中的条件结构相对应.条件语句的一般格式有两种：IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：IF—THEN语句的一般格式为：4、循环语句循环语句与程序框图中的循环结构相对应.一般程序设计语言中都有直到型和当型两种循环语句结构.循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：§1.3、算法案例辗转相除法又叫欧几里得算法.球n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，这种方法称为秦九韶算法.1、辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S和一个余数0R ； ⅱ）：若0R ＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ； ⅲ）：若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数.2、更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下： ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步. ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.3、进位制把二进制数转化为二进制数的算法—除2取余法. 十进制数化为k 进制数—除k 取余法. 第二章：统计 §2.1、随机抽样 抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn. 1、 简单随机抽样一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 2、 系统抽样 3、 分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. §2.2、用样本估计总体1、用样本的频率分布估计总体分布 总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势一般地，当总体中的个体数较多时，抽样时样本容量就不能太小.随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减少，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。
新人教版A高中数学必修1-5知识点高考复习总结大全
高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，，()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
高中数学人教A版必修1—必修5基础知识点总结(填空版)
(―)集合1•集合的概念(1)集合是数学中的一个不加走义的原始概念,它是指某些指走对象的全体•集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即___________ 、________ 和_________ .(2)根据集合所含元素个数的多少，集合可分为____ 、______ 空集；根据集合所含元素的性质,集合又可为点集、数集等•空集是不含彳丑可元素的集合，用0表示.(3 )我们约走用______ 表示自然数集,用______ 表示正整数集，用_____ 表示整数集,用表示有理数集，用_表示实数集.(4 )集合的表示方法有________ 、_____ 和图示法(venn图).2•集合间的基本关系(1)集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系,有属于"丘"和不属于“芒两种情形.(2)集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A中有门个元素，集合A的子集个数为_______ ，非空子集的个数为_____ ,真子集的个数为_______ ,非空真子集的个数为_______ •3•集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算.4•集合运算中两组常用的结论(1)®C b.(Ar>B) =_____________ ；②=________________________ ；(2)①= ;② Ao B = B o ____________ .(二)函数的概念(1)函数的走义设力,B是__________ ,如果按照某种确走的对应关系f.使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有和它对应,那么就称f : A t B为从集合A到集合B的一个函数，记作V = /(A-ve A具中"叫做自变呈，x的取值范围力叫做函数的______________ ；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x) LveA｝叫做函数的_値域是集合B的_______________ .③•映射：设力，B是两个集合，如果按照某种确走的对应关系f,使对于集合力中的任意一个元素在集合B中都有唯一确走的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合力到集合B的映射记作/: A t B.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一,多对一.(2 )函数的三要素： _______ 、及称为函数的三要素•在函数的三要素中具决定性作用的是_______ 及_______ ,走义域及对应关系确走了，这个函数就唯一确走了.(3)相等函数：走义域相同,并且对应关系寿全二致的两个函数就称为相等函数.2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种:解析法、图象法、列表法.分段函数：在走义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.(三)函数单调性1•增函数、减函数设函数/(x)的走义域为/：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变呈的值西,当__________________ 时，都有 _________ ,那么就说函数/(X)在区间Q上是增函数；如果对于走义域I内某个区间D上的任意两个自变臺的值西,当________________ 时，都有 _________ ,那么就说函数/(x)在区间Q上是减函数.2•单调性、单调区间如果函数y = /(-r)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y = f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间。
新课标人教A版高中数学必修1知识点总结
高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念【】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M∈，或者a M∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集x B ∈∅=∅B A ⊆ B B ⊆x B ∈A A =A ∅=B A ⊇ B B ⊇补集UA{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U A A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式 解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式0∆> 0∆= 0∆<()()()UU U A B A B =()()()UU U A B A B =24b ac∆=-二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R20(0) ax bx c a++<>的解集12{|}x x x x<<∅∅〖〗函数及其表示【】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2++=，则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B 以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B→．②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元素b对应，a Ab B那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖〗函数的基本性质【】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,]a-∞、,)a+∞]a上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 〖补充知识〗函数的图象 （1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖〗指数函数【】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【】指数函数及其性质（4）指数函数〖〗对数函数 【】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④logaNa N =⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k1＜x1≤x2＜k2⇔⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2⇔f(k1)f(k2)<0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2⇔此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a=++≠在闭区间[,]p q上的最值设()f x在区间[,]p q上的最大值为M，最小值为m，令01() 2x p q=+．（Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q =b a()M f p = 0<时)2a ()f p ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x 0x 0x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
(完整版)高中数学必修一至必修五知识点总结
必修 1第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合 A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合 A 记作 a A二、集合间的基本关系任何一个集合是它本身的子集。
A A②真子集:如果A B,且B A那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合）四、函数的有关概念定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
【知识点总结】高中数学人教A版必修第一册知识点总结
高中数学新教材人教A版必修第一册知识点总结专题01 集合与常用的逻辑用语 (3)知识点一集合的概念 (3)知识点二集合间的关系 (4)知识点三集合的基本运算 (5)知识点四充分条件与必要条件 (5)知识点五全称量词与存在量词 (6)专题02 一元二次方程、函数与不等式 (7)知识点一不等式的性质 (7)知识点二基本不等式 (7)知识点三二次函数与一元二次方程、不等式 (8)专题03 函数的概念与性质 (9)知识点一函数的概念与分段函数 (9)知识点二函数的三要素 (10)知识点三函数的单调性 (12)知识点四函数的奇偶性 (14)知识点六幂函数 (16)专题04指数函数与对数函数的概念、简单性质 (17)知识点一指数运算、对数运算与幂运算 (17)知识点二指数函数与对数函数的概念及图像 (18)知识点三比较大小（常与0、1、-1作比较） (18)知识点四函数的零点 (19)专题05 指数型与对数型复合函数的性质 (20)知识点一复合函数简单的单调性与奇偶性问题 (20)知识点二复合函数的单调性 (20)知识点三复合函数的最大值与最小值 (21)知识点四最值问题（含有参数） (22)知识点五恒成立问题 (22)专题06 三角函数的图像与性质 (23)知识点一任意角和弧度制 (23)知识点二常用的角的集合表示方法 (23)知识点三弧度与弧度制 (24)知识点四三角函数定义 (25)知识点五三角函数在各象限的符号 (26)知识点六特殊角的三角函数值： (26)知识点七同角三角函数的关系与诱导公式 (26)知识点八两角和与差公式的基本应用 (27)知识点九辅助角公式 (27)知识点十二倍角公式 (27)知识点十一降幂公式 (27)知识点十二基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切） (28)知识点十三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 (29)知识点十四三角函数的实际应用 (30)专题07 三角函数的综合运用 (30)专题01 集合与常用的逻辑用语知识点一集合的概念1．集合的有关概念(1)集合的描述：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.元素通常用小写字母a,b,c,⋯表示，集合通常用大写字母A,B,C,⋯表示.(2)集合元素的特性：确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个元素可以判断该元素在或者不在该集合中。
新人教版高中数学必修1到5部分知识点总结
3. 注意下列性质：
（ 1 ） 集 合 a 1 ， a 2 ， … … ， a n 的 所 有 子 集 的 个 数 是 2 n ；
（ 2 ） 若 A B A B A ， A B B ；
（3）德摩根定律：
C U A B C U A C U B ， C U A B C U A C U B
若 p 为 真 ， 当 且 仅 当 p 为 假
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3
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的 唯一性，哪几种对应能构成映射？
2 . 进 行 集 合 的 交 、 并 、 补 运 算 时 ， 不 要 忘 记 集 合 本 身 和 空 集 的 特 殊 情 况 。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如 ： 集 合 A x | x 2 2 x 3 0 ， B x | a x 1
2
当 x [1 ， 2 )时 ， u ， 又 lo g 1u ， ∴ y
2
∴……）
O
1
2
x
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
在 区 间 a ， b 内 ， 若 总 有 f ' ( x ) 0 则 f ( x ) 为 增 函 数 。 （ 在 个 别 点 上 导 数 等 于
零 ， 不 影 响 函 数 的 单 调 性 ） ， 反 之 也 对 ， 若 f ' ( x ) 0 呢 ？
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高中数学必修一至必修五知识点精选
P1(x 1，y 1) ， P2(x 2， y2) ，则其斜率
k＝
x2－
x
(x
1
1≠
x 2).
8. 直线方程的几种形式
（1）点斜式 ：直线 l 经过点 P0 ( x0 , y0 ) ，且斜率为 k ，则直线方程为 y y0 k ( x x0 )
（2）斜截式 ：直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0, b) ，则直线方程为 y kx b
在 R 上是减函数
非奇非偶函数
8.对数函数
（ 1）定义： 形如 y log ax(a 0,且 a 1) 的函数，叫对数函数
（ 2）对数函数的图象和性质
a＞ 1
0＜ a＜1
图 象
性质 定义域
值域 过定点 单调性 奇偶性
9. 幂函数
(0 ，＋∞ )
R
(1 ， 0)，即当 x＝ 1 时， y＝0
在 (0，＋∞ )上是增函数
（ 1）若函数 f (x) 为奇函数，且在 x 0 处有定义，则 f (0) 0．
（ 2）奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在
性相反．
y 轴两侧相对称的区间增减
2.分数指数幂的运算性质
① ar a s a r s (a 0, r , s R)
② ( ar ) s a rs (a 0, r , s R)
和 b′所成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 . 异面直线所成的角的求法： 通过直线的平移， 把异面直线所成的角转化为平面内相交直
线所成的角。异面直线所成角的范围：
0o
90o ；
5. 直线与平面所成的角 一条直线与平面相交于 A，在直线取一点 P（异于 A 点），过 P 作平面的垂线，垂足为
人教A版数学必修一知识点
人教A版数学必修一知识点
数学必修一可以说是学生初次接触高中数学知识的一门课程，内容相对较为基础。
下面是一些数学必修一的重点知识点：
一、二次函数及其图像
1.二次函数的定义及性质：二次函数的一般形式、顶点、对称轴、最值、图像等；
2.二次函数的图像变换：平移、伸缩、翻转；
3.二次函数的解析式推导与图像综合分析；
4.二次函数的应用：最大值、最小值、模型的建立与解决。
二、三角函数及其图像
1.角度与弧度制之间的转换；
2.正弦函数、余弦函数的图像、特性及应用；
3.正切函数、余切函数的图像、特性及应用；
4.三角函数的复合函数及其图像；
5.三角函数的图像变换：平移、伸缩、翻转等。
三、数列与数列极限
1.等差数列的通项公式、前n项和公式；
2.求等差数列的通项公式及前n项和公式；
3.等比数列的通项公式、前n项和公式；
4.求等比数列的通项公式及前n项和公式；
5.数列极限及其性质。
四、数列的应用与递推关系
1.数列的表示方式：通项公式、递推关系式；
2.几何数列、斐波那契数列及其应用；
3.数列的模型建立：等差、等比、递推等；
4.递归数列及其应用。
五、三角函数的应用
1.角度的计算：全角、半角的计算，角度的加减；
2.三角函数的性质及推导；
3.三角函数的应用：平面角、立体角、变速运动等。
六、概率与统计
1.事件及其运算：事件的包含、互斥、对立等；
2.概率及其性质：基本事件、复合事件的计算；
3.试验与事件模型的建立：样本空间、随机事件、概率等；
4.随机变量及其概率分布；
5.统计与数据分析：频数分布表、频数分布图。
高二数学必修一到五知识点总结
高二数学必修一到五知识点总结高二数学必修一到五是中学数学的基础部分，涵盖了数学的各个方面，包括代数、几何、函数与方程、概率与统计等。
下面将对高二数学必修一到五的知识点进行总结，供您参考。
必修一：代数基础1. 实数- 理解实数的定义和性质，包括有理数和无理数。
- 利用实数的性质进行加减乘除、开方等运算。
2. 平方根与立方根- 理解平方根和立方根的意义。
- 计算整数、分数和小数的平方根和立方根。
3. 整式与多项式运算- 理解整式的定义和概念。
- 进行多项式的加减乘除运算，包括分配律、合并同类项等操作。
4. 因式分解- 理解因式分解的定义和原理。
- 进行一元多项式的因式分解，包括公因式提取法、提取平方根法等方法。
5. 一次、二次根式与分式方程- 理解根式的定义和性质。
- 解一次、二次根式方程和分式方程。
必修二：函数与方程1. 幂函数与指数函数- 理解幂函数和指数函数的定义和性质。
- 描述幂函数和指数函数的图像和性质。
2. 对数函数- 理解对数函数的定义和性质。
- 描述对数函数的图像和性质。
3. 三角函数- 理解三角函数的定义和性质。
- 了解正弦、余弦、正切函数及它们的反函数。
- 利用三角函数求解问题。
4. 一次函数和二次函数- 理解一次函数和二次函数的定义和性质。
- 描述一次函数和二次函数的图像和性质。
- 掌握一次函数和二次函数的相关计算方法。
5. 方程与不等式- 解线性方程和一元二次方程。
- 解简单的一元二次不等式和一元二次方程组。
必修三：解析几何与向量1. 向量- 理解向量的定义和性质。
- 进行向量的运算，包括向量加减、数量乘法、点乘和叉乘。
2. 平面与空间- 理解平面和空间的概念和性质。
- 确定平面和空间的方程，包括点法式、一般式等。
3. 直线和圆- 理解直线和圆的概念和性质。
- 计算直线和圆的方程和位置关系，包括直线与直线的关系、圆与直线的关系等。
4. 曲线与椭圆- 理解曲线和椭圆的概念和性质。
人教A版高中数学必修1-5知识点归纳
必修1数学知识点第一章、集合与函数概念 §1.1。
1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等.3、 常见集合：正整数集合:*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1。
1。
2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。
记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉,则称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B 。
3、 把不含任何元素的集合叫做空集。
记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集。
4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集。
记作:B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集。
记作：B A 。
3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且 §1。
2。
1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,。
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等。
§1.2。
2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法。
§1.3.1、单调性与最大(小)值1、 注意函数单调性证明的一般格式: 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则:()()21x f x f -=… §1.3。
人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全
高中数学必修一常用公式及结论归纳总结1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。
集合的表示有列举法、描述法。
描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如}x<且xx∈,5|{N2、常用数集及其表示方法（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、……：1、2、3、……（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z：-2、-1、0、1、……（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集R：全体实数的集合（6）空集Ф：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于∈，不属于∉例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（1）子集的概念如果集合A 中的每一个元素都是集合B的子集(如图1)，记作B A ⊆或A B ⊇.若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，记作Q P ⊄（2）真子集的概念若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,A 叫做集合B 的真子集(如图2). A ≠⊂B 或B ≠⊃A .（3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B.5、重要结论（1）传递性：若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个(即不计空集)；非空的真子集有2n –2个.7、集合的运算：交集、并集、补集（1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．（2）一般地，对于给定的两个集合A,B集合,叫做A,B 的并集．记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x ∈B ｝．（3）若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合， 叫做A 在U 中的补集，记作A CU , {A ,U |A C U ∉∈=x x x 且 注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了Φ=A 的情况。
高中数学人教A版必修1至必修5基础知识汇总
必修一 （一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性. （2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用∅表示. （3）我们约定用N 表示自然数集，用*N 表示正整数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集. （4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn 图).2.集合间的基本关系 （1）集合与元素的关系 表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“∉”两种情形.（2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为2n，非空子集的个数为21n-，真子集的个数为21n-，非空真子集的个数为22n-.3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中两组常用的结论 （1）①()()()U U U A B A B =IU 痧?；②()()()U UU A B A B =U I 痧?.（2）①A B A B A ⊆⇔=I ；②A B A B B ⊆⇔=U .（二）函数的概念（1）函数的定义设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称:f A B →为从集合A到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的值域.值域是集合B 的子集.③·映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一. （2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数. 2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性1.增函数、减函数 设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论. 2．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.3．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值. 4.判断函数单调性的常见方法 ①定义法；②图象法；③导数法. ④ 5.求函数最值或值域的方法①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.5.一些重要函数的单调性1y x x=+的单调区间：增区间(,1),(1,)-∞-+∞； 减区间(1,0),(0,1)-. ()0,0by ax a b x=+>>的单调区间：增区间(,)-∞+∞；减区间( （四）函数奇偶性 1.奇偶性(1)奇函数、偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数.如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数.(2)奇偶性 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； ③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有(0)0f =.④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1. 函数(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R 2. 一次函数性质3. ①当k >0时，为增函数，当k <0时，为减函数；②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数；③直线y =kx +b 与x 轴的交点为(,0)(0)bk k-≠与y轴的交点为(0,)b .3.二次函数的解析式的三种形式： ①一般式c bx ax x f ++=2)(； ②顶点式k h x a x f +-=2)()(；③零点式))(()(21x x x x a x f --=；4.二次函数的图象与性质 ①()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴方程为2bx a =-，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下；②()2400,0b ac ∆=->∆=∆<时，抛物线与x轴有2个（1个、无）交点. ③单调性：当0a >时，()f x 在(,]2ba-∞-减函数；在(,)2ba-+∞上是增函数.0a <，相反. ④奇偶性：()0当时，为b f x =偶函数；()0当时，b f x ≠既不是奇函数也不是偶函数；（六）指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂：n a a a a =g g g L g 14444244443个n a ；零指数幂：0a=1(0a ≠) ；负整数指数幂：pa -=1p a(0,a p N +≠∈)； 正分数指数幂：m na=0,1a m n N n +>∈>、且);负分数指数幂：mna-=1m na(0,1am n N n +>∈>、且);0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. 2.幂的运算法则（0,0,ab r s Q >>∈、）r s a a =r s a +；()r s a =rs a ；()r ab =r r a b3.指数函数图像及性质4.指数函数()x f x a =具有性质：()()()(),1(0,1)fx y f x f y f a a a +==>≠（七）对数函数1.定义：如果)1,0(≠>a aa 且的b 次幂等于N ，就是b a N=，那么数b称以a为底N 的对数，记作log a b N=，其中a ①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作Nlg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln2.基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =，③log 1a a =， ④对数恒等式：log a N a N =.3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则①log ()log log a a a MN M N=+；②log log log aa a MM N N=-； ③log log n a a M n M=.4.换底公式：log log log m a m NN a=（八）幂函数：,y x =2y x =3,y x =1y x=12y x =的图像1.当0a>时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，随x 的增大而增大；(3)在第一象限内，1α>时图像下凸,01α<<时图像上凸.(4)在第一象限内，过()1,1点后，图像向右上方无限伸展. 2.当a<0时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图像是向下凸的；(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近； (4)在第一象限内，过()1,1点后，α越大，图像下落的速度越快.（九）函数图像变换1．平移变换 ⑴水平平移：()()0y f x a a =±> 的图象，可由()y f x = 的图象向左()+ 或向右()- 平移a 个单位而得到；⑵竖直平移：()()0y f x b b =±> 的图象可由()y f x = 的图象向上()+ 或向下()- 平移b 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减. 2．对称变换 ⑴()y f x =- 与()y f x = 的图象关于y 轴对称; ⑵()y f x =- 与()y f x = 的图象关于x 轴对称; ⑶()y f x =-- 与()y f x = 的图象关于原点对称; ⑷()1y f x -= 与()y f x = 的图象关于直线y=x 对称; ⑸()y f x = 的图象可将()y f x = 的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变; ⑹()y f x = 的图象可将()y f x = ，()0x ≥ 的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出0x < 的部分.3.伸缩变换 ⑴()()0y Af x A => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到; ⑵()()0y f ax a => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的横坐标变为原来的1a，纵坐标不变而得到.（十）函数的应用1．函数零点的定义：对于函数()()(),0y f x x D f x =∈=使成立的_实数x _叫做函数()()y f x x D =∈的零点 .2.二分法定义：对于区间[],a b 上连续，且()()0f a f b < 的函数()y f x =,通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解.3．解函数应用题，一般可按以下四步进行． (1)阅读理解，认真审题． (2)引进数学符号，建立数学模型．(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果．(4)转译成具体问题做出回答．必修二（一）多面体和旋转体1．多面体和旋转体的概念（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.（7）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．2．多面体和旋转体的面积和体积公式 （1）圆柱的侧面积：S=2πrl ； （2）圆锥的侧面积：S=πrl ； （3）圆台的侧面积：S =π（r+ r ′）l ； （4）球的表面积：24πV R =； （5）柱体的体积：V=Sh ； （6）锥体的体积：13V Sh =； （7）台体的体积：1()3V S S h '=； （8）球的体积：24π3V R =. （二）画法1．我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．2．我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影． 3．光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．一般地，一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．4．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于点O ．画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使x O y '''∠=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段．（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．（三）点线面位置关系1．四个公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；用符号表示为：A lB l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，且，；公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；用符号表示为：P P l αβαβ∈∈⇒=I，且；公理4 平行于一条直线的两条直线互相平行； 用符号表示为：m l n l m n ⇒∥，且∥∥； 2．异面直线（1）我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（2）空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩ 直 线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线 直 线：同一平面内，没有公共点； 直 线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（3）已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面之间的位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点； （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行——没有公共点；直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 4．平面与平面之间的位置关系： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线．（四）平行问题1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面α平面，记作l ∥α；2．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；用符号表示：a b a b a αβα⊄⊂⇒，，且∥∥． 2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；用符号表示：a a b a b αβαβ⊂=⇒I∥，，∥．3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；用符号表示：a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒I ，，，∥，∥∥．几个结论：①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行； ③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；4．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；且符号表示：a b a b αβαγβγ==⇒I I ∥，，∥．5．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．（五）垂直问题1．定义：如果直线l 和平面α内的所有直线都垂直，那么直线l 和平面α垂直，记作l ⊥α．直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：l a b a b A a αααα⊥⊂⊂=⇒⊥I ，，，且．3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．4．平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；用符号表示：a a αβαβ⊂⊥⇒⊥，． 5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示：l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥I ，，，．几个结论：①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．（六）角问题1．已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．两异面直线所成角范围02π⎛⎤⎥⎝⎦，．2．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线和平面所成角范围02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来衡量．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角范围[0]π，．（七）直线的概念与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴为基准, x 轴的正方向与直线l 向上的方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.并规定:直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为ο0.直线的倾斜角的取值范围是[)οο180,0.2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示.直线倾斜角α与斜率k 的关系式为αtan =k.当k=0时,直线平行于x轴或者与x 轴重合;当k>0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为钝角;倾斜角为ο90的直线没有斜率. 3、两点斜率公式 ：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x =2x 时,直线的斜率不存在,当1x ≠2x 时,直线的斜率为1212x x y y k --=.4、直线方程的点斜式:设直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k ,则方程)(00x x k y y -=-称为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为0x x=。
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必修一 （一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性.（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用∅表示.（3）我们约定用N 表示自然数集，用*N 表示正整数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集.（4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn 图). 2.集合间的基本关系 （1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“∉”两种情形. （2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为2n，非空子集的个数为21n-，真子集的个数为21n -，非空真子集的个数为22n-.3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中两组常用的结论 （1）①()()()U U U A B A B =IU 痧?；②()()()U UU A B A B =U I 痧?.（2）①A B A B A ⊆⇔=I ；②A B A B B ⊆⇔=U .（二）函数的概念（1）函数的定义设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的值域.值域是集合B 的子集.③·映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.（2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性1.增函数、减函数 设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论.2．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.3．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值. 4.判断函数单调性的常见方法 ①定义法；②图象法；③导数法. ④ 5.求函数最值或值域的方法①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等. 5.一些重要函数的单调性1y x x=+的单调区间：增区间(,1),(1,)-∞-+∞； 减区间(1,0),(0,1)-.()0,0by ax a b x =+>>的单调区间：增区间(,)-∞+∞；减区间( （四）函数奇偶性 1.奇偶性(1)奇函数、偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数. 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数. (2)奇偶性 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）； ②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； ③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有(0)0f =.④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1. 函数(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2. 一次函数性质3. ①当k >0时，为增函数，当k <0时，为减函数；②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数；③直线y =kx +b 与x 轴的交点为(,0)(0)bk k-≠与y 轴的交点为(0,)b .3.二次函数的解析式的三种形式： ①一般式c bx ax x f ++=2)(； ②顶点式k h x a x f +-=2)()(；③零点式))(()(21x x x x a x f --=；4.二次函数的图象与性质①()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴方程为2b x a =-，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下； ②()2400,0bac ∆=->∆=∆<时，抛物线与x 轴有2个（1个、无）交点. ③单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-减函数； 在(,)2ba-+∞上是增函数.0a <，相反. ④奇偶性：()0当时，为b fx =偶函数；()0当时，b f x ≠既不是奇函数也不是偶函数；（六）指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂：n a a a a =ng g g L g 14243n a ；零指数幂：0a=1(0a ≠) ；负整数指数幂：pa -=1p a(0,a p N +≠∈)；正分数指数幂：m n a =(0,1a m n N n +>∈>、且); 负分数指数幂：m na-=1m na(0,1a m n N n +>∈>、且);0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. 2.幂的运算法则（0,0,ab r s Q >>∈、）r s a a =r s a +；()r s a =rs a ；()r ab =r r a b指数函数图像及性质4.指数函数()x f x a =具有性质：()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠（七）对数函数1.定义：如果)1,0(≠>a aa 且的b 次幂等于N ，就是baN =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a b N=，其中a 称对数的底，N 称真数.①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作Nlg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln2.基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =，③log 1a a =， ④对数恒等式：log a N a N =.3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则①log ()log log a a a MN M N=+；②log log log aa a MM N N=-； ③log log n aa M n M =.4.换底公式：log log log m a m NN a=(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠>①log log 1a b b a ⋅=， ②log log m na a nb b m=. 5.对数函数的图像与性质（八）幂函数：,y x =2y x =3,y x =1y x=12y x =的图像1.当0a>时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，随x 的增大而增大； (3)在第一象限内，1α>时图像下凸,01α<<时图像上凸.(4)在第一象限内，过()1,1点后，图像向右上方无限伸展.2.当a<0时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图像是向下凸的； (3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近；(4)在第一象限内，过()1,1点后，α越大，图像下落的速度越快.（九）函数图像变换1．平移变换错误!未找到引用源。
水平平移：()()0y f x a a =±> 的图象，可由()y f x = 的图象向左()+ 或向右()- 平移a 个单位而得到；错误!未找到引用源。
竖直平移：()()0y f x b b =±> 的图象可由()y f x =的图象向上()+ 或向下()- 平移b 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减. 2．对称变换 错误!未找到引用源。
()y f x =- 与()y f x = 的图象关于y 轴对称;错误!未找到引用源。
()y f x =- 与()y f x = 的图象关于x 轴对称; 错误!未找到引用源。
()y f x =-- 与()y f x = 的图象关于原点对称; 错误!未找到引用源。
()1y f x -= 与()y f x = 的图象关于直线y=x 对称;错误!未找到引用源。