高三理科数学立体几何复习专题
高中立体几何知识点及经典题型
高中立体几何知识点及经典题型立体几何是高中数学中的重要部分，它研究了在三维空间内的几何形体。
本文将介绍高中立体几何的主要知识点和经典题型。
知识点以下是高中立体几何的主要知识点：1. 空间几何基础：点、线、面的概念及性质。
2. 参数方程和一般式方程：用参数或方程表示几何体的方法。
3. 立体图形的投影：点、直线、平面在投影中的表现形式。
4. 空间几何中的平行与垂直：直线、平面之间的平行关系及垂直关系。
5. 直线与面的位置关系：直线与平面之间的交点、垂线、倾斜角等概念。
6. 空间角的性质：二面角、棱锥、棱台等形体的角度关系。
7. 空间几何中的直线及曲线：空间中直线与曲线的方程及性质。
8. 空间立体角：球、球台、球扇等形体的角度关系。
9. 空间的切线：曲线在空间中的切线方程及其性质。
10. 空间的幂：圆、球及其他形体的幂的概念和性质。
经典题型以下是高中立体几何的经典题型：1. 求直线与平面的位置关系问题：例如，给定一直线和一个平面，求它们之间的交点、垂直线、倾斜角等。
2. 求空间角的问题：例如，给定两个平面的交线，求二面角的度数。
3. 求直线与曲线的位置关系问题：例如，给定一条直线和一个曲面，求它们之间的位置关系。
4. 求切线和法平面的问题：例如，给定一个曲线和一个点，求曲线在该点处的切线方程及法平面方程。
5. 求空间形体的幂问题：例如，给定一个球和一个平面，求平面关于球的幂及其性质。
以上只是一些经典的立体几何题型，通过解答这些题目，可以加深对立体几何知识的理解和运用。
希望本文对高中立体几何知识点和题型的介绍能够帮助到你。
祝你在学习立体几何时取得好成绩！。
高考数学立体几何专项知识点精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版高考数学立体几何专项知识点高中数学平面几何不时是数学的一大难点，下面是小编整理的数学平面几何专项知识点，对提高数学效果会有很大的协助。
(1)空间几何体① 看法柱、锥、台、球及其复杂组合体的结构特征.② 能画出复杂空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的平面模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.③ 了解球、棱柱、棱锥、台的外表积和体积的计算公式(不要求记忆公式).(2)点、直线、平面之间的位置关系① 了解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上一切的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只要一个平面.◆公理3：假设两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只要一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行◆定理：空间中假设一个角的两边与另一个角的两边区分平行，那么这两个角相等或互补.② 以平面几何的上述定义、公理和定理为动身点，看法和了解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.了解以下判定定理：◆假设平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆假设一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆假设一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直.了解以下性质定理，并可以证明：◆假设一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.◆假设两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行◆垂直于同一个平面的两条直线平行◆假设两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③ 能运用公理、定理和已取得的结论证明一些空间位置关系的复杂命题.温习关注：平面几何试题着重考察空间点、线、面的位置关系的判别及几何体的外表积与体积的计算，关注画图、识图、用图的才干，关注对平行、垂直的探求，关注对条件或结论不完备情形下的开放性效果的探求小编为大家提供的2021-2021高考数学平面几何专项知识点大家细心阅读了吗?最后祝考生们学习提高。
高考理科数学立体几何大全(含考纲-知识-例题)
第八章立体几何§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图一般会在选择题、填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能力．1．棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．※2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；§8.2空间几何体的表面积与体积1．了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式．2．会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积．高考主要考查空间几何体的侧面积、表面积、体积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图相结合，以选择题、填空题的形式出现，也可能以空间几何体为载体，考查线面关系、侧面积、表面积以及体积．1．柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．2．柱体、锥体、台体的体积(1)棱柱、棱锥、棱台的体积V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________(其中S，S′为底面积，h为高)．(2)圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________(其中r，r′为底面半径，h为高)．3．球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积S球＝________．(2)半径为R的球的体积V球＝________.【自查自纠】1．(1)Ch12Ch′12()C＋C′h′(2)2πrlπrlπ(r＋r′)l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2．(1)Sh13Sh13h()S＋SS′＋S′(2)πr2h13πr2h13πh()r2＋rr′＋r′23．(1)4πR2(2)43πR3§8.3空间点、线、面之间的位置关系1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．本节内容在高考中常以几何体为载体，考查平面的基本性质、空间两直线的位置关系的判定及运用，特别是异面直线的概念、所成角的计算等．题型多以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中，以此考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面．公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．2．空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和§8.4空间中的平行关系1．以立体几何中相关的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间中的平行关系的简单命题．本节在高考中，主要考查线线、线面以及面面平行的判定和性质，难度适中，运用的数学思想主要有转化与化归的思想，即空间问题平面化(面面问题⇒线面问题⇒线线问题)、几何问题代数化等．近几年，在试题的形式比较稳定的基础上，高考对立体几何中这方面的考查进行了一些改革，加强了对开放题的考查，主要考查学生综合运用知识的能力．1．空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们有__________公共点；(2)直线与平面相交，则它们___________公共点；(3)直线与平面平行，则它们________公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为_________．2．直线与平面平行的判定和性质(1)直线与平面平行的判定定理平面外____________与此平面内的____________平行，则该直线与此平面平行．即线线平行⇒线面平行．用符号表示：____________________________．(2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__________与该直线__________．即线面平行⇒线线平行．用符号表示：_______________．3．平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们______________；(2)两个平面相交，则它们______________．两个平面垂直是相交的一种特殊情况．4．平面与平面平行的判定和性质(1)平面与平面平行的判定定理①一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：_____________．②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．③垂直于同一条直线的两个平面平行．即l⊥α，l⊥β⇒α∥β.④平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.(2)平面与平面平行的性质定理①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______________．即面面平行⇒线线平行．用符号表示：_______________________．②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．用符号表示：_____________．③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．用符号表示：__________________．【自查自纠】1．(1)无数个(2)有且只有一个(3)没有直线在平面外2．(1)一条直线一条直线a⊄α，b⊂α，且a∥b ⇒a∥α(2)交线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b1．证明线线平行的方法 (1)利用平面几何知识；(2)平行公理：a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ；(3)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ；(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b ；(5)线面垂直的性质定理：m ⊥α，n ⊥α⇒m ∥n . 2．证明直线和平面平行的方法 (1)利用定义(常用反证法)；(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α； (3)面面平行性质：α∥β，l ⊂α⇒l ∥β； (4)向量法．m ⊄α，n ⊥α，m ⊥n ⇒m ∥α；(5)空间平行关系传递性：m ∥n ，m ，n ⊄α，m ∥α⇒n ∥α；(6)α⊥β，l ⊥β，l ⊄α⇒l ∥α. 3．证明面面平行的方法 (1)利用定义(常用反证法)； (2)利用判定定理：a ，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β；推论：a ，b ⊂β，m ，n ⊂α，a ∩b ＝P ，m ∩n ＝Q ，a ∥m ，b ∥n (或a ∥n ，b ∥m ) ⇒α∥β；(3)利用面面平行的传递性：⎩⎨⎧α∥βγ∥β ⇒α∥γ；(4)利用线面垂直的性质：⎩⎨⎧α⊥lβ⊥l⇒α∥β.4．应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断．5．注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”： “线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”； 应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”： “面面平行”⇒ “线面平行”⇒ “线线平行”．1．已知平面α，β和直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，且a ∥b ，则α与β的关系是( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．垂直解：可在平面α内作一直线c ，且c 与a 相交，若c 平行于面β，则根据面面平行的判定定理知α∥β；若c 与面β相交，则面α与β相交．故选C.2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交解：∵直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，∴l 与α相交．观察各选项，易知A ，C ，D 都是错误的．故选B.3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3.分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝VAEA 1-DFD 1,V 2＝VEBE 1A 1-FCF 1D 1,V 3＝VB 1E 1B -C 1F 1C .若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，则截面A 1EFD 1的面积为( )。
高考数学近三年真题立体几何(理科专用)
三年专题 立体几何（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m 时，相应水面的面积为140．0km 2；水位为海拔157．5m 时，相应水面的面积为180．0km 2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m 上升到157．5m 时，增加的水量约为（√7≈2.65）（ ） A ．1.0×109m 3B ．1.2×109m 3C ．1.4×109m 3D ．1.6×109m 32．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A ．[18,814]B ．[274,814]C ．[274,643]D ．[18,27]3．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，B B '与C C '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差A A C C ''- 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．4735．【2021年甲卷理科】已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1A CBC A C B C ⊥==，则三棱锥O A B C-的体积为（ ）A 12B 12C 4D 46．【2021年新高考1的母线长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．【2021年新高考2卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．201+B ．2C ．563D 38．【2020年新课标1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A 4B 2C 4D 29．【2020年新课标1卷理科】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为A B C的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1A BB C A C O O ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π10．【2020年新课标2卷理科】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H11．【2020年新课标2卷理科】已知△ABC 4的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 212．【2020年新课标3卷理科】下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A．B ．C ．D ．13．【2020年新高考1卷（山东卷）】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°14．【2022年新高考1卷】已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，则（ ） A ．直线BC 1与DA 1所成的角为90° B ．直线BC 1与CA 1所成的角为90° C ．直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为45°D ．直线BC 1与平面ABCD 所成的角为45°15．【2022年新高考2卷】如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED,AB =ED =2FB ，记三棱锥E −ACD ，F −ABC ，F −ACE 的体积分别为V 1,V 2,V 3，则（ ）A ．V 3=2V 2B ．V 3=V 1C ．V 3=V 1+V 2D ．2V 3=3V 116．【2021年新高考1卷】在正三棱柱111A B CA B C -中，11A BA A ==，点P 满足1B P BC B B λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1A B P△的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A B C-的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1AP B P⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1AB ⊥平面1A BP17．【2021年新高考2卷】如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足M NO P⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．18．【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D BCC 1B 1的交线长为________．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________三年专题立体几何（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1 ,AB=2,DP=√3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．2．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC 的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．3．【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2√2．(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1=AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A −BD −C 的正弦值．4．【2022年新高考2卷】如图，PO 是三棱锥P −ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点．(1)证明：OE//平面PAC ；(2)若∠ABO =∠CBO =30°，PO =3，PA =5，求二面角C −AE −B 的正弦值． 5．【2021年甲卷理科】已知直三棱柱111A B C A B C -中，侧面11A AB B为正方形，2A BB C ==，E ，F 分别为A C 和1C C 的中点，D 为棱11AB 上的点．11B FA B ⊥（1）证明：B F D E⊥；（2）当1BD为何值时，面11B BC C与面D F E 所成的二面角的正弦值最小?6．【2021年乙卷理科】如图，四棱锥P A B C D==，P D D C-的底面是矩形，P D⊥底面A B C D，1M为B C的中点，且P B A M⊥．（1）求B C；（2）求二面角A P M B--的正弦值．7．【2021年新高考1卷】如图，在三棱锥A B C D-中，平面A B D⊥平面B C D，A B A D=，O为B D的中点.（1）证明：O A C D⊥；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱A D上，2--=，且二面角E B C DD E E A的大小为45︒，求三棱锥A B C D-的体积.8．【2021年新高考2卷】在四棱锥Q A B C D-中，底面A B C D是正方形，若====．A D Q D Q A Q C2,3（1）证明：平面Q A D ⊥平面A B C D ； （2）求二面角BQ D A--的平面角的余弦值．9．【2020年新课标1卷理科】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，A E 为底面直径，A EA D=．A B C是底面的内接正三角形，P 为D O 上一点，6P OO=．（1）证明：P A ⊥平面P B C ；（2）求二面角BP C E--的余弦值．10．【2020年新课标2卷理科】如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB1C 1C是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AM N 所成角的正弦值.11．【2020年新课标3卷理科】如图，在长方体1111A B C D A B C D -中，点,E F 分别在棱11,D DB B 上，且12D EE D =，12B FF B =．（1）证明：点1C 在平面A E F 内；（2）若2A B=，1A D=，13A A=，求二面角1AE F A --的正弦值．12．【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面A BCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 13．【2020年新高考2卷（海南卷）】如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面A BCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB ，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．。
高考理科立体几何大题常考题型
高考理科立体几何大题常考题型
高考理科立体几何大题常考题型包括以下几个方面：
1. 空间位置关系的证明：这类问题主要涉及线线、线面、面面的平行和垂直关系的证明。
解决这类问题需要熟练掌握相关的判定定理和性质定理，并能够灵活运用。
2. 空间角的计算：这类问题主要涉及异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的计算等。
解决这类问题需要熟练掌握相关的计算公式，并能够准确建立空间直角坐标系。
3. 空间几何体的体积和表面积计算：这类问题主要涉及圆锥、圆柱、棱锥、棱柱等基本几何体的体积和表面积的计算，以及一些组合体的体积和表面积的计算。
解决这类问题需要熟练掌握相关的计算公式，并能够根据题目要求选择合适的计算方法。
4. 投影与直观图：这类问题主要涉及根据几何体的直观图求其三视图，以及根据三视图还原几何体的直观图。
解决这类问题需要熟练掌握三视图的形成原理，并能够准确判断出几何体的各个面在三视图中的投影。
综上所述，高考理科立体几何大题常考题型多样，需要考生具备扎实的数学基础和灵活的解题能力。
建议考生在复习时注重对基础知识的理解和掌握，多做练习题，培养自己的空间想象能力和逻辑思维能力。
(完整版)立体几何复习专题
(完整版)立体几何复习专题立体几何复专题
立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是物体的形状、大小、位置及其相关性质。
本文档将为您提供立体几何的复专题，帮助您系统地回顾和巩固相关的知识。
1. 点、线、面与空间几何
首先我们从最基本的几何概念开始复，包括点、线、面以及空间几何的基本性质。
例如，点的定义、线的分类、平行线与垂直线的判定等。
2. 立体图形的表示方法
接下来，我们将研究立体图形的几种常用表示方法。
这些表示方法包括视图图、投影图、轴测图等，通过它们我们可以更直观地理解和描述立体图形的形状。
3. 立体图形的重要性质与公式
在本部分，我们将回顾立体图形的重要性质和相关公式。
例如，体积的计算公式、表面积的计算方法等。
同时，我们还将深入研究
不同立体图形的特点和相互之间的关系。
4. 空间几何的应用
最后，我们将介绍空间几何在实际生活中的应用。
例如，如何
测量不规则物体的体积、如何计算房屋的准确面积等。
这些应用案
例将帮助您更好地理解和应用空间几何的知识。
总结
本文档为您提供了立体几何的复专题，通过回顾和巩固相关知识，帮助您更好地掌握立体几何的基本概念、表示方法、重要性质
和应用。
希望这份文档能对您的研究有所帮助！。
高三数学专题复习(立体几何)
【解析】选C.方法一：∵体积为
1 而高为1，故底面积为 1 ， ， 2 2
选C.
方法二：选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A； 而选项B，D所得几何体的体积都与π有关，排除B，D；易知选 项C符合.
3.若正三棱锥的主视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它 的左视图的面积为_____cm2.
FN∥AE交AB于N，连接MN.又MF∩NF=F，D′E∩AE=E，则平面
MFN∥平面D′AE， 又MN在平面MFN内，故MN∥平面D′AE，
1 1 CE ， 2 2 1 故存在点N,AN= , 使MN∥平面D′AE. 2
此时AN=EF=
热点 五
空间向量在立体几何中的应用
1.如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面 A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD， AB=2A1B1=2DD1=2a. (1)求异面直线AB1与DD1的夹角的余弦值. (2)已知F是AD的中点.求证：FB1⊥平面BCC1B1. (3)在(2)的条件下，求平面 FCC1与平面BCC1的夹角的余弦值.
2.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的 体积为( )
212 cm3 3 326 C cm3 3
A
B 70 cm3 D 100 cm3
【解析】选A.由三视图可知，该几何体上部是一个圆台，下部 是一个半球，故其体积为
1 1 4 212 V 3 22 2 4 42 43 （cm3） . 3 2 3 3
（3）此多面体是一个以C为顶点，以四边形ABED为底面的四棱
锥，又 AF 3， AC=AD=2，AF⊥CD，
专题15 立体几何多选、填空题(理科)(原卷版)-十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编立体几何填空、多选目录题型一：立体几何结构特征 (1)题型二：立体几何三视图 (2)题型三：立体几何的表面积与体积 (3)题型四：立体几何中的球的问题 (9)题型五：立体几何线面位置关系 (9)题型六：立体几何中的角度与距离 (10)题型一：立体几何结构特征1．(2023年全国甲卷理科·第15题)在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第15题)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．3．(2019·全国Ⅱ·理·第16长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为(本题第一空2分，第二空3分).4．(2017年高考数学上海（文理科）·第11题)如图,以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若1DB 的坐标为(4,3,2),则1AC 的坐标为________．5．(2015高考数学江苏文理·第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_______．二、多选题1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第12题)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m )的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A ．直径为0.99m 的球体B ．所有棱长均为1.4m 的四面体C ．底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体2．(2021年新高考Ⅰ卷·第12题)在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则()A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 题型二：立体几何三视图1．(2021年高考全国乙卷理科·第16题)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可)．2．(2019·北京·理·第11题)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．3．(2017年高考数学上海（文理科）·第8题)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于________．4．(2017年高考数学山东理科·第13题)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为__________．则该棱台的体积为________．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第14题)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第15题)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第13题)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________5．(2020天津高考·第15题)如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅ 的最小值为_________．6．(2020江苏高考·第9题)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0．5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm．7．(2019·天津·理·第11题)个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．8．(2019·全国Ⅲ·理·第16题)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g ．9．(2019·江苏·第9题)如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 是1CC 的中点，则三棱椎-E BCD 的体积是______.10．(2018年高考数学江苏卷·第10题)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．(2018年高考数学天津（理）·第11题)已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为．12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60，则点1C 到直线AB 的距离为．1A 1B 1C AB C14．(2014高考数学天津理科·第10题)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为_________3m．15．(2014高考数学山东理科·第13题)三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =．16．(2014高考数学江苏·第8题)设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ,2S ，体积分别为1V ,2V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是．17．(2015高考数学天津理科·第10题)一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为3m．18．(2015高考数学上海理科·第4题)若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a =．19．(2017年高考数学江苏文理科·第6题)如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是_______．20．(2016高考数学浙江理科·第14题)如图，在ABC ∆中，2,120AB BC ABC ==∠= ．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足,PD DA PB BA ==，则四面体PBCD 的体积的最大值是．21．(2016高考数学浙江理科·第11题)某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积是2cm ，体积是3cm ．OO 1O 2(第6题)⋅⋅⋅22．(2016高考数学天津理科·第11题)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m )，则该四棱锥的体积为_____________3m ．23．(2016高考数学四川理科·第13题)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则三棱锥的体积为_______．二、多选题1．(2022新高考全国II 卷·第11题)如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则()A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =题型四：立体几何中的球的问题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第16题)已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D BCC 1B 1的交线长为________．2．(2017年高考数学天津理科·第10题)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝2．(2019·北京·理·第12题)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②m ∥α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【3．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题),αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥．(2)如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥．(3)如果//αβ，m α⊂，那么//m β．(4)如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有．(填写所有正确命题的编号)二、多选题1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是()A ．B ．C ．D ．_____________．(结果用反三角函数值表示)2．(2015高考数学浙江理科·第13题)如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．3．(2015高考数学四川理科·第14题)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为AB ,BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________4．(2015高考数学上海理科·第6题)若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．5．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题),a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是．(填写所有正确结论的编号)6．(2016高考数学上海理科·第6题)如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________．二、多选题1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第9题)已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则()．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC △2．(2022新高考全国I 卷·第9题)已知正方体1111ABCD A B C D -，则()A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒。
高三理科立体几何专题
高三理科数学专题复习 专题六 立体几何1、 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( )A ．258B ．234C ．222D ．2102、已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3 (B)3 (C) 33、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113a π (D) 25a π 4、如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C11若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 A ．直线 B ．圆 C ． 双曲线D ． 抛物线5、已知二面角l αβ--为60o ，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ） (A) (B)2 (C)6、如图，下列四个正方体图形中，A B ，为正方体的两个顶点，M N P ，，分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）．（A ）①④ （B ）②④ （C ）①③④ （D ）①③7、连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A8、，在该几何体的正视图中，的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A．B．C ．4D．9、在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A.32π B. 52π C. 72π D. 92π 10、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）11、如图定点A 和B 都在平面α内，定点αα⊥∉PB P ,的动点，且PC 垂直AC ，那么动点C 在平面α（A ）一条线段，但要去掉两个点。
高三《立体几何》专题复习
高三《立体几何》专题复习一、常用知识点回顾1、三视图。
正侧一样高，正俯一样长，侧府一样宽，看不到的线画虚线。
2、常用公式与结论。
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式；（2）空间几何体的表面积与体积公式；（3）全品高考复习方案（听课手册）105页的常用结论3、两条异面直线所成的角；直线与平面所成的角。
4、证明两条直线平行的常用方法；直线与平面平行的判定与性质；面面平行的判定与性质。
5、证明两条直线垂直的常用方法；直线与平面垂直的判定与性质；两个平面垂直的判定与性质。
二、题型训练题型一：三视图的运用，求几何体的体积、表面积例1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18+（B）54+（C）90（D）81【练习1】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为（）C.3D.2【练习2】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A.90πB.63πC.42πD.36π【练习3】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π例2、在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）9π2 （C ）6π （D ）32π3变式1：在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=5，则V的最大值是变式2：在封闭的长方体ABCD－A1B1C1D1内有一个体积为V的球.若AB=BC=6，AA1=3，则V的最大值是变式3：（1）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（2）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为变式4：【练习1】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（）A. B.12π C. D.10π【练习3】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_______题型二：平行问题例1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB; （II）求四面体N-BCM的体积.【练习1】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PADAD,为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12∠BAD=∠ABC=90°。
高考立体几何知识点总结(详细)
高考立体几何知识点总结一、空间几何体（一）空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二）几种空间几何体的结构特征1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类图1-1 棱柱棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是四边形底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱长都相等性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面积和体积公式（是底周长，是高）S直棱柱表面 = c·h+ 2S底V棱柱 = S底·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）ABCDPOH体积：（为底面积，为高）正四面体：对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。
对棱间的距离为（正方体的边长）正四面体的高（）正四面体的体积为（）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
高三立体几何专题复习
高考立体几何专题复习一．考试要求：〔1〕掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
〔2〕了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念〔对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离〕。
〔3〕了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。
〔4〕了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。
掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
〔5〕会用反证法证明简单的问题。
〔6〕了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。
〔7〕了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
〔8〕了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
〔9〕了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。
〔10〕了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式。
二．复习目标：1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的根底上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的根底上，掌握它们的求法(其根本方法是分别作出这些角，并将它们置于*个三角形通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步稳固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握根本的立体几何解题方法和常用解题技巧，开掘不同问题之间的在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和"说话要有根据〞的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力．三．教学过程：〔Ⅰ〕根底知识详析高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考察的知识点在20个以. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考察立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着"多一点思考,少一点计算〞的开展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探常考常新的热门话题.1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决"平行与垂直〞的有关问题着手，通过较为根本问题，熟悉公理、定理的容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．2．判定两个平面平行的方法：〔1〕根据定义——证明两平面没有公共点；〔2〕判定定理——证明一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面；〔3〕证明两平面同垂直于一条直线。
高三数学总复习专题9 立体几何(答案及解析)
高三数学总复习专题9 立体几何方法点拨1．求解几何体的表面积及体积的技巧（1）求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．（2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解．2．判断与空间位置关系有关的命题真假的方法（1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断．3．利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤（1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．（2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．（3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．（4）根据运算结果解释相关问题．4．三种空间角与空间向量的关系（1）线线角：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cos a b a bθ⋅=⋅． （2）线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θ满足sin l n l nθ⋅=．（3）二面角①如图(Ⅰ)，AB ，CD 是二面角αβ--l 的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=；②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，1n ，2n 分别是二面角αβ--l 的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==． 5．利用空间向量求解探索性问题的策略（1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论．（2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．6．求空间多面体的外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解．（2）利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径．（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．经典试题汇编一、选择题．1．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2．现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A ．2πB ．22πC ．32πD ．42π2．（安徽省池州市2021届高三一模）某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积等于（ ）A ．8B ．163C ．83 D ．43 3．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）如图，正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22=EF ，则三棱锥-A BEF 的体积为（ ）A ．112 B ．14 C ．212D ．不确定 4．（多选）（福建省福州市2021届高三3月份一模数学试题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB //平面MNP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（吉林省长春市2022届高三上学期质量监测（一））给出下列命题： ①若ABC 的三条边所在直线分别交平面α于,,P Q R 三点，则,,P Q R 三点共线； ②若直线,a b 是异面直线，直线,b c 是异面直线，则直线,a c 是异面直线； ③若三条直线,,a b c 两两平行且分别交直线l 于,,A B C 三点，则这四条直线共面；④对于三条直线,,a b c ，若⊥a c ，⊥b c ，则a b ∥．其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④6．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）已知,a b 是两条异面直线，直线c 与,a b 都垂直，则下列说法正确的是（ ）A ．若⊂c 平面α，则α⊥aB ．若⊥c 平面α，则,a b αα∥∥C ．存在平面α，使得,,c a b ααα⊥⊂∥D ．存在平面α，使得,,c a b ααα⊥⊥∥7．（西南名校联盟2022届“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（一））已知,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线，给出下列命题：①若,αβ⊥⊂m m ，则αβ⊥；②若,//αβα⊥m ，则β⊥m ；③若,,//,//ααββ⊂⊂m n m n ，则//αβ；④若,//αα⊥m n ，则⊥m n ．其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．38．（吉林省长春市2022届高三一模）长方体1111-ABCD A B C D 中，=AB 1=AD ，1=AA 1AD 与11A C 成角余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．69．（福建省泉州市2021届高三一模数学试题）在长方体1111-ABCD A B C D 中，1==AB BC ，1=AA 1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A 3B ．112C ．3-D ．112- 10．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,==AC AM m n BD MB，其中(),0,m n ∈+∞．有下列命题： ①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；③当1m =时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且2AC BD ==时，截面MNPQ 的面积的最大值为1．其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．（多选）（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为α，则下列说法正确的是（ ）A ．1EFD △为等边三角形B ．平面α交正方体1111-ABCD A BCD 的截面为五边形C ．在正方体1111-ABCD A B C D 中，存在棱与平面α平行D ．在正方体1111-ABCD A B C D 中，不存在棱与平面α垂直12．（山西省怀仁市第一中学校2021届高三一模）在矩形ABCD 中，BC ＝4，M 为BC 的中点，将△ABM 和△DCM 分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与点C 重合于点P ，若∠APD ＝150°，则三棱锥M －PAD 的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．34πC ．68πD ．126π13．（江西省赣州市2021届高三3月一模）在三棱锥-S ABC 中，⊥SA 平面ABC ，23==SA AB 2=BC ，7=SC P ，Q 分别是SB ，BC 的中点，则平面APQ 被三棱锥-S ABC 的外接球所截得的截面面积为（ ）A ．437πB ．134πC ．215πD ．143π 二、填空题．14．（福建省龙岩市2021届高三一模）正方体''''-ABCD A B C D 的棱长为a ，P 是正方体表面上的动点，若2=AP a ，则动点P 的轨迹长度为________．15．（贵州省遵义市2021届高三一模）如图，正方形ABCD 中，22=AB 点E 为AD 中点，现将∆DEC 沿EC 折起形成四棱锥-P ABCE ，则下列命题中为真命题的是______．①设点O 为AC 中点，若2=MC PM ，则在折起过程中，、、、P M B O 四点可能共面；②设OD 与EC 交于点F ，则在折起过程中AC 与PF 可能垂直；③四棱锥-P ABCE 410． 16．（陕西省2019年渭南市高三一模）已知四面体-P ABC 四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，⊥AB AC ，且1=AC ，2==AB PB ，则球O 的表面积为________．17．（山西省晋中市2021届高三一模）在正四棱锥-P ABCD 中，已知2==PA AB ，O 为底面ABCD 的中心，以点O 为球心作一个半径为233的球，则平面PCD 截该球的截面面积为________．18．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥-A DEF 外接球表面积的最小值为_______．19．（安徽省池州市2021届高三一模）如图，在平面四边形ABCD 中，⊥AD BD ，60∠=︒DAB ，120∠=︒DCB ，1=AD ，将ABD △沿着BD 折起，使得二面角--A BD C 为直二面角，当三棱锥-A BCD 体积最大时，三棱锥-A BCD 的外接球的表面积为___________．20．（焦作市2021高三一模）如图，在棱长均为2的正三棱柱111-ABC A B C 中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且1A P ∥平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为________．三、解答题．21．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB ⊥BC ，BC =4，AB =8，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．将ADE 沿DE 折起，使点A 到达点1A 的位置，且1A D ⊥BD ，连接1A B ，1A C ，得到如图乙所示的四棱锥1-A DBCE ，M 为线段1A D 上一点．图甲 图乙（1）证明：平面1A DB ⊥平面DBCE ；（2）过B ，C ，M 三点的平面与线段1A E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求三棱锥1-A BCN 的体积．①BM =BE ；②直线EM 与BC 所成角的大小为45°；③三棱锥-M BDE 的体积是三棱锥1-E A BC 体积的14．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）如图1，在矩形ABCD 中，4=AB ，2=AD ，E 是CD 的中点，将ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1-D ABCE ，其中平面1⊥D AE 平面ABCE ．（1）设F 为1CD 的中点，若M 为线段AB 上的一点，满足14=AM AB ．求证：MF ∥平面1D AE ；（2）求点B 到平面1CD E 的距离．23．（福建省龙岩市2021届高三一模）如图，四棱锥-S ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面SAD 为等腰直角三角形，22==SA SD 2=AB ，F 是BC 的中点，二面角--S AD B 的大小为120°，设平面SAD 与平面SBC 的交线为l ．（1）在线段AD 上是否存在点E ，使⊥l 平面SEF ?若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由；（2）若点Q 在l 上，直线SB 与平面QCD 所成角的正弦值为34，求线段DQ 的长． 24．（四川省乐山市高中2022届三模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．在如图所示的“阳马”-P ABCD 中，侧棱⊥PD 底面ABCD ，=PD DA ，点E 是PA 的中点，作⊥EF PB 交PB 于点F ．（1）求证：⊥PB 平面EFD ；（2）若平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角为60︒，求AD DC． 25．（安徽省池州市2021届高三一模）如图，P 在平面ABC 上的投影为点C ，⊥AC BC ，2=AB PC ，D 、O 分别为线段PA 、AB 的中点，PO 与BD 交于点E ，F 是PC 上的一个点．（1）若//EF 平面ABC ，求PF FC的值； （2）若=PF FC ，2=AB CB ，求二面角--F BE C 的正弦值． 26．（2020届浙江省宁波市高三一模）已知三棱柱111-ABC A B C 中，M 、N 分别是1CC 与1A B 的中点，1△ABA 为等边三角形，1=CA CA ，112==A A A M BC ．（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）（i ）求证：⊥BC 平面11ABB A ；（ii ）求二面角--A MN B 的正弦值．27．（福建省泉州市2021届高三一模）如图，在四棱锥-P ABCD 中，二面角--P AD C 是直二面角，AD 为等腰直角三角形PAD 的斜边，2==AD CD ，1==AB BC ，5=BD M 为线段PC 上的动点．（1）当=PM MC 时，证明：PA ∥平面MBD ；（2）若平面⊥MBD 平面ABCD ，求二面角--B MD C 的余弦值．28．（广西柳州市2022届高三11月第一次模拟）如图，△ABC 的外接圆O 的直径|AB|=2，CE 垂直于圆O 所在的平面，BD ∥CE ，|CE |=2，|BC |=|BD |=1，M 为DE 上的点．（1）证明：BM ⊥AC ；（2）当DM为何值时，二面角C－AM－D29．（西南名校联盟2022届“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（一））如图甲，平面图形ABCDE中，1,,,60∥，沿BD将AE ED DB BC CB BD ED AB EAB====⊥∠=︒△折起，使点C列F的位置，如图乙，使,=BCDBF BE EG BF．⊥（1）求证：平面⊥GEBF平面AEG；（2）点M是线段FG上的动点，当GM多长时，平面MAB与平面AEG所成的锐二?面角的余弦值为4参考答案一、选择题． 1-3：DDA 4．ABD 5-10.BCBDAA 11．BD 12-13．CA 二、填空题． 14．【答案】32πa【解析】动点P 的轨迹是以A 为球心，的球与平面''''A B C D ，平面''DCC D ，平面''CBB C 的交线，这三条弧长之和为32πa ， 故答案为32πa ． 15．【答案】③【解析】平面PMO 即为平面PAC ，又∉B AC ，故,PB MO 为异面直线， 从而、、、P M B O 不可能在同一平面内，故①错误；若AC 与PF 垂直，因为⊥AC BD ，=PF BD F ，则⊥AC 平面PBF ， 而⊂PO 平面PBF ，故⊥AC PO ，而O 为AC 的中点， 故=PA PC ，但1122==PA AD PC ，矛盾，故②错误； 当平面⊥PEC 平面ABCE 时，四棱锥-P ABCE 体积取得最大， 此时过P 作⊥PG EC ，交EC 于G ，设=PG h ，因为平面PEC 平面=ABCE EC ，⊂PG 平面PEC ，故⊥PG 平面ABCE ， 故四棱锥-P ABCE 的高为=PG h ．故在PCE Rt △，由⋅=⋅PE PC EC h ，可得=h ，故1132=⨯⨯=V ，故③正确， 故答案为③． 16．【答案】9π【解析】由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，可得图中四个直角三角形， 且PC 为△PBC ，△PAC 的公共斜边，故球心O 为PC 的中点，由AC ＝1，AB ＝PB ＝2，PC ＝3， ∴球O 的半径为32，其表面积为9π，故答案为9π． 17．【答案】23π【解析】由正棱锥性质知：⊥PO 平面ABCD ， 取CD 中点E ，连接PE ，作⊥OG PE ，垂足为G ，⊥PO 平面ABCD ，⊂CD 平面ABCD ，∴⊥PO CD ，,O E 分别为,AC CD 中点，//∴OE AD ，又⊥AD CD ，∴⊥OE CD ，,⊂PO OE 平面POE ，=PO OE O ，∴⊥CD 平面POE ，又⊂OG 平面POE ，∴⊥OG CD ，又⊥OG PE ，,⊂CD PE 平面PCD ，=CD PE E ，∴⊥OG 平面PCD ，则由球的性质可知：G 为平面PCD 截球O 所得截面圆的圆心， 设H 为该截面圆与PE 的一个交点，连接OH ，2==PA AB ，12∴==AO AC 112==OE AD ，∴==PO∴==PE ，又1122=⋅=⋅POESPO OE PE OG ，3⋅∴==PO OE OG PE ，23=OH ∴==HG =r ，∴截面圆的面积223ππ==S r ，故答案为23π． 18．【答案】13π【解析】如下图所示，设圆柱的底面半径为r ，母线长为h ，圆柱的外接球半径为R ，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R ，则O 为圆柱的外接球球心， 由勾股定理可得()()22222+=r h R ．本题中，⊥AD 平面DEF ，设DEF 的外接圆为圆1O ，可将三棱锥-A DEF 内接于圆柱12O O ，如下图所示：设DEF 的外接圆直径为2r ，=AD h ，该三棱锥的外接球直径为2R ，则()()22222=+R r h ．如下图所示：设=CF x ，则02<<x ，tan ∠=CEF x ，tan 2∠=xCDF ，()2tan tan 2tan tan 1tan tan 212-∠-∠∠=∠-∠===+∠∠++⋅xx CEF CDF x DFE CEF CDF x CEF CDF x x 12242222=≤==+⋅x x xx， 当且仅当2=x tan ∠DFE 取得最大值24，由22sin tan cos 4sin cos 1sin 0⎧∠∠==⎪∠⎪⎪∠+∠=⎨⎪∠>⎪⎪⎩DFE DFE DFE DFE DFE DFE ，可得1sin 3∠=DFE，cos ∠=DFE ，所以，sin ∠DFE 的最大值为13，由正弦定理得23sin ==∠DEr DFE，即2r 的最小值为3，因此，()()22222223213=+≥+=R r h ，所以，三棱锥-A DEF 外接球的表面积为2413ππ=≥S R ，故三棱锥-A DEF 外接球的表面积的最小值为13π，故答案为13π． 19．【答案】5π【解析】∵二面角--A BD C 为直二面角，且⊥AD BD ，∴⊥AD 平面BCD ， ∴当三棱锥-A BCD 体积最大时，BCD △的面积最大， 此时点C 到BD 的距离取得最大值，此时BCD △是等腰三角形， ∵120∠=︒DCB ，∴30∠=∠=︒CBD CDB ， ∵60∠=︒DAB ，1=AD，∴=BD ，2=AB ，∴BCD △的外接圆半径112sin120=⋅=︒BDr ，设点F 为BD 的中点，连接CF ，∴12=CF ，且⊥CF 平面ABD ，设点1O 是BCD △的外心，则点1O 在CF 的延长线上，且112=O F ，∵BCD △是等腰三角形，∴⊥CF BD ，则⊥CF 平面ABD ， 设点E 为AB 的中点，则点E 为ABD △的外心，且1==AE BE ， 设三棱锥-A BCD 的外接球的球心为点O ，连接OE ，连接1OO ， ∴⊥OE 平面ABD ，∴1//OE O F ， 由⊥EF BD ，得⊥EF 平面BCD ，又1⊥OO 平面BCD ，∴1//EF OO ， ∴四边形1OO FE 为矩形，∴112==OE O F ，∴三棱锥-A BCD 的外接球的半径22=+R AE OE 221512⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴该外接球的表面积24π=S R 254=52ππ⎛=⨯ ⎝⎭， 故答案为5π． 20．【答案】43【解析】P 是侧面11BCC B 内的动点，且1A P ∥平面BCM ，∴P 点的轨迹是过1A 点与平面MBC 平行的平面与侧面11BCC B 的交线， 即：连接侧棱1BB ，1CC 中点的线段l ，Q 是底面ABC 内的动点，⊥PQ 面BCM ，∴Q 的轨迹是过l 与平面MBC 垂直的平面与面ABC 相交的线段m ， 过P 作1PD BB ∥交BC 于D ，连接QD ，若PQ 交面BMC 于E ，连接ED ，易知1,,,,A P D Q E 共面，且⊥BC 面PDQ ，即∠EDQ 为M -BC -A 的平面角，如上图， ∴⊥PD QD ，而1=AM ，而A 到BC 的距离3=d 6π∠=EDQ ，故3π∠=PDE ，∵1=PD ，即1cos 2=⋅∠=ED PD PDE ， 而3cos 3==∠ED QD EDQ ，∴13=QD d ， 即Q 所在线段m 过ABC 的重心且与BC 平行，由正三棱柱111-ABC A B C 中棱长均为2，故线段m 的长为24233⨯=， 故答案为43． 三、解答题．21．【答案】（1）证明见解析；（2）条件选择见解析，163． 【解析】（1）∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥， ∵⊥AD BC ，∴⊥AD DE ，∴1⊥A D DE ．∵1⊥A D BD ，⊂DE 平面BDEC ，⊂DB 平面BDEC ，DE DB D =， ∴1⊥A D 平面BDEC ．又1⊂A D 平面1A DB ，∴平面1⊥A DB 平面BDEC ． （2）选①：∵=BM BE ，90∠=∠=︒BDM BDE ， ∴≌BDM BDE ，∴2==DE DM ，∴M 为1A D 的中点， 选②：∵BC DE ，∴直线EM 与BC 所成角为∠MED ． 又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒，∴45∠=︒MED ． ∵1⊥A D DE ，∴2==DE DM ，∴M 为1A D 的中点． 选③：∵1113--==⋅△E A DC N EBC EDC V V S A D ，13-=⋅△M BDC BDE V S MD ，114--=M BDE E A BC V V ，又12=DE BC ，即12=BDE EBC S S ，∴12=A D MD ，∴M 为1A D 的中点．∵过B ，C ，M 三点的平面与线段1A E 相交于点N ，DE BC ∥，⊄BC 平面1A DE ， ∴BC ∥平面1A DE ，又平面BMNC 平面1=A DE MN ，∴∥BC MN ， ∴N 为1A E 的中点．∵11--=A BCN N A BC V V ，又MN ∥平面'A BC ，∴111---==N A BC M A BC C A BM V V V ，易知⊥BC 平面1A BD ，∴11111116843663-=⋅=⋅=⨯⨯=△△C A BM A BM A BD V S BC S BD ， ∴三棱锥1-A BCN 的体积为163．22．【答案】（1）证明见解析；（2）26=d 【解析】（1）证明：如图所示：取1D E 的中点N ，连AN 、NF ，则12=NF EC ，NF EC ∥， ∵122==EC AB ，当114==AM AB 时，12=AM EC ，AM EC ∥， 是=NF AM 且NF AM ∥，所以AMFN 是平行四边形，则AN MF ∥． 又⊄MF 平面1D AE ，⊂AN 平面1D AE ， 所以MF ∥平面1D AE ． （2）如图所示：取AE 的中点O ，BC 的中点Q ，连接EF ，1D O ． 易知1⊥EF D C ，⊥OQ CB ． 因为11=D A D E ，=AO EO ，所以1⊥D O AE ，平面1D AE 平面=AECB AE ， 平面1⊥D AE 平面AECB ，1⊂D O 平面1AD E ， 所以1⊥D O 平面AECB ．设点B 到平面1CD E 的距离为d ，在1D OC Rt △中，223110=+=OC 12=D O ，所以1==D C在1△D EC 中，因为12==EC D E ，1=D C所以1==EF ．由11--=D BCE B CED V V ，得1111113232⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅CB CE D O CD EF d ，即11112213232⋅⋅⋅=⋅⋅⋅d ，解得=d ．23．【答案】（1）在线段AD 上存在点E 满足题意，且E 为AD 中点；（2． 【解析】（1）在线段AD 上存在点E 满足题意，且E 为AD 中点， 连接ES ，EF ，SF ，底面ABCD 为矩形，∴⊥AB AD ，又E ，F 分别是AD ，BC 中点，//∴EF AB ，⊥EF AD ， 又侧面SAD 为等腰直角三角形，∴⊥SE AD ，=SE EF E ，∴⊥AD 平面SEF ．因为//AD BC ，⊄AD 面SBC ，⊂BC 面SBC ， 所以//AD 面SBC ，又因为⊂AD 面SAD ，面SAD 面=SBC l ，所以//AD l ， 又因为⊥AD 平面SEF ，所以⊥l 平面SEF ，所以在线段AD 上存在点E 满足⊥l 平面SEF ，且E 为AD 中点．（2）以E 为原点，EA 方向为x 轴，EF 方向为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，∠SEF 为二面角--S AD B 的一个平面角， 所以120SEF ∠=︒，因为侧面SAD 为等腰直角三角形，22==SA SD 所以(0,3S -，()2,2,0B ，()2,0,0-D ，()2,2,0-C ，设(,3-Q t ，(2,3,3∴=-SB ，(0,2,0)=DC ，(2,3=+-DQ t ， 设平面QCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00DC DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得20(2)30=⎧⎪⎨+-=⎪⎩y t x y z ，取3⎛=- ⎝n ， 设直线SB 与平面QCD 所成角为θ， 则23sin cos ,(2)413SB t θ=<>==++n ，得94=-t ，所以,943⎛- ⎝-Q ， 又因为()2,0,0-D ，所以654=DQ ． 24．【答案】（1）证明见解析；（2）22． 【解析】（1）设1==PD DA ，()0λλ=>AB ，如图，以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．则(0,0,0)D ，(0,0,1)P ，(1,,0)λB ，(1,0,0)A ，因为点E 是PA 的中点，所以11,0,22⎛⎫⎪⎝⎭E ， (1,,1)PB λ=-，11,0,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是0PB DE ⋅=，即⊥PB DE ，又已知⊥EF PB ，而=DE EF E ，所以⊥PB 平面DEF ．（2）由⊥PD 平面ABCD ，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量， 由（1）知，⊥PB 平面DEF ，所以(1,,1)PB λ=-是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为60︒， 则211cos 32||||2BP DP BP DP πλ⋅-===⋅+，解得2λ= 所以122λ==AD AB ， 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为60︒时，122λ==AD AB ． 25．【答案】（1）2；（210【解析】（1）因为D 、O 分别为线段PA 、AB 的中点， 所以BD 和PO 的交点E 为△PAB 的重心，所以2=PEEO， 因为//EF 平面ABC ，EF 平面PCO ，平面PCO 平面=ABC CO ， 所以//EF CO ，所以2==PF PEFC EO． （2）设2=BC ，则4=AB ，2=PC ，1=CF ， 由题意可知⊥PC 平面ABC ，⊥AC BC ，以点C 为坐标原点，以CA 、CB 、CP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,1F 、()0,2,0B 、()0,0,0C 、()23,0,0A 、()002,,P 、2322,33⎫⎪⎪⎝⎭E ，设平面FBE 的法向量为()111,,x y z =n ，()0,2,1=-FB，242,333⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭BE ，则00FBBE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111112042033-=⎧-+=y z x y z ，取11=y ，可得()0,1,2=n ， 设平面CBE 的法向量为()222,,x y z =m ，()0,2,0=CB ，则00CBBE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即22222042033=⎧-+=y x y z ，取21=x ，可得(1,0,=m ，因为cos ,⋅<>===⋅m n m n m n ， 则sin ,5<>==m n ， 因此，二面角--F BE C ．26．【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）见解析；（ii ． 【解析】（1）取1BB 中点P ，连接MP ，则//MP BC ，因为⊂BC 平面ABC ，⊄MP 平面ABC ，所以//MP 平面ABC ， 因为N 、P 分别11,A B BB 的中点，所以11//PN A B ， 又11//A B AB ，所以//PN AB ，因为⊂AB 平面ABC ，⊄PN 平面ABC ，故//NP 平面ABC ， 因为NP MP P =，⊂NP 平面PMN ，⊂MP 平面PMN ， 于是平面//PMN 平面ABC ，又⊂MN 平面PMN ，所以//MN 平面ABC ． （2）（i ）不妨设1=BC ，则112==A A A M ．依题意111==CA CA C A ，故1A M 为等腰11△ACC 底边上的中线，则11⊥A M CC ，于是11===AC AC ， 因为222+=AB BC AC ，所以⊥AB BC ，同理22211+=A B BC A C ，则1⊥A B BC ， 又1AB A B B =，⊂AB 平面1ABA ，1⊂A B 平面1ABA ， 所以⊥BC 平面11ABB A ．（ii ）方法一：因为⊥BC 平面1ABA ，⊂AN 平面1ABA ，所以⊥AN BC ， 因为1△ABA 为等边三角形且N 为1A B 的中点，所以1⊥AN BA ， 又1BC BA B =，⊂BC 平面1A BC ，1⊂BA 平面1A BC ， 所以⊥AN 平面1A BC ，因为⊂AN 平面AMN ，故平面⊥AMN 平面1A BC ． 设1=A C AM Q ，则QN 为平面AMN 与平面1A BC 的交线， 过B 作⊥BH QN 于点H ，则⊥BH 平面AMN ．又过B 作⊥BG MN 于点G ，则⊥MN 平面BGH ，∠BGH 即为二面角--A MN B 的平面角．在△BMN 中，==BM MN 1=BN ，则=BG ，在△BQN 中，==BH BN所以sin ∠===BH BGH BG即二面角--A MN B 的正弦值是．方法二：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B，()-A，12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭N ，()1,0,1M ，1,2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭NM，()2,=AM ，()1,0,1=BM ．设平面AMN 的法向量()1111,,x y z =n ，平面BMN 的法向量()2222,,x y z =n ，由1111111210220NMx y z AMx z ⎧⎧⊥+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩-+=⎩n n ，可取()1=n ； 由22222221020NM x y z BM x z ⎧⎧⊥+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩+=⎩n n ，可取21,13⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭n ， 于是121212cos ,⋅===⋅n n n n n n 所以二面角--AMN B = 27．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN ， 因为2==AD CD ，1==AB BC ，所以BD 为AC 的垂直平分线，则=AN CN ，又因为=PM MC ，所以MN 为PAC △的中位线，则PA MN ∥，又因为⊄PA 平面MBD ，⊂MN 平面MBD ， 所以PA ∥平面MBD ．（2）因为22214+=+=AB AD BD ，得⊥AB AD ， 又因为平面⊥PAD 平面ABCD ，在故以点A 为原点，AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴，平面PAD 内过点A 作AD 的垂线为z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()0,1,1P ，84,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭C ， 于是84,,055⎛⎫= ⎪⎝⎭AC ，(0,1,1)=-PD ，86,,055⎛⎫=- ⎪⎝⎭DC ， 设平面MCD 的一个法向量是()1111,,x y z =n ，则110PD DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即11110430-=⎧⎨-=⎩y z x y ，令13=x ，14=y ，14=z ，取()13,4,4=n ，因为平面⊥MBD 平面ABCD ，且⊥AC BD ，所以平面MBD 的一个法向量是84,,055⎛⎫= ⎪⎝⎭AC ，取()22,1,0=n ， 设二面角--B MD C 的平面角为θ，则12122205cos 41415θ⋅===⋅⨯n n n n ， 因为二面角--B MD C 的平面角为锐角，所以其大小的余弦值220541． 28．【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【解析】（1）∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ， ∵CE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴CE ⊥AC ，又∵CE ∩BC =C ，CE 和BC ⊂平面BCED ，∴AC ⊥平面BCED ， ∵BM ⊂平面BCED ，∴AC ⊥BM ．（2）由（1）和已知条件可知，CA 、CB 、CE 两两垂直，故以C 为原点，CA 、CB 、CE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C -xyz ：则C (0，0，0)，)()()()3,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2A B D E ， 则()()()0,1,1,3,1,1,3,0,0=-=-=DE AD CA ，设()0,,λλλ==-DM DE (λ>0)，则()3,1,1λλ=+=--+AM AD DM ， 设平面AMD 的法向量为()111,,x y z =m ，则1111103000AD x y z y z DM ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎩⎪⎩m m ，取(3,3=m ； 设平面CAM 的法向量为()222,,x y z =n ，则()()222001100x CA y z AM λλ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩n n ，取()0,1,1λλ=+-n ， 设二面角C -AM -D 的大小为θ， 则23131661cos 101031022λλθλλ⋅+-==⇒=⇒=⋅⨯+m n m n， ∴223λ==DM 29．【答案】（1）证明见解析；（2）当3=GM MAB 与平面AEG 所成锐3【解析】（1）因为=EG BF ，则EG BF ∥，且=EG BF ， 又,,BF BE BF BD BE BD B ⊥⊥=，,⊂BE BD 平面ABDE ，因此，⊥BF 平面ABDE ，即有⊥EG 平面ABDE ，⊂EB 平面ABDE ，则⊥EG EB ，而1,AE ED DB ED AB ===∥，则四边形ABDE 为等腰梯形， 又60∠=︒EAB ，则有120BDE AED ∠=∠=︒，于是有30∠=︒DEB ，则90=︒∠AEB ，即⊥AE BE ，=AE EG E ，,⊂AE EG 平面AEG ， 因此，⊥BE 平面AEG ，而⊂BE 平面GEBF ， 所以平面⊥GEBF 平面AEG ．（2）由（1）知，EA ，EB ，EG 两两垂直，以点E 为原点，射线EA ，EB ，EG 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系-E xyz ，如图，因1====AE ED DB BF ，四边形GEBF 是矩形，则3==FG BE即(1,0,0)A ，3,0)B ，(0,0,1)G ，令(03)GM λλ=≤≤，则(0,,1)λM ，(1,,1)λ=-AM ，(13,0)=-AB ，设平面MAB 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则030AM x y z AB x λ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ， 令1=y ，得(3,1,3)λ=m ，平面AEG 的一个法向量(0,1,0)=n ，则有2|||cos |||||4(3)λ⋅〈〉==+-,m n m n m n ，03λ≤≤，设平面MAB 与平面AEG 所成锐二面角为θ，则2cos 4(3)θλ=+-03λ≤≤234(3)λ=+-3λ=，即3=GM所以当3=GM MAB 与平面AEG 3．。
高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)
高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)立体几何知识点整理 2. 线面平行：姓名: 方法一：用线线平行实现。
一、直线和平面的三种位置关系：1.线面平行lim lm⊂aI=a}⇒IBa符号表示：2.线面相交方法二：用面面平行实现。
α//βI⊂β⇒Iα符号表示：3.线在面内符号表示：方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量。
⃗⃗且/ɑα.则111α. 3. 面面平行：二. 平行关系：方法一：用线线平行实现。
1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。
lIIaI ⇒lIm方法二：用面面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
1//rm∥m'l. m=β且相交 ⇒α∥βl',m'cα且相交方法二：用线面平行实现。
1/1am//α ⇒α∥β 1. m ⊂β且相交)三.垂直关系：1.线面垂直：若/⊥α,m⊥α,则|∥m.方法四：用向量方法：若向量i 和向量 ⃗共线且1. m 不重合,则|//m 。
方法一：用线线垂直实现。
IA方法二：用面面垂直实现。
2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线重直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：三重线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法：若向量/和向量⃗的数量积为0,则/⊥m.三.夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 范围: (0°,90°](2)求法:方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
转化为向量的夹角(二)线面角(1)定义：直线/ 上任取一点P(交点除外)，作PO⊥α于O,连结AO,则AO为斜线PA 在面α内的射影，∠PAO(图中θ)为直线t与面α所成的角。
(2)范围: [0°.90°]当θ=0°时, 1cα或1//α当θ=90°时, 1⊥α(3)求法:方法一：定义法。
高三数学总复习指导(理科)专题七 立体几何
专题七立体几何立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系．本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体的结构，三是空间向量与立体几何．在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题．§7－1 点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】1．空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交．②无公共点：平行或异面．平行，记作：a∥b．异面中特殊位置关系：异面垂直．(2)空间直线与平面：①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．直线在平面内，记作：a⊂α ．直线与平面相交，记作：a∩α ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥α ．(3)空间两个平面：①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交．②无公共点：平行，记作：α ∥β ．2．空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【复习要求】1．了解四个公理与等角定理；2．理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 【例题分析】例1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点． 求证：(Ⅰ)E 、C 、D 1、F 四点共面；(Ⅱ)CE 、DA 、D 1F 三线共点．【分析】对于(Ⅰ)中证明“E 、C 、D 1、F 四点共面”，可由这四点连接成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于(Ⅱ)中证明“CE 、DA 、D 1F 三线共点”，可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上．证明：(Ⅰ)连接D 1C 、A 1B 、EF ． ∵E ，F 分另是AB ，AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，,211B A EF =又A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴A 1D 1CB 是平行四边形． ∴A 1B ∥D 1C ，EF ∥D 1C ， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面． (Ⅱ)由(Ⅰ)得EF ∥CD 1，,211CD EF =∴直线CE 与直线D 1F 必相交，记CE ∩ D 1F ＝P ， ∵P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1，P ∈CE ⊂平面ABCD ， ∴点P 是平面A 1ADD 1和平面ABCD 的一个公共点． ∵平面A 1ADD 1∩平面ABCD ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE 、DA 、D 1F 三线共点．【评述】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据： (1)证明多点共面常用公理2及其推论；(2)证明多点共线常用公理3，即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上；(3)证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内． 2、证明a ，b ，c 三线交于一点的主要依据：(1)证明a 与b 相交，c 与b 相交，再证明两交点重合； (2)先证明a 与b 相交于点P ，再证明P ∈c ．例2 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD ．【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．证明：方法一，取PD 中点E ，连接AE ，NE ．∵底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，∴MA ∥CD ，.21CD MA = ∵E 是PD 的中点， ∴NE ∥CD ，.21CD NE =∴MA ∥NE ，且MA ＝NE ， ∴AENM 是平行四边形， ∴MN ∥AE ．又AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD ．方法二取CD 中点F ，连接MF ，NF ． ∵MF ∥AD ，NF ∥PD ， ∴平面MNF ∥平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD ．【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(2)(3)证明面面平行：例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．证明：连接AC1．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1．又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥A B．①又AA1＝AC，∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1．②由①，②得A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1．【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．例4在三棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面P AC⊥平面PBC．【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．证明：∵平面P AB⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面P AB，∴AP ⊥BC ． 又AP ⊥PB ，∴AP ⊥平面PBC ， 又AP ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面PBC ．【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：例5 如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1是菱形，且垂直于底面ABC ，∠A 1AB ＝60°，E ，F 分别是AB 1，BC 的中点．(Ⅰ)求证：直线EF ∥平面A 1ACC 1；(Ⅱ)在线段AB 上确定一点G ，使平面EFG ⊥平面ABC ，并给出证明． 证明：(Ⅰ)连接A 1C ，A 1E ．∵侧面A 1ABB 1是菱形， E 是AB 1的中点， ∴E 也是A 1B 的中点，又F 是BC 的中点，∴EF ∥A 1C ．∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，EF ⊄平面A 1ACC 1， ∴直线EF ∥平面A 1ACC 1． (2)解：当31=GA BG 时，平面EFG ⊥平面ABC ，证明如下： 连接EG ，FG ．∵侧面A 1ABB 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，∴△A 1AB 是等边三角形． ∵E 是A 1B 的中点，31=GA BG ，∴EG ⊥AB ． ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ， ∴EG ⊥平面ABC ．又EG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面ABC ．练习7－1一、选择题：1．已知m ，n 是两条不同直线，α ，β ，γ 是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) (A)若m ∥α ，n ∥α ，则m ∥n (B)若m ⊥α ，n ⊥α ，则m ∥n (C)若α ⊥γ ，β ⊥γ ，则α ∥β (D)若m ∥α ，m ∥β ，则α ∥β 2．已知直线m ，n 和平面α ，β ，且m ⊥n ，m ⊥α ，α ⊥β ，则( ) (A)n ⊥β (B)n ∥β ，或n ⊂β (C)n ⊥α (D)n ∥α ，或n ⊂α3．设a ，b 是两条直线，α 、β 是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) (A)a ⊥α ，b ∥β ，α ⊥β (B)a ⊥α ，b ⊥β ，α ∥β (C)a ⊂α ，b ⊥β ，α ∥β (D)a ⊂α ，b ∥β ，α ⊥β 4．设直线m 与平面α 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) (A)在平面α 内有且只有一条直线与直线m 垂直 (B)过直线m 有且只有一个平面与平面α 垂直 (C)与直线m 垂直的直线不可能与平面α 平行 (D)与直线m 平行的平面不可能与平面α 垂直 二、填空题：5．在三棱锥P －ABC 中，6==PB PA ，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝30°，则PC ＝______．6．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面ABCD 满足条件______时，有A 1C ⊥B 1D 1．(只要求写出一种条件即可)7．设α ，β 是两个不同的平面，m ，n 是平面α ，β 之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ②α ⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题______．8．已知平面α ⊥平面β ，α ∩β ＝l ，点A ∈α ，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α ，m ∥β ，给出下列四种位置：①AB ∥m ；②AC ⊥m ；③AB ∥β ；④AC ⊥β ， 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是______． 三、解答题：9．如图，三棱锥P －ABC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M ，N 分别为P A ，BC 的中点．(Ⅰ)求MN 的长； (Ⅱ)求证：P A ⊥BC ．10．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(Ⅰ)直线EF ∥平面ACD ； (Ⅱ)平面EFC ⊥平面BCD ． 11．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD ，AF BE AF BE AD BC 21,//,21==，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(Ⅰ)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(Ⅱ)C ，D ，F ，E 四点是否共面?为什么?(Ⅲ)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE ．§7－2空间几何体的结构【知识要点】1．简单空间几何体的基本概念：(1)(2)特殊的四棱柱：3．简单几何体的三视图与直观图： (1)平行投影：①概念：如图，已知图形F ，直线l 与平面α 相交，过F 上任意一点M 作直线MM 1平行于l ，交平面α 于点M 1，则点M 1叫做点M 在平面α 内关于直线l 的平行投影．如果图形F 上的所有点在平面α 内关于直线l 的平行投影构成图形F 1，则F 1叫图形F 在α 内关于直线l 的平行投影．平面α 叫投射面，直线l 叫投射线．②平行投影的性质：性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图． (3)三视图：①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影．②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积： (1)柱体、锥体、台体和球的表面积：①S 直棱柱侧面积＝ch ，其中c 为底面多边形的周长，h 为直棱柱的高．②'=ch S 21正棱锥形面积，其中c 为底面多边形的周长，h ＇为正棱锥的斜高． ③''+=h c c S )(21正棱台侧面积，其中c ＇，c 分别是棱台的上、下底面周长，h ＇为正棱台的斜高．④S 圆柱侧面积＝2πRh ，其中R 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高． ⑤S 圆锥侧面积＝πRl ，其中R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长． ⑥S 球＝4πR 2，其中R 是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积：①V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．②Sh V 31=锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ③)(31'+'+=S SS S h V 台体，其中S ＇，S 分别是台体的上、下底面的面积，h 为台体的高．④3π34R V =球，其中R 是球的半径．【复习要求】1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2．会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图； 3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式． 【例题分析】例1 如图，正三棱锥P －ABC 的底面边长为a ，侧棱长为b ．(Ⅰ)证明：P A ⊥BC ；(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P －ABC 的体积．【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC (P A )垂直于经过P A (BC )的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解．证明：(Ⅰ)取BC 中点D ，连接AD ，PD ． ∵P －ABC 是正三棱锥，∴△ABC 是正三角形，三个侧面P AB ，PBC ，P AC 是全等的等腰三角形． ∵D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，且BC ⊥PD ， ∴BC ⊥平面P AD ，∴P A ⊥BC ．(Ⅱ)解：在Rt △PBD 中，,4212222a b BD PB PD -=-= ∴.442122a b a PD BC S PBC -==⋅∆ ∵三个侧面P AB ，PBC ，P AC 是全等的等腰三角形， ∴三棱锥P －ABC 的侧面积是.44322a b a- ∴△ABC 是边长为a 的正三角形，∴三棱锥P －ABC 的底面积是,432a ∴三棱锥P －ABC 的表面积为⋅-+=-+)312(434434322222a b a aa b a a (Ⅲ)解：过点P 作PO ⊥平面ABC 于点O ，则点O 是正△ABC 的中心， ∴,63233131aa AD OD =⨯==在Rt △POD 中，,3332222a b OD PD PO -=-=∴三棱锥P －ABC 的体积为.3123334331222222a b a a b a -=-⨯⨯ 【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt △POD ，其中含有棱锥的高PO ；如Rt △PBD ，其中含有侧面三角形的高PD ，即正棱锥的斜高；如果连接OC ，则在Rt △POC 中含有侧棱．熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助．例2 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点．(Ⅰ)求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(Ⅱ)求证：AB 1∥平面BEC 1．【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．证明：(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴AA 1⊥平面ABC ， ∴BE ⊥AA 1．∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又BE ⊂平面BEC 1， ∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1．(Ⅱ)证明：连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝D ．∵BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点， ∴DE ∥AB 1． 又DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1．例3 在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，542==DC AB ．(Ⅰ)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ； (Ⅱ)求四棱锥P －ABCD 的体积．【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M 是PC 上的动点分析知，MB ，MD 随点M 的变动而运动，因此可考虑平面MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面P AD ．证明：(Ⅰ)在△ABD 中，由于AD ＝4，BD ＝8，54=AB ，所以AD 2＋BD 2＝AB 2． 故AD ⊥BD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面P AD ，又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面P AD ． (Ⅱ)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ，由于平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高，又△P AD 是边长为4的等边三角形．因此.32423=⨯=PO 在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为5585484=⨯，即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为.2455825452=⨯+=S 故.316322431=⨯⨯=-ABCD P V例4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)(Ⅰ)画出该多面体的俯视图；(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； (Ⅲ)在所给直观图中连结BC ＇，证明：BC ＇∥平面EFG ．【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原则及相关数据可以画出三视图．证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：(Ⅱ)所求多面体体积).cm (32842)2221(316442=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-=正三棱锥长方体V V V (Ⅲ)证明：在长方体ABCD －A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'． 因为E ，G 分别为AA'，A'D'中点， 所以AD'∥EG ，从而EG ∥BC '．又BC'⊄平面EFG ， 所以BC'∥平面EFG ．例5 有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是3a ，4a ，5a ，高为a2，其中a ＞0．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求a 的取值范围．解：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的三个侧面的面积分别是6，8，10，底面积是6a 2，因此每个三棱柱的表面积均是2×6a 2＋6＋8＋10＝12a 2＋24．情形①：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：2×(12a 2＋24)－2×6a 2＝12a 2＋48．情形②：将两个直三棱柱的侧面ABB 1A 1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a 2＋24)－2×8＝24a 2＋32．情形③：将两个直三棱柱的侧面ACC 1A 1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a 2＋24)－2×6＝24a 2＋36．情形④：将两个直三棱柱的侧面BCC 1B 1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2×(12a 2＋24)－2×10＝24a 2＋28在以上四种情形中，②、③的结果都比④大，所以表面积最小的情形只能在①、④中产生．依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得24a 2＋28＜12a 2＋48，解得,352<a 所以a 的取值范围是⋅)315,0( 例6 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，求三棱锥F －A 1ED 1的体积．【分析】计算三棱锥F －A 1ED 1的体积时，需要确定锥体的高，即点F 到平面A 1ED 1的距离，直接求解比较困难．利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如1111EFD A ED A F V V --=，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解．解法1：取AB 中点G ，连接FG ，EG ，A 1G ． ∵GF ∥AD ∥A 1D 1，∴GF ∥平面A 1ED 1，∴F 到平面A 1ED 1的距离等于点G 到平面A 1ED 1的距离．∴.8183313132111111111a a a D A S V V V EG A EG A D ED A G ED A F =⨯⨯====⋅∆---解法2：取CC 1中点H ，连接F A 1，FD 1，FH ，FC 1，D 1H ，并记FC 1∩D 1H ＝K ．∵A 1D 1∥EH ， A 1D 1＝EH ，∴A 1，D 1，H ，E 四点共面． ∵A 1D 1⊥平面C 1CDD 1，∴FC ⊥A 1D 1．又由平面几何知识可得FC 1⊥D 1H ，∴FC ⊥平面A 1D 1HE ． ∴FK 的长度是点F 到平面A 1D 1HE (A 1ED 1)的距离． 容易求得.811053453131,1053321111a a a FK S V a FK ED A ED A F =⨯⨯===⋅∴∆- 练习7－2一、选择题：1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) (A)2π (B)4π (C)8π (D)16π2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )(A)9π (B)10π (C)11π (D)12π3．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm ，高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果所用涂料每0.5 kg 可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料( ) (A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg 4．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( ) (A)22(B)32(C)4(D)52二、填空题：5．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的每条棱长均为2，E 、F 分别是BC 、A 1C 1的中点，则EF 的长等于______．6．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝1，则三棱锥D －ABC 的体积是______． 7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为______．8．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①：_______________________________________________________________； 充要条件②：_______________________________________________________________． (写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题：9．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点．(Ⅰ)求证：BD 1∥平面ACE ；(Ⅱ)求证：平面ACE ⊥平面B 1BDD 1．10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(Ⅰ)求该几何体的体积V ； (Ⅱ)求该几何体的侧面积S ．11．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE＝FC 1＝1．(Ⅰ)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； (Ⅱ)若点G 在BC 上，32BG ，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，求证：EM ⊥面BCC 1B 1． §7－3 空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )；分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ． (2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ．②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ．③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉； ②空间向量的数量积的性质：a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥b ⇔a ·b ＝0； |a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜． ③空间向量的数量积的运算律： (λ a )·b ＝λ (a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a ba b a在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是.)()()(||233222211b a b a b a -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． 设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β 的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴//，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，=，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅DC DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23cos 111==∴AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||,cos |sin 111 ===〉〈=θθa a AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=<33||||,cos DC EA DC EA。
高三几何专题复习(题型全面)
高三几何专题复习(题型全面)高三几何专题复（题型全面）
一、概述
本文档旨在为高三学生提供几何专题复材料，涵盖了各种题型，帮助学生全面复准备。
二、题型介绍
以下是本文档中包含的几何题型：
1. 平面几何
2. 空间几何
3. 相似三角形
4. 圆与圆之间的关系
5. 直线与圆的关系
6. 几何证明
三、复方法
为了高效复几何专题，建议采取以下简单策略：
1. 制定复计划：根据时间安排合理的复进度，每天留出固定时间复几何专题。
2. 强化基础知识：重点复几何基础概念和公式，确保对基础知识的掌握。
3. 做题训练：通过做大量的几何题目来提高解题技巧和速度，重点训练各种题型。
4. 总结归纳：复过程中，及时总结归纳各类题目的解题方法和要点，加深记忆。
四、注意事项
为了保证复效果，请注意以下事项：
1. 独立复：自觉独立完成复任务，不依赖他人的帮助。
2. 执行简单策略：避免选择涉及复杂法律问题的策略，保持简单和高效。
3. 注重证实：在文档中不引用无法确认真实性的内容，确保信息的准确性。
五、结语
本文档提供了高三几何专题复的全面内容和策略建议，希望能对学生们的准备工作有所帮助。
祝愿大家在考试中取得优异成绩！。
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立体几何复习专题一、要求：（1）熟练掌握课本中的基本概念、定理。
（2）积累各种常见题型的解题方法：① 基本概念型题（直接证明、画图形举反例）② 证明类题：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直。
③ 计算类题：异面直线所成角、线面角、面面角、点到面的距离、异面 直线间的距离、多面体的体积、球面距离。
（各自常用的方法是什么）（3）会用空间向量的方法去解决上述问题。
二、典型例题讲解例1. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求证： AB ⊥C 1CQ（2）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （3）求直线PQ 与面Q 1B C 所成角的正弦； （4）求二面角A 1-CQ-B 1的平面角的余弦。
例2．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)在棱AD 上有一点P ，当P DP A为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？ (2)在(1)的条件下，求直线A 1B 1与平面CD 1P 所成的角.ABC1A 1B 1C PQ例3．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：(1) 求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2) 求三棱锥A 1—APQ 的体积.例4．如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB=1，PA=h ，AD=y.(1)试求y 关于h 的函数解析式；(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径.三、巩固练习1、如图，已知面ABC ⊥面BCD ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD ，设AD 与面AB C 所成角为α，AB 与面ACD 所成角为β，则α与β的大小关系为（A ）α＜β （B ）α=β （C ）α＞β （D ）无法确定 2、下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是PP PPQ Q QQRRR R SSS SPPPPQQQQ RRRR SS SSPPPPQQQQ R RRR SSS S PPPPQQQQRRRR SSS S（A ） （B ） （C ） （D ）3、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ =2a，则三棱锥P －BDQ 的体积为（A ）3363a （B ）3183a （C ）3243a （D ）无法确定 4、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，则此球的体积为（A ）33312cm π （B ）33316cm π （C ）3316cm π （D ）3332cm π5、如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（A ） 61cm （B ）157cm （C ）1021cm （D ）1037cm6、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：① 若b a ⊥，α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；②若α//a , βα⊥，则β⊥a ； ③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥ 其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．37、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等，如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为（ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确的是 （ ）A B C A BCAB CA BCP P P P A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④9．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A ．π23 B ．π32 C ．6π D ．34π 10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，则A 1C 与DE 所成的角的余弦为（ ）A ．1515 B ．1510 C ．630 D ．1010 11．有3个命题（1）底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的棱锥是三棱锥； （2）各个侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；（3）底面是正三角形，相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
其中假命题的个数是 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．312、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A.2221+B. 22+C. 21+D. 221+ 13、在空间四边形ABCD 各边上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 和GH 能相交于点P ，那么 （A ）点P 必在直线AC 上 （B ）点P 必在直线BD 上 （C ）点P 必在平面ABC 内 （D ）点P 必在平面上ABC 外14、设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则=++cb a 111 （A ）411 （B ）114 （C ）211 （D ）112 15、若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成图形可能是：（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）16、已知异面直线a 、b 成6︒0角，过空间一点p ，与a 、b 也都成6︒0角的直线，可以作（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 17.若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α， 则α的取值范围是A ．[65,6ππ] B ．[2,3ππ] C ．[65,3ππ] D ．[2,6ππ] 18、对于平面M 与平面N, 有下列条件: ①M 、N 都垂直于平面Q; ②M 、N 都平行于平面Q; ③ M 内不共线的三点到N 的距离相等; ④ l , M 内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l , m 是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M 与平面N 平行的条件的个数A ．1B ．2C ．3D ．419.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B －APQC的体积为 （A ）2V （B ）3V （C ）4V （D ）5VABCPQA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 1ABCDE F20.棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）123a21.如图，在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC =900，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在 （A ）直线AB 上 （B ）直线BC 上 （C ）直线AC 上 （D ）△ABC 内部 22.如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为 （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215 23.(天津卷6)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，D 1C 1A 1B 1CDEO 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的 中点。
那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于(A)510 (B)515(C)54 (D)3224.(天津卷10)如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,61===AA AD AB ，分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分， 其体积分别记为111D FD AEA V V -=，C F C B E B V V 11113==。
若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为 (A)104(B)38 (C)134 (D)1625.北纬45圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50与东经140，则甲、乙两地的球面距离是（地球半径为R ） A ．12R πB ．13R πC ．14R πD ．122R π 26.（福建卷16）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。
当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大。
27、已知∠ACB=90º，S 为平面ABC 外一点，且∠SCA=∠SCB=60º，则直线SC 和平面ABC所成的角为 .28、点A 是二面角α-l -β内一点，AB ⊥α于B ，AC ⊥β于C ，设AB=3，AC=2，∠BAC=60︒，则点A 到棱l 的距离是 . 29.由图(1)有关系''''PA B PAB S PA PB S PA PB ⋅=⋅ ，则由图(2)有关系'''P A B C P ABCV V --= 。
ABCDEP30.如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为 时，体积V P －AEB 恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．31.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， E 、F 分别为BC 与A 1D 1的中点， （1） 求直线A 1C 与DE 所成的角；（2） 求直线AD 与平面B 1EDF 所成的角；D 1C 1A 1B 1ABCDEF E 1F 1PABA'B'PABCA' C'B'(1)(2)(3)求面B 1EDF 与 面ABCD 所成的角。
在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.32.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。