第十四讲 研究刚体力学的前期准备

其一：整个刚体随基点的空间平动。
其二：刚体绕过基点的定点转动。
3）自由度：具有 3 个平动自由度和 3 个转动自由度。
（二）角速度矢量
对于一个物理矢量而言需要满足 3 个条件：具有量值、方向，并遵从加法对易律。
ur ur
ur ur ur ur
设 A, B 为矢量，必有 A + B = B + A 。
2） 简化依据：力线平移定理
3） 简化结果
将作用在刚ur体上的uur各力向简化中心平移，得一共点力系，
å 求其合力 F = Fi ——原力系的主矢量。
i
同时得到附加力偶系，其合力偶矩等于原力系中各力对简化中心力矩的矢量和。
å( ) å uur
ur uur
uuur
M = ri ´ Fi = Mi ——原力系对简化中心的主矩。
ur
F 的量值： F = F1 + F2 （同向）或 F = F1 - F2 （反向）。
O
ur
uur uur
A uur
F 的方向：与 F1, F2 同（同向）；沿量值大的力的方向（反向）。 F1
B
uur F2
作用点 AO = F2 。 BO F1
2） 反向平行等值的二力——力偶，已为最简力系。
ur
F (合力)
力偶，其力偶矩等于原力对 P 点的力矩，这样可以不改变原力的作用效果。
ur
ur
证明：设力 F 作用在 A 点， P 点为不在 F 作用线上的另一点，在 P 点上加一平衡力系
uur uur
uur uur ur uur uur ur
( ) F1, F2 ，且 F1 = F2 = F , F1 P F2 P F
若力的作用线不通过质心——同时改变刚体的平动状态和转动状态。
2、 力偶——作用在刚体上的两个等大反向的平行力（作用线不在一条直线上）。
1） 基本概念
力偶面——组成力偶的二力作用线所确定的平面。
力偶臂——组成力偶的二力作用线间的垂直距离（ l ）。
2） 力偶的力学效果
由于力偶的主矢量为零，故力偶不能使刚体发生平动，它的唯一力学效
uuur uuur
ri '´ Fi = Mi ' = M '
i
坐标分量式
dJ x dt
'
=
M
x
',
dJ y dt
'
=
M
y
',
dJ z dt
'
=
M
z
'
。
方程（1）和（2）即为刚体的运动微分方程，又称为刚体的运动定理。该定理的坐标分量式
共有 6 个方程，而一个自由运动的刚体恰为 6 个自由度，故利用该定理可确定刚体的运动状
r ´r
=
ur r w´r
r ，从而得出 v
=
ur r w´r
。
dt dt
（三）作用在刚体上力系的简化
刚体的运动状况与作用在刚体上的力系有着密切的关系，但通常这些力系相当复杂，因此在
研究刚体的运动和平衡时，需要将其进行简化。
一、最简力系——单力或力偶。
1、单力：若力的作用线通过质心——只改变刚体的平动状态。
的转动轴为转动瞬轴。
2）定义：若刚体运动时，只有一个质点始终不动，整个刚体绕过该点的转动瞬轴转动，这
种运动称为刚体的定点转动。
3）自由度：只有 3 个转动自由度。
5、刚体的一般运动（自由运动）
1）定义：刚体在空间作不受任何约束的运动。
2）运动分析
在刚体内任取一点 O 作为基点，则刚体的一般运动可视为两种运动的合运动。
( ) ur uur uur
ur
根据等效公理，新力系 F , F1, F2 与原力系 F 等效，而新力系可以认为是
( ) ìïïíïïî作 力+ 用 偶在uFur1P,点Fuur2的其单力力偶uFur1矩，为相Mu当ur 于= rr把´uFuFrr平等移于，原力对P点的力矩。
uur F2
证毕！
ur
rA
结论：作用在刚体上的力偶矩为自由矢量。
二、力系简化的理论依据
1、力的可传性原理——作用在刚体上的力以沿其作用线滑动而不改变其作用效果。 由此原理可得：作用在刚体上的力为滑移矢量。
2、力系作用等效公理——在已知力系中增加（或减少）任意一个平衡力系（零力系），不改 变原力系的作用效果。
3、力系平移定理——力的作用线可以平行移动，使其通过某已知点 P ，但必须同时附加一
A B
( xB - ) xO 2 + ( yB - ) yO 2 + ( yB - ) yO 2 = BO ，
O
( xA - ) xB 2 + ( yA - ) yB 2 + ( yA - ) yB 2 = AB ，
从而得出确定刚体的位形和运动只需要 6 个独立变量，即一个自由的刚体具有 6 个自由度。 6 个独立变量的欧勒取法：
运动形式作简要介绍。
1、 平动
1） 定义：当刚体运动时，若刚体中的任一条直线在各时刻所在位置彼此平行，则这种运动
称为平动（各质点并不一定为直线运动）。
2） 特点：刚体平动时，组成它的所有质点具有相同的位移、速度和加速度，因此可用一个
质点代替整个刚体的运动（通常取质心）。
3） 自由度：只有 3 个自由度。
第十四讲 研究刚体力学的前期准备
教学时间：4 课时 教学目的要求： 1、 使学生全面地了解研究刚体力学所需要的有关知识：刚体的运动分类，角速度矢量，力
系的简化。 2、 使学生掌握刚体的运动微分方程和平衡方程。 重点：1、刚体各种运动的自由度，作用在刚体上力系的简化。
2、刚体的运动微分方程和平衡方程。 难点：角速度矢量的理解。 授课方法：用具体实例进行概念讲授。 授课要点及内容： （一） 刚体的自由度和运动的分类 一、刚体的自由度——确定刚体位形和运动的独立变量数。
果是使刚体发生转动。
3） 力偶矩——表明力偶对刚体产生转动效果大小的物理量。
ur
uur ur ur ur ur
F'
在力偶面内任取一点 O ，则力偶对 O 点的主矩为 M = rA ´ F + rB ´ F ' ，
( ) ur ur uur ur ur ur ur ur ur ur r ur
∵ F = -F ' ，∴ M = rA ´ F - rB ´ F = rA - rB ´ F = r ´ F ——力偶矩。
平行，则这种运动称为平面平行运动。
2）运动分析
在刚体中任取一点 A 为基点，则刚体的平面平行运动
可视为两种运动的合运动。
B' A'
其一：整个刚体随基点 A 的平面平动。
其二：刚体绕过基点且垂直于平面的轴线做定轴转动。 A
B
3）自由度——两个平动自由度，一个转动自由度。
4、刚体的定点转动
1）转动瞬轴：刚体作定点转动时，转动轴的方位和取向随时剪不断改变，则称某时刻对应
F
r
uur
P
F1
三、各种力系的简化
1、 汇交力系——作用线汇交于一点的力系。
根据力的可传性原理，可认为该力系中各力均作用在汇交点等效于共点力，因此可简化为一
个单力，即原力系的合力。
2、 平行力系——作用线彼此平行的力系。
1） 同向平行或反向平行但量值不等的二力
根据等效公理和力的可传性原理该力系可简化为一个单力——原力系的合力。
对于二维平动只有 2 个ห้องสมุดไป่ตู้由度，一维平动，即直线运动只有一个自由度。
2、定轴转动
1）定义：刚体运动时，如果其中有两个质点始终不动，则刚体只能绕过这两点的直线转动，
这种运动称为定轴转动，该直线称为转动轴。
2）自由度：只有一个转动自由度。
3、平面平行运动
1）定义：刚体运动时，若刚体中的各质点均作二维平面运动，且各平面均与某一固定平面
第五章 刚体力学
刚体——如果在任何情况下，质点组中任意两质点间的距离恒保持不变，则这样的质点组称 为不变质点组，又称为刚体。 由于任何物体均可以视为由许多相互联系的质点构成的质点组，那么如果一个物体的形状和 大小恒不发生变化，则这样的物体就可视为刚体，即不变质点组。 说明：刚体是一种理想模型，如果在所研究的问题中物体的形状和大小不能忽略，但形状、 大小的改变可以忽略，则可将其视为刚体。
设：某一质点组由 n 个质点构成，确定其位形需要 3n 个坐标，但对刚体而言，只需确定不
在同一直线上三个质点的位置即可 (O, A, B ) ，需要 9 个坐标。根据刚体的定义，在它运动
过程中 AO, BO, AB 的大小恒不发生变化，出现三个约束方程：
( xA - ) xO 2 + ( yA - ) yO 2 + ( yA - ) yO 2 = AO ，
r
r
r
d n 的大小 d n = dq 。
dn
3、刚体的角位移与刚体中某点线位移之间的关系
r 设在 dt 时间内，刚体的角位移为 d n ，其大小为 dq
R P drq
dr
由于刚体转动时，各质点由相同的角位移，因此在 dt 时间内刚体中 r
的 P 点的角位移也为 d n ，其大小也为 dq ，则 P 点线位移的大小：
=
Fx
ï ×× 坐标分量式 ím yC = Fy
ï ××
ïm î
zC
=
Fz
O
ur
x
注：该方程是相对于静系的方程，F 为作
C
y'
ur x '
r0
y
用在质心的外力主矢量。