反证法
第2章 2.2 2.2.2 反证法
2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。
八年级反证法知识点
八年级反证法知识点反证法是一种论证方法，在数学、逻辑学、哲学以及其他领域中都得到广泛应用。
其基本思想是通过否定一个命题的逆否命题来证明原命题的正确性。
在八年级数学中，学生要学习如何应用反证法解决一些问题。
本文将介绍八年级反证法知识点，帮助学生更好地掌握这一方法。
初步了解反证法反证法的思路是假设所要证明的命题P不成立，然后推出一个矛盾的结论，进而证明命题P成立。
或者说，反证法是采用反面求证的方法，即证明“不是P”来间接证明“是P”。
例如，在证明“若a是偶数，则a²也是偶数”的时候，可以采用反证法：假设a是偶数但a²不是偶数，则a²为奇数。
但是，偶数的平方一定是偶数，与假设矛盾，因此可证明原命题成立。
如何运用反证法？反证法需要具备以下几个步骤：1. 先假设所要证明的命题P不成立，并推出一些合法的结论。
2. 分析这些结论是否有矛盾之处。
3. 如果这些结论存在矛盾，则说明所假设命题不成立，原命题P成立。
4. 如果这些结论不存在矛盾，则说明所假设的命题成立，而原命题P不成立。
举个例子，如果要用反证法证明“n²为偶数，则n也是偶数”，那么可以首先假设n是奇数。
因为奇数的平方还是奇数，所以n²也是奇数，而偶数的定义是2的倍数，不可能是奇数，因此推出结论矛盾，得证原命题成立。
需要注意的是，在运用反证法的时候，如果所得出的结论不够严密或存在漏洞，那么不能得出最终结论。
为了提高证明的严密性，可以结合其他证明方法进行运用。
例题1. 证明：不存在无理数x和y，使得x² - 2y² = 3。
解答：假设存在无理数x和y，满足x² - 2y² = 3。
考虑对这个方程两侧同时取立方根，得：x³ - 6xy² - 3y³ = 0。
注意到x和y都是无理数，而立方根是唯一的，因此x³也是无理数。
同理，3y³也是无理数。
介绍反证法及举例
反证法将更多地与其他证明方法相结合，形成更强大的证 明工具。例如，可以与归纳法、构造法等相结合，共同解 决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善，包括更严谨的假设 条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步，为数学 、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假，没有中间状态；矛盾律则表 明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾，可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证 明困难或不可能的情况，通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时，其运动状 态不会改变。如果物体运动状态发生 了改变，则可以推导出物体必定受到 了外力的作用，从而证明了牛顿第一 定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之 间的正压力成正比。如果两个物体之 间的摩擦力与正压力不成正比，则可 以推导出物体之间的滑动摩擦系数不 是一个常数，从而证明了库仑摩擦定 律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如 果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比，则 可以推导出电场强度不是一个恒定的值，从而证明了库仑定 律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流 在导体中产生的磁场与电流强度不成正比，则可以推导出磁 感应强度不是一个恒定的值，从而证明了安培环路定律的正 确性。
对反证法的初步认识
对反证法的初步认识反证法是一种常见的逻辑推理方法，它通过否定某个命题的对立面来论证该命题的真实性。
在逻辑推理中，反证法被广泛应用于数学、哲学、科学等领域，其基本原理和应用方法对于正确理解和运用逻辑思维具有重要意义。
本文将从反证法的基本原理、应用方法和局限性三个方面对反证法进行初步认识。
一、基本原理反证法的基本原理是通过对原命题的否定进行推理，从而得出原命题的真实性。
在逻辑推理中，我们常常遇到一些命题或定理，如果直接证明这些命题或定理比较困难，我们可以尝试采用反证法来证明。
反证法的基本原理可以用以下逻辑推理形式来描述：假设原命题为P，对立面为非P。
如果我们假设非P成立时推出矛盾，则可以得出P成立。
通过对非P的否定推理，最终得到P的真实性。
对于某个数学问题中的定理，如果我们无法直接证明它，我们可以假设该定理不成立，然后通过对其进行推导和分析，最终得出其矛盾，从而证明该定理的真实性。
二、应用方法在实际应用中，反证法常常可以分为直接反证法和间接反证法两种方法。
1. 直接反证法直接反证法是指通过对原命题的否定进行逻辑推理，得出矛盾，从而证明原命题的真实性。
这种方法通常应用于一些具体的命题或定理证明中，其思路相对简单直接。
举个例子，要证明“根号2是一个无理数”，可以采用直接反证法：假设根号2是一个有理数，即可以表示为分数a/b，其中a和b都是整数，并且a、b互为质数。
然后通过对a/b进行分析，得出a和b均为偶数，这与a、b互为质数矛盾，所以根号2不是一个有理数，从而证明它是一个无理数。
证明“不存在最大的素数”可以采用间接反证法：假设存在最大的素数P，然后构造出P的一个更大的素数P+1，显然这与“P是最大的素数”的前提相矛盾，因此可以得出不存在最大的素数。
三、局限性尽管反证法是一种常见的逻辑推理方法，但它并不适用于所有情况，且在应用过程中也存在一定的局限性。
1. 可证命题反证法只适用于那些具有确定性的命题或定理，无法应用于一些不可证命题或涉及概率论推理的问题。
第4讲 反证法
第4讲 反证法竞赛热点1．反证法的实质欲证命题“若A 则B ”为真，只需说明B 不成立不行，怎么说明B 不成立不行呢？若由B 不成立，经过严谨的推理，推出了矛盾，显然就可以说明B 不成立不行，从而就迫使B 必须成立。
在由B 不成立推导矛盾的过程中，完全可以使用题设条件（或者部分题设条件），而最终的矛盾也不一定是与题设条件（或部分题设条件）矛盾。
在许多时候，这种矛盾是指与已知公理、定理、定义所发生的矛盾，或者是与反证法的反投之间的矛盾，或者是在推理的过程中产生的两个命题间的矛盾，等等。
经过上述分析，我们不难明确运用反证法证明“B A ⇒”，其实质是在进行“A 且C B ⇒⌝且C ⌝”的推理。
而B A ⇒的逆否命题为A B ⌝⌝⇒，所以将反证法的实质视为证明原命题的逆否命题，实际上是对于反证法应用范围的缩小，是对于反证法的一种曲解。
2．应用反证法的前提是正确反设正确反设是实施反证法的第一步，此处的关键是逻辑知识而不全是数学知识。
如何反设，通常的做法是：在弄清楚B 的逻辑结构之后，运用逻辑知识与数学知识写出B ⌝的结构。
事实上，由B 到B ⌝，只需进行三个方面的互换：全称与特称互换、肯定与否定互换、“且”与“或”互换。
解题示范 例1：已知1,011≠>x x ，且).3,2,1(13)3(221 =++=+n x x x x n n n n 试证“数列}{n x 或者对任意的自然数n 都满足1+<n n x x ，或者对任意的自然数n 都满足n n x x <+1”。
当上述题目运用反证法否定结论的时候，应为（ ）A ．对任意的自然数n ，有1+=n n x xB ．存在正整数n ，使得1+=n n x xC ．存在正整数n ，使得1-≥n n x x 且1+≥n n x xD ．存在正整数n ，使得0))((11≥--+-n n n n x x x x思路分析：正确的反设是使用反证法的前提，反设时，一定要认清楚命题结论的逻辑结构。
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
；
等级森严，对市场反应迟钝，韦尔奇的举措是改革内部管理体制，减少管理层次和冗员，并撤换了部分高层管理人员。最终，他成功了。 韦尔奇之所以能重振“通用”，并且自己不被人际关系所伤，无非是因为主动回避不必要的复杂关系，以自己扎实的工作和明确的目标告诉员工，他所做的 一切绝无私心。这让人想起一个故事，一位老船长长年在河上驾船，从未发生过事故。有人问他是不是对河中的暗礁险滩全部了然于心。老船长说：“不是，我只要把船开进深水区就行了，暗礁险滩就会与我无关。” 人的一生有太多的暗礁和险滩，你根本无法一一了解，也根本不必去记住。 你所要做的，只是把船开进深水区就行了。 39、留住幸福的种子 从前有个孤儿，过着贫穷的日子。这年刚刚进入初冬，他的全部口粮就只剩下父母生前为他留下的一小袋豆子了。他强忍饥饿，把那一小袋豆子藏了起来。之后，他全靠拾破烂勉强糊口。尽管如此，在他心中总有一株株绿油 油的诱人豆苗在旺盛地生长，他在梦中也似乎真的看见了来年那些可爱的豆荚。因此，在那个漫长而寒冷的冬季里，他虽然多次险些饿昏过去，却一直不愿去触摸那一袋豆子，因为他知道，那是希望的种子、生命的种子啊！ 苦日子就这样过了一冬。第二年春天来了，孤儿把那一小袋豆子播种 到地里，再经过一个夏天的辛勤耕耘，到了秋天，他果然收获了数十倍的种子。孤儿并没有就此满足，他还想获得更多的豆子、更多的幸福。于是，他把收获的豆子又留下来，继续播种、耕耘、收获……后来，孤儿告别了贫困，并成为远近闻名的富裕户。不久，他娶妻生子，过上了人人羡慕的幸福 生活。再后来，他和妻子一面继续种豆，一面学做豆制品，不到40岁，他成了声名显赫的大富豪。 人生有了幸福还需要什么？还需要留住幸福；人生没有了幸福还需要什么？还需要留住幸福的种子。 40、犹太人的智慧 据统计，美国的百万富翁中有百分之二十是犹太人，获诺贝尔经 济学奖的经济学家中，有百分之二十是犹太人。因而历来犹太人被公认为是最会赚钱的民族，被誉为“世界第一商人”。 然而，犹太人并不以赚钱为人生目的，他们认为人生的目的就在于热情地享受生活。要是你继续问：“那么，人为什么而工作吗？”他们会这样回答你：“你还不是为了随 心所欲吃到美味可口的食物而工作呀！并不是为了工作而吃呀！” 犹太人活着的目的———就是为了享受和“吃”。说到吃，不能不赞叹犹太人的健康教育。他们珍惜生命，保护自然。犹太人为使最神圣的耶路撒冷清洁、美丽，实行十个特殊的规定。其中包括：在城里不得堆粪堆；不得建砖 窑；除了早期先知们留下来的玫瑰园以外，不得耕种其他花园或果园；不得养鸡；死人不能在城里过夜。 此外，犹太人特别注重卫生，保持身体的清洁被称之为一种宗教责任。值得一提的是，犹太人把饮食的节制，作为健康体格的先决条件。犹太人有一个“饮食基本法”：吃（胃的容量）三分之 一，喝三分之一，留下三分之一的空。这其实颇有科学根据，吃得太饱，非长寿之道。 ? 41、学学乔丹的爱国 篮球上帝乔丹在日前的中国之行中，拒绝乘坐主办方为他提供的奔驰、宝马，而是点名要了美国的道奇山羊。原来乔丹有一条重要的商业原则，那就是“做广告从来只做美国货”，所 以，座驾事件与“爱国精神”息息相关。 从某种意义上说，球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，这才是一个“星”真正的道德良知和社会责任。相反，我们的各种“星”们，同样作为青少年们顶礼膜拜的偶像，他们的表现又如何呢？我们知道有的歌星歌唱得不 怎么样，却热衷于把奇形怪态遁入极端；有些影星表演够差，却总走不出绯闻缠身的怪圈；还有那些所谓的足球明星，球踢得极烂，可酗酒、打架等丑闻从来不绝于耳。在未成年人思想道德建设方面，我们的“星”们有着不可推卸的社会责任，从这个角度来说，是不是应该好好学学人家乔丹呢？ 42、鲁迅自喻“小白象” 鲁迅先生以象自喻，鲜为人知。 在他和许广平的通信中，经常署名“小白象”，或是“你的小白象”。比如1925年5月鲁迅在北平写给在的许广平的第二封信(5月15日夜)，署名的地方赫然画着一只高高举起鼻子的小象。(《鲁迅手稿全集?书信?第三册》第105页) 而《两地书》在公开出版时，署名“EL”，就是Elephant(象)的缩写。 鲁迅先生为什么要以象自喻呢？从《柔石日记》中，我们可以看到这样的记述：“鲁迅先生说，人应该学一只象。第一，皮要厚，流点血，刺激一下了，也不要紧。第二，我们强韧地慢慢地走去。我很感谢他的话，因为我 的神经末梢是太灵动得像一条金鱼了。”这给我们解开谜底提供了一些线索。鲁迅先生欣赏的正是象的宽厚和强韧的精神。 43、名人教子 家教：包拯为官公正清廉，被老百姓尊称为包青天。他担心家人子弟利用权势贪污腐化，因而自述家训：“后世子孙仕宦，有犯赃者，不得放归本家； 亡疫之后，不得葬与大茔之中。不从吾志，非吾子孙。” 铭教：宋代诗人苏东坡的长子苏迈赴任县太尉时，苏东坡送给他一个砚台，上有他亲手所刻的砚铭：“以此进道常若渴，以此求进常若惊；以此治财常若予，以此书狱常思生。” 鞭教：岳云12岁参军作战，一次骑马下坡，没注意地 形，人也栽进沟里。岳飞喝令按军法鞭打岳云，众将求情不允，责打百鞭。此后岳云刻苦训练，勇猛作战。1134年攻打随州时，挥舞80斤重的铁锤，首当其冲第一个登城。岳飞教子的原则是：受罪重于士卒，作战先于士卒，受功后于士卒。 名教：1945年，革命老前辈林伯渠6岁的小儿子要读书 上小学了。林老对儿子说：“上学，该有个地道的名字，我看你就叫‘用三吧！”儿子疑惑不解，林老解释说：“用三者，三用也，即用脑想问题，用手造机器，用足踏实地！” 联教：无产阶级革命家吴玉章曾撰写一幅对联挂在堂前。上联“创业难，守业亦难，明知物力维艰，事事莫争虚体 面”，教育子孙后辈要艰苦创业，勤俭持家，切不可铺张浪费，追求虚荣；下联：“居家易，治家不易，欲自我以身作则，行行当立好楷模”，指出做长辈的要时时刻刻以身作则，身教重于言教，处处做出好样子，成为后辈们效仿的楷模。 章程教：老舍先生的教子章程：一是不必非考一百分 不可；二是不必非上大学不可；三是应多玩，不失儿童的天真烂漫；四是要有健全的体魄。总之，老舍先生认为，孩子不必争做“人上人”，虚荣心绝对不可有。 44、感悟“国际一流大学” 日前看到一个发生在英国牛津大学的故事：苏格兰北部边远地区一个教育相对不发达的郡，有一位 女学生的毕业考试成绩达到了全A，符合牛津大学的录取标准。这是近百年来当地第一个达到牛津录取线的毕业生，当地政府对此极为重视。但牛津大学录取学生必须经过面试，教授在面试后认为该学生不具备牛津大学要求的创造潜质，拒绝了她的入学申请。当地议会将此事反映给英国中央议会， 议员们就找到教育大臣，请他出面说情，希望给予破格录取。在被牛津大学婉言拒绝之后，教育大臣又找到副首相前去求情，还是遭到拒绝。无奈之下，副首相只得请布莱尔首相出面疏通。虽然首相动之以情，晓之以理，但牛津大学仍然表示不能接收，理由就是一个：在招生问题上，任何人无权更 改学院教授的面试结论，这是牛津大学几百年来的传统。布莱尔当然觉得很没有面子，在此后的一个私人场合，当提到牛津大学的时候，他不自觉地说了一句牢骚话：牛津大学真是太古板了，要与时俱进，必须进行改革。牛津大学的师生得知后，极为愤慨，学校立即取消了授予布莱尔荣誉博士学位 的原定计划，并对政府行政干预学校事务的这一严重事件提出抗议。 这个故事实在耐人寻味。 据说，在牛津的学子中，先后出现了46位诺贝尔奖获得者。此外，英国历史上的41位首相中，有30位毕业于牛津大学。真不愧是“国际一流大学”！ 我们国家也提出了创建××所“国际一 流大学”的目标，一些名牌大学也跃跃欲试，试图在短时间内跻身于“国际一流大学”之列。姑且不论我国的高水平大学在办学理念、管理体制、师资队伍、学科水平、办学条件、资金投入等方面仍有相当大的差距，仅就招收有“创造潜力”的优秀生和捍卫“独立精神”这两点上，其差距简直就是 无法比拟的。 我们的高水平大学也想招收最有创造潜力的优秀生，但目前的“应试教育”已经将学生与生俱来的个性和“创造潜质”扼杀殆尽。 我们在很大程度上还处于“人情社会”、“熟人社会”、“权力社会”之中，即使名牌大学恐怕也不能幸免，招生、考试中的不正之风、种种违 规现象屡禁不止。不要说高级别领导人出面说话，就是某级教育行政部门、招生部门，乃至其它可以制约大学的部门和权势者，都会让学校难于捍卫自己的“独立精神”。 我们都很羡慕像哈佛、牛津、斯坦福、耶鲁等“国际一流大学”，也很想创建几所这样的“国际一流大学”。但我觉得， 仅在“寻求超常规的发展和跨越”上下功夫是远远不够的。发生在牛津大学的故事，实在是有着深刻的启示意义，值得我们好好思索和玩味。 45、 不留退路才有出路 古希腊著名演说家戴摩西尼年轻的时候为了提高自己的演说能力，躲在一个地下室练习口才。由于耐不住寂寞，他时不时 就想出去遛达遛达，心总也静不下来，练习的效果很差。无奈之下，他横下心，挥动剪刀把自己的头发剃去了一半，变成了一个怪模怪样的“阴阳头”。这样一来，因为羞于见人，他只得彻底打消了出去玩的念头，一心一意地练口才，一连数月足不出室，演讲水平突飞猛进。经过一番顽强的努力， 戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。 一个人要想成功，就必须心无旁骛、全神贯注地扑下身去，持之以恒、锲而不舍地追逐既定的目标。但人都是有不小惰性、有太多欲望的动物，要做到这一点实在不易，常常就难免战胜不了身心的倦怠，抵御不住世俗的诱惑，割舍不下寻常的享乐。 一些人因此半途而废，功亏一篑。那么，当惰性膨胀、欲望汹涌，追求的脚步踯躅不前时，应该怎么办呢？不妨学学戴摩西尼，他的办法固然有些极端，但唯其如此，才能管用。他剃掉了一半头发，就彻底斩断了向惰性和欲望妥协的退路。而一旦没有退路可逃，就只能一门心思地朝前奔了。
反证法
推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与 垂线性质矛盾.
∴弦AB与CD不能被P点平分.
O
PDBFra bibliotek 练习1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数 根,则b2 –4ac>0.
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直 角.
3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0, x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数.
5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.
百万资源,完全免费, 无须注册,天天更新！
； ；
秦国，府库虚耗，第Ⅱ卷（表达题 朱自清把诵读作为理解与欣赏原著的重要方法，生，C 燕然未勒归无计，尤其是遭受家庭变故，请用斜线（/）给文中画波浪线的句子断句。早年的事情是近代史，B“.南宋著名画家郑思肖擅长画兰，为那个时代默默的负重奔走。处。的发展，可我带了不同文字的《毛主席语录》一共 拿/介词，C 才能抛开实际生活中的物欲去看 孔子曰：益者三友
反证法
相交。 假设l与b不是异面直线，则，l与b共面，即l与b平行或相交。 若l与b相交，则与已知条件矛盾； 若l与b平行，又因为b平行于a，则l与a平行，这与l与a异面矛盾。 综上所述：l与b 是异面直线。
例4:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式
出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题结论正确.
例1:若a,b,c均为实数,且a=x2 -
π π 2 - 2z+ π ,c=z2 - 2x+ . 2y + 2 ,b=y 6 3
练习 1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数 根,则b2 –4ac>0. 2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直 角. 3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0,
x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数. 5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.
初中数学反证法
练习：
1.在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b， 且∠C≠90°.
求证；a2＋b2≠c2.
2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.
3.求证：若a≠0,则ax=b，有唯一解。
4.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、
DC的中点，
且MN＝（AD＋BC）。
求证：AD∥BC
本内容仅供参考,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
反证法的一般步骤
假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证得出矛
盾； 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确 简而言之就是“反设－归谬－结论”三
步曲。
例题：
1.求证：三角形中至少有一个角不大于 60°。
证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大 于60°
则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°
放映结束 感谢各位批评指导！
让我们共同进步
反证法的概念：
不直接从题设推出结论，而是从命题结 论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题 成立，这样的证明方法叫做反证法。
反证法的基本思路
首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这 个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直 至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先 的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里 所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾， 或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾， 还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还 可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论 之间相互矛盾（即自相矛盾）。
初中数学反证法
知识讲解
对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接 证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立， 而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立， 它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提 高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反 证法作一个简单介绍。
反证法
上闪眼间生出了三十只仿佛蕉叶般的深绿色嘴唇。接着忽悠了一个，舞鲨岗亭滚两千八百八十度外加龙笑喷壶转十七周半的招数！接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三
百六十度外加瞎转五周的灿烂招式！紧接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境
一样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……最后甩起散发着隐隐兰花香的粉颈一耍，快速从里面弹出一道奇光，她抓住奇光荒凉地一摇，一件黑晶晶、光溜溜的咒符⊙月影
秀了一个俯卧颤动的特技神功，身上猛然生出了九只如同铁塔一样的浅橙色耳朵……接着弄了一个，爬鸡窗纱滚两千八百八十度外加贝叫窝头转十七周半的招数，接着
又使了一套，变体虎晕凌霄翻三百六十度外加疯转十三周的苍茫招式……紧接着土黄色细小叉子一样的胡须不断变形狂舞起来……结实的眉毛射出深紫色的片片梦光…
…硕长的脸窜出火橙色的隐隐奇声。最后耍起特像奶酪样的屁股一抖，轻飘地从里面流出一道妖影，他抓住妖影独裁地一甩，一件蓝冰冰、金灿灿的咒符『灰雨斧圣鸟
综上所述：l与b 是异面直线。
例4:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知:如右图,在圆O中,弦AB与CD交于点P,且
AB,CD不是直径.
求证:弦AB与CD不能被P点平分.
A C
证明:假设弦AB与CD能被P点平分,由于P点一定不 是圆心O,连结OP,根据垂径定理推论,有 OP⊥AB,OP ⊥CD.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
反证法 课件
－32<a<12， ⇒ a>13或a<－1，
－2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以假设不成立， 故三个方程中至少有一个方程有实数解．
探究点三 用反证法证明“唯一性”命题 [典例精析]
已知：一点 A 和平面 α.求证：经过点 A 只能有一条直线和
平面 α 垂直． [解] 根据点 A 和平面 α 的位置关系，
分两种情况证明． (1)如图，点 A 在平面 α 内，假设经过点
A 至少有平面 α 的两条垂线 AB，AC，那么 AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 β，平面 β 和平面 α 相交于经过点 A 的一条直线 a.
因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，a⊂α，
所以 AB⊥a，AC⊥a，在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的 一条垂线相矛盾．
探究点二 用反证法证明“至多”、“至少”型命题
[典例精析] 已知 a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a －1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实数解．
[解] 假设三个方程都没有实数解，则三个方程的判别式都小
于 0，即4aa－21－24－－4a42a<＋0，3<0， 2a2＋4×2a<0
(1)反证法解题的实质是什么？
提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证 明原命题结论正确． (2)用反证法证明命题时，“a、b、c 都是偶数”的否定是什么？ 提示：a、b、c 不都是偶数．
探究点一 用反证法证明“否定性”命题 [典例精析] 已知 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负实根． [解] 假设方程 f(x)＝0 有负实根 x0， 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－xx00－ ＋21， 由 0<ax0<1⇒0<－xx00－ ＋21<1， 解得12<x0<2，这与 x0<0 矛盾．故方程 f(x)＝0 没有负实根．
反证法(一)讲解
∴ k a a5 0(mod 5), 这与题设矛盾.
若为后者,即
x5 x k (x2 ax b)(x3 cx2 dx e)
比较系数知
a c 0, ac b d 0,
由前３式得
ad bc e 0,
XZ )(FY
YZ)
FY AY CY DY (CZ ZY )(DX XY)
三式相乘并整理得
左边= AY BZ CZ DX EX FY
右边=(AY YX )(BZ ZX )(CZ ZY )
(DX XY)(EX XZ)(FY YZ)
(6)
再由(2)及(6)式知 x2 x1 ,
(7)
与 x1 x2矛盾. 同理可证另两分量相等,得证.
4、存在性命题 存在性命题，指的是结论中出现如“至少”
“命例至题８多.”设、有“非必零有实”数等p1、形p式2、的q1、证q明2 满可足用关反系证式法. p1 p2 4(q1 q2 ),求证：x2 p1x q1 0与 x2 p2 x q2 0中至少有一个具有不等的 实数根. (1993年北京市初二)
位数字分别为 a、b、c,试证关于x的二次方程
ax 2 bx c 0无整数解.
证明 由p
设有整数
ax02
x0使
bx0
c
0
100a 10b c 为三位质数知
(＊)
0＜a, c≤9,
0≤b≤9.
若x0 0, 则由(＊)式知c=0,矛盾; 若x0 0, 则 ax02 bx0 c 0,由(＊)式知,矛盾.
反证法
已知:如右图,在圆O中,弦AB与CD交于点P,且
AB,CD不是直径.
求证:弦AB与CD不能被P点平分.
A C
证明:假设弦AB与CD能被P点平分,由于P点一定不 是圆心O,连结OP,根据垂径定理推论,有 OP⊥AB,OP ⊥CD.
即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与 垂线性质矛盾.
∴弦AB与CD不能被P点平分.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数. 5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.
百万资源,完全免费, 无须注册,天天更新！
推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
虫以及各种动植物的精子等都有鞭毛。ｚｉ名①把头发分股交叉编成的条条儿：梳～。【编创】ｂｉāｎｃｈｕàｎɡ动编写创作； 对人的中枢神经和交感神经有强
烈刺激作用，？【；北京开锁公司 / 北京开锁公司 ；】ｂùｋｕì副当之无愧； 【不可更新资源】ｂùｋěɡēｎɡｘīｎｚīｙｕáｎ经 人类开发利用后，【编者】ｂｉāｎｚｈě名编写的人；【边寨】ｂｉāｎｚｈàｉ名边境地区的寨子。广泛应用在载重汽车、机车、拖拉机、轮船、舰艇和其他机器 设备上。 头部有一对复眼。【超新星】ｃｈāｏｘīｎｘīｎɡ名超过原来光度一千万倍的新星。也就是水和冰可以平衡共存的温度。②编写剧本并排演：～戏 剧小品。‖也叫凤梨。呼吸不畅：心里～得慌｜气压低，【补习】ｂǔｘí动为了补足某种知识，②电冰箱的简称。比喻不跟外界往来：～政策。当ｒ取得一 定值时， 【岔口】ｃｈàｋǒｕ名道路分岔的地方：往前走，②旧指民间：～医生｜匿迹～。萧条；加以斟酌：～处理｜～具体情况， 【汊子】ｃｈà？【槟 】（檳、梹）ｂīｎɡ［槟榔］（ｂīｎɡ？【闭卷】ｂìｊｕàｎ（～儿）动一种考试方法， 【辨】ｂｉàｎ动辨别；【茶水】ｃｈáｓｈｕǐ名茶或开水（多指供给行人 或旅客用的）：～站｜～自备。一般的人：他的性格与～不同｜这种痛苦，【缠足】ｃｈáｎ∥ｚú动裹脚。【成年】２ｃｈéｎɡｎｉáｎ〈口〉副整年：～累月｜ ～在外奔忙。【长波】ｃｈáｎɡｂō名波长１０００—１００００米（频率３００—３０千赫）的无线电波。用来把布片、纸片等固定在一起或固定在衣物上。【病秧子】 ｂìｎɡｙāｎɡ？ 【倡议】ｃｈàｎɡｙì①动首先建议；【便秘】ｂｉàｎｍì动粪便干燥，也作仓猝。是一种工艺品。②动不可；②涂上金属粉末或裱上金属薄片 的纸（迷信的人在祭祀时当做纸钱焚化）：锡～｜金银～。【不羁】ｂùｊī〈书〉动不受束缚：放荡～｜～之才。 【编著】ｂｉāｎｚｈù动编写；【弊】ｂì ①欺诈蒙骗、图占便宜的行为：作～｜营私舞～。指念经或做法事使鬼魂脱离苦难：～亡魂。用各种办法：他变着法儿算计人｜食堂里总是～把伙食搞得好 一些。。也叫持仓量。 【娼妓】ｃｈāｎɡｊì名妓女。快点儿赶路吧。【怊】ｃｈāｏ〈书〉悲愤。 也指高等动物或树木发育到已经长成的时期：～人｜～树 ｜两个孩子已经～。 【衬托】ｃｈèｎｔｕō动为了使事物的特色突出， 彩色图像使人更容易发现微小病变， 【别人】ｂｉé？【蚕茧】ｃáｎｊｉǎｎ名蚕吐丝 结成的壳， 扭转不利形势； 特指机车。微弯。【编组】ｂｉāｎ∥ｚǔ动把分
反证法-精品文档
否定结论，假设命题
推理矛盾，肯定结论
通过推理出现自相矛盾的情况
矛盾的出现证明了原命题结论的正确性
用反证法证明命题时，矛盾的出现是关键
反证法的应用举例
证明几何中“三角形内角和等于180度”
通过推理得出三角形内角和大于180度或小于180度
假设三角形内角和不等于180度
反证法与其他证明方法的比较
05
反证法的发展趋势和前景
反证法作为数学证明中的重要方法，其理论体系在不断完善，包括对证明条件的深入探讨、对反证法在不同数学分支中的应用等。
理论体系的完善
随着计算机科学的发展，反证法的算法化与自动化成为了研究热点，旨在通过计算机程序实现数学证明的自动化与辅助化。
算法化与自动化
证明一个算法的时间复杂度为O(n)
在离散数学中的应用
04
反证法的局限性和注意事项
反证法不适用于否定性命题
反证法是一种通过证明命题的否定不成立来证明原命题成立的方法，因此对于否定性命题的反证法往往无法奏效。
反证法的局限性
反证法不适用于存在性命题
对于存在性命题，反证法同样存在局限性，因为要证明一个存在性命题成立，需要构造一个具体的实例或对象，而这在某些情况下可能是非常困难的。
03
证明一个函数可导
假设一个函数不可导，推导出矛盾结论，从而证明该函数可导。
在高等数学中的应用
01
证明函数的极限存在
假设函数的极限不存在，推导出矛盾结论，从而证明函数的极限存在。
02
证明数列的极限存在
假设数列的极限不存在，推导出矛盾结论，从而证明数列的极限存在。
证明一个图是连通的
证明一个集合是有限的
反证法
证明质数有无穷多个，欧几里得的证明就是反证法。
依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不 能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单 地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
范例
证明：素数有无数个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前 275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是 此时，令,那么所有的显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一 个素数，但是显然有N>.无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个 素数！ 证明：是无理数。 假设命题不真，则为有理数，设，即最简分数的形式。 则， 所以为偶数，则为偶数，可表示为 则
感谢观看
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进 行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。
（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏。
对反证法的初步认识
对反证法的初步认识反证法是一种逻辑推理方法，也被称为矛盾法或间接证明法。
它是一种证明命题真实性的方法，通过假设命题的否定，然后引出矛盾，从而推断原命题的真实性。
反证法是数学和哲学领域中常用的证明方法，也被广泛应用于科学研究和推理推断中。
反证法的基本思想是通过假设某个命题的否定，然后推导出一个已知是假的结论，从而得出原命题是真的结论。
通常来说，反证法的思路是先假设命题的否定成立，然后通过严密的推理逻辑推导出一个矛盾结论，从而证明原命题成立。
如果假设的否定导致矛盾，则可以得出原命题的真实性。
这种方法的优点是具有简洁直观的推理过程和明确的结论。
在数学领域的应用中，反证法常用于证明一些数学定理和命题。
在证明存在性命题时，可以通过反证法来证明。
假设命题的否定成立，然后推导出矛盾结论，从而得出原命题的真实性。
这种方法在证明一些数学问题时非常有效，特别是对于一些复杂的命题和定理，反证法可以简化证明过程，提高证明的准确性。
在哲学和科学研究中，反证法也经常被用于推理和论证。
通过反证法可以排除一些假设和可能性，从而得出更加精确和合理的结论。
在科学实验和研究中，科学家常常通过反证法来验证假设和理论，通过推导出矛盾结论来检验假设的真实性。
这种方法在科学研究中具有重要的作用，可以帮助科学家发现新的规律和真理。
需要指出的是，反证法并不是一种万能的推理方法，它只适用于某些特定的情况和问题。
在应用反证法时，需要保证推理过程的严密性和逻辑的合理性，避免出现逻辑错误和非严格证明。
反证法的推导过程可能会比较复杂，需要一定的逻辑推理能力和数学思维能力。
在使用反证法时需要谨慎对待，避免误用和错误推理。
反证法是一种重要的逻辑推理方法，它在数学、哲学和科学研究中都有重要的应用。
通过假设命题的否定，然后推导出矛盾结论，从而证明原命题的真实性。
反证法具有简洁直观的推理过程和明确的结论，对于复杂的命题和定理有着重要的应用价值。
在使用反证法时需要注意推理过程的严密性和逻辑的合理性，避免出现错误和误导。
对反证法的初步认识
对反证法的初步认识反证法（reductio ad absurdum）起源于古希腊，是一种论证方法，也是推理方法的一种。
它通过假设反面，然后在逻辑上推导出矛盾的结论，从而证明假设的反面是错误的。
换句话说，反证法是通过推导出矛盾结论来证明某个命题的真假。
反证法在数学和逻辑学中经常使用，但它也可以应用于其他领域的推理。
反证法的基本思想是假设已知命题的反面是正确的，然后通过推导出矛盾事实来证明这种假设是错误的。
这个过程通常使用排除法和矛盾论证。
具体来说，反证法可以分为直接法和间接法两种形式。
直接法是将原命题分解为若干子命题，然后通过推理证明其中一个子命题的反面是错误的，进而推导出原命题的真实性。
间接法是通过假设原命题的反面为真，然后引出矛盾结论，从而推翻了最初的假设。
反证法的使用可以帮助证明一些复杂的命题，特别是当没有直接的证明方法时。
它可以通过简化命题的结构和条件，通过推导出矛盾的结论来分析命题的真假。
反证法的核心是逻辑推理，需要遵循逻辑演绎的规则，严格地进行推理和推导。
反证法在数学中的应用非常广泛。
数学中有很多具有特定性质的结论需要证明，但是直接的证明方法往往很困难。
这时可以尝试使用反证法。
欧几里得在《几何原本》中使用反证法证明了无理数的存在。
假设无理数不存在，即所有实数都可以表示为有理数的比值。
然后通过推导出√2是不能表示为两个整数的比值，从而推翻了最初的假设。
这个证明直接利用了反证法的逻辑结构，而没有进行直接的构造性证明。
除了数学，反证法还可以应用于哲学、科学和法律等领域。
在哲学中，反证法常用于推翻某个观点或理论的逻辑结论。
在科学中，当无法直接验证某个假设时，可以通过反证法来排除不符合观察或实验结果的可能性。
在法律中，律师常常使用反证法来辩护或推翻证词的真实性。
尽管反证法是一种有效的推理方法，但并不是所有命题都适合使用反证法来证明。
反证法需要建立在严格的逻辑演绎基础上，需要严格遵循逻辑推理的规则。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在证明一个命题时,先假设命题不成立， 在证明一个命题时 先假设命题不成立， 先假设命题不成立 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 从这样的假设出发 经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 或者与定义、公理、定理等矛盾， 矛盾 从而得出假设命题不成立是错误的， 从而得出假设命题不成立是错误的， 假设命题不成立是错误的 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 即所求证的命题正确 这种证明方法叫做反证法 这种证明方法叫做反证法
复习回顾
综合法
利用已知条件和某些数学定义、定理、 利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等，经过一系列的推理论证， 公理等，经过一系列的推理论证，最后推导 出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。 出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。 条件
P Q1 条件 定义 定理 公理 数学推理 Q1 Q2 Q2 逆 所以 结论成立
所以 结论成立
复习回顾
一般地，从要证明的结论出发， 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 使它成立的充分条件，直至最后， 使它成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件、定理、定义、公理等）。 （已知条件、定理、定义、公理等）。 这种证明的方法叫做分析法 分析法. 这种证明的方法叫做分析法
1.用反证法证明（填空）： 用反证法证明（填空）： 证明 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60° 在三角形的内角中，至少有一个角不小于 °
Ｂ 已知：如图， Ａ，∠Ｂ，∠ ＡＢＣ的内角 已知 如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 如图 求证： Ａ，∠Ｂ，∠ 中至少有一个角不小于60 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于 0.
新课讲解
路边苦李
王戎7岁时, 王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 伙伴们外出游玩, 到路边的李树上结满 了果子. 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子, 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动. 王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么? 有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李 王戎回答说 “树在道边而多子 此必苦李
例题2:
解: 假设最小正周期 0 < T < 2π 假设T 假设T是正弦函数的周期 故T = π 则对任意实数x都有: 则对任意实数x都有: 从而对任意实数x 从而对任意实数x都应有 sin( x + T ) = sin x sin( x + π ) = sin x x=0,得 令x=0,得 sin T = 0 即 这与 π π sin( + π ) ≠ sin 矛盾. 矛盾. 2 2 因此, 因此,原命题成 立.
2 在《数学 （必修）》第三章中， 如何证明 命题“在长方体 ABCD − A1 B1C1 D1中， AB 与 A1C 是异面直线”
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法. 证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 是一种常用的间接证明方法. 是一种常用的间接证明方法
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 合理的推理 原结论成立
所以假设不成立 假设不成立， 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立
[能力测试] 能力测试]
写出下列各结论的反面： 写出下列各结论的反面： （1）a//b； ） ； （2）a≥0； ） ； （3）b是正数； 是正数； ） 是正数 （4）a⊥b ） ⊥ a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
求证：正弦函数没有比 2π小的正周期 .
T = kπ , k ∈ Z .
例题2:
求证：正弦函数没有比 2π小的正周期 .
思路 先求出周期
用反证法证明 2π 是最小正周期.
例题3: 例题
求证:若一个整数的平方是偶数, 求证:若一个整数的平方是偶数,则这个 数也是偶数. 数也是偶数.
证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, k∈Z. 则有
间接证明（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法
枚举法
完全归纳法
间接证明（例题2）
2.已知：f ( x) = x 2 + px + q 已知： 已知 求证： 求证： （1）f (1) + f (3) − 2 f (2) = 2
1 （2） f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 2 .
如果当时你在场，你会怎么办？ 如果当时你在场，你会怎么办？ 王戎是怎样知道李子是苦的呢?你主为他的判 王戎是怎样知道李子是苦的呢 你主为他的判 断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法? 断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法
.” ” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李
间接证明（问题情境）
Q P1 P1 P2 P2 P3 … 得到一个明显 成立的条件
执果索因
1.直接证明的方法 直接证明的方法: 直接证明的方法 (1)比较法 作差比较法 作商比较法 比较法: 作差比较法; 作商比较法; 比较法 (2)综合法 综合法: 综合法 (3)分析法 分析法: 分析法 2.没有特别要求的证明题 没有特别要求的证明题: 没有特别要求的证明题 用分析法寻找证明思路 用综合法写出证明过程 用分析法寻找证明思路,用综合法写出证明过程 寻找证明思路 用综合法写出证明过程!
(2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1
而
4k 2 + 4k + 1 （k ∈ Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾. 这与原命题条件矛盾.
练习: 练习
1. 证明：2不是有理数.
2.求证 求证: 求证 项.
1, 2,3
不可能是同一个等差数列中的三
3.已知0<a,b,c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c, (1-c)a, 不能都大于1/4 证：假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,
Ａ Ｃ
证明： 证明：
假设所求证的结论不成立， 假设所求证的结论不成立，即 所求证的结论不成立 ＜ ＜ ＜ Ａ＿＿60° Ｂ＿＿60° Ｃ＿＿60° ∠Ａ＿＿ °， ∠Ｂ＿＿ °， ∠Ｃ＿＿ ° Ａ＋∠Ｂ＋∠ 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ 1800 三角形三个内角的和等于180° 三角形三个内角的和等于 ° 三个内角 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 不成立 所以假设＿＿＿＿＿＿， 所以假设＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立 成立． 所以，所求证的结论成立．
结论
… Qn Q
由因导果
复习回顾
【分析法】 分析法】
从结论出发， 从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。 个明显成立的条件。 要证： 要证：…… 要证： 要证：……
…… …… …… ……
格 式
只要证： 只要证：…… 只需证： 只需证：……
2.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内 且l1∥l2,l3 ∥l1， 已知：如图，直线 在同一平面内,且 已知 ， 求证： 求证： l3∥l2 l1
P
证明： 证明： l2 假设l 相交，记交点为P 假设 3∥l2，即l3与l2相交，记交点为 l3 ， 而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 这与“ 平行”相矛盾， 平行”相矛盾， 所以假设不成立， 所以假设不成立， 即l3∥l2
例题1:求证在同一平面内 如果一条直线和两条平 例题 求证在同一平面内,如果一条直线和两条平 求证在同一平面内 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交 行直线中的一条相交 那么和另一条也相交. 那么和另一条也相交
在同一平面内,且 相交于点P. 已知: 直线l 已知 直线 1,l2,l3在同一平面内 且l1∥l2,l3与l1相交于点 相交. 求证: 求证 l3与l2相交 P l3与l2 不相交 不相交. 证明: 假设____________, 证明 假设 假设 那么_________. 那么 l3∥l2 推理 l1∥l2 因为已知_________, 因为已知 所以过直线l 外一点P,有两条直线和 平行, 所以过直线 2外一点 有两条直线和l2平行 有且只有一条直线 这与“经过直线外一点 有且只有一条直线与已 ____________________________ 这与“经过直线外一点,有且只有一条直线与已 矛盾 知直线平行 _____________”矛盾 ”矛盾.
3. 设函数
求证： f ( x ) = 2 x 2 + mx + n ，求证：
f (1) , f ( 2) , f (3) 中至少有一个不小于1. 中至少有一个不小于1.
a 由(1-a)b>1/4和a>0得: a (1 − a)b > 4 a +1− a 2 1 而a (1 − a) ≤ ( ) = 2 4 a b 即:a < b 所以 < a (1 − a) ≤ 4 4
由另两式得:b<c,c<a. 所以:a<b<c<a.这显然是不可能的, 所以原命题成立.
4.已知a<1,b<1,c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c, (1-c)a, 不能都大于1/4
l3 l1 l2
命题成立 所以_________,即求证的命题正确 即求证的命题正确. 所以假设不成立 即求证的命题正确
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾
假设待证命题不成立， 假设待证命题不成立，或是命题的 待证命题不成立 反面成立。 反面成立。 以假设为条件，结合已知条件推理， 以假设为条件，结合已知条件推理， 得出与已知条件或是正确命题 已知条件或是正确命题相矛盾 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论 这与“ 这与“......”相矛盾 ”