高中数学反证法方法与例题
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2
1 (1 b)c > , 4
(1 a) a 又∵ 0 < a, b, c < 1∴ 0 (1 a)a 2
1 同理： (1 b)b , 4
1 4
1 (1 c )c ，以上三式相乘： 4 1 (1 a)a• (1 b) b• (1 c) c≤ 64
2
3 3
这与题设条件 a b 2 矛盾，
3 3
所以，原不等式 a b 2 成立．
例 2 已知 a + b + c > 0， ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证： a, b, c > 0．
证明 假设 a < 0, ∵ abc > 0, ∴ bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = a > 0 ∴ ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0，与题设矛盾 若 a = 0，则与 abc > 0 矛盾， ∴必有 a > 0 同理可证：b > 0,c > 0．
f (1) 2 f (2) f (3) f (1) 2 f (2) f (3) (1 p q) 2(4 2 p q) (9 3 p q) 2
（ 2）
（ 1） 、 （ 2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．
例 2 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝ 1＋ 2，S3＝ 9＋ 3 2. (1) 求数列 {an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； Sn * (2)设 bn＝ (n∈ N )，求证：数列 {bn}中任意不同的三项 n 都不可能成为等比数列．
2 2
q2 pr 0 ∵ p， q， r∈ N，∴ 2q p r 0
pr 2 ) pr ， (p－ r)2＝ 0，∴ p＝ r，与 p≠r 矛盾． ∴( 2
所以数列 {bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
2. 反证法的证明步骤：
①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立； ②推出矛盾：由结论反面成立出发， 通过一系列正确的推理，导出矛盾； ③否定假设：由正确的推导导出了矛盾， 说明假设不成立； ④肯定结论：原命题正确．
1 1 k 9. 若 a b c ，则使 恒成立的 ab bc ac 最大的正整数 k 为 .
1 1 k 解 由题意 a b 0, b c 0, a c 0 ，故 ab bc ac 1 1 1 1 （ )(a c) k （ )[(a b) b c)] k a b bc a b b c a b bc a b bc k 恒成立，故 2 |min k ， 即2 bc a b bc a b
与①矛盾，∴原式成立．
变式 3 设数列{an}是公比为 q 的等比数列， Sn 是它的前 n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列 {Sn}是等差数列吗？为什么？
2 S2＝S1 S3，
解 (1)证明 假设数列{ Sn}是等比数列，则 2 2 2 即 a1(1＋ q) ＝ a1 · a1 · (1＋ q＋ q )，因为 a1≠ 0， 2 2 所以 (1＋ q) ＝ 1＋ q＋ q ，即 q＝ 0，这与公比 q≠ 0 矛盾， 所以数列 {Sn}不是等比数列． (2)当 q＝1 时，{Sn }是等差数列； 当 q≠1 时，{Sn }不是等差数列， 2 否则 2S2 ＝S1 ＋S3 ，即 2a1 (1＋q)＝a1 ＋a1 (1＋q＋q )， 得 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾．
a b b c a b b c 22 4 ，所以 k 4 ，即最大的正整数 k 为 4. 又2 b c a b b c a b
例 3 设 0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,
1 不可能同时大于 ． 4
1 证明 设 (1 a) b > , 4
1 (1 c)a > , 4 1 则三式相乘： (1 a) b• (1 b) c•(1 c)a > ① 64
Байду номын сангаас
a1 2 1 解 (1)由已知得 ， 3a1 3d 9 3 2
∴ d＝ 2，故 an＝ 2n－ 1＋ 2， Sn＝ n(n＋ 2)．
Sn (2)证明：由 (1)得 bn＝ ＝ n＋ 2. n
假设数列 {bn}中存在三项 bp、 bq、 br (p、 q、 r 互不相等 )成等比数列， 则 bq ＝ bp br，即 (q＋ 2) ＝(p＋ 2)(r＋ 2)， ∴ (q2－ pr)＋(2q－ p－ r) 2＝ 0.
例 1 设二次函数 f ( x) x 2 px q ，
1 证明 假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 ，则 2
1 求证： f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 . 2
f (1) 2 f (2) f (3) 2.
（ 1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
反证法
3 3 a b 2 ，求证 a b 2. 变式 1 设
证明 假设 a b 2 ，则有 a 2 b ，从而
a 8 12b 6b b ,
3 3 2 3
a b 6b 12b 8 6(b 1) 2.
3 2 2
因为 6(b 1) 2 2 ，所以 a b 2 ，
1 (1 b)c > , 4
(1 a) a 又∵ 0 < a, b, c < 1∴ 0 (1 a)a 2
1 同理： (1 b)b , 4
1 4
1 (1 c )c ，以上三式相乘： 4 1 (1 a)a• (1 b) b• (1 c) c≤ 64
2
3 3
这与题设条件 a b 2 矛盾，
3 3
所以，原不等式 a b 2 成立．
例 2 已知 a + b + c > 0， ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证： a, b, c > 0．
证明 假设 a < 0, ∵ abc > 0, ∴ bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = a > 0 ∴ ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0，与题设矛盾 若 a = 0，则与 abc > 0 矛盾， ∴必有 a > 0 同理可证：b > 0,c > 0．
f (1) 2 f (2) f (3) f (1) 2 f (2) f (3) (1 p q) 2(4 2 p q) (9 3 p q) 2
（ 2）
（ 1） 、 （ 2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．
例 2 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝ 1＋ 2，S3＝ 9＋ 3 2. (1) 求数列 {an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； Sn * (2)设 bn＝ (n∈ N )，求证：数列 {bn}中任意不同的三项 n 都不可能成为等比数列．
2 2
q2 pr 0 ∵ p， q， r∈ N，∴ 2q p r 0
pr 2 ) pr ， (p－ r)2＝ 0，∴ p＝ r，与 p≠r 矛盾． ∴( 2
所以数列 {bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
2. 反证法的证明步骤：
①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立； ②推出矛盾：由结论反面成立出发， 通过一系列正确的推理，导出矛盾； ③否定假设：由正确的推导导出了矛盾， 说明假设不成立； ④肯定结论：原命题正确．
1 1 k 9. 若 a b c ，则使 恒成立的 ab bc ac 最大的正整数 k 为 .
1 1 k 解 由题意 a b 0, b c 0, a c 0 ，故 ab bc ac 1 1 1 1 （ )(a c) k （ )[(a b) b c)] k a b bc a b b c a b bc a b bc k 恒成立，故 2 |min k ， 即2 bc a b bc a b
与①矛盾，∴原式成立．
变式 3 设数列{an}是公比为 q 的等比数列， Sn 是它的前 n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列 {Sn}是等差数列吗？为什么？
2 S2＝S1 S3，
解 (1)证明 假设数列{ Sn}是等比数列，则 2 2 2 即 a1(1＋ q) ＝ a1 · a1 · (1＋ q＋ q )，因为 a1≠ 0， 2 2 所以 (1＋ q) ＝ 1＋ q＋ q ，即 q＝ 0，这与公比 q≠ 0 矛盾， 所以数列 {Sn}不是等比数列． (2)当 q＝1 时，{Sn }是等差数列； 当 q≠1 时，{Sn }不是等差数列， 2 否则 2S2 ＝S1 ＋S3 ，即 2a1 (1＋q)＝a1 ＋a1 (1＋q＋q )， 得 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾．
a b b c a b b c 22 4 ，所以 k 4 ，即最大的正整数 k 为 4. 又2 b c a b b c a b
例 3 设 0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,
1 不可能同时大于 ． 4
1 证明 设 (1 a) b > , 4
1 (1 c)a > , 4 1 则三式相乘： (1 a) b• (1 b) c•(1 c)a > ① 64
Байду номын сангаас
a1 2 1 解 (1)由已知得 ， 3a1 3d 9 3 2
∴ d＝ 2，故 an＝ 2n－ 1＋ 2， Sn＝ n(n＋ 2)．
Sn (2)证明：由 (1)得 bn＝ ＝ n＋ 2. n
假设数列 {bn}中存在三项 bp、 bq、 br (p、 q、 r 互不相等 )成等比数列， 则 bq ＝ bp br，即 (q＋ 2) ＝(p＋ 2)(r＋ 2)， ∴ (q2－ pr)＋(2q－ p－ r) 2＝ 0.
例 1 设二次函数 f ( x) x 2 px q ，
1 证明 假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 ，则 2
1 求证： f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 . 2
f (1) 2 f (2) f (3) 2.
（ 1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
反证法
3 3 a b 2 ，求证 a b 2. 变式 1 设
证明 假设 a b 2 ，则有 a 2 b ，从而
a 8 12b 6b b ,
3 3 2 3
a b 6b 12b 8 6(b 1) 2.
3 2 2
因为 6(b 1) 2 2 ，所以 a b 2 ，