高中数学反证法方法与例题
反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)
反证法证明题例1. 已知∠A ，∠B ，∠C 为∆ABC 内角.求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60o.证明：假设∆ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 都小于60o，即∠A <60o，∠B <60o，∠C <60o，所以∠A +∠B +∠C < 180O，与三角形内角和等于180o矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例2. 已知a ≠ 0 ，证明x 的方程ax =b 有且只有一个根.证明：由于a ≠ 0 ，因此方程ax =b 至少有一个根x =b .a 假设方程ax =b 至少存在两个根，不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 ，则ax1=b, ax2=b ，所以ax1=ax2，所以a(x1-x2 ) = 0 .因为x1 ≠x2 ，所以x1 -x2 ≠ 0 ，所以a = 0 ，与已知a ≠ 0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 .证明：假设a +b > 2 ，则有a > 2 -b ，所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3，所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 .因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2所以a3+b3> 2 ，与已知a3+b3= 2 矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例4. 设{a n}是公比为的等比数列，S n为它的前n 项和.求证：{S n}不是等比数列.证明：假设是{S }等比数列，则S 2=S ⋅S ，n 2 1 32 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ⋅ a (1+ q + q 2 ) .因为等比数列 a 1 ≠ 0 ，所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ，与等比数列 q ≠ 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例 5. 证明 是无理数.m 证明：假设 是有理数，则存在互为质数的整数 m ，n 使得 =.n所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 ，所以 m 2 为偶数，所以m 为偶数.所以设 m = 2k (k ∈ N *) ，从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 .所以n 2 也为偶数，所以 n 为偶数. 与 m ，n 互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证 是无理数成立.例 6. 已知直线 a , b 和平面，如果 a ⊄, b ⊂，且 a / /b ，求证a / /。
高中数学反证法方法与例题
变式 1 设 a3 b3 2 ，求证 a b 2.
证明 假设 a b 2 ，则有 a 2 b ，从而 a3 8 12b 6b2 b3 , a3 b3 6b2 12b 8 6(b 1)2 2.
因为 6(b 1)2 2 2 ，所以 a3 b3 2 ，
即
2
a b
b c
b a
c b
k
恒成立，故
2
a b
b c
b a
c b
|min
k
，
又 2 a b b c 2 2 a b b c 4 ，所以 k 4，即最大的正整数 k 为 4.
bc ab
bc ab
谢谢大家！
又∵0 < a, b, c < 1∴ 0 (1 a)a
(1 a) a 2
2Hale Waihona Puke 1 4同理： (1 b)b
1
,
(1 c)c 1 ，以上三式相乘：
4
4
(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 1 64
与①矛盾，∴原式 成立．
变式 3 设数列{an}是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
q2 pr 0 ∵p，q，r∈N，∴
2q p r 0 ∴ ( p r )2 pr ，(p－r)2＝0，∴p＝r，与 p≠r 矛盾．
2
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
2.反证法的证明步骤：
①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立； ②推出矛盾：由结论反面成立出发， 通过一系列正确的推理，导出矛盾； ③否定假设：由正确的推导导出了矛盾， 说明假设不成立； ④肯定结论：原命题正确．
高中反证法练习题及讲解
高中反证法练习题及讲解### 高中数学反证法练习题及讲解#### 练习题一：不等式的证明题目：证明对于任意正整数 \( n \)，有 \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \geq n^2 \)。
解答：假设存在某个正整数 \( n \)，使得 \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 < n^2 \)。
考虑 \( n \) 的最小值，即 \( n = 1 \)，显然 \( 1^2 = 1 \)，不等式成立。
现在考虑 \( n > 1 \) 的情况，我们有：\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 + n^2 < n^2 \]将 \( n^2 \) 移项，得到：\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 < 0 \]但是，由于每一项都是非负的，它们的和不可能小于零。
这与我们的假设矛盾，因此原命题成立。
#### 练习题二：几何命题的证明题目：证明在直角三角形中，斜边的中点到三个顶点的距离相等。
解答：假设在直角三角形 \( ABC \) 中，斜边 \( AC \) 的中点为 \( M \)，且 \( M \) 到顶点 \( A \)、\( B \) 和 \( C \) 的距离不相等。
不失一般性，设 \( MA < MB \)。
由于 \( M \) 是斜边的中点，我们有 \( MC = MA \)。
考虑直角三角形 \( ABM \)，由于 \( MA < MB \)，根据勾股定理，我们有 \( AM^2 + BM^2 = AB^2 \)，这与 \( MA < MB \) 矛盾。
因此，我们的假设不成立，原命题成立。
#### 练习题三：数列的性质题目：证明对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，如果 \( a < b \)，则 \( a^2 < b^2 \)。
介绍反证法及举例
01
用反证法证明命题的一般步骤是什么?
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
02
则C必定是在撒谎.
05
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
03
B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——
国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
1
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唐·吉诃德悖论
说谎者悖论
M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
M：一天，有个旅游者回答——
旅游者：我来这里是要被绞死。
M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a, b, c > 0
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反设②归谬③结论 方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. 正难则反!
高中数学反证法 (7)
栏目 导引
2
第二章
推理与证明
p＋ r 2 ∴( ) ＝pr,(p－ r)2＝0,∴p＝ r. 2 这与 p≠ r 矛盾. ∴数列 {bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列 .
信息提炼 层层剖析
用待定系数法求出公差,然后求 an 和 Sn. 写出{bn}的通项公式是证明(2)的基础 . 正确假设(否定原命题结论)是反证法的关键. 推出矛盾,得出结论.
综上,所以结论成立,即两条相交直线有且只有一个交点.
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第二章
推理与证明
题型三
用反证法证明(或解答)“至多”或“至
少”类命题
例3 (2013· 临沂高二检测 )已知 a、 b、 c∈ (0,1),求证 :(1－
1 a)b,(1－b)c,(1－c)a 中至少有一个不大于 . 4 1 【证明】 假设三式同时大于 , 4 1 1 1 即 (1－a)b＞ ,(1－b)c＞ ,(1－ c)a＞ , 4 4 4 三式相乘 ,得 1 (1－a)a· (1－b)b· (1－ c)c＞ . 64
栏目 导引
第二章
推理与证明
a1＝ 2＋ 1， 【解】 (1)由已知得 3a1＋ 3d＝9＋ 3 2，
∴ d＝ 2,故 an＝ 2n－ 1＋ 2,Sn＝ n(n＋ 2). Sn (2)证明:由(1)得 bn＝ ＝ n＋ 2 n 假设数列 {bn}中存在三项 bp、 bq、br(p、q、 r 互不相等 )成 等比数列 ,则 b2 q＝bpbr, 即 (q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2), ∴ (q2－pr)＋ (2q－p－ r) 2＝0.
第二章
推理与证明
高中数学反证法解题技巧
高中数学反证法解题技巧高中数学中，反证法是一种重要的解题方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在解题过程中，灵活运用反证法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将从几个具体的题目入手，介绍高中数学中常见的反证法解题技巧，并给出详细的解题思路和步骤。
一、证明两直线平行的反证法题目：已知直线l1和直线l2，证明若l1与l2的斜率相等，则l1与l2平行。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设l1与l2不平行，即l1与l2有交点A。
由于l1与l2的斜率相等，所以l1与l2的斜率分别为k。
设直线l1的方程为y = kx + b1，直线l2的方程为y = kx + b2。
由于直线l1与l2有交点A，所以A点的坐标(x0, y0)同时满足l1和l2的方程。
代入l1的方程可得y0 = kx0 + b1，代入l2的方程可得y0 = kx0 + b2。
由此可得b1= b2，即l1与l2的截距相等。
然而，根据直线的性质，不平行的两条直线的截距必不相等。
因此，假设不成立，即l1与l2平行。
二、证明存在无理数题目：证明存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设所有平方根都是有理数，即对于任意实数x，若x的平方是有理数，则x是有理数。
设x是一个无理数，即x不是有理数。
根据假设，x的平方是有理数。
那么根据平方根的性质，x的平方根也应该是有理数。
然而，这与x是无理数的前提相矛盾。
因此，假设不成立，存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
三、证明存在无穷多个素数题目：证明存在无穷多个素数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设存在有限个素数p1,p2, ..., pn，它们是所有素数的完全列表。
考虑数M = p1 * p2 * ... * pn + 1，显然M大于p1, p2, ..., pn。
根据素数的定义，M要么是素数，要么可以分解为素数的乘积。
反证法典型例题
例3.已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有 一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
证明: 假设c<0, 则a+b>0, ab<0. ab+bc+ca=ab+(a+b)c<0. 矛盾!假设不成立.
所以, a,b,c>0.
例7.已知0<a,b,c<1, 求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4.
证明: 假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同时大于1/4.
2 22
例9.已知A,B,C为三个正角. 且sin2A+sin2B+sin2C=1. 求证: A+B+C<900.
解:假设A+B+C ≥900, 由于A,B,C为三个正角, 所以 它们都为锐角, 且有cos(A+B)<cos(A-B). 1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B)
所以假设不成立，2是有理数成立。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论； (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 这一类的命题； (4)结论为 “唯一”类的命题。
正难则反!
例6.已知a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0. 求证: a,b,c>0
高考数学解题方法-反证法-含答案
高考数学解题方法-反证法-含答案反证法一、填空题1. 用反证法证明命题"三角形的内角中至少有一个钝角"时反设是．2. 用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是．3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于”时，与命题结论相矛盾的假设为．4. 用反证法证明命题“如果，，那么”，证明的第一个步骤是．5. 用反证法证明命题时，其结论为“直线在平面内”，那么假设的内容是．6. 用反证法证明命题“若正整数，，满足，则，，中至少有一个是偶数”时，反设应为．7. 用反证法证明命题："若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数"时，第一步应假设．8. 用反证法证明"一个三角形至少有两个锐角"，则反设是．9. 否定＂自然数，，中恰有一个偶数＂时，正确的反设是．10. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，则不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设，，中的两个角是直角，不妨设．正确顺序的序号排列为．11. 用反证法证明"若，则 "时，第一步反设应为．12. 命题“关于的方程的解是唯一的”的结论的否定是．13. 用反证法证明命题：“如果，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设的内容应为．14. 用反证法证明命题"若实数满足，则中至少有一个是非负数"时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是．15. 用反证法证明“若，则或”时’应假设．16. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是．17. 用反证法证明命题："如果，是奇数，那么方程没有整数根"时，应该提出的假设是．18. 用反证法证明命题“若，是实数，且，则”时，应作的假设是．19. 和两条异面直线，都相交的两条直线，的位置关系是．20. 已知函数，，．对任意都有，且是增函数，则．二、解答题21. 已知，，．求证：，中至少有一个不小于．22. 设函数中，均为整数，且均为奇数．求证：无整数根．。
反证法例题
反证法：从矛盾到证明
反证法是一种常用的证明方法，它通过假设一个命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。
下面是一个反证法的例题和练习。
例题：证明“一个三角形中最大的角是直角”
证明：假设一个三角形中最大的角不是直角，那么它只能是锐角或钝角。
根据三角形内角和定理，三个内角的和等于180度。
如果最大的角不是直角，那么它要么是锐角（小于90度），要么是钝角（大于90度）。
因此，三角形的内角和要么小于180度，要么大于180度，这与三角形内角和定理相矛盾。
因此，假设不成立，原命题成立。
练习：证明“一个正方形中最大的角是直角”
证明：假设一个正方形中最大的角不是直角，那么它只能是锐角或钝角。
根据正方形内角和定理，四个内角的和等于360度。
如果最大的角不是直角，那么它要么是锐角（小于90度），要么是钝角（大于90度）。
因此，正方形的内角和要么小于360度，要么大于360度，这与正方形内角和定理相矛盾。
因此，假设不成立，原命题成立。
通过反证法的例题和练习，我们可以发现反证法的思路是通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。
在应用反证法时，需要注意一些关键点：
确定假设的命题是什么。
根据已知条件和定理，推导出与假设相矛盾的结论。
证明矛盾的结论是由于假设不成立导致的。
通过不断练习和应用反证法，我们可以提高自己的逻辑推理能力和证明能力。
高中数学 反证法
复习引入
思 考：
将9个球分别染成红色或者白色，那么 无论怎样染，至少有5个球是同色的. 你能证明这个结论吗？
新课不成立（即在原 命题的条件下，结论不成立），经过正确 的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错 误，从而证明了原命题成立，这样的证明 方法叫做反证法.
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0， 则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设 ( A. a≠b≠c≠0 B. abc≠0 C. a≠0，b≠0，c≠0 D. a≠0或b≠0或c≠0 )
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0， 则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设 ( D A. a≠b≠c≠0 B. abc≠0 C. a≠0，b≠0，c≠0 D. a≠0或b≠0或c≠0 )
课堂练习
2. 在△ABC中，若∠C是直角，则
∠B 一定是锐角.
3. 求证： 2 ， 3 ， 5 不可能成 等差数列.
课堂练习
4. 已知a，b，c均为实数，且
a x 2y
2
2
，b y 2 z
2
3
，
6 求证：a，b，c中至少有一个大于0.
c z 2x
2
.
课堂小结
1.“反证法”的解题步骤： (1)提出反设（否定结论）； (2)推出矛盾（与已知、假设、定义、 定理、公理、事实矛盾，这是关键 的一步）； (3)否定假设，肯定结论.
2.反证法一般应用于证明“结论含有否定词、 至多、至少、唯一性”的问题.
课后作业
《学案》与《习案》.
例题讲解
例1. 已知a 0，证明x的方程ax b
有且只有一个根 .
4.反证法
4.反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非A ”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。
再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。
实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
反证法经典专题(带解析)
反证法专题50道18．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程30至少有两个实根”时，要x ax b做的假设是（）A．方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B．方程30C．方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D．方程30x ax ba b ，则,a b至少有一个小于0”时，假设应为（）19．利用反证法证明“若0A．,a b都小于0B．,a b都不小于0C．,a b至少有一个不小于0D．,a b至多有一个小于020．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页，共17页参考答案：1．A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ，b 中至少有一个能被5整除的否定是a ，b 都不能被5整除，所以假设的内容应该是a ，b 都不能被5整除，故选：A 2．B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a ，b ∈N+，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．3．C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义，知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用，所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选：C.4．C【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为：,a b 至少有一个能被7整除.故选：C.5．D【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”，“那么22a b ”的结论是22a b ，而反证法证明命题时，是假设结论不成立，即结论的反面成立，所以所求假设是22a b .故选：D 6．C答案第2页，共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x 且1y ，故选：C ．7．D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设0x 或0y 故选：D 8．C【分析】根据反证法证明命题的方法，应先假设命题的反面成立，故求出命题的反面即可.【详解】“x ，y 至多有一个大于0”包括“x ，y 都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”.故选：C.9．C【分析】反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，即“假设a ，b ，c 都是有理数”.故选：C.10．A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”，反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选：A.11．B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设,,a b c 都不是偶数.故选：B.12．B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为：若“6x y ，则3x 且4y ”成立.45．0x 且0y 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设0x 且0y .故答案为：0x 且0y 46．02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“已知a R ，若|1|1a ，则a<0或2a ”，用反证法证明时应假设：若02a .故答案为：02a .47．a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：假设结论的反面成立，即a b 且b c 成立．故答案为：a b 且b c 成立．48．在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角49．1x 且1y 【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ，则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”，其否定为“1x 且1y ”，所以假设的内容应该是：1x 且1y .故答案为：1x 且1y 50．1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证1x 或1y 时，应首先假设1x 且1y .故答案为：1x 且1y 51．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.。
高中数学反证法例题
高中数学反证法例题高中数学反证法例题一选择题1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解[答案] C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C.a、b、c都是偶数D.a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a、b，c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个偶数D.假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数.5.命题“△ABC中，若&ang；A>&ang；B，则a>b”的结论的否定应该是()A.aB.a&le；bC.a=bD.a&ge；b[答案] B[解析]“a>b”的否定应为“a=b或a6.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c 与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线[答案] C[解析]假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b 异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.7.设a，b，c&isin；(-&infin；，0)，则三数a+1b，c+1a，b+1c中()A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2[答案] C[解析]a+1b+c+1a+b+1c=a+1a+b+1b+c+1c∵a，b，c&isin；(-&infin；，0)，∴a+1a=--a+-1a&le；-2b+1b=--b+-1b&le；-2c+1c=--c+-1c&le；-2∴a+1b+c+1a+b+1c&le；-6∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2，故应选C.8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] B[解析]对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m 都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P 与l、m都异面的直线不唯一.9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁[答案] C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1，2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1B.存在正整数n，使xn=xn+1C.存在正整数n，使xn&ge；xn+1且xn&le；xn-1D.存在正整数n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)&ge；0[答案] D[解析]命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”.故应选D.高中数学反证法例题二填空题11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”.12.用反证法证明命题“a，b&isin；N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________.[答案]a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”.13.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①&ang；A+&ang；B+&ang；C=90°+90°+&ang；C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则&ang；A=&ang；B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设&ang；A，&ang；B，&ang；C中有两个角是直角，不妨设&ang；A=&ang；B=90°.正确顺序的序号排列为____________.[答案]③①②[解析]由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数.这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.[答案]质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外[解析]由反证法的步骤可得.高中数学反证法例题三解答题15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.[证明]用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a+b+c>0，可得c>-(a+b)，又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab即ab+bc+ca<-a2-ab-b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0，即ab+bc+ca<0，这与已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假设不成立.因此a>0，b>0，c>0成立.16.已知a，b，c&isin；(0，1).求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a 不能同时大于14.[证明]证法1：假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2&ge；(1-a)b>14=12，同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12.三式相加，得(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32，即32>32，矛盾.所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，三式相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①因为0同理，0所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c&le；143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.17.已知函数f(x)是(-&infin；，+&infin；)上的增函数，a，b&isin；R.(1)若a+b&ge；0，求证：f(a)+f(b)&ge；f(-a)+f(-b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.[解析](1)证明：∵a+b&ge；0，∴a&ge；-b.由已知f(x)的单调性得f(a)&ge；f(-b).又a+b&ge；0?b&ge；-a?f(b)&ge；f(-a).两式相加即得：f(a)+f(b)&ge；f(-a)+f(-b).(2)逆命题：f(a)+f(b)&ge；f(-a)+f(-b)?a+b&ge；0.下面用反证法证之.假设a+b<0，那么：a+b<0?a<-b?f(a)?f(a)+f(b)这与已知矛盾，故只有a+b&ge；0.逆命题得证.18.(2019?湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.[解析]假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs=br+bt成立.∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，由于r故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.。
反证法的一般步骤例子
反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，基本思想是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。
下面将以一般步骤为题，列举10个反证法的例子。
一、证明1不是素数假设1是素数，根据素数的定义，素数只能被1和自身整除。
但是1只能被1整除，与素数的定义矛盾。
因此，假设不成立，1不是素数。
二、证明平方根2是无理数假设平方根2是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
设√2=a/b，其中a、b为互质整数。
将等式两边平方得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。
左边是偶数，右边是奇数，矛盾。
因此，假设不成立，平方根2是无理数。
三、证明根号2的立方根是无理数假设根号2的立方根是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
设∛2=a/b，其中a、b为互质整数。
将等式两边立方得2=a^3/b^3，即2b^3=a^3。
左边是偶数，右边是奇数，矛盾。
因此，假设不成立，根号2的立方根是无理数。
四、证明根号2和根号3是无理数假设根号2和根号3都是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
设√2=a/b，√3=c/d，其中a、b、c、d为互质整数。
将等式两边平方得2=a^2/b^2，3=c^2/d^2。
再将两个等式相加得2+3=a^2/b^2+c^2/d^2，即5=a^2/b^2+c^2/d^2。
左边是奇数，右边是偶数，矛盾。
因此，假设不成立，根号2和根号3是无理数。
五、证明根号2和根号3的和是无理数假设根号2和根号3的和是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
设√2+√3=a/b，其中a、b为互质整数。
将等式两边平方得2+2√6+3=a^2/b^2，即5+2√6=a^2/b^2。
移项得2√6=a^2/b^2-5，即2√6=(a^2-5b^2)/b^2。
左边是无理数，右边是有理数，矛盾。
因此，假设不成立，根号2和根号3的和是无理数。
六、证明根号2和根号3的积是无理数假设根号2和根号3的积是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
反证法和数学归纳法2013
反证法和数学归纳法201一、反证法：例题：1、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是3、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是4、已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.求证：a >0，b >0，c >0.5、已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.练习：1、证明：设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中至少有一个不大于－2。
2、已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．3、方程022,0)1(,03442222=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围。
二、数学归纳法：例题：1、用数学归纳法证明“)12...(312))...(2)(1(-⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”从k 到1+k 左端需增乘的代数式为2、已知111()()1231f n n n n n *=+++∈++-N ，则(1)f k += 3、用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>成立，起始值至少应取为 4、用数学归纳法证明：(31)(1)(2)()()2n n n n n n n *+++++++=∈N ．5、用数学归纳法证明：11)n n*++<∈N ．6、用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.练习：1、已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为2、用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，4(1)12(1)135k k +++++可变形为3、若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_____4、设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，….(1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．二、复数例题：1、设复数),(R b a bi a z ∈+=，则z 为纯虚数的必要不充分条件是____________2、已知复数)()65(167222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数； 当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。
高中数学反证法人教版选修12
反证法典型例题例1〔1〕用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度〞时，反设正确的选项是〔〕(A) 假设三内角都不大于60度；(B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度；(D) 假设三内角至多有两个大于60度。
2〕p3q3＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的选项是〕〔A〕一定不大于2〔B〕一定不大于22〔C〕一定不小于2〔D〕一定不小于2解析用反证法可得〔1〕应选〔B〕〔2〕应选〔A〕例2用反证法证明命题“如果b,那么3a 3b〞时，假设的内容应为_____________.解析用反证法可得应填33b或3a3b例3假设a1、a1，an12a nn1,2,an(1)求证：a n1an；(2)令a11、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；，写出a22(3)证明：存在不等于p，使{a np}是等比数列，并求q的零的常数出公比值.an解：〔1〕〔采用反证法〕.假设a n1an，即2a nan,解得a n，1.1an从而a nan1a2a10,1与题设a1,a1相矛盾，故a n1an成立.12、a34161( 2)a1、a2、a4、a5,an. 25171〔3〕因为an1p (2p)an p又a n1panq,a n12a nan1an所以(2p2q)a np(12q),因为上式是关于变量a n的恒等式，故可解得1、p12练习一、选择题1．否认结论“至多有两个解〞的说法中，正确的选项是()〔A〕有一个解〔B〕有两个解〔C〕至少有三个解〔D〕至少有两个解2．设a,b,c大于0，那么3个数：a，b，c的值()〔A〕都大于2〔B〕至少有一个不大于〔C〕都小于2〔D〕至少有一个不小于23．α∩β＝α、β，假设、为异面直线，那么)a〔A〕a、b 都与l相交〔B〕a、b中至少一条与l相交〔C〕中至多有一条与相交〔D〕都与相交a二、填空题4．用反证法证明“f(x) x2px q，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于1〞2时的假设为5．用反证法证明“假设 a b＞0，那么12a12b〞时的假设为a b三、解答题6．证明：2, 3, 5不能为同一等差数列的三项 .7．对于直线B 关于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数y=ax〔a为常数〕对称？假设存在，求出k，使得l与双曲线C：3x2－y2=1的交点的值；假设不存在，请说明理由。
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3 3 a b 2 ，求证 a b 2. 变式 1 设
证明 假设 a b 2 ，则有 a 2 b ，从而
a 8 12b 6b b ,
3 3 2 3
a b 6b 12b 8 6(b 1) 2.
3 2 2
因为 6(b 1) 2 2 ，所以 a b 2 ，
2 2
q2 pr 0 ∵ p， q， r∈ N，∴ 2q p r 0
pr 2 ) pr ， (p－ r)2＝ 0，∴ p＝ r，与 p≠r 矛盾． ∴( 2
所以数列 {bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
2. 反证法的证明步骤：
①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立； ②推出矛盾：由结论反面成立出发， 通过一系列正确的推理，导出矛盾； ③否定假设：由正确的推导导出了矛盾， 说明假设不成立； ④肯定结论：原命题正确．
a1 2 1 解 (1)由已知得 ， 3a1 3d 9 3 2
∴ d＝ 2，故 an＝ 2n－ 1＋ 2， Sn＝ n(n＋ 2)．
Sn (2)证明：由 (1)得 bn＝ ＝ n＋ 2. n
假设数列 {bn}中存在三项 bp、 bq、 br (p、 q、 r 互不相等 )成等比数列， 则 bq ＝ bp br，即 (q＋ 2) ＝(p＋ 2)(r＋ 2)， ∴ (q2－ pr)＋(2q－ p－ r) 2＝ 0.
f (1) 2 f (2) f ( p q) 2(4 2 p q) (9 3 p q) 2
（ 2）
（ 1） 、 （ 2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．
例 2 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝ 1＋ 2，S3＝ 9＋ 3 2. (1) 求数列 {an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； Sn * (2)设 bn＝ (n∈ N )，求证：数列 {bn}中任意不同的三项 n 都不可能成为等比数列．
1 1 k 9. 若 a b c ，则使 恒成立的 ab bc ac 最大的正整数 k 为 .
1 1 k 解 由题意 a b 0, b c 0, a c 0 ，故 ab bc ac 1 1 1 1 （ )(a c) k （ )[(a b) b c)] k a b bc a b b c a b bc a b bc k 恒成立，故 2 |min k ， 即2 bc a b bc a b
与①矛盾，∴原式成立．
变式 3 设数列{an}是公比为 q 的等比数列， Sn 是它的前 n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列 {Sn}是等差数列吗？为什么？
2 S2＝S1 S3，
解 (1)证明 假设数列{ Sn}是等比数列，则 2 2 2 即 a1(1＋ q) ＝ a1 · a1 · (1＋ q＋ q )，因为 a1≠ 0， 2 2 所以 (1＋ q) ＝ 1＋ q＋ q ，即 q＝ 0，这与公比 q≠ 0 矛盾， 所以数列 {Sn}不是等比数列． (2)当 q＝1 时，{Sn }是等差数列； 当 q≠1 时，{Sn }不是等差数列， 2 否则 2S2 ＝S1 ＋S3 ，即 2a1 (1＋q)＝a1 ＋a1 (1＋q＋q )， 得 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾．
例 1 设二次函数 f ( x) x 2 px q ，
1 证明 假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 ，则 2
1 求证： f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 . 2
f (1) 2 f (2) f (3) 2.
（ 1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
2
1 (1 b)c > , 4
(1 a) a 又∵ 0 < a, b, c < 1∴ 0 (1 a)a 2
1 同理： (1 b)b , 4
1 4
1 (1 c )c ，以上三式相乘： 4 1 (1 a)a• (1 b) b• (1 c) c≤ 64
例 3 设 0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,
1 不可能同时大于 ． 4
1 证明 设 (1 a) b > , 4
1 (1 c)a > , 4 1 则三式相乘： (1 a) b• (1 b) c•(1 c)a > ① 64
a b b c a b b c 22 4 ，所以 k 4 ，即最大的正整数 k 为 4. 又2 b c a b b c a b
2
3 3
这与题设条件 a b 2 矛盾，
3 3
所以，原不等式 a b 2 成立．
例 2 已知 a + b + c > 0， ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证： a, b, c > 0．
证明 假设 a < 0, ∵ abc > 0, ∴ bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = a > 0 ∴ ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0，与题设矛盾 若 a = 0，则与 abc > 0 矛盾， ∴必有 a > 0 同理可证：b > 0,c > 0．