曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。
设其方程为，且对应于点；不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。
曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量
曲面方程F(x,y,z)=0 的一个法向量可以为n = { ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z}
法向量n=+-{-fx,-fy,1},其中+表示方向向上，-表示向下！这是因为当曲面方程是显式z=f(x,y)时令F(x,y,z)=f(x,y)-z。
从而Fx=fx,Fy=fy,Fz=-1即n={fx,fy,-1},这是方向向下的情形。
1)首先从简单开始，如果是平面F(x,y)=0
一般形式是Ax+By+C=0
法向量是(A,B)。
因为任意一点(x0,y0)在平面上，A*x0+B*y0+C=0
那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0，即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0
2)对于一般曲面F(x,y,z,……)=0
两边微分(偏导用大写D)，有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0
那么向量(DF/DX , DF/DY , DF/DZ , ……) * (dx , dy , dz, ……)=0
其中向量(dx , dy , dz, ……)必定在平面上(d是微分嘛，曲面的微小变化量)
所以向量(DF/DX , DF/DY , DF/DZ , ……) 是曲面的法向量回答者：eraqi
这就是很好的答案啊。
空间曲面的切平面与法线
若4. 0. V表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量
的方向是向上的，即使得它与Z轴的正向所成的角/是锐角，
则法向量的方向余弦为
_ fx COS 4 J=i+f
cos 0 =
-fy J1 + f + f
fx = fx (xo, y°)
其中
fy = fy , (X0 y°)
1
A/ COS / =
1 + fXX + fy
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
特殊地：空间曲面方程形为z = f（X, y） 令 F （旳 y,z） = f （旳 y） - z, n = {fx （Xo, y°）, fy 3。， y。），T}
曲面在Mo处的切平面方程为
fx（x。，yo）（ x 一 x。）+fy（源自。，y°）（y - y。）=乙一如
曲面在Mo处的法线方程为
x _ xo = y - y0 = z _ zo
则n宜，由于曲线是曲面上通过Mo的任意一条曲线，它们在Mo的 切 线都与同一向量n垂直,故曲面上通过M。的一切曲线在点M。的切 线都
在同一平面上，这个平面称为曲面在点M。的切平面.
切平面方程为
F (x0, y。, Zo)(x - xo) + Fy (x0, % Zo)( y 一 y°)
+ Fz(xo, y。，Zo)( z - Zo) = 0
通过点M0 ( x0, y0, z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线. 法线方程为
x-x
y - yo
z 一 Zo
Fx(xo, y。，%) Fy (xo,y。，Zo) F(xo, y。，Zo)
曲线F(x,y)=0的切线与法线方程
k切
y(0)
1 e
k法
1 y(0)
e
切线方程：
y 1 1 (x 0) y x 1
e
e
法线方程：
y 1 e(x 0)
y ex 1
ey xy e
y ex 1
y x 1 e
曲线 F(x, y)=0 的切向量和法向量
F (x, y) 0 dy Fx
曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的法线斜率：
k Fy (x0 , y0 ) Fx (x0 , y0 )
法线：
y
y0
Fy (x0 , Fx (x0 ,
y0 ) y0 )
(x
x0 )
即
x x0 y y0
对称式
Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
类似曲面 F(x, y, z)=0 法线方程
例 求曲线 ey xy e 0 在点 (0,1)处的 切线方程和法线方程。
解 令 F (x, y) ey xy e
则
Fx y Fy ey x
得 y(0) Fx (0,1) 1 Fy (0,1) e
切线斜率 法线斜率
y(
x0
)
Fx Fy
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
（由隐函数的导数公式）
切线方程： 即
y
y0
Fx (x0 , Fy (x0 ,
y0 ) y0 ) x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
空间曲面在某点的法向量
空间曲面在某点的法向量空间曲面是由一个或多个函数方程确定的，在不同点的曲面呈现出不同的形状和特征。
其中，在某一点上，曲面的法向量可以通过求取该点处的偏导数来确定。
本文将介绍如何计算空间曲面在某点的法向量，并且讨论一些应用。
一、计算空间曲面在某点的法向量要计算空间曲面在某点的法向量，首先需要知道曲面的方程，并且确定曲面的参数化表示。
具体步骤如下：1. 确定曲面的方程曲面可以由一个或多个函数方程确定。
根据曲面的特征和给定条件，选择合适的方程表示曲面。
2. 参数化表示根据曲面的方程，将其转化为参数化表示形式。
将曲面的自变量表示为参数，并且确定参数的取值范围。
3. 计算偏导数对参数化表示的曲面方程，分别对每个参数求取偏导数。
求取偏导数的过程中，其他参数视为常数。
4. 构造法向量根据偏导数求取的结果，将其构造为一个向量。
偏导数的系数即是法向量的分量。
5. 归一化对求取得到的法向量进行归一化，使其成为单位向量。
法向量的归一化可以通过将向量除以其长度来实现。
此时，得到的向量即是空间曲面在某点的法向量。
二、应用空间曲面在某点的法向量在计算几何、物理学等领域中有广泛的应用。
以下是一些应用的示例：1. 曲面的切平面曲面的切平面是通过曲面上某一点的切线和法线所确定的平面。
切平面与曲面在该点的法向量垂直。
根据空间曲面在某点的法向量，可以计算出曲面的切平面，进而研究曲面的切变、法向量场等性质。
2. 曲面的法向量场根据空间曲面在每个点的法向量，可以构建曲面的法向量场。
通过研究法向量场的性质，可以得到曲面的特征、形状以及其他相关信息。
3. 表面积和曲面积分根据曲面在某点的法向量，可以计算出曲面在该点的面积。
这对于计算几何体的表面积或者计算曲面积分有重要意义。
4. 几何优化在几何优化问题中，需要求解曲面的极值点或者曲面上某一点的梯度。
空间曲面在某点的法向量可以作为求解这些问题的重要工具。
总结：本文讨论了空间曲面在某点的法向量的计算方法，并且介绍了一些应用。
第八章 多元函数的微分法及其应用 练习题
第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。
2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。
3．11lim0-+→→xy xy y x = 。
二、判断题1． 如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。
（ ）2． 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。
（ ）3． 下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。
三、选择题1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A ）、x y （B ）、)22l n (y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A ）、y x x y x +→→00li m （B ）、y x y x +→→1l i m 00 （C ）、y x x y x +→→200l i m （D ）、yx x y x +→→1s i n lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。
1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z五、求下列极限，若不存在，说明理由。
1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1lim y x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1． 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维对象，它可以用数学公式来表示。
在研究曲面的性质时，我们需要了解曲面的切平面方程和法线方程。
本文将详细介绍这两个公式的含义和应用。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面方程是指曲面上某一点处的切平面的方程。
切平面是指与曲面在该点处相切的平面。
在三维空间中，一个平面可以用一个法向量来表示。
因此，曲面的切平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面的截距。
为了求出切平面的方程，我们需要先求出曲面在该点处的法向量。
曲面的法向量可以通过求取曲面的梯度来得到。
梯度是一个向量，它指向函数在某一点处的最大增加方向。
对于曲面f(x,y,z)，它的梯度可以表示为：grad f = (fx, fy, fz)其中，fx、fy、fz分别表示曲面在x、y、z三个方向上的偏导数。
因此，曲面在某一点处的法向量可以表示为：n = (fx, fy, fz)然后，我们可以将该向量作为平面的法向量，求出切平面的方程。
例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的切平面方程可以表示为：2x(x-1) + 2y(y-1) - 2z = 0二、曲面的法线方程曲面的法线方程是指曲面上某一点处的法线的方程。
法线是指与曲面在该点处垂直的向量。
在三维空间中，一个向量可以用一个点和一个方向来表示。
因此，曲面的法线方程可以表示为：r = r0 + tn其中，r0是曲面上的一点，n是曲面在该点处的法向量，t是一个实数，r是曲面上的一条直线。
曲面的法线方程可以用于求取曲面上的切线。
通过将t取为0，我们可以得到曲面上与该点处切平面相切的一条直线。
例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的法线方程可以表示为：r = (1,1,0) + t(2,2,0)通过令t=0，我们可以得到曲面在该点处的切线方程：x = 1 + 2ty = 1 + 2tz = 0三、曲面的应用曲面的切平面方程和法线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
8_3空间曲面.
P0 d
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1) A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
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6.平行平面间的距离 有两个平行平面:
Ax + By + Cz+D1 = 0, Ax + By +Cz+ D2 = 0,
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
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例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)Biblioteka y两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
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例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
第三节 空间曲面
一、空间曲面的方程
二、空间平面 三、几种常见的空间曲面
第八章
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
第二章 曲面论 2.4 直纹面与可展曲面
反之，若 K=k1 k2=0，则两主曲率至少有一为0，设 k2=0，由于 为主曲率，所以对应的方向为主方向，但它又是法曲率，说明这 个方向是渐近方向，所以这一族渐近线也是曲率线，由主方向判 r r r 别定理，dn = − k 2 dr = 0, n 为常向量。 这说明单位法向量沿渐近曲线保持不变，因此在所有渐近曲 线上曲面的法线都平行。又沿渐近曲线的切向量为dr，它垂直于 r r r r 法向量，所以 dr ⋅ n = 0, 积分有 r ⋅ n = 常量 r r r r 对于渐近曲线上任 一点成立。现设 为渐近曲线上某一点，有 r ⋅ n = r0 ⋅ n = 常量 得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r对应的点 在M0的切平面上，但这些点为渐近曲线上的点，所以渐近曲线在 这个切平面上，因此对于同一条渐近曲线上的点，其切平面是同 一个，曲面由这些曲线组成，所以曲面是一个单参数族的包络 面，因而是可展曲面。
(3)几种特殊的直纹面 r r
b (u ) = b0 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 r r a (u ) = a0 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 r r b (u ) = α 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面
3、直纹面的法向量与高斯曲率 r r r （1）由 r = a (u ) + vb (u ) r r r r r 得 ru = a ′(u ) + vb ′(u ) , rv = b (u )
由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一 个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿 一条直母线有同一个切平面的直纹面。 2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。 r r r r r 证明：对于可展曲面有 ( a ′, b , b ′) = 0 ，取腰曲线为导线， ′ ⋅ b ′ = 0 a
曲面的切平面和法线方程
曲面的切平面与法线方程设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1. . ■ 一处可微，且x=瑚Q£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。
由于曲线I 在工上，则有任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量 一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向 量。
记为顶丽化gF, QO)基本方法:1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为法线方程为L % _ F_ 片_ £_矶£(兀厂叮兀厂外匕)2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该曲面在点•处的切平面方程为过X o 的法线方程为齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1注：方法2实际上是方法1中取 埶兀”巧■”/(“)・0［加(血)朗(血)鹽他))n (滋 如 龛丿,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线r 设其方程为该方程表示了曲面上的情形.3、若曲面刀由参数方程x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为i*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））£・（兀（如％）,中阳心细畀J）当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为%%)g.)则刀在点X o处的法向量为四、典型例题例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）p1' = 2 J?1- 4 F -fi处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.A-1_ y-1 _ z-1所求法线方程为】- -，g=可-+y例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给_#sm sin2- 2MO sin cos®%x 号=一+y £=工*£ = 2了解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.曲面在点Xo处的切平面方程为心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此况—认三TT解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，所求切平面方程为J.. -■ I --.I 1 亠二：II即益+即-3-0.例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在点匚〔处的切平面方程和法线方程.解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中，一! I ■：二| 一「：] I | - :::win 绻^cas 恤CDS给二，sill 2 轴CO56J-t/sm 轴sin 第sin2 sin^则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = ax- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q所求的法线方程为'■■-flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰即 _ ^ ^(3^-2j/-z -5 5f + 十=门2” - 2y +2^ =-例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为-J' - : '..'J. 「I —.即壮丄二，其法向量为理忑”勿=2”处_|记-,则F；5,沪* ^>2设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.且有（34刃可+ 以・2）兀^（Z-1K-5 = O3 + /t 2-2由⑴、(3)解得152/ -1代入(2)得解得t i = 1, t2 = 3，故入 1 = 3 ,卮=7.则所求切平面方程为3x - - z - 5 + 3（J+ 丿+z）■ 0 3x- Ry -云一5 + 7（工十j十左）-0即6x + y + 2 z = 5 或10x + 5 y + 6 z = 5.r= vf-例5试证曲面•-上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明故曲面上点L '■■■ ■■- '■-处的法向量为 .十' 丄则过曲面上点 s 「 ' J '■的切平面方程为整理后得可知其必定过原点从上述方程得切平面方程为。
8-3曲面方程与空间曲线方程的概念
Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程
法向量 n = { A, B,C}.
6
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D = 0, 平面Ax+By+Cz=0通过坐标原点；
D = 0, 平面By+Cz=0通过 x轴；
(2)
A
=
0,
D
0,
平面By+Cz+D=0平行于x轴；
D = 0,平面Ax + Cz = 0过y轴;
B
=
0, D
0,平面Ax
+
Cz
+
D
=
0平行于y轴
D = 0,平面Ax + By = 0过z轴;
C
=
0,
D
0,平面Ax
+
By
+
D
=
0平行于z轴
(3) A = B = 0, 平面Cz+D=0平行于xo坐y标面；
A = C = 0, 平面By + D = 0平行于zox坐标面;
B = C = 0,平面Ax + D = 0平行于yoz坐标面.
2
2 : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0,
n1 = { A1, C2 },
10
两平面夹角余弦公式：
cos =
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
两平面位置特征：
(1) 1⊥ 2 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0;
空间曲面及其方程
空间曲面及其方程空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的曲线、曲面或曲体。
在几何学中，研究空间曲面的形状、性质以及其方程是一项重要的课题。
一、曲面的基本概念曲面可以用数学语言进行描述，其具体形式取决于其类型和特性。
常见的曲面包括球面、圆柱面、抛物面、双曲面等。
1. 球面：球面是以一个固定点为球心，以一定半径为半径的点的集合。
球面方程可表示为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
2. 圆柱面：圆柱面由一条直线L（母线）沿着一条平面曲线C（母线曲线）平行移动形成。
圆柱面方程可表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
3. 抛物面：抛物面是一个像开口碗一样的曲面。
抛物面方程可表示为z=ax²+by²，其中a和b为常数。
4. 双曲面：双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。
单叶双曲面的方程可表示为(x/a)²+(y/b)²-(z/c)²=1，双叶双曲面的方程可表示为(x/a)²+(y/b)²-(z/c)²=-1。
二、空间曲面的方程表示空间曲面的方程描述了曲面上的所有点的几何特征。
不同类型的曲面有不同的方程形式。
1. 参数方程：使用参数方程可以表示曲面上的每个点。
例如，曲线的参数方程可以写为x=f(u)，y=g(u)，z=h(u)，其中u为参数。
2. 一般方程：一般方程是通过将曲面上的点的坐标表示为x、y和z 的函数来定义。
例如，一般方程可以写为F(x,y,z)=0，其中F是一个关于x、y和z的函数。
3. 隐函数方程：隐函数方程是通过将曲面上的点的坐标表示为一个或多个变量的函数来定义。
例如，隐函数方程可以写为F(x,y,z)=0，其中F是关于x、y和z的方程。
三、空间曲面的性质和应用空间曲面的性质和应用广泛，涉及到几何学、物理学、工程学等领域。
曲线Fxy的切线与法线方程
e
e
法线方程： y 1 e(x 0)
四川大学数学学院 徐小湛
y ex 1
2 April 2012
ey xy e
四川大学数学学院 徐小湛
Santa II, p.163
y ex 1
y x 1 e
2 April 2012
Santa II, p.163
曲线 F(x, y)=0 的切向量和法向量
曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的切线斜率：
y(
x0
)
Fx Fy
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
（由隐函数的导数公式）
切线方程：
y
y0
Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
(x
x0 )
即
Fx (x0, y0 )(x x0 ) Fy (x0, y0 )( y y0 ) 0
四川大学数学学院 徐小湛
2 April 2012
F(x, y) 0 dy Fx
Santa II, p.163
dx Fy
切向量：{1, Fx }
Fy 或{Fy , Fx}
法向量：{1, Fy }
或
{Fx
,
Fy
}
Fx n
四川大学数学学院 徐小湛
(x0 , y0 )
F(x, y) 0
2 April 2012
, ,
y0 y0
) )
(
x
x0
)
即
x x0 Leabharlann y0Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
四川大学数学学院 徐小湛
对称式
类似曲面 F(x, y, z)=0 法线方程
空间曲线与曲面的切线与法线
空间曲线与曲面的切线与法线空间曲线与曲面的切线与法线是微积分中的重要概念，它们用于描述曲线和曲面上某一点的方向特征。
在本文中，我们将介绍空间曲线与曲面的切线与法线的定义及计算方法。
一、空间曲线的切线与法线空间曲线是三维空间中的一条曲线，可以用参数方程来表示。
假设曲线方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)在曲线上任取一点P(x0, y0, z0)，其对应的参数为t0。
曲线在该点处的切线和法线分别为：1. 切线：切线是通过曲线上某一点P，并且与曲线在该点附近非常接近的一条直线。
切线的方向与曲线在该点上的切向量相同。
设切线的方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中a, b, c为参数，t为沿着曲线的方向。
2. 法线：法线是与切线垂直的一条直线，它与曲线在该点处的切线垂直。
曲线在某一点的法向量即为法线的方向向量。
设法线的方程为：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中A, B, C为法线的方向向量的分量，(x0, y0, z0)为曲线上一点P的坐标，(x, y, z)为法线上一点的坐标。
二、曲面的切线与法线曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用方程进行表示。
假设曲面方程为：F(x, y, z) = 0其中F为曲面方程，表示曲面上的点满足的条件。
在曲面上任取一点P(x0, y0, z0)，其坐标满足曲面方程F(x, y, z) = 0。
曲面在该点处的切线与法线的定义如下：1. 切线：切线是通过曲面上某一点P，并且与曲面在该点附近非常接近的一条直线。
切线的方向与曲面在该点上的切向量相同。
设切线的方程为：F(x0, y0, z0) + F'(x0, y0, z0)(x-x0) + G'(x0, y0, z0)(y-y0) + H'(x0, y0,z0)(z-z0) = 0其中F', G', H'为曲面方程F的偏导数。
空间曲面的参数方程和切平面
空间曲面的参数方程和切平面空间曲面是三维空间中的一种几何形体，可以用参数方程来描述。
参数方程是一种以参数表示自变量的方程，通过给定参数的取值范围，可以得到曲面上的各个点的坐标。
而切平面是指在曲面某一点处与曲面相切的平面。
参数方程是将曲面上的点的坐标表示为参数的函数形式。
一般来说，参数方程可以分为两类：显式参数方程和隐式参数方程。
显式参数方程指的是将$x$、$y$、$z$ 分别表示为参数 $u$ 和 $v$ 的函数形式，即$x=f(u,v)$、$y=g(u,v)$、$z=h(u,v)$。
而隐式参数方程则是通过将曲面方程化简得到，形如 $F(x,y,z)=0$。
对于一个给定的曲面，可以通过选择合适的参数范围和参数关系，得到该曲面的参数方程。
以一个简单的球面为例，其参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=r\sin(u)\cos(v)\\y=r\sin(u)\sin(v)\\z=r\cos(u)\end{cases}$$其中，$r$ 表示球半径，$u$ 和 $v$ 分别是参数，$u$ 的取值范围是$[0,\pi]$，$v$ 的取值范围是 $[0,2\pi]$。
参数方程的优点在于可以轻松地描述复杂的曲面形状，但也存在一些缺点，比如有时会引入冗余的参数，导致计算复杂度增加。
切平面是指与曲面相切的平面，它在曲面上的切线方向上与曲面相切，与曲面法线垂直。
在计算切平面时，可以通过求曲面上某一点的偏导数来确定切线方向，从而进一步确定切平面的法向量。
对于参数方程给出的曲面，切平面可以通过计算曲面参数方程对参数的偏导数来求得。
以球面为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x=r\sin(u)\cos(v)\\y=r\sin(u)\sin(v)\\z=r\cos(u)\end{cases}$$以球面上一点 $P(r\sin(u_0)\cos(v_0), r\sin(u_0)\sin(v_0),r\cos(u_0))$ 为例，曲面在该点处的切平面可以通过以下步骤求得：1. 分别对参数 $u$ 和 $v$ 求一阶偏导数：$\frac{\partial x}{\partial u}$、$\frac{\partial x}{\partial v}$、$\frac{\partial y}{\partial u}$、$\frac{\partial y}{\partial v}$、$\frac{\partial z}{\partial u}$、$\frac{\partial z}{\partial v}$。
求曲线的切线方程和法平面方程
求曲线的切线方程和法平面方程一、概念解析1. 曲线的切线：曲线上某一点处的切线是过该点且与曲线相切的直线。
2. 法平面：法平面是垂直于曲面上某一点处的法向量所构成的平面。
二、求解方法1. 求曲线的切线方程：（1）参数方程法：设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，则该曲线在点P(x0,y0,z0)处的切向量为T=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)|t=t0。
因此，该点处的切线方程为：(x-x0)/(dx/dt)=(y-y0)/(dy/dt)=(z-z0)/(dz/dt)（2）隐函数法：设曲线的隐函数方程为F(x,y,z)=0，则在点P(x0,y0,z0)处，该曲线所在平面上任意一条经过P点且垂直于该平面的直线都是该点处的切线。
因此，将F(x,y,z)在P(x0,y0,z0)处进行泰勒展开，得到：F(x,y,z)=F(x0,y0,z0)+(∂F/∂x)(x-x0)+(∂F/∂y)(y-y0)+(∂F/∂z)(z-z0)+o(||(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)||)因为F(x0,y0,z0)=0，所以该式可以化简为：(∂F/∂x)(x-x0)+(∂F/∂y)(y-y0)+(∂F/∂z)(z-z0)=0这是该曲线所在平面的法向量方程。
将该式中的(x,y,z)代入曲线的隐函数方程中，得到：F(x_0+(dx/dt)t,y_0+(dy/dt)t,z_0+(dz/dt)t)=0对该式求导，得到：(∂F/∂x)(dx/dt)+ (∂F/∂y)(dy/dt)+ (∂F/∂z)(dz/dt)= 0这是曲线在点P处的切向量方程。
因此，点P处的切线方程为：( x-x_ 0)/( dx/ dt )=( y-y_ 0)/( dy/ dt )=( z-z_ 0)/( dz/ dt )2. 求法平面方程：（1）参数方程法：设曲面的参数方程为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，则该曲面在点P(x0,y0,z0)处的法向量为N=( ∂f/ ∂u × ∂f / ∂v, ∂g / ∂u × ∂g / ∂v, ∂h / ∂u × ∂h / ∂v )|u=u_ 0,v=v_ 0。
第五节曲面平面及其方程
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线 C. （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
两平面平行但不重合．
(3) 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面重合.
例10 设P0 ( x0 , y0 , z0 )是平面Ax By Cz D 0 外一点，求P0 到平面的距离.
解 P1( x1, y1, z1 ) d | Pr jnP1P0 |
所求平面方程为 6x y 6z 6.
[3]. 两平面的夹角
(1) 夹角的定义
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0,
n1 { A1, B1,C1},
例4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、
Q(0, b,0)、R(0,0, c)（其中a 0 ，b 0 ，
c 0），求此平面方程.
z
解 设平面为
b
Ax By Cz D 0,
c
将三点坐标代入得
aA D 0, bB D 0,
x
a
y
cC D 0,
AD, BD, C D.
法线方程的一般表达式
法线方程的一般表达式法线方程是指一个平面或曲面在某一点处垂直于该点的切平面的方程，是三维几何中常用的一种方程形式。
下面将详细介绍法线方程的一般表达式。
一、平面的法线方程平面的法线方程可以用如下的一般式表示：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C分别表示平面的法向量在x、y、z轴方向上的分量，D是平面截距。
由此可以看出，法线方程是一个含有三个未知数的一次方程，其中的A、B、C就是法向量的三个分量。
二、曲面的法线方程对于曲面而言，它的法线方程可以用梯度向量来表示。
梯度向量是该曲面在某一点处的斜率向量，其方向垂直于曲面在该点处的切平面，模长等于这个点的方向导数。
因此，曲面的法线方程一般可以表示为：(Nabla)f(x, y, z) = (fx, fy, fz)其中，f(x, y, z)是曲面方程，(fx, fy, fz)是f(x, y, z)在该点处的偏导数，Nabla是nabla算子，也叫向量微分算子。
可以将Nabla看作梯度算子的推广，它将标量函数映射为一个向量函数。
三、法线方程的求解要求解平面或曲面的法线方程，需要先确定该点的坐标以及该点处的切向量，然后再求出其法向量。
对于曲面而言，其切向量可以通过求偏导得到，而对于平面而言，其切向量就是平面本身的法向量，因此可以直接得到。
最后，根据所求得的法向量，就可以将法线方程写出来了。
需要注意的是，在实际运用中，由于不同的场合梯度可能会有很多种不同的定义，因此法线方程的具体形式也可能会有所不同。
总之，法线方程是三维几何中的一个重要概念，用于描述平面或曲面在某一点处的垂直方向，是许多问题的解法基础。
掌握法线方程的相关知识，不仅有助于提高算法的效率和精度，还能增强对三维几何的理解和掌握。
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曲面方程F(x,y,z)=0的一个法向量可以为n = {∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z}法向量n=+-{-fx,-fy,1},其中+表示方向向上，-表示向下！这是因为当曲面方程是显式z=f(x,y)时令F(x,y,z)=f(x,y)-z。
从而Fx=fx,Fy=fy,Fz=-1即n={fx,fy,-1},这是方向向下的情形。
1)首先从简单开始，如果是平面F(x,y)=0
一般形式是Ax+By+C=0
法向量是(A,B)。
因为任意一点(x0,y0)在平面上，A*x0+B*y0+C=0
那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0，即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0
2)对于一般曲面F(x,y,z,……)=0
两边微分(偏导用大写D)，有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0那么向量(DF/DX , DF/DY, DF/DZ , ……) * (dx , dy , dz,……)=0
其中向量(dx , dy , dz, ……)必定在平面上(d是微分嘛，曲面的微小变化量)
所以向量(DF/DX , DF/DY, DF/DZ, ……)是曲面的法向量回答者：
eraqi
这就是很好的答案啊
1/ 1。