曲面法向量的余弦
数学专业毕业论文-第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
师范大学本科毕业论文题目：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法专业：数学与应用数学系班：数学与信息科学系2006级数本2班毕业年份：姓名：学号：指导教师：职称：教授目录本科毕业论文任务书 (1)本科毕业论文开题报告 (3)本科毕业论文登记表 (5)毕业论文论文正文文稿 (7)本科毕业论文答辩记录 (15)西北师范大学本科毕业论文（设计）任务书注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生..2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写。
李第二型曲线积分与曲面积分的计算方法李明松（渭南师范学院 数学与信息科学系2006级数本2班）摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.关键词： 曲面积分；曲线积分1 引 言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2 第二型曲线积分例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线o （0，0） 的弧.方法一：利用格林公式法L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的.解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L ,()()()()()()11sin cos sin cos xxLL xxL I e y b x y dx e y ax dye y b x y dx e y ax dy=-++---++-⎰⎰记为12I I I =- ，则由格林公式得：()1cos cos x xD DQ P I dxdy e y a e y b dxdy x y ⎛⎫∂∂⎡⎤=-=---- ⎪⎣⎦∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()22Db a dxdy a b a π=-=-⎰⎰其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0因而：()222I bx dx a b =-=-⎰ ，从而()22231222222I I I a b a a b a b a πππ⎛⎫=-=-+=+- ⎪⎝⎭方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解（1） 若 P Q y x∂∂=∂∂（与路径无关的条件）， 则 ()()()()1111000,01,,,A x y x y B x y x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰⎰（2） ()(),x t y t φϕ==()()()()()()()()'',,AB Pdx Qdy P t t t Q t t t dt βαφϕφφϕϕ⎡⎤+=+⎣⎦⎰⎰ α是起点 β是终点解： ()()()sin cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰()sin cos x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰记为12I I I =- ,对于1I ，积分与路径无关，所以()()0,02,0sin cos sin 0xx x a eydx e ydy e y+==⎰对于2I ，取L 的参数方程sin sin x a a ty a t=+⎧⎨=⎩，t 从0到π，得()()22223230223sin sin cos sincos cos 11222Lb x y dx axdy a b t a b t t a b t a t a t dt a b a a πππ++=---++=--+⎰⎰从而 23222I a b a ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭对于空间第二曲线一般的解题过程为：LPdx Qdy Rdz ++⎰若L 闭合，P,Q,R 对各元偏导数连续Ldydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰若L 非闭，其参数方程为()()()()()()()()()()()()()()(),,',,',,'P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dtβα⎡⎤++⎣⎦⎰其中： ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩α，β分别为L 的起点，终点参数值.例2 计算空间曲线积分I=()()()y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中曲线L为圆柱面222x y a +=与平面1x za h+=的交线()0,0a h >>，从X 轴正向看，曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用[]0,2π上三角函数的正交性.解： 令 cos ,sin x a t y a t ==， 则()cos 111cos x a t z h h h t a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是I=()()()(){}()sin 1cos sin 1cos cos cos cos sin sin 2a t h t a t h t a t a t a t a t h t dt a a h π--⋅-+--⋅+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+⎰方法二：解 ：2dydzdzdx dxdyI dydz dzdx dxdy x y z y zz xx y∑∑∂∂∂==-++∂∂∂---⎰⎰⎰⎰ {}()21,1,1,0,1212xyD D h h dxdy dxdy a h a a a π⎧⎫⎛⎫=-⋅=-+=-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰3 第二型曲面积分例 3 计算曲面积分()2z x dydz zdxdy +-∑⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()2212z x y =+ 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系()cos cos cos Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds αβγ++=++⎰⎰⎰⎰ ()1其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点（x ，y ，z ）处的法向量的方向余弦. 解： {},,1n x y =-，{}cos ,cos ,cos n αβγ=⎧⎫= ()()22z x dydz zdxdy z x z ds ∑∑⎡⎤+-=+-⎢⎢⎣⎰⎰⎰⎰222∑∑==()2221Dx x y ++=()22212D x x y dxdy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰22220cos 82r d rdr πθθπ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰方法二：分面投影法如果∑由(),z z x y =给出，则()(),,,,,xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()2如果∑由(),x x y z =给出，则()(),,,,,yzD P x y z dydz P x y z y z dydz =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()3 如果∑由(),y y z x =给出，则()(),.,,,zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx =±⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰⎰⎰ ()4 等式右端的符号这样规定：如果积分曲面∑是由方程()()()(),,,,x x z y y y x z z z x y ===所给出的曲面上（前，右）侧，应取“+”，否则取“-”. 解：()()22z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑∑∑+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()222z x dydz z x dydz z x dydz∑∑∑=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前((22yzyzD D z dydz z dydz =--⎰⎰⎰⎰20244yzD dy π===⎰()2212xyD zdxdy x y dxdy ∑=-+⎰⎰⎰⎰22300142d r dr πθπ=-=-⎰⎰所以()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰方法三 ：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.事实上，如果∑的方程(),z z x y =， (),xy x y D ∈，（xy D 是∑在xoy 面上的投影区域），函数,,P Q R 在∑上连续时，则单位法向量为 n e ={}cos ,cos ,cos αβγZ ⎧⎫-=± 由于投影元素 cos dydz ds α=， cos dzdx ds β=，cos dxdy ds γ=，于是得到cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x y dydz ds ds dxdy Z dxdy dzdx ds ds dxdy Z dxdyαααγγγβββγγγ====-====-所以()()()()()()()(){}()(),,,,,,,,,,,,,,,,,xyxyx y D x y D P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdyP x y z x y Z x y Q x y z x y Z x y R x y z x y dxdy P Z Q Z R dxdy∑++⎡⎤=±⋅-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=±⋅-+⋅-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 等式右端的符号这样确定：如果∑是由方程所给出的曲面上侧，取“+”，否则取“-”. 当∑可用显示方程(),y y z x =或(),x x y z =表示时，只需注意到此时∑的法向 量为{},1,x x y y y ---或{}1,,y z x x --，可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解：()2212z x y =+，∑在xoy 面上的投影区域：xy D =(){}22,4x y x y +≤，又∑的下侧，x z x =，故由上式可得：()()()()()2222222222222200114212cos 82xy xy D D z x dydz zdxdy x y x x x y dxdyx x y dxdyr d r rdr πθθπ∑⎧⎫⎡⎤+-=-++--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法四：高斯公式,,P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面12z =∑的上侧，则用高斯公式()1200zx dydz zdxdy dv Ω++-==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()()122z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy +-=-+-∑∑⎰⎰⎰⎰又()112028xyD zx dydz zdxdy zdxdy dxdy π+-=--=-∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()28z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰4 小结从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用. （指导教师：吕国亮）参考文献[1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，338-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287.[5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001. 204-212. [7] 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科学学报》，1989，5（2）：106-112.[8] 陈少元. 第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007(1):12-15.The Second Type Cruve Total And Song Computing Technology That Area Divide IntoLI Ming-song(Class 2 Grade 2006, Department of Mathematic and Information Science, Weinan Teachers University)Abstract ：This text is it turn to make total mark law parameter to utilize mainly,Green formula,total mark answer the second type cure exercise question of integration with method that route have nothing to do;Unilize song connection that area assign,divide into the surface projection law,unify the projection law,gausses of formmula answer the second type song topic that area divide.Key words：The area of the song is divided；The total mark of curve。
第7-6节(偏导数的几何应用(二)、方向
第 六 节
偏导数的几何应用(二)
方向导数与梯度
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一、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) = 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
r n
M
r T
⎧ x = φ (t ) ⎪ Γ : ⎨ y = ψ ( t ), ⎪ z = ω (t ) ⎩ r 曲线在M处的切向量 T = {φ ′( t 0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t0 )},
F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3, 解 令
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4, Fy′ (1, 2 , 0 ) = 2 x (1, 2 , 0 ) = 2,
Fz′ (1, 2 , 0 ) = 1 − e z (1, 2 , 0 ) = 0,
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 = = , ⇒ 2 x 0 = y0 = z 0 . 1 4 6
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
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通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.
两类曲面积分的关系和转换方向余弦
两类曲面积分的关系和转换方向余弦一、概述在数学和物理学中，曲面积分是一个重要的概念，它在描述曲面上各种物理量时有着重要的作用。
曲面积分分为两类：第一类和第二类曲面积分。
本文将从两类曲面积分的关系和转换方向余弦这一主题出发，探讨它们之间的关联及其重要性。
二、两类曲面积分的概念1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场函数的积分，通常以∬f(x, y, z) dS表示，其中f(x, y, z)为定义在曲面上的标量场函数，dS为曲面微元面积。
第一类曲面积分描述了标量场函数在曲面上的分布情况，是对曲面上各点的函数值进行积分，代表了曲面上的某种物理量的总量。
2. 第二类曲面积分第二类曲面积分又称为曲面上的矢量场函数的积分，通常以∬F(x, y, z) • dS表示，其中F(x, y, z)为定义在曲面上的矢量场函数，•表示点乘，dS为曲面微元面积。
第二类曲面积分描述了矢量场函数在曲面上的分布情况，代表了曲面上某种物理量的通量。
三、两类曲面积分之间的关系在数学上，第一类曲面积分与第二类曲面积分之间存在一种关系，即由第二类曲面积分可以导出第一类曲面积分。
这一关系可以通过转换方向余弦来表示和推导。
在曲面积分中，转换方向余弦可以描述曲面在空间中的方向。
假设有曲面S在空间中的参数方程为：\[\vec{r}(u, v) = x(u, v)\vec{i} + y(u, v)\vec{j} + z(u, v)\vec{k}\] 其中，\(\vec{r}(u, v)\)为曲面上的点，(u, v)为参数，(x(u, v), y(u, v), z(u, v))为曲面上点的坐标。
则曲面S在(u, v)处的法向量为：\[n(u, v) = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\] 其中，\(\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\)和\(\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\)分别为曲面S在(u, v)处的两个切向量，\(\times\)表示向量的叉乘。
第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
第二类曲面积分的计算方法赵海林 张纬纬摘要 利用定义法,参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。
由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用。
2 预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2。
1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1)的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则cos .S v S v n θΦ==⋅⋅若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.(1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。
(2) 近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值:∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).（3) 求和Φ≈1niiii v n S=⋅⋅∆∑(4） 取极限101max{},=.limniii niiT i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
多元微分学应用曲面的切平面与法线
则 n T , 由 M 于 曲 线 是 曲 面 上 通 过 的 任 意 一 条 M n 曲 线 ， 它 们 在 的 切 线 都 与 同 一 向 量 垂 直 ， 故 M M 曲 面 上 通 过 的 一 切 曲 线 在 点 的 切 线 都 在 同 一 M 平 面 上 ， 这 个 平 面 称 为 曲 面 在 点 的 切 平 面 .
小结
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
3 x y z 16 相 切 ， 求 .
2 2 2
3 x y 3 z 16 0 如 果 平 面 与 椭 球 面
思考题解答
x ,y ,z ), 设切点 ( 0 0 0
n { 6 x , 2 y , 2 z }, 0 0 0
{ F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z ) 令n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
切平面方程为
F ( x , y , z )( x x ) F ( x , y , z )( y y ) x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 F ( x , y , z )( z z ) 0 z 0 0 0 0
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx fy
2 x 2 y
cos
fy
,
其中
f f ( x , y ) x x 0 0
f f ( x ,y ) y y 0 0
2 2 ( 2 , 1 , 4 ) z x y 1 例 3求 旋 转 抛 物 面 在 点
处 的 切 平 面 及 法 线 方 程 .
1、曲 线 x
线 平行 于平 面 x 2 y z 4. 三 、求 球面 x 2 y2 z2 6与 抛 物面 z x2 y2 的 交 线 在 ( 1 ,1 , 2 ) 处 的 切 线 方 程 .
高等数学课后答案 第七章 习题详细解答
习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解 （1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-； （2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =； （4）z =；（5）z =（6）u =.解 （1）定义域为{}(,)x y y x ≠±； （2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭； （5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++； （2）(,)(0,0)lim x y →； （3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+； （4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+； （6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=； （4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在： （1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明 （1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++， 故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+； （2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点； （2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证 设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-； （2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-； （4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 （1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==； （2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-； （3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）x z xy y=+； （2）ln tan x z y =；（3）e xyz =； （4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+； （6）z = （7）sec()z xy =； （8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂； （2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂； （4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++； （6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂； （8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦； （9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-； （10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一 由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =； 由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解 由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂， 所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？ （2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解 （1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂； （2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂； （2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭； （3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证： （1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证 （1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂； （2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭， 由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂， 所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-； （2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>； （4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++； （6）yzu x =.解 （1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++； （6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分； （2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解 （1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+； （2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解 因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解 因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-， 而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦， 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）22()z f x y =-； （2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭； （3）(,,)u f x xy xyz =； （4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂； （2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭； （3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂； （4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =； （2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =； （4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解 （1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解 设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解 设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解 设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解 设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x； （2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂； （3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解 （1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程： （1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处； （2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处； （4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 （1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解 因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： （1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处； （2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处； （3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解 设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证 曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。
高等数学对坐标的曲面积分
cos
1 1 x2 y2
(z2 x)( x)dxdy
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
dxdy
cos
对坐标的曲面积分
(z2 x)dydz (z2 x)( x)dxdy
(z2 x)由dy对dz称性zdxdy
z 1(x2 y2)
[(z2 x14)x((xx2 )yz2 )]d2dxxddyy 0
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)cos dS
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )dS
其中cos、cos 、cos 是有向曲面Σ在点 ( x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 不论哪一侧都成立.
对坐标的曲面积分
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
对坐标的曲面积分
Dxy : x2 y2 1( x 0, y 0)
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环
行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以
爬到任何一点去.
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为 有向曲面.
i 1
2. 存在条件
当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在有向光滑
高等数学 对坐标的曲面积分
z
r 则该点流速为 v i ，
∆Si
Σ
r n i
•
r vi
(ξi ,ηi ,ζi )
r 法向量为 ni .
r r vi = v (ξ i ,η i , ζ i )
o
y
r r r x = P (ξ i ,η i , ζ i )i + Q(ξ i ,η i , ζ i ) j + R(ξ i ,η i , ζ i )k
20
对坐标的曲面积分
例 计算
其中Σ是球面 xyzdxdy其中 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∫∫
Σ
外侧在 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 的部分. 解 把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
z
O
x
Σ2
+
Σ 1 : z1 = − 1 − x 2 − y 2 ; Σ 2 : z2 = 1 − x 2 − y 2 ,
曲面的直径的最大值 λ → 0时，
12
对坐标的曲面积分
存在, lim∑R ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy 存在 则称此极限为 (
0 λ→ i=1
n
函数 R( x , y , z )在有向曲面 Σ上 对 标 y的 面 坐 x, 曲
第二类曲面积分. 积 或称 第二类曲面积分 记作 分
∫∫ R(x, y,z)dxdy, 即 Σ
设积分曲面Σ是由 设积分曲面 是由
方程 z = z ( x , y ) 所给出 的曲面上侧, 在xOy面 上侧, Σ在 面 上的投影区域为 Dxy ,
函数 z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数
曲面积分的计算定理
Dxy R(x, y, z(x,y)) d x d y
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说明: 如果积分曲面 取下侧, 则
R(x, y, z) d x d y Dxy R(x, y, z(x, y))d x d y
•若
则有
P(x,
y,
z)d
ydz
Dyz
P(x( y,
f (x, y, z(x, y) )
Dxy
1
z
2 x
z
2 y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
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9.2.2 第二型曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
2
d
x d y
x)d x
d
y
3a d x d y Dx y
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内容小结
1. 两类曲面积分及其联系
定义:
n
•
f
(x,
y,
z)d S
lim
0
i 1
f
(i
, i
,i
) Si
•
P
d
y
d
z
Q
d
n
z
d
x
R
d
x
d
y
lim
z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
•若
空间向量线面夹角余弦值公式
空间向量线面夹角余弦值公式
几何学是研究空间点与点之间的几何关系，空间曲线与平面上的一点间的几何性质和图形的几何特征。
它是一门重要的基础学科，它研究物体在三维空间中所呈现出来的形状、大小、颜色和运动等形态特征并与立体空间有关。
对于一个具有一定几何特征和物体属性的图形其向量为一组特定向量，通常将其定义为空间向量线面夹角余弦值公式。
如图1,平面曲线a′=4πr2′=6πr 1/2。
本文所研究的是平面线与平面面之间的夹角余弦值。
2.一般公式
3.公式推导
4.推导过程及结果
5.结论
本文对空间曲线进行研究，首先考虑利用几何学知识定义两个不同线与面之间夹角余弦值公式。
并对该数学公式进行说明，最后得到两条数学公式，即向量线面余弦值式（1）和（2），分别为向量a′与a’角之间的余弦值式（2）、线面夹角式（3）和线面夹角余弦值定律：向量b、c之间及b、c向量b、d之间均为弦函数关系，且向量a和a′均为正弦函数关系。
空间曲面的法向量方位余弦推导
空间曲面的法向量方位余弦推导空间曲面的法向量方位余弦可以通过曲线切线方向的余弦来推导。
假设有空间曲面上的一点P(x, y, z)，该点所在的曲线为C。
定义曲线切线方向的单位向量为T，曲面法向量的单位向量为N。
曲线切线方向的余弦可以表示为：cosθ = T·i + T·j + T·k其中，i、j、k分别表示坐标轴的单位向量。
曲面法向量方位余弦可以表示为：cosφ = N·i + N·j + N·k现在我们要推导曲面法向量方位余弦与曲线切线方向余弦之间的关系。
考虑空间曲面上的一小段曲线，其两个端点分别为P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)。
假设曲线切线方向的单位向量在P1和P2两点的余弦分别为cosθ1和cosθ2，曲面法向量的单位向量在P1和P2两点的方位余弦分别为cosφ1和cosφ2。
由于曲线切线方向的单位向量T是切线方向的极限情况，我们可以得到以下关系式：cosθ = lim(Δs→0) (ΔP · T) / Δs其中，ΔP表示曲线上两点之间的位移向量，Δs表示曲线上两点之间的弧长。
类似地，曲面法向量的单位向量N是法向量的极限情况，我们可以得到以下关系式：cosφ = lim(ΔA→0) (ΔP · N) / ΔA其中，ΔA表示曲面上一个小区域的面积。
根据定义，曲线弧长的差分和曲面面积的差分可以表示为：Δs = |ΔP| = sqrt[(Δx)² + (Δy)² + (Δz)²]ΔA = |ΔP × ΔPφ|其中，ΔP×表示曲面上两个位置向量的叉乘，Ά表示与曲面在点P处垂直的单位向量。
由于曲线切线方向的余弦与曲面法向量方位余弦都是单位向量，我们可以得到以下关系式：T·T = 1N·N = 1接下来，我们将曲线切线方向的余弦和曲面法向量方位余弦在P1和P2两点处展开为泰勒级数，然后利用上述关系式进行化简。
定向曲面及其法向量
定向曲面及其法向量
一、定向曲面
曲面
双侧曲面
单侧曲面
Mobius带上、下侧内、外侧
∑
定向曲面：规定了侧的双侧曲面，通常记为。
-
∑∑
表示与相反侧的曲面。
x y z o
上方
前方右方
规定：定向曲面上任一点处的法向量的方向指向
曲面指定的一侧。
在直角坐标系中，通常横轴、纵轴、竖轴的正向分别指向前方、右方、上方。
方向余弦
αcos βcos γcos > 0 为前侧< 0 为后侧封闭曲面> 0 为右侧< 0 为左侧> 0 为上侧< 0 为下侧
外侧
内侧侧的规定x y z o
上方
前方右方
);1,,()),(,,().,(:.1y x z z n y x z y x y x z z --=∑∑=∑处的法向量点上
取上侧，则若设光滑曲面);
1,,()),(,,(-=∑∑y x z z n y x z y x 处的法向量点上
取下侧，则若
);,,1(),),,(().,(:.2z y x x n z y z y x z y x x --=∑∑=∑处的法向量点上
取前侧，则若设光滑曲面);
,,1(),),,((z y x x n z y z y x -=∑∑处的法向量点上
取后侧，则若
);,1,()),,(,().,(:.3z x y y n z x z y x x z y y --=∑∑=∑处的法向量点上
取右侧，则若设光滑曲面).,1,()),,(,(z x y y n z x z y x -=∑∑处的法向量点上
取左侧，则若。
法向量求二面角余弦值的步骤
法向量求二面角余弦值的步骤
法向量是与平面垂直的向量，它可以用来计算两个平面之间的二面角。
二面角可以用来描述两个平面之间的夹角，可以在三维空间中的各个点进行计算。
下面是求解二面角余弦值的步骤：
步骤一：确定两个平面的法向量
首先，我们需要确定两个平面的法向量。
对于平面A，我们可以通过找到平面上的三个非共线点，然后计算这三个点的法向量来得到平面A的法向量。
同样，对于平面B，我们也需要找到平面上的三个非共线点，然后计算这三个点的法向量来得到平面B的法向量。
步骤二：计算两个法向量的点积
在得到两个平面的法向量之后，我们需要计算这两个法向量的点积。
点积可以通过将两个向量的对应分量相乘，然后将乘积相加得到。
假设两个法向量分别为向量A和向量B，它们的点积可以表示为A·B。
步骤三：计算法向量的模
在计算点积之前，我们需要先计算每个法向量的模。
模是指向量的长度，可以通过对向量的每个分量的平方求和，然后取平方根得到。
假设向量A的模为|A|，向量B的模为|B|，那么点积可以表示为|A|·|B|。
步骤四：计算二面角的余弦值
最后，我们可以利用点积和法向量的模来计算二面角的余弦值。
二面角的余弦值可以表示为cos(θ) = A·B / (|A|·|B|)，其中θ表示两个平面之间的夹角。
通过这四个步骤，我们可以求解出两个平面之间的二面角的余弦值。
这个值可以帮助我们进一步分析和理解两个平面之间的关系和相互
作用。
曲面积分_第二类型
时间内流向S指定侧的流 体的质量 .
x
S
o
y
1. 分割 把曲面S分成
n 小块 Si
( Si 同时也代表 第 i 小块曲面的面积 ),
Si上任取一点 i ,i , i ,
在 则该点流速为
z
S i
ni
vi
( i , i , i )
vi
F dS 与 1
S
F
S
2
dS 存在, 则
k F + k F dS k F dS + k F dS ,
1 1 2 2 1 1 2 2 S S S
其中
k1 , k2
为任意常数．
3 F dS F dS + F dS .
S
积分
Q( x, y, z ) d z d x
S
的计算方法：
将曲面 S 表示为
Q( x, y, z ) d z d x Q( x, y( z, x ), z ) d z d x
S Dzx
(右正左负)
若曲面 S 是母线平行于 y 轴的柱面（垂直于 zox 坐 标面） 则
S : ( x, z ) 0
求 xyzdxdy
D xy
x
上
2 2 + xy xyzdxdy dxdy 1 x y
Dxy
下
2 2 xyzdxdy xy ( 1 x y ) dxdy
0
y
Dxy
2 下 上 15 1 3 2 2 2 2 xy 1 x y dxdy 2 d cos sin 1 2 d
法向量的方向余弦
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
,
M
1 (F,G) J (x, y)
M
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或
T
(F,G) ( y, z)
, (F,G) M (z , x)
M
, (F,G) (x, y)
M
则在点 M (x0, y0, z0 )有
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
切平面方程
z z0 f x (x0 , y0 ) (x x0 ) f y (x0, y0 ) ( y y0 )
法线方程
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用
t t0 t 对应 M (x0 x, y0 y, z0 z)
割线 MM 的方程 :
切线方程
x x0
(t0 )
y
y0 (t0 )
z z0
(t0 )
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此处要求(t0 ), (t0 ), (t0 )不全为0,
如个别为0, 则理解为分子为 0 .
T
M
切线的方向向量:
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一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
T
M
点击图中任意点动画开始或暂停
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1. 曲线方程为参数方程的情况
T
M
设 t t0 对应M (x0 , y0 , z0 )
曲面的法向量
曲面的法向量曲面的法向量是指曲面上任意一点的法向量，也又称曲面法线。
它是曲面上每个点上对应无穷小片上几何形状的法向量列表的整体结果，反映着曲面几何性质特征。
主要用于描述曲面几何特性，用来求解问题时减少本质关系的隐患。
一、法向量的定义法向量是曲面上每一点的法向量，也叫曲面法线。
它可以唯一确定椭圆曲面的性质，它表示的是局部的数学特征，从而捕捉曲面的几何特征。
在曲面上，法向量+n(x,y)指应用在曲面上任一点处（x,y）的一个向量，它定义的是曲面上每一点的法线方向，它必须满足以下条件：1. 法向量是一个单位向量。
2. 法向量必须朝向曲面的外，方向与曲面边缘不同，到达曲面外部。
二、相关术语1.法线截面：指沿着曲面某条特定方向上截取线。
2.法线单位向量：法线单位向量是由双参数方程的导函数表示的单位矢量，它可以表示法线的方向。
3.曲面曲率：曲率是指曲面上邻近边斜线之间的弯曲程度，它反映曲面上任一点处的几何特性，并且与曲面法线相关，可以由曲面法线计算出来。
4.局部坐标：局部坐标(local coordinate)是指将法向量当作坐标系的水平向量，通过改变视角，用于解释这个法向量在三维空间中的方位变化。
三、曲面法向量的作用1.用于模型表达曲面的几何特性。
通过曲面的法向量，可以描述曲面的表面几何特征，如曲率、坡度，从而更好的表示曲面的几何特性。
2.计算曲面的要素。
通过计算法向量，可以求出曲面的一些重要因素，如曲率半径、曲率半径等，从而对曲面进行更加准确的分析。
3.简化曲面表面的计算量。
利用法向量可以节约计算曲面上所有点的空间矢量所花费的时间和精力，从而简化曲面表面的计算量。
4.增强曲面表面的描述性。
法向量可以有效地增强曲面表面的描述性，加强曲面表面的几何特性，从而帮助更好的表达曲面的几何特性。
5.更好地模拟曲面的真实形式。
使用法向量进行表达，能够较好地模拟曲面的真实形式，从而准确地反映曲面实际形式，并能够更加准确地再现曲面的几何特性。
参数曲面法向量
参数曲面的法向量可以通过以下步骤来计算：设曲面Σ以参数方程x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) 给出，其中u,v为双参变更。
我们需要求出在点(u0,v0)对应的点p0(x0,y0,z0)处的法向量。
1.首先，我们需要计算出曲面Σ在点p0处的切向量。
由于曲面Σ是由参数方程给出的，因此我们可以通过对参数方程求偏导数来得到切向量。
具体地，我们可以计算出以下两个切向量：Δ1p0 = (xu'(u0,v0), yu'(u0,v0), zu'(u0,v0))Δ2p0 = (xv'(u0,v0), yv'(u0,v0), zv'(u0,v0))其中，xu', yu', zu' 分别表示函数x,y,z对u的偏导数，在点(u0,v0)处取值；xv', yv', zv' 分别表示函数x,y,z对v的偏导数，在点(u0,v0)处取值。
2.接下来，我们需要利用切向量来求出法向量。
由于法向量与切向量垂直，因此我们可以利用向量的叉积来得到法向量。
具体地，曲面Σ在点p0处的法向量为：n = Δ1p0 × Δ2p0其中，×表示向量的叉积运算。
需要注意的是，上述计算过程中涉及到的偏导数需要根据具体的参数方程进行计算。
另外，由于法向量是一个向量，因此它具有方向性。
在实际应用中，我们需要根据具体情况确定法向量的方向。
此外，如果曲面Σ的方程可以表示为F(x,y,z)=0 的形式，那么我们也可以通过求偏导数的方式来计算法向量。
具体地，曲面Σ在点M(x0,y0,z0)处的法向量为：n = (±Fx(x0,y0,z0), ±Fy(x0,y0,z0), ±Fz(x0,y0,z0))其中，Fx, Fy, Fz 分别表示函数F对x,y,z的偏导数，在点M处取值。
±表示法向量的方向，需要根据具体情况进行确定。
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空间曲面某点法向量的求法
曲面方程F(x,y,z)=0 的一个法向量可以为n = { ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z}
特别的,若曲面方程能表示成F(x,y,z)=z-f(x,y)=0
那么法向量可以为n = ±{ -∂f/∂x, -∂f/∂y, 1},+表示法向量向上,-表示法向量向下
单位化之后就是n。
= ±{ -∂f/∂x, -∂f/∂y, 1}(1/|n|) , 其中|n|=
[1+(∂f/∂x)²+(∂f/∂y)²]^(1/2)
至于为什么有负号
∂F/∂x=∂[z-f(x,y)]/∂x=∂z/∂x-∂f(x,y)/∂x=-∂f/∂x
这里注意这里在求∂F/∂x时要将y,z都看成常数
1 对曲面而言，求各变量在某一点的偏导数，即为这一点的法向量。
切向量我们假设以x为变量（参数），则切向量为（1,0,Zx)。
以y为变量，则切向量为（0，1，Zy)。
验证以x为参数的切向量（1，0，Zx）：因为Zx = -Fx/Fz，而法向量为（Fx,Fy,Fz)。
所以1*Fx + 0 * Fy + (-Fx/Fz) * Fz = 0，所以两者正交，证毕。
其余同理。
2 而对于平面曲线而言，我们可以考虑其为，缺少的那一维向量的无限延伸，这样无论是封闭曲线还是不封闭曲线都可以抽象成一个曲面，这样求各变量的在某一点的偏导数既为这一点的法向量。
（内外法向加一个正负进行区分）
而平面曲线的切向量可以按照这种方法去考虑：把x看做变量，y为因变量，然后求y对x的偏导数，则切向量即为（1，Yx)。
3 对于空间曲线，只考虑两个曲面给出一个方程组的形式。
F1(x,y,z) = 0,
F2(x,y,z) = 0。
切线求法1：可以将x理解为自变量，y和z为x的因变量（自变量可以随便去选），然后分别求因变量关于自变量的偏导数，然后得出一点的切线向量（1，Yx, Zx)。
（三种形式）
切线求法2：求出两个曲面的法向量，然后做差乘（向量积），结果也是切线向量。
----关于空间曲线法线向量的求法我个人建议，如果你题目已经知道了切向量的情况下，个人建议可以利用Schimidt正交化一下，立马得出法向量。
但是如果
没有切向量而是直接去求法向量的话可以总结为以下步骤：
——按照步骤1归纳的方法求出两个曲面的切向量，然后进行差乘，即为空间曲线某一点的法向量。