曲面的法向量与切线方程
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。
该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。
记为G。
基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。
多元微分学应用曲面的切平面与法线
则 n T , 由 M 于 曲 线 是 曲 面 上 通 过 的 任 意 一 条 M n 曲 线 ， 它 们 在 的 切 线 都 与 同 一 向 量 垂 直 ， 故 M M 曲 面 上 通 过 的 一 切 曲 线 在 点 的 切 线 都 在 同 一 M 平 面 上 ， 这 个 平 面 称 为 曲 面 在 点 的 切 平 面 .
小结
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
3 x y z 16 相 切 ， 求 .
2 2 2
3 x y 3 z 16 0 如 果 平 面 与 椭 球 面
思考题解答
x ,y ,z ), 设切点 ( 0 0 0
n { 6 x , 2 y , 2 z }, 0 0 0
{ F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z ) 令n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
切平面方程为
F ( x , y , z )( x x ) F ( x , y , z )( y y ) x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 F ( x , y , z )( z z ) 0 z 0 0 0 0
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx fy
2 x 2 y
cos
fy
,
其中
f f ( x , y ) x x 0 0
f f ( x ,y ) y y 0 0
2 2 ( 2 , 1 , 4 ) z x y 1 例 3求 旋 转 抛 物 面 在 点
处 的 切 平 面 及 法 线 方 程 .
1、曲 线 x
线 平行 于平 面 x 2 y z 4. 三 、求 球面 x 2 y2 z2 6与 抛 物面 z x2 y2 的 交 线 在 ( 1 ,1 , 2 ) 处 的 切 线 方 程 .
空间曲面在某点的法向量
空间曲面在某点的法向量空间曲面是由一个或多个函数方程确定的，在不同点的曲面呈现出不同的形状和特征。
其中，在某一点上，曲面的法向量可以通过求取该点处的偏导数来确定。
本文将介绍如何计算空间曲面在某点的法向量，并且讨论一些应用。
一、计算空间曲面在某点的法向量要计算空间曲面在某点的法向量，首先需要知道曲面的方程，并且确定曲面的参数化表示。
具体步骤如下：1. 确定曲面的方程曲面可以由一个或多个函数方程确定。
根据曲面的特征和给定条件，选择合适的方程表示曲面。
2. 参数化表示根据曲面的方程，将其转化为参数化表示形式。
将曲面的自变量表示为参数，并且确定参数的取值范围。
3. 计算偏导数对参数化表示的曲面方程，分别对每个参数求取偏导数。
求取偏导数的过程中，其他参数视为常数。
4. 构造法向量根据偏导数求取的结果，将其构造为一个向量。
偏导数的系数即是法向量的分量。
5. 归一化对求取得到的法向量进行归一化，使其成为单位向量。
法向量的归一化可以通过将向量除以其长度来实现。
此时，得到的向量即是空间曲面在某点的法向量。
二、应用空间曲面在某点的法向量在计算几何、物理学等领域中有广泛的应用。
以下是一些应用的示例：1. 曲面的切平面曲面的切平面是通过曲面上某一点的切线和法线所确定的平面。
切平面与曲面在该点的法向量垂直。
根据空间曲面在某点的法向量，可以计算出曲面的切平面，进而研究曲面的切变、法向量场等性质。
2. 曲面的法向量场根据空间曲面在每个点的法向量，可以构建曲面的法向量场。
通过研究法向量场的性质，可以得到曲面的特征、形状以及其他相关信息。
3. 表面积和曲面积分根据曲面在某点的法向量，可以计算出曲面在该点的面积。
这对于计算几何体的表面积或者计算曲面积分有重要意义。
4. 几何优化在几何优化问题中，需要求解曲面的极值点或者曲面上某一点的梯度。
空间曲面在某点的法向量可以作为求解这些问题的重要工具。
总结：本文讨论了空间曲面在某点的法向量的计算方法，并且介绍了一些应用。
第八讲：多元函数微分(二)
第八讲 多元函数微分二一、 例题选讲：12、 求21xyz y x=⎧⎨=⎩在（1，1，1）处的切线方程。
解：234213x y x yy y y z y z y --'⎧==⎧⎪⎪'=∴=⎨⎨⎪⎪'==-⎩⎩，切点（1，1，1），s ={2，1，-3}所以切线方程为：111213x y z ---==-。
3、 求曲面22az x y =+与x y z ==交点处的切平面方程。
解：交点为（0，0，0）与(,,)222a a a，设22(,,)F x y z x y az =+- 1{2,2,},(0,0,0){0,0,}n x y a n a ∴=-=- 在，在(,,)222a a a ，2(,,}n a a a =-切平面为：z=0和02ax y z +--=。
4、 证明曲面22()z f x y =+上任一点法线与z 轴相交，其中()0f u '≠。
解：2200(,,)(),{2,2,1}F x y z f x y z n x f y f ''=+-∴=-而混合积000002210010,x f y f x y z ''-=∴法线与z 轴相交。
5、 由22222880,x y z xz z +++-+=确定了z=f （x ，y ），求极值。
解：42880,4280x x x y y y x zz z xz z y zz xz z '''+++-=⎧⎨'''++-=⎩令00x y z z '=⎧⎨'=⎩，解得：48040x z y +=⎧⎨=⎩ 又22222880,x y z xz z +++-+=得驻点（167，0，87-），（-2，0，1） 再求二阶导：2242()288802288042()280x xx x x xx xx y x xy y xy xy y yy yy yy z zz z z xz z z z zz z xz z z zz xz z '''''''''⎧+++++-=⎪'''''''''+++-=⎨⎪'''''''+++-=⎩在（167，0，87-）A=244,0,,0,0,1515B C AC B A -==-∴=->< 极大值为87- 在（-2，0，1）A=244,0,,0,0,1515B C AC B A ==∴=->> 极小值为1。
切线方程和法平面方程公式
切线方程和法平面方程公式嘿，咱今天来好好聊聊切线方程和法平面方程公式。
先说说切线方程吧，这玩意儿在数学里可重要啦。
就像你在操场上跑步，跑着跑着突然想改变方向，那个瞬间决定的新方向线，就有点像切线的概念。
比如说，有一个函数 f(x)，在某一点 (x₀, y₀) 处，它的切线方程怎么求呢？咱们得先求出这个函数在这一点的导数f'(x₀) 。
这个导数啊，就相当于在这一点的变化率，也就是切线的斜率 k 。
有了斜率 k 和这一点的坐标 (x₀, y₀) ，切线方程就能表示成 y - y₀= k (x - x₀) 。
再来讲讲法平面方程。
想象一下，你面前有一个弯曲的曲面，就像一个大馒头的表面。
在这个曲面上的某一点，有一个垂直于切线的平面，那就是法平面。
就像我之前去爬山，爬到半山腰看到有个大石头，石头表面凹凸不平。
从某个角度看过去，那石头表面就像个曲面。
我就在想，如果要找到这个石头表面某一点的法平面方程，那得先求出曲面的方程，然后通过一系列的计算找到法向量。
比如说，有一个曲面方程 F(x, y, z) = 0 ，在某一点 (x₀, y₀, z₀) 处，要求法平面方程。
先对 F(x, y, z) 分别求关于 x, y, z 的偏导数，得到Fx(x₀, y₀, z₀) 、 Fy(x₀, y₀, z₀) 、 Fz(x₀, y₀, z₀) ，这三个偏导数就组成了法向量。
法平面方程就是 Fx(x₀, y₀, z₀) (x - x₀) + Fy(x₀, y₀, z₀) (y - y₀) + Fz(x₀, y₀, z₀) (z - z₀) = 0 。
说起来，我有一次辅导我小侄子做作业，就碰到了关于切线方程的题目。
那小子，抓耳挠腮半天也搞不明白。
我就给他画图，一点点解释，告诉他就像在滑梯上，你滑下来的那个方向就是切线的方向。
费了好大劲，他总算有点明白了。
总之，切线方程和法平面方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多做几道题，就能掌握得牢牢的。
曲线论 曲线的切线和法平面
曲线论曲线的切线和法平面
曲线是数学中的一种图形，它由一系列的点组成，在一定的条件下可以连成一条弯曲的线。
曲线是数学研究中的重要对象，也是现代科学和工程技术的基础之一。
在曲线的研究中，切线和法平面是两个重要的概念，下面将对它们进行详细的介绍。
一、曲线的切线
曲线的切线是指曲线上的某一点处与该点最接近的一条直线，它是曲线研究中重要的概念之一。
切线的定义可以用以下公式表示：
设曲线方程为y=f(x)，点P(x0,y0)处的切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0)，其中f'(x0)代表曲线在点(x0,y0)处的导数。
从上式可以看出，切线方程的斜率为曲线在点(x0,y0)处的导数，即f'(x0)，因此曲线在该点处的切线与曲线的切线斜率相同。
切线在曲线研究中的应用非常广泛，例如可以用来求曲线的拐点、极值等重要信息。
同时，切线还可以用于应用问题中，如物体的运动轨迹等。
二、曲线的法平面
法平面是曲线研究中的另一个重要概念，它与曲线的切线密切相关。
法平面是垂直于曲线在某一点处的切线的平面，它包含着曲线在该点处的所有法线。
z=-f'(x0)(x-x0)+y0
法平面在曲线研究中的应用非常广泛。
例如，可以用法平面来解决曲面切割问题，或者用法平面来求曲线的法向量等。
总之，曲线的切线和法平面在曲线研究中都是重要的概念。
它们的应用不仅仅局限于数学研究中，同时还具有广泛的应用价值。
因此，在学习曲线的过程中，要掌握这两个概念的基本理论，并且善于将其应用到实际问题中。
曲面法向量
曲面法向量
求曲面上一点的法向量方法如下：
曲面由方程F（x,y,z）＝0决定，相应的某一点M的法向量，只需要对应的求偏导数就可以了。
1、曲面由方程F（x，y，z）=0决定，相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了。
2、由于法向量所在的是一条直线，所以方向来讲有两个，如果没有特别要求一般是可以随便选择的，如果是坐标的曲面积分什么的，需要注意一下和xyz 正方向之间的夹角。
1、至于法向量的角度这个教材上有写明的，就是对F分别求出x，y，z的偏导数之后，Fx‘，Fy’，Fz‘，利用各自的分量除以对应的长度就可以了啊。
2、比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy’^2+Fz'^2)^1/2。
法向量的主要应用如下：
1、求斜线与平面所成的角（一般只求出正弦值即可）：求出平面法向量和斜线的一边，然后联立方程组，可以得到角度的余弦值，根据公式Sinα=|Cosα|。
利用这个原理也可以证明线面平行；
2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；
3、点到面的距离：任一斜线(平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。
利用这个原理也可以求异面直线的距离法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，它的优点在于思路简单，容易
操作。
只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。
缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。
曲面的切线方程
曲面的切线方程曲面的切线方程是数学中非常重要的概念之一。
曲面是在三维空间中描述物体形状的一种数学工具，它可以用来研究各种物理现象和几何问题。
切线方程则是描述曲面上某一点处的切线性质的方程。
首先，让我们来看看什么是曲面。
在三维空间中，曲面可以通过方程或参数方程来进行描述。
曲面上的每一个点都有一些特定的性质，比如坐标、切线、法线等等。
而切线则是曲面上在某一点处的切线。
切线方程是用来描述曲面上某一点处切线的方程。
切线方程可以通过求解曲面的方程和切线所经过的点来得到。
对于一般的曲面方程，我们可以用求导的方法来求出切线的斜率。
然后，再根据切线的斜率和所经过的点，我们可以得到切线方程。
切线方程的形式很多，取决于曲面和切线的性质。
在常见的曲面上，切线方程可以表达为一元或者多变量方程。
对于一元曲面，切线方程可以写作：y-y0=m(x-x0)，其中(x0,y0)为曲面上某点的坐标，m为切线的斜率。
对于多变量曲面，切线方程的形式稍微复杂一些，可以写作：f_x(x0,y0)(x-x0)+f_y(x0,y0)(y-y0)=0，其中x0和y0为曲面上某点的坐标，f_x和f_y为曲面在该点处的偏导数。
切线方程的意义在于它可以帮助我们研究曲面上各个点处的切线性质。
切线方程告诉我们切线的斜率和方向，这对于理解曲面的局部性质和变化趋势非常重要。
切线方程还可以帮助我们求解曲线和曲面的交点、曲面的切点和法线等等问题。
除了求解切线方程外，我们还可以利用切线方程来进行曲面的近似和线性化。
切线方程描述了曲面在某一点处的线性变化趋势，因此可以用来进行函数近似和计算曲面在该点处的近似值。
这对于研究复杂曲面的性质和做近似计算非常有帮助。
总而言之，曲面的切线方程是数学中一项重要且有指导意义的工具。
它能帮助我们理解曲面的局部特性、求解交点和切点、进行函数近似等等。
熟练掌握切线方程的求解方法和应用技巧，对于深入理解曲面的性质和解决实际问题非常重要。
空间曲线与曲面的切线与法线的性质与计算
在空间曲线中，法线通常指的是与切线垂直的直线。对于参数方程表示的曲线，其法线方向可以通过切线方向的 叉积得到。具体地，可以选取另外两个不共线的向量与切线方向向量进行叉积运算，得到法线方向向量。
隐函数表示下计算方法
切线计算
对于隐函数表示的曲线 F(x,y,z)=0，其切 线方向可以通过求解隐函数的梯度得到 。具体地，切线方向向量为 grad F = (Fx, Fy, Fz)，其中 Fx、Fy、Fz 分别为 F 对 x、y、z 的偏导数。
XX
空间曲线与曲面的切
线与法线的性质与计
算
汇报人：XX
2024-01-30
REPORTING
• 曲线与曲面基本概念 • 切线与法线定义及性质 • 空间曲线切线与法线计算 • 曲面切线与法线计算 • 切线与法线在几何中的应用 • 总结与展望
目录
XX
PART 01
曲线与曲面基本概念
REPORTING
XX
THANKS
感谢观看
REPORTING对于隐函源自表示的曲面$x^2+y^2-z=0$，在点$(1,1,2)$处的梯度向量为${2,2,1}$，因此切线方向垂直于该向量，法线方向与该向量平行。
XX
PART 05
切线与法线在几何中的应 用
REPORTING
曲线曲面交点问题
01
切线与法线用于求解曲线或曲面之间的交点，通过 联立方程求解。
02
在计算机图形学中，交点检测是碰撞检测、光线追 踪等算法的基础。
03
对于复杂曲线或曲面，可能需要采用数值方法逼近 求解交点。
最小距离和最大距离问题
01 切线与法线可用于求解点到曲线或曲面的最小距 离和最大距离。
曲面知识点总结
曲面知识点总结1. 曲面的概念曲面是三维空间中的一种特殊几何体，可以用一定的方程或参数化形式来描述。
在数学上，曲面是平面与立体之间的一种过渡形式，具有一定的曲率和形状特征。
2. 曲面的分类曲面可以根据其形状特征和几何性质进行分类，常见的曲面包括球面、圆锥面、双曲面、抛物面等。
根据曲面方程类型的不同，曲面也可以分为代数曲面和解析曲面两种类型。
3. 曲面的参数化曲面的参数化是指通过一组参数的变化来描述曲面上的点的位置。
通过将曲面的参数方程代入，可以得到曲面上的各个点的坐标，从而更好地理解和分析曲面的性质和特点。
4. 曲面的法向量曲面的法向量是指曲面在某一点处的法线方向。
通过法向量的概念，可以描述曲面的曲率和几何特征，也可以用于计算曲面上的曲线积分和曲面积分等几何分析问题。
5. 曲面的切平面和切线在曲面上的某一点处，可以定义曲面的切平面和切线，用于描述曲面在该点处的局部几何性质。
切平面和切线的几何性质可以帮助理解曲面的曲率和法向量等重要概念。
6. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数或矢量场进行积分的概念。
曲面积分可以用于计算曲面的面积、质量、质心等物理属性，也可以用于描述曲面上的场强、通量等物理量。
曲面积分具有重要的物理和数学应用价值。
7. 曲面的方程曲面的方程是描述曲面几何性质和形状特征的数学表达式。
常见的曲面方程包括隐式方程、参数方程、标准方程等，可以用于描述曲面的曲率、焦点、直角坐标系等重要几何性质。
8. 曲面的应用曲面是数学、物理和工程等领域中重要的数学工具，具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，曲面可以用于描述电场、磁场、流体流动等现象；在工程学中，曲面可以用于设计曲线、曲面、雕刻等工艺；在计算机图形学中，曲面可以用于构建三维模型、渲染图像等。
9. 曲面的演化随着数学和物理相关领域的发展，曲面的研究也在不断发展和演化。
例如，曲面的微分几何和流形理论为曲面研究提供了更深入的理论基础；曲面的主题几何和拓扑理论为曲面的分类和性质研究提供了新的视角。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程处可微，且z)在曲面Σ上点(x , y , , 设中曲面Σ的方程为F (xy , z) = 0，函数FΓ。
设其方程为任意引一条位于曲面Σ上的曲线，过点Γ则有由于曲线不全为零。
在Σ上，，且对应于点；的曲线在该点的切。
该方程表示了曲面上任意一条过点及点线都与向量处的切平面垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点. 称处的一个法向量。
记为。
称为曲面Σ在点. 为切点向量基本方法：且三个偏导数不同时为零，, ()=0, 在曲面F(x1、设点y, z上，而Fx, yz)在点处存在连续偏导数，处的切平面方程为x(, 在点zy, )=0F则曲面.法线方程为.处存在连续偏导数，则该曲面在点(= 上，且yxf z 在曲面、2设点= (, )z f x) x () y, 在点M, y 0 00处的切平面方程为.的法线方程为过X0．..的情形2实际上是方法1中取注：方法若曲面∑由参数方程3、)vz(u, y(u, v) , z = x = x(u, v) , y =曲面∑在v）处可微. , v)在（u, ) , x(u , v) , y(u , vz(u, 给出，∑上的点与uv平面上的点（uv）对应，而0 0 0 0处的切平面方程及法线方程分别为X点0和三、答疑解惑）v平面上的点（u, vu = z( , v)，∑上的点与u , uu 问题：曲面∑的参数方程为x = x(, v) , y = y( , v) , z00处的法向量？对应，怎样确定∑在点X0.的两条曲线）处可微，考虑在∑上过点, v) 在（u, vXux注释：设(u , v) , y( , v) , z(u000Γ);z(uv , v) , u , vy = y(u , ) , z = (：x = x0001Γ). , ) , z = z(uv , yvux ：= x( , ) , y = (uv0200处的切向量分别为它们在点X0处的法向量为当时，得∑在点X0处的法向量为X则∑在点0.四、典型例题222.）处的切平面方程与法线方程1, 1, 1在（= 6z+3y+2x求椭球面1 例222）处在全平面上处处连续，在（1, 1, 1－) = x6+2y，由于+3z, 解设F(xy, z则所求切平面方程为(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). ，椭球面在点，= 6.z + 2即x y + 3，所求法线方程为. 即.的切平面方程y 例2求曲面平行于z = 2x+2.，因此. 解设切点为曲面.则曲面在处的法向量为处的切平面方程为曲面在点X0平行，因此x+2y = 2又切平面与已知平面z，解得切点坐标为所求切平面方程为，.即在点求曲面例3处的切平面方.程和法线方程其中点解对应曲面上的点..则曲面在点处的法向量为处的切平面方程为所求曲面在点X0. 即所求的法线方程为. 即.，且与曲面例4求过直线相切之切平面方程过直线的平面方程可设为解，，即.其法向量为，则记.设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为且有．解得(3)、由(1),得代入(2).=7. = 3t，故λλ= 3 , 解得t = 1, 2112则所求切平面方程为，. 或= 5.+ 5 10x y + 6z或y 即6x + + 2z = 5.)为可微函数f 例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中(x，证明..处的法向量为故曲面上点的切平面方程为则过曲面上点，整理后得．.，从上述方程得切平面方程为注意到..可知其必定过原点．。
曲线与曲面的切线与法线
曲线与曲面的切线与法线曲线与曲面是几何学中重要的概念，它们在多个学科领域中有广泛的应用。
在研究曲线和曲面性质的过程中，切线和法线是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨曲线与曲面的切线与法线的定义、求解方法以及它们在几何学和实际应用中的意义和应用。
一、曲线的切线与法线1. 切线的定义在曲线上的某一点P，过该点的一条直线T被称为曲线在该点的切线。
切线的特点是与曲线在该点上重合，且与曲线的其他部分无交点。
2. 法线的定义在曲线上的某一点P，过该点的一条直线N被称为曲线在该点的法线。
法线与曲线在该点的切线垂直。
二、曲线的切线与法线的求解方法1. 切线的求解方法对于曲线y=f(x)，可以使用以下步骤求解曲线在某一点(x0, y0)的切线：a. 求出曲线在点(x0, y0)处的斜率k，即导数f'(x0)；b. 利用点斜式公式y-y0=k(x-x0)，代入(x0, y0)和k，求解切线的方程。
2. 法线的求解方法对于曲线y=f(x)，可以使用以下步骤求解曲线在某一点(x0, y0)的法线：a. 求出曲线在点(x0, y0)处的斜率k，即导数f'(x0)；b. 法线的斜率与切线的斜率互为倒数，即k'=-1/k；c. 利用点斜式公式y-y0=k'(x-x0)，代入(x0, y0)和k'，求解法线的方程。
三、曲面的切线与法线1. 切线的定义在曲面上的某一点P，过该点的一条直线T被称为曲面在该点的切线。
切线的特点是与曲面在该点上重合，且与曲面的其他部分无交点。
2. 法线的定义在曲面上的某一点P，过该点的一条直线N被称为曲面在该点的法线。
法线与曲面在该点的切线垂直。
四、曲面的切线与法线的求解方法1. 切线的求解方法对于曲面z=f(x, y)，可以使用以下步骤求解曲面在某一点(x0, y0, z0)的切线：a. 求出曲面在点(x0, y0, z0)处的局部斜率，即偏导数f_x(x0, y0)和f_y(x0, y0)；b. 利用点法式公式z-z0=f_x(x0, y0)(x-x0)+f_y(x0, y0)(y-y0)，代入(x0, y0, z0)和f_x(x0, y0), f_y(x0, y0)，求解切线的方程。
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(2 yvg2
1)
v x
g1 .
在
D
xf1 1 g1
f2 2 yvg2 1
( xf1 1)(2 yvg2 1)
f2 g1
0
的条件下，方程组有唯一解。
D1
uf1 g1
f2 2 yvg2 1
uf1(2 yvg2 1) f2 g1 ,
D2
xf1 1 g1
uf1 g1
g1 ( xf1 uf1 1).
u x
uf1(2 yvg2 ( xf1 1)(2 yvg2
1) f2 g1 1) f2g1
,
v x
( xf1
g1 ( xf1 uf1 1) 1)(2 yvg2 1)
f2g1
,
7.
求曲线
x
2
y2
z2
9 4
,
3x2 ( y 1)2 z2
17 4
,
（球面） （椭球面）
上对应于 x = 1 处的切线方程和法平面方程。
f u
u y
f v
x f1 f2,
f2
u v
x y型
2z x 2
x
(
yf1)
y
f1 x
y
f1 u
u x
y2 f11.
2z y2
y
(
xf1
f 2 )
y
( xf1)
f2 y
x
f1 y
f2 y
x
f1 u
u y
f1 v
f2 u
u y
f2 v
xxf11 f12 xf21 f22 x2 f11 2xf12 f22.
y
x3
f y
x
3
(
f u
u y
f v
v y
)
x3( f1 x
f2
1 x
)
x4 f1 x2 f2.
2z
y2
x4 f1 x2 f2
y
x4
f1
y
x2 f2
y
x4
f1 y
x2
f2 y
x4
(
f1 u
u y
f1 v
v y
)
x
2
(
f2 u
u y
f2 v
v y
)
x4(
f11
x
f12
1 x
)
x2(
f21
x
f22
1 x
)
x5 f11 2x3 f12 xf22,
2z xy
2z yx
x
(x4
f1
x2
f 2 )
f12 f21
2z xy
2z yx
x
(x4
f1
x2
f 2 )
(
x4
)
f1
x4
f1 x
(
x2
)
f2
x2
f2 x
4x3
f1
x4
[
f1 u
u x
f1 v
v x
]
解 函数的定义域： D{( x, y) | x 0 y 0}
令
fx
2x
y
4 x
0,
fy
x
2y
10 y
0,
解得 (1, 2), (1, 2), ( 4 , 5 ), ( 4 , 5 ), 33 33
其中只有 (1, 2) D 是驻点。
f xx
2
4 x2
,
在 (1, 2) 点处，
f xy 1,
(z
z0 )
0
x x0
y y0
z z0
x0
y0
z0 ,
点 M 在曲面上，因此 x0 y0 z0 a .
切平面方程
x y z a.
x0
y0
z0
化为截距式
x y z 1. ax0 ay0 az0
所以截距之和为
ax0 ay0 az0 a ( x0 y0 z0 ) a.
9. 设 f ( x, y) x2 xy y2 4ln x 10ln y 求极值。
2
xf
2
x2
[
f2 u
u x
f2 v
v x
]
4x3
f1
x4
[
f11
y
f12
y x2
]
2
xf2
x2
[
f21
y
f22
y x2
]
4x3
f1
x4
[
f1 u
u x
f1 v
v x
]
2
xf
2
x2
[
f2 u
u x
f2 v
v x
]
4x3
f1
x4
[
f11
y
f12
y x2
]
2
xf2
x2
[
f21
y
f22
y x2
]
4x3 f1 x4 y f11 x2 y f12 2xf2 x2 y f21 y f22
4x3 f1 2x f2 x4 y f11 y f22.
5.
设
x yzez, 求
2z xy
.
解 设 F(x, y, z) x y z ez, 则
切线方程
x1 1
y 0.5 2
z1 2
.
法平面方程 ( x 1) 2( y 0.5) 2(z 1) 0
x 2 y 2z 0.
对 M2(1, 0.5, 1) 点,
切向量 T {1, yx M2 , zx M2 } {1, 2, 2},
切线方程
x1 1
y 0.5 2
z
2
1
.
2 f u2
f1 u
,
f22
2 f v 2
f1 v
,
f
u v
x y
型
f12
2 f uv
f1 v
二阶偏 导连续
f21
2 f vu
f2 u
.
z
y
x3
f
(u, v )
y
x3
f y
x
3
(
f u
u y
f v
v y
)
x3( f1 x
f2
1 x
)
x4 f1 x2 f2.
z
y
x3
f
(u, v )
( f 具有二阶导数)，求
2z x 2
.
解 令 u x2 y2 x2 y2, 则 z f (u).
z x
df du
u x
f (2xy2 2x).
x z u y型
z
2z
x 2
x
(2 xy2
2x) f
f u
f
x
(2xy2 2x)
(2xy2
2
x)
f x
x
y型 z
f
(2
y
2
则 ( x, y) (0,0) 等价于 0.
0
( y x)x x2 y2
2 (sin cos )cos
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0. x0 x2 y2
y0
(2)
lim
x
x y xy
lim x
1 y
1 x
0.
y
y
2.
设 z f ( x2 y2 x2 y2 ),
2)
(2
xy
2
2
x)
df du
u x
f (2 y2 2) (2xy2 2x) [ f (2x2 y 2x)]
2( y2 1) f 4x2( y2 1) f .
3. 设 z f ( xy,
y),
求
2 x
z
2
,
2 y
z
2
,
2z xy
.
( f 二阶偏导数连续)
解 令 u xy, v y; 则 z f (u,v).
方程组有唯一解。
x z
dy dx
3x z
z
2x,
y x
dz dx
y 1 3x z
2xy z
x
.
对 M1(1, 0.5, 1) 点,
切向量 T {1, yx M1 , zx M1 } {1, 2, 2},
对 M1(1, 0.5, 1) 点,
切向量 T {1, yx M1 , zx M1 } {1, 2, 2},
x
.
方程组两端对 x 求偏导数：
u x
f s
s x
f t
t x
,
v
x
g
x
g
x
.
u x
f1 (u
x
u x
)
f2
v x
,
v
x
g1
(
u x
1)
g2
2 yv
v x
.
s x
u
x
u x
,
t x
v x
,
x
u x
1,
x
2
yv
v x
.
(
xf1
1)
u x
f2
v x
uf1,
g1
u x
8. 试证曲面 x y z a (a 0) 上任何点处 的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。
9. 设 f ( x, y) x2 xy y2 4ln x 10ln y 求极值。