高中数学2-2-1综合法和分析法

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a＋b b＋c a＋c ∴ 2 · 2 · 2 > a2b2c2＝abc.(10 分) a＋b b＋c a＋c 即 2 · 2 · 2 >abc 成立． a＋b b＋c a＋c ∴logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 <logxa＋logxb＋logxc 成立．(12 分)
1 1 ∴(a＋b)a＋b≥4.
1 1 又 a＋b＝1，∴a＋b≥4.
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法三
1 1 a＋b a＋b b a a＋b＝ a ＋ b ＝1＋a＋b＋1≥2＋2
ba a·＝4.当且仅 b
当 a＝b 时，取“＝”号．
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题型二 分析法的应用 2 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a ＋b ≥ 2 (a＋b)．
2 2
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
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证明
2
当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0，
2
2 ∴ a ＋b ≥ 2 (a＋b)成立． 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 2 要证 a ＋b ≥ (a＋b)， 2
2 2
只需证( a ＋b )
调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选
取．
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1 1 【变式 1】 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：a＋b≥4. 证明 法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， 1 1 1 a＋b 1 ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤ ，∴ ＋ ＝ ＝ ≥4. 2 a b ab ab 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1 1 a＋b≥2 1 ab>0，
2.2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法和分析法
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【课标要求】 1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．
2．理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法
证明数学问题． 【核心扫描】 1．综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤．(重点) 2．综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题．(难点)
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它
成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、 “只需证明”、“即证明”等词语．
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a b 【变式 2】 已知 a，b 是正实数，求证： ＋ ≥ b a a b 证明 要证 ＋ ≥ a＋ b， b a 只要证 a a＋b b≥ ab· a＋ b)． ( 即证(a＋b－ ab)( a＋ b)≥ ab( a＋ b)， 因为 a，b 是正实数， 即证 a＋b－ ab≥ ab， 也就是要证 a＋b≥2 ab， 即( a－ b)2≥0. a b 该式显然成立，所以 ＋ ≥ a＋ b. b a
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1 即证 cos α－sin α＝2(cos2β－sin2β)，
2 2
1 即证 1－2sin α＝ (1－2sin2β)， 2
2
即证 4sin2α－2sin2β＝1. 由于上式与③相同，于是问题得证．
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误区警示
因逻辑混乱而出错
【示例】 设向量 a＝(4cos α， α)， sin b＝(sin β， 4cos β)， tan αtan 若 β＝16，求证：a∥b. [错解] ∵a∥b，且 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)； ∴(4cos α)· (4cos β)＝sin αsin β， sin α sin β 即 sin αsin β＝16cos αcos β，∴cos α· β＝16， cos ∴tan αtan β＝16，即结论正确．
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自学导引
1．直接证明
从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等， 通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接 证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．
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2．综合法 定理 、 公理 等， 已知条件和某些数学定义、 (1)定义：一般地，利用 经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
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2m (2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝ ，∴n∈N*，n≥2 时， m＋3 3 3 2bn－1 1 1 1 bn＝2f(bn－1)＝2· ⇒b b － ＋3bn＝3bn－1⇒b － ＝ . bn－1＋3 n n 1 bn－1 3 n
1 ∴数列b 为首项为 n
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以上证明混淆了已知和结论， 把头脑中的分析过程当 成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合 法书写证明过程更简洁． [正解] (分析法)：要证明 a∥b，而 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β， 4cos β)； ∴即要证明(4cos α)· (4cos β)＝sin αsin β，即要证 sin αsin β＝16cos αcos β， sin α sin β 即要证cos α· β＝16，即要证 tan αtan β＝16， cos 而 tan αtan β＝16 已知，所以结论正确．
为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的
书写形式一般为“因为„„，为了证明„„，只需证明„„， 即„„，因此，只需证明„„，因为„„成立，所以„„，结 论成立”． 分 析 法 的 证 明 步 骤 用 符 号 表 示 是 ： P0( 已 知 )⇐„⇐Pn － 2⇐Pn －
1⇐Pn(结论)
1 1，公差为 的等差数列． 3
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利用综合法证明问题的步骤：
(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)， 分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公
式、结论，确定恰当的解题方法．
(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的 语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程 时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行
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a＋ b.
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题型三
综合法和分析法的综合应用
【例 3】 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1. a＋b b＋c a＋c 求证：logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 <logxa＋logxb＋logxc
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[规范解答] 要证明： a＋b b＋c a＋c logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 <logxa＋logxb＋logxc， 只需要证明
2 2
2
2 2
≥
2 a＋b2， 2
1 2 即证 a ＋b ≥2(a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 ∴ a ＋b ≥ 2 (a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
2 2
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用分析法证明不等式时应注意 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不 等式和逻辑推理的基本理论；
的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据
分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法， 有时甚至交错使用．
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题型一
综合法的应用
【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n ∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； 3 (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)， 数列{bn}满足 b1＝a1， n＝2f(bn b
a＋b b＋c a＋c logx 2 · 2 · 2 <logx(abc)．(2
分)
a＋b b＋c a＋c 由已知 0<x<1，只需证明 2 · 2 · 2 >abc.(4 分) a＋b b＋c a＋c 由公式 ≥ ab>0， ≥ bc>0， ≥ ac>0.(8 分) 2 2 2 又∵a，b，c 是不全相等的正数，
得 4sin2α－2sin2β＝1 1－tan2α 1－tan2β 另一方面，要证 2 ＝ 2 ， 1＋tan α 21＋tan β sin2α sin2β 1－cos2α 1－cos2β 即证 sin2α ＝ sin2β ， 1＋ 1＋ 2 cos α 2 cos2β
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π 【变式 3】 已知 α，β≠kπ＋ (k∈Z)，且 2 sin θ＋cos θ＝2sin α，①
sin θ· θ＝sin2β，② cos 1－tan2α 1－tan2β 求证： ＝ . 1＋tan2α 21＋tan2β
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证明
因为(sin θ＋cos θ )2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可 ③
从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证 的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证 的命题．综合法是一种由因导果的证明方法． 综合法的证明步骤用符号表示是：
P0(已知)⇒P1⇒P2⇒„⇒Pn(结论)
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2．分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分 条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述