吉林省长春2018-2019学年高一数学上册期中试题

2018-2019学年吉林省长春十一中高一（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin（﹣π）的值等于( )A．﹣B．C．﹣D．2．（1+tan215°）cos215°的值等于( )A．B．1 C．﹣D．3．sin75°cos30°﹣sin15°sin150°的值等于( )A．1 B．C．D．4．在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B，则点B的坐标为( )A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）5．若cos（π﹣α）=，且α是第二象限角，则sinα的值为( )A．﹣B．C．D．﹣6．已知=，则tanθ=( )A．B．﹣C．﹣D．7．设θ是第三象限角，且|cos|=﹣cos，则是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8．给出下列四则函数：①sin（x﹣），y=cosx；②y=sinx，y=tanx•cosx；③y=1﹣ln（x2），y=1﹣2lnx；④y=2+，y=2+．其中，是相等函数的一共有( )A．1组B．2组C．3组D．4组9．下列不等式正确的是( )A．log34＞log43 B．0.30.8＞0.30.7C．π﹣1＞e﹣1D．a3＞a2（a＞0，且a≠1）10．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为( )A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.511．函数的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．312．已知为锐角，则tan（x﹣y）=( ) A．B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．求值：sin tan+cos2+sin tan+cosπsin+tan2=__________．14．不等式0.3＞0.3的解集为__________．15．若是奇函数，则a=__________．16．已知＜α＜，cos（α+）=m（m≠0），则tan（π﹣α）__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（1）计算：；（2）解方程：．18．在平面直角坐标系中，点P（，）在角α的终边上，点Q（，﹣1）在角β的终边上，点M（sin，cos）在角γ终边上．（1）求sinα，cosβ，tanγ的值；（2）求sin（α+2β）的值．19．在△ABC中，，tanB=2．求tan（2A+2B）的值．20．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）与g（x）=log4（a•2x﹣a），其中f（x）是偶函数．（1）求实数k的值及f（x）的值域；（2）求函数g（x）的定义域；（3）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=（）x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a）．（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年吉林省长春十一中高一（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin（﹣π）的值等于( )A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin（﹣π）=sin（4π﹣π）=sin=sin=，故选：D．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（1+tan215°）cos215°的值等于( )A．B．1 C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简求解即可．【解答】解：（1+tan215°）cos215°=cos215°+sin215°=1．故选：B．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，是基础题．3．sin75°cos30°﹣sin15°sin150°的值等于( )A．1 B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】由诱导公式和两角和与差的三角形函数化简可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得sin75°cos30°﹣sin15°sin150°=sin（90°﹣15°）cos30°﹣sin15°sin（180°﹣30°）=cos15°cos30°﹣sin15°sin30°=cos（15°+30°）=cos45°=，故选：C．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及诱导公式的应用，属基础题．4．在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B，则点B的坐标为( )A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【考点】弧度制．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】作出单位圆，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，结合单位圆能求出B点坐标．【解答】解：如图，作出单位圆，由题意，，OB=1，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，则，∴|OM|=，MB==，∴B（﹣，）．故选：A．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要注意单位圆的性质的合理运用．5．若cos（π﹣α）=，且α是第二象限角，则sinα的值为( )A．﹣B．C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式及已知可求cosα=﹣，结合角的范围，利用同角的三角函数基本关系式的应用即可得解．【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=，且α是第二象限角，∴sinα===．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角的三角函数基本关系式的应用，属于基础题．6．已知=，则tanθ=( )A．B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由条件，先求出tan=2，可得tanθ=，即可求出结论．【解答】解：∵=，∴=，∴tan=2，∴tanθ==﹣．故选：B．【点评】本题考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．7．设θ是第三象限角，且|cos|=﹣cos，则是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】三角函数值的符号．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数的符号和象限之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵θ是第三象限角，∴在第二象限或在第四象限，由|cos|=﹣cos，∴cos≤0，即在第二象限，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数值的符号和象限之间的关系，比较基础．8．给出下列四则函数：①sin（x﹣），y=cosx；②y=sinx，y=tanx•cosx；③y=1﹣ln（x2），y=1﹣2lnx；④y=2+，y=2+．其中，是相等函数的一共有( )A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】对于①，先根据三角函数的诱导公式进行化简，从而可以判断这两个函数的定义域和对应法则都相同，从而相等；而对于②③可求定义域，会得到定义域不同，从而不相等；而对于④进行开平方和立方，从而进行化简，会看出对应法则不同，从而不相等．【解答】解：①sin（x）=；∴这两个函数相等；②y=sinx的定义域为R，而y=tanx•cosx的定义域为{x|x≠，k∈Z}；定义域不同，∴这两个函数不相等；③y=1﹣ln（x2）的定义域为{x|x≠0}，y=1﹣2lnx的定义域为{x|x＞0}；定义域不同，不相等；④y=，；解析式不同，∴这两个函数不相等；∴相等函数共1组．故选；A．【点评】考查三角函数的诱导公式，判断两个函数是否相等的方法：看定义域和对应法则是否都相同，有一个不相同便不相等，以及正弦函数、余弦函数，及正切函数的定义域，平方根和立方根的不同．9．下列不等式正确的是( )A．log34＞log43 B．0.30.8＞0.30.7C．π﹣1＞e﹣1D．a3＞a2（a＞0，且a≠1）【考点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的性质．【专题】证明题．【分析】本题中四个选项有一个是比较对数式的大小，其余三个都是指数型的，故可依据相关函数的性质对四个选项逐一验证，以找出正确选项．【解答】解：对于选项A，由于log34＞log33=1=log44＞log43，故A正确；对于选项B，考察y=0.3x，它是一个减函数，故0.30.8＜0.30.7，B不正确；对于选项C，考察幂函数y=x﹣1，是一个减函数，故π﹣1＜e﹣1，C不正确；对于D，由于底数a的大小不确定，故相关幂函数的单调性不确定，故D不正确．故选A【点评】本题考点是指数、对数及幂函数的单调性，考查利用基本初等函数的单调性比较大小，利用单调性比较大小，是函数单调性的一个重要运用，做题时要注意做题的步骤，第一步：研究相关函数的单调；第二步：给出自变量的大小；第三步：给出结论．10．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为( )A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题11．函数的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】题目中条件：“函数的零点个数”转化为方程lnx=x2﹣2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2﹣2x 左右两式表示的函数图象即得．【解答】解：∵对于函数f（x）=lnx﹣x2+2x的零点个数∴转化为方程lnx=x2﹣2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点个数为3故选D．．【点评】函数的图象直观地显示了函数的性质．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．12．已知为锐角，则tan（x﹣y）=( ) A．B． C． D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】把已知的两个条件两边分别平方得到①和②，然后①+②，利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式即可求出cos（x﹣y）的值，然后根据已知和x，y为锐角得到sin（x﹣y）小于0，利用同角三角函数间的关系由cos（x﹣y）的值即可求出sin （x﹣y）的值，进而得到答案．【解答】解：由，，分别两边平方得：sin2x+sin2y﹣2sinxsiny=①，cos2x+cos2y﹣2cosxcosy=②，①+②得：2﹣2（cosxcosy+sinxsiny）=，所以可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，因为＜0，且x，y为锐角，所以x﹣y＜0，所以sin（x﹣y）=﹣=﹣．所以tan（x﹣y）=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意角度的范围．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．求值：sin tan+cos2+sin tan+cosπsin+tan2=．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：sin tan+cos2+sin tan+cosπsin+tan2=+（﹣1）×1==．故答案为：．【点评】本题考查特殊角的三角函数的值的求法，是基础题．14．不等式0.3＞0.3的解集为（，1）．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由指数函数的性质把不等式0.3＞0.3转化为3x2﹣4x+1＜0，由此能求出不等式0.3＞0.3的解集．【解答】解：∵0.3＞0.3，∴x2+x+1＜﹣2x2+5x，∴3x2﹣4x+1＜0，解方程3x2﹣4x+1=0，得，x2=1，∴不等式0.3＞0.3的解集为（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查指数不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数性质的合理运用．15．若是奇函数，则a=﹣1．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的定义：在定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x）．可以用这一个定义，采用比较系数的方法，求得实数m的值．【解答】解：∵∴∵是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）=∴恒成立即恒成立∴2+a=1⇒a=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题着重考查了函数奇偶性的定义、基本初等函数的性质等知识点，属于基础题．请同学们注意比较系数的解题方法，在本题中的应用．16．已知＜α＜，cos（α+）=m（m≠0），则tan（π﹣α）﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan（α+）的值，再利用诱导公式求得tan（﹣α）的值．【解答】解：由＜α＜，可得α+∈（，π），又cos（α+）=m＜0，∴sin（α+）==，∴tan（α+）=，∴tan（﹣α）=tan[π﹣（α+）]=﹣tan（α+）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（1）计算：；（2）解方程：．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用指数幂和对数的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质及一元二次方程的解法即可求出．【解答】解：（1）原式=+=5+9+=14﹣4=10；（2）∵方程，∴lgx（lgx﹣2）﹣3=0，∴lg2x﹣2lgx﹣3=0，∴（lgx﹣3）（lgx+1）=0，∴lgx﹣3=0，或lgx+1=0，解得x=1000或．【点评】熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键．18．在平面直角坐标系中，点P（，）在角α的终边上，点Q（，﹣1）在角β的终边上，点M（sin，cos）在角γ终边上．（1）求sinα，cosβ，tanγ的值；（2）求sin（α+2β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosβ，tanγ的值，再利用二倍角公式求得sin2β、cos2β的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+2β）的值．【解答】解：（1）∵点P（，）在角α的终边上，点Q（，﹣1）在角β的终边上，点M（sin，cos）在角γ终边上，∴sinα==，cosα==；sinβ==﹣，cosβ==；tanγ==﹣．（2）由（1）得sin2β=2sinβcosβ=﹣＜0，cos2β=2cos2β﹣1=﹣，∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=﹣1．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．19．在△ABC中，，tanB=2．求tan（2A+2B）的值．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而确定出tanA的值，利用二倍角的正切函数公式分别求出tan2A与tan2B的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵cosA=，A为三角形的内角，∴sinA==，∴tanA=，又tanB=2，∴tan2A===，tan2B===﹣，则tan（2A+2B）==．【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．20．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）与g（x）=log4（a•2x﹣a），其中f（x）是偶函数．（1）求实数k的值及f（x）的值域；（2）求函数g（x）的定义域；（3）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）当a•2x﹣a＞0时，函数解析式有意义，分类讨论，即可求函数g（x）的定义域；（3）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．【解答】解：（1）由函数f（x）是偶函数可知f（x）=f（﹣x），∴log4（4x+1）+kx=log4（4﹣x+1）﹣kx，∴log4=﹣2kx，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴k=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当a•2x﹣a＞0时，函数解析式有意义当a＞0时，2x＞，得x＞log2；当a＜0时，2x＜，得x＜log2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a＞0时，定义域为{x|x＞log2}；当a＜0时，定义域为{x|x＜log2}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程log4（4x+1）﹣x=log4（a•2x﹣a）有且只有一个实根，即方程2x+=a•2x﹣a，有且只有一个实根，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令t=2x＞0，则方程（a﹣1）t2﹣a﹣1=0有且只有一个正根，①当a=1时，t=﹣，不合题意；②当a≠1时，由△=0得a=或﹣3，若a=，则t=﹣2不合题意；若a=﹣3，则t=满足要求；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若△＞0，则此时方程应有一个正根与一个负根，∴＜0，∴a＞1，又△＞0得a＜﹣3或a＞，∴a＞1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，实数a的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．21．已知函数f（x）=（）x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a）．（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数单调性的性质；函数最值的应用．【分析】（1）g（x）为关于f（x）的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴；（2）由（1）可知a≥3时，h（a）为一次函数且为减函数，求值域，找关系即可．【解答】解：（1）由，已知，设f（x）=t，则g（x）=y=t2﹣2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：①当时，g（x）的最小值h（a）=，②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12﹣6a，③当时，g（x）的最小值h（a）=3﹣a2综上所述，h（a）=；（2）当a≥3时，h（a）=﹣6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在[n，m]上为减函数，所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]．由题意，则⇒，两式相减得6n﹣6m=n2﹣m2，又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值．【点评】本题主要考查一次二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，“定轴动区间”、“定区间动轴”．。