高等数学8-1

| PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n


内点、边界点、区域等概念也可定义．
▲多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用 一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.
▲一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． ▲定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函
P P0
6、 二元函数 z f ( x , y ) 的图形
D 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 ，对于任意 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 y x z f ( x , y ) ，这样，以 为横坐标、 为纵坐 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }，这个点集称 为二元函数的图形.
0
三、多元函数的连续性
定义3
设n 元 函 数 f (P ) 的 定 义 域 为 点 集D ,
P P0
n P0 D ， 如果 lim f ( P ) f ( P0 ) 则称 元函数
f (P ) 在点P0 处连续.
设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 P f (P ) 在点P0 处不连续，则称 0 是函数f (P ) 的 间断点.
y kx
其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
◆确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于P0 ( x 0 , y0 ) ，若
k 极限值与 有关，则可断言极限不存在；
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
有界闭区域；
o
x {( x , y ) | x y 0}
无界开区域．
3 、聚点
设 E 是平面上的一个点集 P 是平面上的一个点 , ,
若在点P的任何一个去心邻域内 都含有E的点,
则称P为E的聚点.
说明： (1) 内点一定是聚点； (2) 边界点可能是聚点； 例 {( x , y ) | 0 x 2 y 2 1} (0,0)既是边界点也是聚点．
3 2 2
但是
( x , y )( 0 , 0 )
lim
f ( x , y ) 不存在.
y6 y2 原因为若取 x y 2 , f ( y 2 , y ) 4 4 2 1 . 4 (y y )
习题 8-1 ( P12 ): 6(3).
5、二元函数的定义
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 z P ( x , y ) D ，变量 按照一定的法则总有确定的 z 值和它对应，则称 是变量x, y 的二元函数，记为 z f ( x , y ) （或记为z f ( P ) ）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 当n 2 时， 元函数统称为多元函数.
数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 点 P0 处连续，于是 lim f ( P ) f ( P0 ).
P P0
xy 1 1 例6 求 lim . x 0 xy y0
解
xy 1 1 原式 lim x 0 xy( xy 1 1) y0 1 1 lim . x 0 xy 1 1 2 y0
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面
例如
z sin xy
例如 x 2 y 2 z 2 a 2
z
D {( x , y ) x 2 y 2 a 2 }.
单值分支: z a x y
2 2 2
o
x
y
z a2 x2 y2 .
二、多元函数的极限
定义 1 设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 D , P0 ( x 0 , y 0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的 正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y 0 时的极限， lim 记为 x x f ( x , y ) A （或 f ( x , y ) A ( 0)这里 | PP0 | ）.
例如 E1 {( x , y ) 1 x 2 y 2 4}
E
P P P
即为开集．
2.2、边界点、边界、连通
如果点 P 的任一个邻域内既有属 E 的点， 于 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为E 的边界．
lim
f ( x, y) A？
思考题解答
不能.
x3 y2 例 f ( x , y ) 2 4 2 , ( x , y ) (0,0) (x y )
x k x k2x 0, 取 y kx , f ( x , kx) 2 4 4 2 4 2 2 ( x k x ) (1 k x )
sin( x 2 y ) x2 y 1 x x 0 0, lim x 2 y 2 0. 2 2 x 0 x y 2 y 0
x3 y 例4 证明 lim 6 2 不存在． x 0 x y y 0
证
3 取 y kx ,
x3 y x 3 kx 3 k lim 6 , 2 lim 2 6 2 6 x 0 x y x 0 x k x 1 k 3 y0
四、小结
◆多元函数的定义
◆多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
◆多元函数连续的概念 ◆闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x , y ) 都趋向于 A，能否 断定
( x , y )( x0 , y0 )


U ( P0 , ) P | 0 | PP0 | , 称为P0的去心邻域.
o
2 、区域
2.1、内点、开集
设 E 是平面上的一个点集， 是平面上的一个点 P ,
若邻域 U ( P ) E , 则称 P 为 E 的内点.
E 的内点属于 E .
若点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集. ,
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x 0 , y0 ) 处极限不存在．
◆利用点函数的形式定义n元函数的极限:
定 义 2 设n 元 函 数 f (P ) 的 定 义 域 为 点 集 D , P0 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 n | f ( P ) A | 成立，则称 A 为 元函数f (P ) 当 P P0 时的极限，记为 lim f ( P ) A . PP
(3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如 {( x , y ) | 0 x 2 y 2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合． 例如 {( x , y ) | x 2 y 2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
4、n维空间
n 设n 为取定的一个自然数，我们称 元数组 n n ( x1 , x 2 , , x n ) 的全体为 维空间，而每个 元数 n 组 ( x 1 , x 2 , , x n ) 称为 维空间中的一个点，数 x i 称为该点的第i 个坐标.
y y0
0
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
sin( x y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
2
解
sin( x 2 y ) sin( x 2 y) x 2 y lim 2 lim 2 , 2 2 x0 x y 2 x 0 x y x y y0 y0 sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim lim 1, 其中 x 0 2 x y u0 u y0
xy 2 2 x2 y2 , x y 0 例5 讨论函数 f ( x , y ) 2 2 0, x y 0
在(0,0)的连续性．
解
取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k2 y0 y kx
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数的概念 1、 邻域


P0
设P0是xoy平面上的一个点 是一个正数, ,
称点集 U ( P0 , ) P | PP0 | 为点P0的邻域,
U ( P0 , ) ( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
例如 {( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
o
x
2.4、有界区域、无界区域