大学物理——波动2
大学物理习题详解No.2波动方程
《大学物理》作业 No.2波动方程班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、判断题[ F ] 1. 解:电磁波就可以在真空中传播。
[ F ] 2. 解:波动是振动的传播,沿着波的传播方向,振动相位依次落后。
[ F ] 3. 解:质元的振动速度和波速是两个概念,质元的振动速度是质元振动的真实运动速度,而波速是相位的传播速度,其大小取决于介质的性质。
[ F ] 4. 解:振动曲线描述的是一个质点离开平衡位置的位移随时间的变化关系;波形曲线是某一时刻,波线上各个质点离开平衡位置的情况。
[ F ] 5. 解:对于波动的介质元而言,其动能和势能同相变化,它们时时刻刻都有相同的数值。
二、选择题:1. 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ,则该波的频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动的振幅A (m)依次为:(A) 2/1,2/1,05.0- (B) 2/1,1,05.0-(C) 2/1,2/1,05.0 (D) 2 ,2,05.0[ C ]解:平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式的波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较,可得 )s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。
故选C2. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI),t = 0时的波形曲线如图所示。
则:(A) O 点的振幅为-0.1 m(B) 波长为3 m (C) a 、b 两点位相差 π21(D) 波速为9 m ⋅s -1解:由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ,)s (m 32231-⋅=⨯==νλua 、b 两点间相位差为:2422πλλπλπϕ===∆ab故选C3. 一平面简谐波沿x 轴正向传播,t = T/4时的波形曲线如图所示。
大学物理 波动二
Y反 (x, t)
A cos[t
2
(x
7 )]
4
A cos(t
2
x)
2
另解:
y
M
Y反 (x,t)
A cos t
2
x
:反射波在o处的初相
P
O
x
O x
o
t
( )
t
2
oo u
oo u
(o入 ) (o反 ) (o反 )
oo 7
4
2
2)P点的振动方程。
y
YP合
(t
)
YP入(t
)
YP反(t
2
得S2的波动方程:
y2左=A
cos
2
T
t
2
2
(x d )
d5 4
A cos (2
T
t
2
x 2)
Acos(2 t 2 x) O
T
y2右=A
cos
2
T
t - 2 2
(x d ) d 5 4
A cos (2
T
t
2
x+3)
Y
Acos(2 t- 2 x) O
T
OS• 1
S•2
)
2
六、多普勒效应
r
u u
ur us
s
观察者趋近波源u(r ),反之u(r ); 波源趋近观察者u(s ),反之u(s )。
若波源和接收器不在同一直线上运动
us
ur
•
•
us //
ur //
r
u u
ur us
// //
s
一驱逐舰停在海面上,它的水下声纳朝一正在驶向它的
《大学物理》第二章--波动方程
a o
● ●
b
●
u
d
S
x
●
x
x dx
dxS S ( d ) S dS x
t 时刻体积元所受合力
( x,t ) d dx x 体积元质量为 dV Sdx v dxS Sdx 根据牛顿第二定律有
应力是 x 和 t 的函数
2 2
——波动方程
以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律, 还可以进一步从动力学的观点,更本质地分析 波动方程的意义. 2. 波动方程的动力学推导
以平面波在固体细长棒中的传播为例 设有一截面积为S ,密度为ρ 的固体细棒, 一平面纵波沿棒长方向传播。
S
u
a o
● ●
b
●
u
d
2 2
2 T ,u T 1 2 u
y 1 y 2 2 x u t 2
2 2
——波动方程
注意:
波动方程是由平面简谐波推导出的, 但对其它平面波仍然成立, 从数学上,平面简谐波波函数 只是上述波动方程的一个特解。
y 1 y 2 2 x u t 2
y 0.1cos(3t x )
t=0时的波形曲线如图,则: A,a点的振幅为-0.1m; C,两点间的相位差为 / 2 Y(m) 0.1m -0.1m a
B,波长为4m D,波速为6m/s
u b
C X(m)
0
例3,若一平面简谐波的波动方程为
y A cos( Bt Cx)
式中的A,B,C为正值恒量,则
A,波速为C/B B,周期为1/B
C,波长为 C / 2 D,圆频率为B D
波动2
又 ∵ u= Y
2
ρ →Y = u2 ρ
1 2 2 2 x dEp = ρω A sin ωt − dV 2 u
(二)能量变化同相
y
形变最大、 形变最大、振速最大 势能最大、动能最大) (势能最大、动能最大)
a
O
x
b
形变最小、 形变最小、振速为零 势能为零、动能为零) (势能为零、动能为零)
能量密度的平均值: 能量密度的平均值:
1 T 1 2 2 w = ∫ wdt = ρA ω T 0 2
(二)能流密度
在单位时间内垂直于波线方向的单位面积上 通过的平均波的能量—— 能流密度。 能流密度。 通过的平均波的能量
u
S
(1)大小: 大小:
w ⋅ (uS ) = w ⋅u I= S 1 2 2 = ρA ω u 2
I = I0e
I0 — x = 0处的波强
−2αx
(四)球面波(点波源激发) 球面波(点波源激发)
以点O为中心,r,r2为半径,作两个同心 1 球形波面,则
r: 1 1 I r2: 2 I
单位时间内穿过这两个 球形面的总平均能量分别为
r 1
r2
O
4πr2I1 1 4πr22I2
因为无吸收, 因为无吸收,由能量守恒定律得
在截面积为S的圆管中 有一列平面简谐波, 的圆管中, 例一 在截面积为 的圆管中,有一列平面简谐波, 其波动的表达式为y 其波动的表达式为 = Acos(ω t -2πx/λ)。管中波的 ( 平均能量密度为w,则通过截面S的平均能流是多少? 平均能量密度为 ,则通过截面 的平均能流是多少? 的平均能流是多少
<20Hz 20Hz————20kHz >20kHz
大学物理波动学2
量传给相邻的质元,其能量逐渐减小;
错
答:在平衡位置质元的振动动能和弹性势能最大,所
以A处质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大。
物理学
第五版
4-7 波的能量
④ B处质元振动动能增大,则波一定沿x负方向传播;
答: B处质元振动动能增大,
A
对
则它将向平衡位置移动,作图
B
可知波一定沿x负方向传播;
o
⑤ B处质元振动动能减小,则C
u
ux
xuu xu u u
xu
物理学
第五版
4-9 驻波
32
物理学
第五版 二 驻波方程
正向
y1
A c os2π
(t
x
)
负向
y2
Acos2π (t
x)
4-9 驻波
cos cos 2 cos cos
y
A cos 2π (t
x
)
2
道某一时刻的波阵面,就可以确定下一时刻
的波阵面。
波阵面 子波 包络 新的波阵面
物理学
第五版
ut 子波
4-8 波的干涉
O
子波波源
波前
适用于任何波动过程 适用于任何介质(均匀的,非均匀的) 几何作图法 利用惠更斯原理可解释波的折射、反射和衍射。
1、波的反射定律 2、波的折射定律 3、波的衍射
17
物理学
27
物理学
第五版
4-8 波的干涉
解 BP 152 202 25
P
u 10 0.10 (m) 15 m
大学物理波动2
(2)对某一质元,机械能 E=E(x,t) 作周期性变化。
注意:(1)对谐振系统: 动、势能相互转化, 而机械能守恒。 (2)对波动: 每个质元起着能量传递者的 作用, 其能量并不守恒。能量传递的速度等 于波速。 二、能量密度和平均能量密度 能量密度 (w) ——单位体积的能量
E x 2 2 2 w A si n ( t ) V u
1 2 2 I A u 2
波的强度(能流密度) I A 2 上述结论具普遍意义。
p180倒数第5行——p181第5行,不要求 p182倒数第7行—— p185, 自学,了解
一、波的衍射 1、衍射现象: 波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障 碍物的边缘而传播的现象。 2、衍射产生条件: >>,衍射不明显 衍射物(障碍物 或缝)的线度d ~ ,衍射明显 例如声波 (20 — 20kHz) 在空气中一般为若干 米,故对普通围墙衍射明显, “ 隔墙有耳 ”, “闻其声而不见其人”。 而可见光 很短(400—760 nm ),通常衍射 不明显,将以直线传播。
可以证明(过程不要求),该质元的弹性势能 为 E p Ek .
x 该质元的总机械能为 E Ek E p V A sin (t ) u
2 2 2
2、波动能量的特点 (1)对某一质元,在任一时刻, Ek、Ep二者同相 , 同时达最大,同时为 0; 某质元处于平衡位置时 , 速度最大Ek最大 Ep最大 此质元处于正(负)的最大位移时, 速度为 0 Ek=0 Ep=0
波叠加时在空间出现稳定的 振动加强和减弱的分布叫波 的干涉。 水波盘中水波的干涉
3、定量分析:
S2
r2
S1
r1
P 相干波源 S1、S2处
波动2
三、波场
波线
波面
波面 波前
波线 (a) 点波源 (b) 球面波 波线 波面 波前
波场--波所传播到的空间
波线--波的传播方向 波面--振动传播时相位相同的点所组 成的面 波阵面(波前)---最前面的一个波面
在各向同性介质中,波线恒与波面垂直。
(c) 平面波
四、描述波动的物理量 ~ ,波数 1 波长
(2)求 t 1.0s 波形图
t x π y 1.0 cos[ 2π( ) ] 2.0 2.0 2 π (1.0) cos[ π x ] 2 sin πx (m) 波形方程
y/m
1.0
0
2.0
t 1.0 s
x/m
-1.0
时刻波形图
(3)
x 0.5m 处质点的振动规律并作图
1、形变的分类
S
2、形变的度量:应变
长变:
F
l
l0
V
F
长变:
l l 0 l l0 l0
0
体变:
p P
V S
V V0 V 体变: V0 V0
d
S
F
切变: h
切变:
d tg h
3、应力与应变的关系:
S
虎克定律
应力与应变成正比
F
l
p P
l0
V
V
S
0
F
8 m
5 m
u
oA
9 m
C
B
D
x
(1) 以 A 为坐标原点,写出波动方程
y A 3 10 2 cos( 4 π t )
A 3 10 2 m
大学物理——波动2
入射波
o
xo
t 解(1) : y反o A cos( 2 ) T 0 (5 2 ) (5 2 ) 21
反射波的波动方程为 : t x t x y反 A cos( 2 2 21 ) A cos 2 ( ) T T
2 (2)驻波方程为 : y y入 y反 2 A sin x sin t T
60
2
驻波方程为 : y y入 y反 2 A sin
2
2
n (3)由 x n 得波节点的坐标: x 2 3 5 7 9 即 : x 0, , , ,2 , ,3 , ,4 , ,5 . 2 2 2 2 2 2 由 x (2n 1) 得波节点的坐标: x (2n 1) 2 4 3 5 7 9 11 13 15 17 19 即: x , , , , , , , , , , 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
y p 2 A2 cos(t 2 - 2r2/ )
y p y p1 y p2 A cos t ) (
2 其中: A A12 A2 2 A1 A2 cos
A1 sin (1 2r1 / ) A2 sin ( 2 2r2 / ) 其中 : tan A1cos(1 2r1 / ) A2cos( 2 2r2 / )
波腹 波节
13
返回
驻 波
波腹 波节
14
返回
驻 波
波腹 波节
15
返回
驻 波
波腹 波节
16
返回
驻 波
波腹 波节
17
返回
驻 波
波腹 波节
大学物理 第十二章 波动光学2
2 又,明纹所在处x满足: x tg 1.5 0.003 , f 500
2 0.5 1.5 3 104 2ax / f 107 m A λ (2k 1) 500 2k 1 2k 1
白光波长范围4000—7000Å,满足上式的波长值即为所求:
• • • •
例题:已知单缝宽a=0.5mm,透镜焦距f=50cm,今以白光垂直照 射狭缝,在观察屏上x=1.5mm处看到明纹极大,求: (1)入射光的波长及衍射级数; (2)单缝所在处的波阵面被分成的波带数目。
[解]: (1)由明纹条件: a sin (2k 1)
x 很小 。 sin ≈ tg f
sin
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。 中央极大值两侧的其他明条纹称次极大。
2、明暗纹中心位置坐标
(1)中央明纹中心位置 x=0
xk t g k f
tgk sin k
x xk
k
中 O 央 明 纹
k2
k 1
(1)
(2)
f
(2)暗纹中心位置坐标
由 a sin k k 及式(1)、(2) 得
二、光学仪器的分辨本领
1.22 1 D
D
瑞 利 判 据
定义
分辨本领
D R 1.22
1
刚可分辨
非相干叠加
不可分辨
瑞利判据 : 对于两个等光强的非相
干物点,若其中一点的象斑中心恰好落 在另一点的象斑的边缘(第一暗纹处), 则此两物点被认为是刚刚可以分辨。
当 再 , =3/2时,可将缝分成三个“半波带”,
B a A θ a B θ
大学物理-波动学2
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义:平均能量密度(对时间平均)
1 w T
T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流,能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流,或叫能通量。 设波速为 u,在 t 时间内通过垂 直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处 相 位 落 后 2
x
已知O点振动表达式: y
u
y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2
x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处 比 x 0处 相 位 落 后 (x x0 )
X0点的振动方程:
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量,其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波,在直径d= 0.14m的圆柱管的空 气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz,波速为 300m/s。试求:波中平均能量密度和最大能量密度;在 管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解:由公式
y A cos( t 0 2
x)
上式与标准形式的波函数相比 可得:
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)
大学物理波动2
y10 y20
A10 cos ( t + 1 A20 cos ( t + 2 A1 cos t + ( 1 A2 cos t + ( 2 A1
2
A1
A
A2
分别引起 P 点的振动
y1 y2
2r1 ) 2r2 )
合振动
y
y1 + y2
A cos ( t +
2 2 2
定义:通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流, 称为平均能流密度,又称为波的强度。 1 2 2 -2 单位:W· m I w u A u 2
例1、一球面波在均匀无吸收的介质中以波速u传播。在距离波 源r1=1m处质元的振幅为A。设波源振动的角频率为ω ,初相位 为零,试写出球面简谐波的表达式。 解:以点波源O以圆心作半径为r1和r2的两 个球面,如图所示。由于介质不吸收波的 能量,因此,单位时间内通过球面的总平 均能量应该相等,即
W wS 6 105 0.072 1 9.2 107 J
15-4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射
惠更斯: (Christian Haygens,1629—1695)
荷兰物理学家、数学家、天文学家。 1629年出生于海牙。1655年获得法学博 士学位。1663年成为伦敦皇家学会的第 一位外国会员。 他的重要贡献有: ①建立了光的波动学说,打破了当时流行的光的微粒学说,提 出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。 ②1673年他解决了物理摆的摆动中心问题,测定了重力加速度 之值,改进了摆钟,得出了离心力公式,还发明了测微计。 ③他发现了双折射光束的偏振性,并用波动观点作了解释。 ④在天文学方面,他供助自己设计和制造的望远镜于1665年, 发现了土星卫星----土卫六,且观察到了土星环。
《大学物理AII》作业 No.02 波动方程(参考答案)
(x ,t 知, A
1 m, =200m ,又由题知 =2 100
250Hz=500 Hz
250Hz 5 104 m/s
进而可以得到波的传播速度为, u
200m
由 t=0,x=0 点的振动知
2 =cos( ),且该点的振动方向向下,故 sin( ) 2
;
0,
角度在第一象限
为(dC) 。 解:将 y=Acos (Bt-Cx)写成波函数的常见形式 y
A cos( t
x
2 ) ,通过对比 2 , B
可得该波振幅为 A,
B ,C
2
,则
2 , C
B ,T 2
2
u
T
B C
12、一个点波源位于 O 点,在同一媒质中以 O 为圆心作两个半径分别为 R1 和
R2 的同心球面。在两个球面上分别取面积 S1 和 S2 ,则通过它们的平均能流之
1 0.5s
2Hz ,
由公式:
'
(
u u
vo ) vs
1 340 m s 1 60 km h ( 0 .5s 340 m s 1
1
)
2 . 098 s -1
5 分钟次数为: 60 5 2.098 629
14、A、B 是简谐波波线上的两点。已知,B 点的相位比 A 点落后 π 3 ,A、B 两 点相距 0.5m, 波的频率为 100Hz, 则该波的波长
2 s1R2 ) 。 s2 R12
比 P1 / P2 =(
解:设两个半径分别为 R1 和 R2 的同心球面上的平均能流密度分别为 I1 和 I 2 ,则
P 1 P2
I1 s1 I ,对球面波 1 I 2 s2 I2
大学物理课件波动2
(二)能流密度
在单位时间内垂直于波线方向的单位面积 上通过的平均波的能量—— 能流密度
u
(1)大小:
w uS I w u S 1 2 2 A u 2
S
u
能流密度I 为矢量,其方向为波速 的方向。 u
(2)方向:
(3)单位: W m
2
(4)波的强度:
2
y x A sin (t ) 0 x u u
张力 T
l
T2
O
T1
x
u
2
x
1 x 2 2 2 EP xA sin t 0 2 u
体积元的总能为
E Ek EP x x A sin t u
重点 简谐波波动方程与能量
惠更斯原理 波的叠加原理
简谐波波动方程的建立和计算 教学要求:
(1)能根据已知质点的谐振动方程建立平面简谐波的波动
难点
方程,并掌握其物理意义及波形图形。掌握平面简谐波 特征量的物理意义及其相互关系以及各由什么因素决定。 (2)理解谐波的动能、势能,理解波动能量的传播特征, 理解能量密度概念,理解平均能量密度、能流与能流密 度的概念,会计算波动的能量。
ycm
20
O
P
u
5
xm
波形前移Δx,由参考圆法得
y
3 2
3 2 2
所以波动表达式为
A
x 3 y 0.025cos t 2 10 2
质点振速为
x 3 v 0.025 sin t 2 2 10 2
大学物理波动2
初相: tg0
A1 sin( 10 A1 cos(10
2 r1 )
2 r1 )
A2
sin(
20
2
r2
)
A2
cos(20
2
r2
)
20
10
2
(
r2
r1
)
2k 加强
(2k 1) 减弱
三、波的干涉
20
10
2
( r2
r1
)
干涉:两列波在空间相遇(叠加),以至在空间
的某些地方振动始终加强,而在空间的另一些地
I
6 4 2 o 2 4 6
干涉现象的强度分布
例题、如图AB为两相干波源,振幅均为5cm,频率
为100Hz,波速为10m/s。A点为波峰时,B点恰为
波谷,试确定两列波在P点干涉的结果。
解:
P
BP 202 152 25m
u
15m
0.1m
A
20m
B
设A比B超前 A0 B0 BP AP
方振动始终减弱或完全消失的现象。
干涉条件:
1、 两列波的频率相同
S1
2、振动方向相同
3、有恒定的位相差
相干波:
S2
能产生干涉现象的波
相位差
(20
10 )
2π
r2
r1
1)、合振幅加强和减弱的讨论
(1)当
干涉相长
(2)当
干涉相消
(3)当
相长
相消
2)、干涉后波的强度特征
又 I A2
讨论
I I1 I2 2
即
x
k
,k
0,1,2,
2
波动 2
S1 = 4πr ;
2 1
S 2 = 4πr
2 2
r2
r1
∴ A1r1 = A2 r2
所以振幅与离波源的 距离成反比。 距离成反比。如果距 波源单位距离的振幅 则距波源r处的振 为A则距波源 处的振 则距波源 幅为 A
r
由于振动的相位随距离 的增加而落后的关系, 的增加而落后的关系, 与平面波类似, 与平面波类似,球面简 谐波的波函数: 谐波的波函数:
作业: 作业 第七章 1,2,3,4
∆W = u ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ w
w 为截面所在位置的能量密度
所以,能流为: 所以,能流为:
∆S
u
u∆t
∆W x 2 2 2 P= = u ⋅ ∆S ⋅ w = u ∆S ρ ω A sin [ω (t − )] ∆t u
显然能流是随时间周期性变化的。 显然能流是随时间周期性变化的。
在一个周期内能流的平均值称为平均能流 P 平均能流
1 2 2 2 ∆Wk = ρ∆VA ω sin [ω (t − x u )] 2
2. 势能
单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变 平方乘积的一半。 平方乘积的一半。 应变= 应变 o
∂ y ∂ x = A ω u sin[ ω (t − x u )]
x
l
x
自由状态
y
l
△y
t 时刻
∵
2 1 2 2 2 wp = Y A ω u sin [ω (t − x u)] 2 Y u2 = 代入上式得在 ∆V 体积内 ρ
A2、频率平方 ω 2 2) 能量密度与振幅平方 均成正比。 和质量密度 ρ 均成正比。 3) 任意时刻,体元中动能与势能相等,即动能与势 任意时刻,体元中动能与势能相等, 能同时达到最大或极小。即同相的随时间变化。 能同时达到最大或极小。即同相的随时间变化。与 振动能量是有区别的 能量是有区别的。 振动能量是有区别的。
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一列波从一种介质进入另一种介质时, 一列波从一种介质进入另一种介质时, 它的( 它的( ) (A) 波长不变 (B) 频率不变 (C) 波速不变 (D) 以上三量均发生变化
关于“ 波长” 的定义, 关于 “ 波长 ” 的定义 , 下列说法正确 的是( 的是( ) (A)同一波线振动位相相同的两质 点间的距离 同一波线上位相差为π (B)同一波线上位相差为π的两振 动质点之间的距离 (C)振动在一个周期内所传播的距 离 (D)同一波线上两个波峰之间的距 离
S1 R2 R1
o
u △t
二、波的衍射 1、波的衍射现象 、
波在传播过程中遇到障碍物时, 波在传播过程中遇到障碍物时,能够绕过障碍物的边 缘继续前进的现象叫做波的衍射现象 波的衍射现象。 缘继续前进的现象叫做波的衍射现象。
2、用惠更斯原理解释波的衍射现象 、
靠近狭缝 的边缘处, 的边缘处, 波面弯曲, 波面弯曲, 波线改变 了原来的 方向, 方向,即 绕过了障 碍物继续 前进。 前进。
i i’ r
四、惠更斯原理的缺陷
•没有说明子波的强度分布问题; 没有说明子波的强度分布问题; 没有说明子波的强度分布问题 •没有说明波为什么只能向前传播而不向后传播的问题。 没有说明波为什么只能向前传播而不向后传播的问题。 没有说明波为什么只能向前传播而不向后传播的问题
15-5 波的干涉 -
一、波的叠加原理
y=2×10−3cos(200πt-πx/2-π/2)
1515-3
波的能量
一、波动能量的传播 1、波的能量 、 动能
x y = A cos ω t − u
dy x v= = − Aω sin ω t − dt u
x 1 1 2 2 2 2 dE k = (dm )v = ( ρdV ) A ω sin ω t − u 2 2
一、惠更斯原理 1、惠更斯原理 、
介质中波动传播到的各点都 可看作是发射球面子波的波 而在其后的任意时刻, 源;而在其后的任意时刻, 这些子波的包络面就是新的 波面。 波面。
2、适用范围 、
适用于任何波动过程。 适用于任何波动过程。
3、用惠更斯原理来解释波动的传播方向 、
S1
S2
球面波
S2
平面波
2 2 2
•介质中任一体积元的动能和势能同相地随时间变化作周期性 介质中任一体积元的动能和势能同相地随时间变化作周期性 变化。 变化。 •沿着波动传播的方向,每一体积元都在不断地从后方质点获 沿着波动传播的方向, 沿着波动传播的方向 得能量,又不断把能量传递给前方的介质, 得能量,又不断把能量传递给前方的介质,能量就随着波动过 从介质的一部分传给另一部分。 程,从介质的一部分传给另一部分。
请在放映状态下点击你认为是对的答案 随堂小议 x 平面简谐波的方程为 y = A cos ω ( t u) x 则 ω x 和 y 分别代表 u u
(1)振动滞后时间、相位和位移; 振动滞后时间、相位和位移; (2)振动滞后相位、时间和位移; 振动滞后相位、时间和位移; (3)振动位移及滞后时间、相位; 振动位移及滞后时间、相位; (4)振动滞后相位、振动位移及振 振动滞后相位、 动滞后时间。 动滞后时间。
借助图线理解
和
简谐平面波 在密度为 的均匀媒质中传播
某点
处的振动方程
该处的 能量密度 (随时间变化)
该处的 平均能量密度
(时间平均值)
二、能流与能流密பைடு நூலகம் 1、能流 、 定义: 定义:单位时间内通过介质中某一面积
的能量称为通过该面积的能流
x P=w uS=uSρ A ω sin ω t − u
2
传播。 例1、一球面波在均匀无吸收的介质中以波速 传播。在距离波 、一球面波在均匀无吸收的介质中以波速u传播 处质元的振幅为A。设波源振动的角频率为ω 源r1=1m处质元的振幅为 。设波源振动的角频率为 ,初相位 处质元的振幅为 为零,试写出球面简谐波的表达式。 为零,试写出球面简谐波的表达式。 以圆心作半径为r 解:以点波源O以圆心作半径为 1和r2的两 以点波源 以圆心作半径为 个球面,如图所示。 个球面,如图所示。由于介质不吸收波的 能量,因此, 能量,因此,单位时间内通过球面的总平 均能量应该相等, 均能量应该相等,即
dy Aω x = sin ω t − dx u u
u=
Y
ρ
1 x 2 2 2 dE p = (ρdV )A ω sin ω t − 2 u
体积元的总能量
x dE=dEk+dE p = (ρdV )A ω sin ω t − u 结论: 结论:
荷兰物理学家、数学家、天文学家。 荷兰物理学家、数学家、天文学家。 1629年出生于海牙。1655年获得法学博 年出生于海牙。 年出生于海牙 年获得法学博 士学位。 士学位。1663年成为伦敦皇家学会的第 年成为伦敦皇家学会的第 一位外国会员。 一位外国会员。 他的重要贡献有: 他的重要贡献有: ①建立了光的波动学说,打破了当时流行的光的微粒学说,提 建立了光的波动学说,打破了当时流行的光的微粒学说, 出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。 出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。 年他解决了物理摆的摆动中心问题, ②1673年他解决了物理摆的摆动中心问题,测定了重力加速度 年他解决了物理摆的摆动中心问题 之值,改进了摆钟,得出了离心力公式,还发明了测微计。 之值,改进了摆钟,得出了离心力公式,还发明了测微计。 他发现了双折射光束的偏振性,并用波动观点作了解释。 ③他发现了双折射光束的偏振性,并用波动观点作了解释。 在天文学方面,他供助自己设计和制造的望远镜于1665年, ④在天文学方面,他供助自己设计和制造的望远镜于 年 发现了土星卫星----土卫六,且观察到了土星环。 发现了土星卫星 土卫六,且观察到了土星环。 土卫六
已知一平面简谐波沿x轴正向传播, 已知一平面简谐波沿x轴正向传播,振动 周期T= T=0 波长λ 10m,振幅A= m,振幅A=0 周期 T=0.5s, 波长 λ =10m, 振幅 A=0.1 t=0 m . 当t=0时波源振动的位移恰好为正 的最大值. 若波源处为原点, 的最大值. 若波源处为原点, 则沿波传 播方向距离波源为λ 播方向距离波源为λ/2处的振动方程为 t=T/2 y= 0.1cos(4πt−π) ; (SI) 当t=T/2时, x=λ x=λ/4 处 质 点 的 振 动 速 度 为 。 −1.26m/s
Y
能量 极小
X
极小 极大
2、波的能量密度 、 定义: 定义:单位体积介质中的能量就是能量密度
dE x 2 2 2 w= =ρ A ω sin ω t − dV u
平均能量密度——一个周期内的能量密度的平均值 一个周期内的能量密度的平均值
1 T x 2 2 2 w= ∫ ρ A ω sin ω t − dt T 0 u 1 = ρ A2ω 2 2
100Hz, 频 率 为 100Hz, 传 播 速 度 为 300m/s 的平面简谐波, m/s的平面简谐波 300m/s 的平面简谐波 , 波线上 两点振动的相位差为 π /3, 则此 两点相距( ) ( A) 2m . 19m (B)2.19m . ( C) 0. 5 m . (D) 28.6 m .
3、波的折射定律 、
•折射线、入射线和法线在同一平面内; 折射线、入射线和法线在同一平面内; 折射线 •入射角的正弦与反射角的正弦之比等 入射角的正弦与反射角的正弦之比等 于波在第一种介质中传播的速度与波 在在第一种介质中传播的速度之比
sin i v1 = sin r v 2
4、用惠更斯原来解释波的反射和折射 、用惠更斯原来解释波的反射 反射和
2 2 2
平均能流 P =w uS= 1 uSρ A 2ω 2 2、平均能流密度 、平均能流密度——描述能流的空间分布和方向 描述能流的空间分布和方向 定义:通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流, 定义:通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流, 称为平均能流密度, 称为平均能流密度,又称为波的强度。 v v 1 2 2v -2 单位: I = w u = ρA ω u 单位:W·m 2
A r y = cos ω (t − ) r u
例 2、 一列余弦波沿直径为 0.14 m 的圆柱形玻璃管前进 , 波的 、
平均强度为 18×10-3 J s -1 m –2 , 频率为 300 Hz , 波速为 300 m s – × 1 。求 ① 波中的平均能量密度和最大能量密度; 波中的平均能量密度和最大能量密度; 的相邻两个截面间的能量。 ② 位相差为 2π的相邻两个截面间的能量。 的相邻两个截面间的能量 解: ① 平均能量密度
间距离为一个波长λ ② 位相差为 2π间距离为一个波长 间距离为一个波长
W = w S λ = 6 × 10
−5
× 0 . 07 2 π × 1 = 9 . 2 × 10 − 7 J
15-4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射 波的衍射、
惠更斯: 惠更斯: (Christian Haygens,1629—1695) ,
r2
r1
4πr I = 4πr2 I 2
2 1 1 2
1 I 1= ρω 2 A12 u 2
A1r1 = A2 r2
所以振幅与离波源的 距离成反比。 距离成反比。如果距 波源单位距离的振幅 为A,则距波源 处的 ,则距波源r处的 振幅为A/ 振幅为 r