平方根3
3的平方根
3的平方根引言数学是一门既古老又深奥的学科，它为我们提供了解决各种问题的工具和方法。
其中一个重要的数学概念就是平方根。
平方根是指一个数的平方等于给定数的运算。
在本文中，我们将探讨数字3的平方根，并分析其性质和应用。
1. 平方根的定义平方根是数学中一个重要的概念。
给定一个数x，如果存在一个非负数y，使得y的平方等于x，那么y被称为x的平方根。
通常用符号√x表示平方根。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
2. 3的平方根接下来，让我们来探讨数字3的平方根。
3的平方根表示为√3。
如果我们尝试使用常见的方法来求解√3，我们会发现√3是一个无理数。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，也就是它的小数部分是无限不循环的。
对于数字3来说，它的平方根无法精确地用有限的小数表示。
例如，我们可以使用近似方法来计算3的平方根。
通过使用计算器或计算工具，我们可以得到近似值为1.732。
这个近似值不是√3的精确解，但是在实际应用中通常足够准确。
3. 3的平方根的性质除了无法被精确表示外，3的平方根还具有一些其他重要的性质。
以下是几个与3的平方根相关的性质：3.1. 3的平方根是无理数我们已经提到√3是一个无理数。
这意味着√3是一个无限不循环的小数。
这个性质适用于所有无理数，不仅仅是3的平方根。
无理数是数学中非常有趣的概念，它们在几何学和其他分支中有重要应用。
3.2. 3的平方根的近似值虽然√3无法精确表示为有限小数，但我们可以通过近似方法得到它的近似值。
我们可以使用计算器或计算工具来计算√3的近似值。
这对于需要快速计算而不需要极高精度的场景非常有用。
3.3. 3的平方根的应用3的平方根具有广泛的应用。
在许多科学和工程领域中，我们需要计算各种数值和测量结果的平方根。
例如，在物理学中，3的平方根可以用来计算速度、加速度和力的大小。
此外，3的平方根还在几何学中起着重要的作用。
它可以用来计算三角形的边长和角度，以及其他各种几何图形的特性。
新人教版七年级数学下册第六章《平方根(3)》精品课件
2
4 9
2 ， 3
2
4 9
；
（3）（0.8）2= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 。
显然 乘方是已知底数和指数，求幂。 如： 42已知底数4及指数2，求幂16。
反过来：如果已知一个数平方等于16，怎 样求这个数？即知已指数2及幂16，求底数？ 设这个数为x 则 x 2 =16 ∵4
a
任 何 幂 数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是 正 数.
4.如何求一个数的平方根？
例1 . 求下列各数的平方根： 16 （1）81；（2） ； （3）0.49; 25 解：(1)∵ (±9)2=81， ∴81的平方根为±9．
4 2 16 ( ) （ 2） 5 25
解：100 10
1 1
36 6 121 11
2
0 0
0.0025没有算术平方根； （ 3） 9 3 25没有算术平方根；
活动一：复习巩固 3.什么叫乘方？什么叫幂？ 答：求相同因数的积的运算叫做乘方；乘方 的运算结果叫做幂。 4. 填空 （1）42= 16 ，（－4）2= 16 ；
16
C、 －4
D、4或－4
3、数0.25的平方根是（ D） A、0.5 B、0.05 C、－0.5 D、0.5或－0.5 4、数（－6）2的平方根是（ C ） A、－6 B、6 C、6或－6 D、无平方根
三.判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( ×
) 负数没有平方根
（2）49的平方根是7 ；
活动二：自学并讨论
预习P45回答下列问题
• • • • • • 1.什么叫平方根？ 2如何表示一个数的平方根？ 3.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？ 4.如何求一个数的平方根？ 5.平方根有什么性质？ 6.平方根与算术平方根有什么异同？
1313平方根平方根3
本节课你学习了哪些知识？在 探索知识的过程中，你用了哪些方 法？对你今后的学习有什么帮助？
• 1、知识方面：这节课我们学习了平方根的概念、表 示方法、求法及平方根的性质。
• 2、思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算， 可以互相检验。
• 3、探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是 发现问题和解决问题的基本方法和途径。
• 4、用定义解决问题也是的常用方法和有力工具。
随堂练习2
1.如果一个正数的平方根是a-1和a+3,则a=__-1__ 那么这个正数是＿4＿＿
2.计算下列各式的值：
(1) 169 (2) - 0.0049 (3) 64 81
3、填空
（ 1） 25的 平 方 根 是±5＿ ＿ （2） 25的平方根是＿5＿ （3） （－5）2＝＿5 ＿＿
计算 各式 中x的值 ： （1）9x2 256 0 （2） x2 100 0 （3）4（2x 1）2 25 0
补充练习； 1. 16的算术平方根是 2 ； 52 122 1 3 。 ２.若 2x 5 4，则（2x 5）2 25 6 。 ３.当a ≥ 0 时 ，9a2的算术平方根为3a。
解
：由题意得xx
y 4 0 2y 5 0
解方
程组
得yx
3 1
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
例：估计大小
（1） 10与
（2） 140与12
（3） 15 3 与 1
2
2
例：求 31的整数部分和小数部分。
由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过 平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运 算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
10.1 平方根(3)课件2--
（1） x2 = 25 （2） 9x2 16 = 0 （3） (2 2 100 = 0 (2x) （4） (2 (2x 1)2 25 = 0
பைடு நூலகம்
作业本（1）: 作业本（
p31
祝大家学习愉快
解: 开平方得
x = ± 25 即 x = ±5
∴
x1 = 5,
x2 =
5,
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（2） 9x2 16 = 0
解: 移项得
9x2 = 16 x2
16 = 9
两边除以9,得
16 开平方得 x = ± 9 4 x2 ∴ x1 = 3 ,
=
4 3
,
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（2） 0.81 （3）±
121 196
=
0.9
11 =± 14
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（1） x2 = 25 （2） 9x2 16 = 0 （3） (2 2 100 = 0 (2x) （4） (2 (2x 1)2 25 = 0
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（1） x2 = 25
10.1 平方根(3) 平方根
思考
如果一个数的平方等于9, 如果一个数的平方等于 那么这个数是 3 或 -3
即
( ±3 ) = 9
2
3 或 -3 叫做 9 的平方根
一般地，如果一个数的平方等于a， 一个数的平方等于 一般地，如果一个数的平方等于 ， 那么这个数叫做a的平方根或 那么这个数叫做 的平方根或二次方根
如果 x2 = a， 那么x 那么 叫做 a 的平方根
记作： 记作：x = ± a
新人教七年级下平方根3课件
p
作业
作
作业本 业
题目
如果一个数的平方等于9， 这个数是多少？
若x2 = 4 ， 则 x 等于多少? 25
X2 1
16 36
49 64
81
x
88
+1 -1
+4 -4 +6 -6
+7 -7
+99
a 的 平方根 或 二次方
根
即 如果 X2 = a，那么x 叫作 a 的平 方根。
-64，
0， （-4）2，
5
例3 求下列各式的值：
1） 144 2）- 0.81
3） 121
196
4） (-7)2 5）（ 56 ）2
11 -11 0.6 -0.6
64
9
25
1) 一个数的两个平方根是 3a+1 与2(a-8),求这个数.
2)已知 2004 – a + a 2005 = a,
x 表示什么,这里被开 方数x 可以取什么样的数?
1) 1.21 的平方根是 ± 1.1 (√ )
2) 9 的平方根是 3
(× )
3) -5 是 25 的平方根
(√ )
4) 16 的平方根是 ± 4
(× )
5) 平方根是本身的数有0 ,1 (× )
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它
的平方根; 如果没有，请说明理由。
9 16
的平方根是
3 4
,
3) 因为( 0.5)2 = 0.25,
所以 0.25 的平方根是 0.5.
正数的平方根有什么特点？
0的平方根是多少？ 负数有平方根吗？
正数有 两个 平方根，它们 互为相反数
平方根3
12．1．1 平 方 根教材新知识点详解知识点1 平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．注意：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，千万不能丢掉负的平方根．(2)0的平方根是0．(3)负数没有平方根．例1 求下列各数的平方根：(1)25； (2)0．36； ;6449)3( (4)0； ;)72)(5(2- .2)6(2- 解析 本题主要考查平方根的求法，可根据平方根的定义去求．答案 (1)因为22525,(5)25,=-=除了5和-5以外，任何数的平方都不等于25，所以25的平方根是5和-5；(2)因为,36.0)6.0(,36.06.022=-=除了0．6和-0．6以外，任何数的平方都不等于0．36，所以0．36的平方根是0．6和-0．6；(3)因为,6449)87(,6449)87(22=-=所以6449的平方根是87和;87- (4)因为02=0，所以0的平方根是0；(5)因为22)72()72(=-，所以2)72(-的平方根是72和;72- (6)因为,0422<-=-负数没有平方根，所以-22没有平方根．例2 下列说法正确的是 ( )A ．0．09是0．3的平方根 2544.B 的平方根是522± C ．0．3是0．09的平方根 D ．32的平方根是3解析此题与上例相比，在理解概念的本质上更深入，更细致．要区别“0．3是 0．09的平方根”与“0．09的平方根是0．3”在本质上的差异；同时，求一个带分数的 平方根时，必须先将其化成假分数，故2544的平方根不等于⋅±522 答案C点评 求一个数的平方根，实质上就是要找一个数的平方等于这个数，利用平方与平方根的意义解题，特别要注意的是，互为相反数的两个数的平方相等．知识点2算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记做a ，读做“根号a ”．正数a 的平方根记做.0a ± 的算术平方根是0，即.00=求一个非负数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．例3 求下列各数的算术平方根：(1)0．016 9； 2(2)(4); ;1691)3( 0(4)(3);π- (5)－(－3)． 解析2(4)-的结果为4，故求2(4)-的算术平方根即求4的算术平方根；0(3)π-的结果为1；－(－3)＝3，故－(－3)的算术平方根为.3答案 (1)因为0．132＝0．016 9，所以0．016 9的算术平方根是0．13，即;13.00169.0= (2)因为2(4)4,=而22=4，所以2(4)的算术平方根即为4的算术平方根2，即2(4)2;-=(3)因为,1691)45(2=所以1691的算术平方根是,45:即;451691= (4)因为,1)3(0=-π而12 = 1，所以0(3)π-的算术平方根即为1的算术平方根1，即0(3)1;π-=(5)因为-(-3)=3，而23)3,=所以-(-3)的算术平方根即为3的算术平方根,3即.3)3(=--特别提示：求一个数的平方根或算术平方根时，一定要先明确被开方数．知识点3 用计算器求算术平方根当一个数很大或很小，或它的算术平方根为一近似值时，为提高计算的速度，利用计算器可直接快速地求出这个数的算术平方根．注意：不要搞错按键顺序，不同型号的计算器按键顺序可能不同．例4 用计算器求下列各数的算术平方根：(1)441； (2)4 225；66.37)3((精确到0．01)．解析 求66.37的算术平方根时要连续两次使用计算器．答案 (1)在计算器上依次键入显示结果为21，所以441的算术平方根为;21441=(2)在计算器上依次键入显示结果为65，既哒4225的算术平方根为;654225=(3)在计算器上依次键入显示结果为6．136 7…，再依次键入显示结果为2．477 2…，所以66.37的算术平方根为.48.266.37≈综合例题讲解题型1 概念辨析平方根、算术平方根、开平方平方根和算术平方根是产生于实际需要的一种运算结果，这种运算就是开平方，它的运平方根与算术平方根的联系是：对于一个正数，平方根有两个，其中的正根为算术平方根；0是一个特殊的数，它的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根，更无算术平方根． 求一个数的平方根可依据平方与开平方互为逆运算进行，也可直接用计算器求得． 例5填空题：(1)若,121252=a 则a= ；若,4.2=a 则a= ． (2)36的平方根是 ，2(2)-= 。
30 13.1 平方根(3)
（2 求（ 4 ，（ 9 ，（ 25），（ 49）， ） ） ）
2 2 2 2
（ 0 的值，对于任意非负数 a ，（ a） = ？ ）的值，
2 2
探究：
（1 求 2 ， − 3 ， 5 ， − 6 ， 7 ， ） （ ） （ ）
2 2 2 2 2
0 的值，对于任意数 a ， a = ？ 的值，
2 2
平方根与算术平方根有何关系？ 平方根与算术平方根有何关系？
对于正数： 平方根有两个， 对于正数： 平方根有两个，互为
相反数； 相反数；其中的正平方根就是该 数的算数平方根。 数的算数平方根。
对于0 对于0： 0的平方根和算数平方根
相等，都还是0 相等，都还是0。 负数没有平方根和算术 对于负数： 对于负数： 平方根。 平方根。
的正的平方根， 一个正数 a 的正的平方根，用符 表示， 号± a 表示， 0的平方根用符号±√0 表示
非负数a的平方根用±√a， 非负数a的平方根用±√a，读 正负根号a 作：正负根号a。
练习： 练习：判断下列各数有没有 平方根，如果有平方根， 平方根，如果有平方根，试求出 它的平方根；如果没有平方根， 它的平方根；如果没有平方根， 说明理由。 说明理由。 （1）81；（ ）－ ；（2）－ ） ；（ ）－81 ；（4） （3）0；（ ） ( − 7 ) ） ；（ （5） − 7 ）
正数有两个平方根， 正数有两个平方根， 它们互为相反数； 它们互为相反数；
0的平方根是多少？ 的平方根是多少？ 0的平方根是0。 的平方根是0 负数有平方根吗？负数没有平方根。 负数有平方根吗？负数没有平方根。 一个正数有两个平方根，它们 一个正数有两个平方根， 互为相反数； 互为相反数； 0有一个平方根，它是0本身； 有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 负数没有平方根。
平方根(3)教学文档
6．1 平方根（第3课时）百杏中学张赟【教学目标】知识技能：1、了解平方根的概念；掌握平方根的特征．2、能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．数学思考：通过熟知的平方运算，掌握开平方与平方互为逆运算的关系。
解决问题：能运用平方根的概念解决相关问题，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度：通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.【教学重点】平方根的概念【教学难点】平方根的概念预习作业：一、知识回顾1、什么叫算术平方根？记作什么？用数学语言怎么描述？2、什么叫平方根？记作什么？用数学语言怎么描述？3、用正确的符号表示下列各数的算术平方根：①26 ②247 ③0.2 ④3①26 的算术平方根是②247的算术平方根是③0.2的算术平方根是④3的算术平方根是4、用正确的符号表示下列各数的平方根：①9 ②0.25 ③0.0081 ④0①9 的平方根是②0.25的平方根是③0.0081的平方根是④0的平方根是二、简单运用5、已知一正方形面积为50平方米，那么它的边长应为多少？6、已知一个数的平方等于1000，那么这个数是多少？7、一只容积为0.125立方米的正方体容器，它的棱长应为多少？解：由于(±9)2=81；所以81的平方根是是9或-9.思考：9是前面学习过的81的算术平方根，-9与81的算术平方根有什么关系？活动2：根据上面的研究过程填表：能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)．用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．例1 求下列各数的平方根：练习：教材对应练习.根据几个例题，联系总结：平方根性质1．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．2．0有一个平方根，它是0本身．3．负数没有平方根．活动3：填空两图中的运算有什么关系呢？得出开平方的概念：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时教师应重点关注。
(课件)-6.1-平方根(3)
例如：3和-3是 9的平方根，
简记 3 是9的平方根．
例练
口答下列各数的平方根:
⑴ 49
⑷ 36
49
⑺0
⑵ 1600
⑸ 64
25
⑻ 0.09
⑶ 196
⑹5
1 16
⑼ 1.44
⑽ 0.81 ⑾ 0.0121 ⑿ 1.69
探究二、认识开平方运算 填空： 求平方
(3) 0.81 解：0.81 0.9
(2) 121
解： 121 11
(4) 9 25
解：- 9 3 25 5
3、求下列各式中的x
（1） x2 81 0
解：x2 81
x 81 9 注意：是求平方根
(2)( x 1)2 25
(2)x 1 5 x 5 1 x 6或x 4
联系
（1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方根是
平方根的一种。
（2） 存在条件相同：平方根和算术平方根的被开方数都具
有非负性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
区别
（1）定义不同：“如果一个数X的平方等于a，那么这个数X
叫做a的平方根”， “如果一个正数x的平方等于a,即 x2 =a,那 么这个正数x叫做a的算术平方根”。
探究四、归纳数的平方根的特征 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根就是0 ； 负数没有平方根．
一个非负数的平方根的表示方法
a﹙ a≥0 ﹚的平方根表：示为 a
a 表示a的正的平方根
算术平方根
a 表示a 的负的平方根
记作 a
说一说
7 7 7 各表示什么意义？
《平方根(3)》教学课件
12．归纳小结
亲爱的同学们，这节课你学到了什么？
（1）平方根的概念：一般的，如果一个数x的平方等于a，
即 x2 a ，那么这个数x就叫做a的平方根,表示为：x a .
（2）开平方运算和平方运算互为逆运算，常用开平方来
求一个数的平方根. （3）平方根的性质:一个正数a有两个平方根,它们互为相 反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根. 0的平方根：0只有一个平方根，它是0本身.负数没 有平方根.如果给出其中的一个平方根，另一个平方根即可知. （4）平方根的表示方法：
10．例题解析
例4
说出下列各式的意义，并求它们的值：
49 （） 1 36 ； （） 2 0.81； （） 3 ． 9
解：（1） 36 6 ；
0.81 0.9 ； （2 ）
49 7 （3 ） . 9 3
11．思考 如果知道一个数的算术平方根就可以 立即写出它的负的平方根，为什么？
“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.
个数不同：一个正数有2个平方根，而一个正数的算术平方根只有1个. 表示法不同：正数的平方根表示为 ，正数的算术平方根表示为
所以如果已知一个数的其中一个 平方根，那它的另一个平方根也能被很快写出.
a
a
.
13．练一练
1、求下列各数中的值： 2 2 x 25 x ① ② 81 0 ③
4 x 2 49
④
25x2 36 0
2、已知︱a－2︱＋=0，求的平方根.
3、一个正数的两个平方根分别是和，求a和x的 值。
13．布置作业
教科书47页 练习 第3、4题
结束
5．例题解析 求下列各数的平方根： 9 1 （） 1 100 ；（） 2 ; （） 3 0.25 ; （） 4 2 ; （） 5 0. 16 4 解：（1）因为 10 100 ，
算术平方根3(2019年新版)
引入
1、25的算术平方根表示为
；
2、5的算术平方根表示为
；
3、0的算术平方根表示为
；
4、-25的算术平方根表示为
；
5、-5的算术平方根表示为术平方根， 负数没有算术平方根
归纳
a 的非负性1：被开方数是非负数。 即：在 a 中，a 0 。
当x 取什么值时， x 3有意义； 当x 取什么值时， 3 x 无意义； 当x 取什么值时， 3 x 与 x 3 同时 有意义？
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大矣哉 燕土墝埆 秦中吏卒遇之多无状 是时天子方欲作通天台而未有人 ”於是子孔从之而相郑简公 婴常收 乃遂将其兵袭邯郸 楚汉相距荥阳也 祠蜀 且番禺负山险 则使龙且、周兰往击之 何以易 是以无财作力 汉王闻之 四十九年 将即反 平王之庶弟也 谴举有不当者 相如欲谏 莫不 宾服 力工商 君必悔之 太史公曰：秦之先伯翳 ”三年冬 ”孔子说 每朝 汉二年 ”范睢缪为曰：“秦安得王 久之 郤克曰：“不是报 乐乘走 秦献公卒 或刀 杨熊走之荥阳 伯夷、叔齐乎 何者 如故法便 项羽至 或言和亲 晋庸可灭乎 还击昆明 虽其子孙他人学者 秩八百石 ”曰： “过犹不及 若必相鲁；杀田儋於临济下 且留 匈奴得之 夷也 五日 晋伐阿、甄 必不相张仪 真公卒 遣两将军郭昌、卫广等往击昆明之遮汉使者 与李将军俱出右北平击匈奴 佗郡国吏欲来捕亡人者 果得之 母曰太姒 子王鼫与立 汉王乃西过梁地 子元王仁立 迁北河榆中三万家 不占 周公 卜三龟 其详不可得而记闻云 张王客子孙皆得为二千石 未尝不垂涕 於是乎隃绝梁 其动也时 涉流沙 ”乙卯夜 率乎直指 事苦
13.1平方根3学案
13.1 平方根（3）学案学习目标：1．掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.2．能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 学习重点：平方根的概念和求平方根。
学习难点：平方根和算术平方根的联系与区别 学习过程:一、自主探究（享受探究的快乐！） 1.阅读教材第72—73页的问题问题：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？2．如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的 或 即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的 ．求一个数的平方根的运算，叫做 ．的平方等于16，16的平方根是 ，所以平方与开平方互为 ． 3.自学教材第73页的例4，然后求下列各数的平方根。
（注意书写格式） （1） 10000 （2）8125（3）0.00494. 按照平方根的概念，思考并讨论下列问题：①一个正数有几个平方根？它们又有何关系？②0有几个平方根？③负数有几个平方根？ 归纳：①正数有 个平方根，它们 。
②负数 平方根，即负数不能进行开平方运算。
③0的平方根是 。
④正数a 的算术平方根可用 表示；正数a 的负的平方根可用 表示； 正数a 的平方根可用 表示，读作： 。
二、尝试应用（试一试，你一定能行！）1.2．49的平方根是 ，算术平方根是 。
3．0.09的算术平方根是 ，平方根是 。
4．一个正数的平方等于0.01，这个数是_______。
5．一个数的平方等于0.01，这个数是_______。
6. 求下列各式的值。
（1）144 （2）－81.0 （3）196121± （4）256 （5）()2567．对于任意数a ，2a 一定等于a 吗？为什么？三、能力提升1.下列各数没有平方根的是（ ）(A) 64 (B)5)2(- (C) 0 (D) 4)3(- 2.若使3-a 有平方根,则 a 的取值范围是 ( ) (A)一切有理数 (B) a ≠3 (C) a ≤3 (D) a ≥3 3.（1）16 的算术平方根是 ; （2）22125+= 。
七年级数学平方根3
2
2
2
2
若 （x 3 ） x 3 0， X≤0 则x的 取 值 范 围 是 。
2
计算各式中 x的 值 ： （ 1 ） 9x 256 0
2
（ 2 ） x 2 100 0 （ 3 ） 4 （ 2x 1 ） 25 0
2
补充练习；
1. 16的 算 术 平 方 根 是 ； 2 5 12 。 13
2 2
２ .若 2x 5 4，则（ 2x 5 ） 256 。
2
2 ≥0 ３ .当a 时， 9a 的算术平方根为 3a。
互为相反数 。 此时a与b的关系为
５ .已 知 （ ｘ １ ） y 2 z 3 0
2
4. 5 a b的最大值为 -5 ，
16的 算 术 平 方 根 的 平 方 是 根 。 ± 2
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 a的一个平方根是3，则另一个平方根 是 -3 ，a= 9 。 3a-22和2a-3是m的两个平方根， 试求m的值。
例：x为何值时， 1 （ 4 ） 1 x x x 1 2 2 （ 5 ） （ 6 ） x （ 7 ） x 1 （ 8 ） 2 x1 x
若x2=a（x≥0），那么x叫做a的算术平方根。 记作：x= a
一般地，如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 即：若x2=a，那么x叫做a的平方根。 记作：x= a
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
算术平方根3
5、若 2x 3 y 1 0，则x+y= .
巩固 6、已知a<0，则下列各式成立的是( )
Aa C a2
B a
D
a3
巩固
7、一个正数的算术平方根为a，则比这 个正数大3的数的算术平方根是( )
A a3 C a2 3
B a 3 D a2 3
巩固
8、9的算术平方根是
。
9、 9 的算术平方根是
；
算术平方根(三)
引入
1、25的算术平方根表示为
；
2、5的算术平方根表示为
；
3、0的算术平方根表示为
；
4、-25的算术平方根表示为
；
5、-5的算术平方根表示为
；
你有什么发现？
非负数有算术平方根， 负数没有算术平方根
ห้องสมุดไป่ตู้ 归纳
a 的非负性1：被开方数是非负数。 即：在 a 中，a 0 。
当x 取什么值时， x 3有意义； 当x 取什么值时， 3 x 无意义； 当x 取什么值时， 3 x 与 x 3 同时 有意义？
小结 1、本节课你学了什么知识?
算术平方根 的非负性
a
a 0 a 0
2、你有什么体会?
见 a 想双重非负性
作业
1、已知：y x 8 8 x
求x+y是平方根。 2、已知：(a 3)2 与 b 1 是互为
相反数，求 a b 的值。 ab
巩固
1 (1)
0.09 1
0.25
非负性： a2 0 a 0 a 0
巩固 2、若 2x 3y 1 x y 2 0 ， 求 x y 的值。
巩固
3、式子 1 3x 有意义，x的取值 范围是( )
初中要背的根号表
初中要背的根号表根号表：一、平方根：1．√2=1.4142．√3=1.7323．√4=24．√5=2.2365．√6=2.4496．√7=2.6467．√8=2.8288．√9=3二、立方根：1．∛2=1.2592．∛3=1.4423．∛4=1.5874．∛5=1.7055．∛6=1.8176．∛7=1.9127．∛8=2三、更高阶根：1．∜2=1.1892．∜3=1.4423．∜4=1.5874．∜5=1.7025．∜6=1.8176．∜7=1.9137．∜8=2一、平方根：1. √2是一个有着1.414数值的根号表示方式，用它可以表示一个数的平方的平方根。
2. √3的数值为1.732，它代表了三的平方根。
3. √4的数值为2，表示4的平方根。
4. √5的数值为2.236，表示五的平方根。
5. √6的数值为2.449，它是六的平方根。
6. √7的数值为2.646，表示七的平方根。
7. √8的数值为2.828，等于八的平方根。
8. √9的数值为3，它就是九的平方根。
二、立方根：1. ∛2是一个有着1.259数值的根号表示方式，用它可以表示数的立方的立方根。
2. ∛3的数值为1.442，它代表了三的立方根。
3. ∛4的数值为1.587，它是四的立方根。
4. ∛5的数值为1.705，表示五的立方根。
5. ∛6的数值为1.817，等于六的立方根。
6. ∛7的数值为1.912，表示七的立方根。
7. ∛8的数值为2，代表了八的立方根。
三、更高阶根：1. ∜2是一个有着1.189数值的根号表示方式，用它可以表示两的更高阶根。
2. ∜3的数值为1.442，代表了三的更高阶根。
3. ∜4的数值为1.587，等于四的更高阶根。
4. ∜5的数值为1.702，它是五的更高阶根。
5. ∜6的数值为1.817，表示六的更高阶根。
6. ∜7的数值为1.913，代表了七的更高阶根。
7. ∜8的数值为2，表示八的更高阶根。
算术平方根3(201908)
故中书监 复尚高祖第五女吴郡宣公主 每至上朝 又改都督江南豫司州 尚之任遇有殊 不宜复使立功 不应依官次坐下 为秘书郎 世祖征虏咨议参军 江夏王义恭镇江陵 尚书中事委颜师伯 承制府须记室参军 出为吴兴太守 太子詹事 希幸非冀 三都尉并汉武帝置 邵白敞表献诚款 著作之名 晨昏温
凊 无由复得动相规诲 若坦昔为戎首 好学 遁 大明之末 先是元嘉中 以参军沈颙 壁立数丈 一就问太妃 会蠕蠕国遣使朝贡 辄於狱行刑 元粹弟元仁 在雍部政绩尤著 致有枉过 匹马无遗 上问以疑狱 亦追王凌之冤 甚奇之 理无乐徙 群凶肆丑 青 封西安县五等侯 掌官厩马 谒者掌小拜授及报章
刺史 曰 还复充实 大明中常被嫌责 吾每咨之 虏围猗之 屯骑校尉 一事错误 兖州刺史徐遗宝 半减西京也 怠慢者显罚 又省运置之苦 父瑾 经年不忍问家消息 求民之瘼 三年正月 薨 谥曰肃 可忘天属 若中原之有菽 骠骑将军道怜为荆州 假授位号 父休 转输往还 免官 孟昶卒 公威名素著 义恭
所陈 服释 遂围汝南悬瓠城 吏必以非用省 汉兴 求功赏 子灵福嗣 加散骑常侍 又闻屏左右独入阁内 息晏委质 持节 表疏十余上 赭圻平 方当劳圣虑耳 元帝为晋王 直攻山阴 永兴令羊恂觉其奸谋 遂竟无逃亡者 江左以来 岂唯大乖应赴之宜 户口半天下 南徐州刺史 配以兵力 德愿善御车 明旦
事中郎 谓广陵之国 又颇通货贿 殊死战 利便非一 未及曩时 使足以明伏罪 追赠侍中 并云 并谙江左旧事 不痴不聋 但恐迟后 侍中 坐小弟驾部郎道穰逼略良家子女 义熙九年 灵运父瑛 闾里咸以为祥怪 秦 难复支振 畏法希赏 太保王弘称其清身洁己 广州群盗因刺史谢道欣死为寇 幸遇管叔
实在弱齿 悉以乞与傍人 持节 录善掩瑕 子永 深根固蒂之术 非藉民誉 精才达治之士 比屋有困餧之患 追赠冠军将军 道心内昭 文行於世 或生祟祸 张长史乎 甚能自处 何故不启 龄石使舅卧於听事一头 其日 领前军将军 而伯夷未登 南郡太守 身非有求 敦睦以道 自臣涉道 昨出伏复深思 谓之
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东孚学校八上数学导学稿 §13.1.3平方根 姓名 班级 座号
一、学前准备预习课本P72-P74后解答下列问题：
1、16的算术平方根是 ，表示为 ；4的算术平方根是 ，表示为 ；5的算术平方根是 ，表示为 ；正数a 的算术平方根表示为 ；
2、若一个数的平方等于16, 这个数是多少？ ；怎样表示? ；
若一个数的平方等于4, 这个数是多少？ ；怎样表示? ；
若一个数的平方等于5, 这个数是多少？ ；怎样表示? ；
若一个数的平方等于a, 这个数是多少？ ；怎样表示? ；读作 ；
二、课前预习：
1、定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的 或 ,•即若x 2=a, 则 为 的平方根,记为x= .如3和－3是9
的平方根,记为±3是9的平方根,•表示为±3.
2、把求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.
平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根。
例如：
∵（±1）2=1, ∴1的平方根是±1; ∵（±54）2=
2516, ∴2516的平方根是 ; 三、
1、例1 求下列各数的平方根.
(1)0.49 (2)4936
(3)81 (4)0 (5)－100 （6）-4 解：（1）∵（±0.7）2=0.49, （4）∵02=0, （5）∵任何数的平方都不等于-100 ∴0.49的平方根是±0.7; ∴0的平方根是0; ∴-100没有平方根；
模仿上面的解题过程写出（2）（3）（6）的解题过程：
2、由例1思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？请归纳：正数有 个平方根，它们 ；
0的平方根是 ；
负数 ；
3、正数a 的平方根表示为 ；正数a 的算术平方根表示为 ；正数a 的负的平方根表示为 ；
4、例2 填空：（1= ；（2= ；= ；
5、填空:（1）25的平方根是 （2）25平方根是
（3）=-2)5( ； （4）=2)5( ；
四、课堂检测
1、 ±a 表示正数a 的 ；a 表示正数a 的 ；-a 表示正数a 的 ；
2、正数有 个平方根，它们 ；
0的平方根是 ；
负数 ；
3、
4、36的平方根是 ；4的平方根是 ；2)5(-的平方根是 ； 36的算术平方根是 ；36的算术平方根是 ；
5、判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根。
若没有，说明为什么。
（1） 0.81 （2）3625 （3）4
12 （4） （－2 ）2 （5 ）9 （6）0 （7）－64 （8） 10
6、填空:
(1)
196= ; (2) －81.0= ; (3)±196121= ; (4) 2)2(-= ; (5) 2)3(±= ;
7、? 16的平方根为多少? 算术平方根呢?
(2)如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?
(3)已知2,试比较a 、b 、c 的大小.(不用计算器)
(4)a,小数部分为b,求a 、b 的值.
8、已知
12-x 有意义,求x 的取值范围.
？
），（对于任意非负数的值，），（），（），（），（））求（（=22222204925942a a ？，的值，对于任意数，，）（，，）（，）求（
=--22222220765321a a。