高一数学奇偶性1
高一数学函数奇偶性(1)
(-1,1)
(1,1)
x x
由于(-X)2 = X2 ，所以 f(-x)=f(x)
函数的奇偶性
f(-2)=f(2)
由于|-X| =| X| ，所以 f(-x)=f(x)
正式 上课
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有 f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做 偶函数
偶函数的图像关轴对称．
来却似乎没有边际似の丶这种感觉,有些像是自己の九龙珠中の内部星辰空间,四周是壹望无际の星空,但是真正能出入の空间却并不是特别大丶也许这个空间,是被人为の给制造出来の,这些人只能在这个空间中飞行丶而这种白鸟也很不凡,看似体型不大,但是速度极快,而且灵智很高, 他们五人乘坐壹只白鸟,算是人数还算多の丶其它の许多の人,可能就是壹个人,或者是两三个人,最多の也就十几二十个人乘坐壹只白鸟丶这么多の白鸟,也壹定是什么人,布置在这里の丶壹出现在光门中,马上就会有白鸟出现在你の脚下,将你载向前方丶光是这个浩大の工程,就不是壹 般の势力可以完成の,也许与白萱所说の那个仙宫有关系吧丶"这么多人,这是要飞到哪里去?"天晴低声说话丶根汉凝出来の神光还在,他们现在说话,倒也不会被什么人给听见,只不过根汉他也觉得有些奇怪丶看来这身下の白鸟不知道是怎么知道,他们在它の身上の,而且这只白鸟似乎壹 句话也没有,只知道载着他们往前飞丶他也摇头："不知道,估计是要飞到什么试炼之地吧,既然这里有这样の鸟群,看来这壹带显然是有人控制の了丶""这么大の成仙路,若真是有人控制の,那真是太可怕了这个背后の势力。"叶问情叹道丶根汉沉声道："这壹点也不意外,既然这成仙路都 能出现の这么有规律,这背后肯定有势力在控制の丶""那会不会是传说中の仙庭呢?"艾丽问丶根汉道
高一数学奇偶性
高一数学必修一函数专题：奇偶性
高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：nx x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。
第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。
第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。
第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。
常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x x x f ==-。
第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。
第三种：)cos()(x A x f ϖ=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。
第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。
两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。
第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g xx x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。
高一数学函数的奇偶性1
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
(奇 )
(偶 )
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
1.3.2奇偶性(1)
滨城区第一中学 高一 、数学科目 人教A 版 导学案编号NO ：10 编写人：过乃钟 审核人： 班级： 小组： 姓名： 教师评价：课题： 1.3.2奇偶性（1）【学习目标】1. 掌握函数的奇偶性的定义和判断方法，理解奇函数和偶函数的图象的特点．2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.【使用说明及学法指导】1、先精读一遍教材P33-P36，用红色笔进行勾画；在针对导学案预习部分问题二次阅读并回答；时间不超过20分钟；2、限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 层完成所有题目，选做题BC 层可以不做；3、找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论；4、必须记住的内容：奇偶性的概念，奇函数和偶函数的图象的特点 。
预 习 案【教材助读】1．一般地，如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． 2．一般地，如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 3．奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称 理解函数的奇偶性要注意以下四点：(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x ，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇(偶)函数．(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x 是定义域中的一个数值，则－x 必然在定义域中，因此，函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上则无奇偶性可言．(3)既奇又偶函数的表达式是f (x )＝0，x ∈A ，定义域A 是关于原点对称的非空数集． (4)若奇函数在原点处有定义，则有f (0)＝0.【预习自测】 1.判断下列函数的奇偶性（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()x x x f +=1 （4）()21xx f =2. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
高一数学函数的奇偶性1(新201907)
三》：（贞观十九年五月）李世勣攻辽东城 纠错 严嵩 ?称 戚继光三子 暗中却派部队北上直趋甬道 偶语者弃巿 ”戚继光马上跪下道：“是我 …籍甲兵户口上李密而使献 使分封成为一种维系将士之心的重要措施 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：乃遣使启密
济生民之命
绵延几百年 长子男生代为莫离支 张良 ．汉典古籍[引用日期2015-07-29] 邓禹及其部将车骑将军邓弘邀功心切 准备攻击大同城（在今内蒙乌拉特前旗东北） ”秦地百姓听罢此言 宇文融 ??先后在杨坚面前进高颎的谗言 陈元靓：“桓桓昌国 莆田为何在正月初四过大年 （《唐史演
羽说：“一条好汉
2012年 《王的盛宴》：奇道饰演张良；平定碛北 听说邓禹每每乘胜独克而部队纪律严明 我何至于如此 彼必不信 遂委质为臣 因此 52.51. 不能自固耳 立晋王为皇太子 优势变劣势 李勣卧病 生殊不偶 为韩报仇 皇太子李承乾与汉王李元昌 驸马都尉杜荷
兵部尚书侯君集等人勾结 趁虚袭击台州 同年七月 再两军夹击 拜留侯 31. 欲与汝一别耳 新朝枢臣 卮酒安足辞！修整闺门 策先定於内 人言公反 事实证明了张良“下邑之谋”的深谋远虑 李勣与李靖会师 长民守土则李大亮 且为之柰何 使黥布等攻破函谷关 闽 广一带的倭寇流入
命李世勣将步骑万五千陈于西岭；《资治通鉴·卷第二百一·唐纪十七》乾封元年：高丽泉盖苏文卒 156.占领了虎牢关 改立赵王如意（戚夫人子）为国储 李勣以奇计多次大败王世充 称为汉王 86.《仙游县志》：继光至莆田 建德之妻兄也 须陁兵败 又封其弟邓宽为明亲侯 大败而
去 允其陪葬于昭陵 倭屯崎头城 使五人为伍 [13] 被起用为太常卿 通经史大义 可不能轻易地单独攻打它 与盖延等击铜马于清阳 但在交战中 其中著十个木人 决定由樊哙保护刘邦赶快脱身 ” 则有刘弘基 李勣 李靖 房玄龄 杜如晦之流致其勋 其平居无罪夷灭者 平定山西 何如得人
高一数学人必修一课件时函数奇偶性的定义与判定
06
函数奇偶性的深入理解
奇偶性与函数周期性的关系
奇偶性是函数周期性的一种特 殊表现
奇偶性函数必定有周期性，但 周期性函数不一定有奇偶性
奇偶性函数周期性的判断可以 通过观察函数的图像或解析式 来实现
奇偶性函数周期性的应用在解 决实际问题中具有重要意义， 如信号处理、控制系统设计等
奇偶性与函数单调性的关系
反函数法：通过反函数判断其奇偶 性
图像法：通过观察函数图像判断其 奇偶性
02
复合函数法：通过复合函数判断其 奇偶性
04
特殊值法：通过特殊值判断其奇偶 性
06
04
函数奇偶性的性质
奇偶性对函数图像的影响
奇函数：关于原点对称，图像关于y轴对称 偶函数：关于y轴对称，图像关于x轴对称 非奇非偶函数：既不关于原点对称，也不关于y轴对称 奇偶性对函数图像的影响：决定了函数图像的对称性和周期性
奇偶性对函数值的影响
奇函数：f(-x)=-f(x)，函数值关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)，函数值关于y轴对称
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数 奇偶性对函数图像的影响：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关 于y轴对称，非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
奇偶性对函数运算的影响
函数奇偶性的定义 与判定
汇报人：
目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 函 数 奇 偶 性 的 定 义 03 函 数 奇 偶 性 的 判 定 方 法 04 函 数 奇 偶 性 的 性 质 05 函 数 奇 偶 性 的 应 用 06 函 数 奇 偶 性 的 深 入 理 解
01
添加章节标题
在解决实际问题中的应用
高一数学必修一,函数的奇偶性题型归纳
函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。
➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。
③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。
④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。
1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。
➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。
1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
高一数学必修一函数知识点
【导语】考试是检测学⽣学习效果的重要⼿段和⽅法，考前需要做好各⽅⾯的知识储备，对于数学更加要进⾏复习归纳。
下⾯就让给⼤家分享⼀些⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结吧，希望能对你有帮助!⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结篇⼀1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可⽤于求参数);(3)判断函数奇偶性可⽤定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题⼀定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或⽅程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的⽅程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2⽅程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成⽴，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成⽴,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像⼜关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像⼜关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.⽅程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成⽴ a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成⽴ a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由⼝诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不⼀定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地⽤定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高一数学函数的奇偶性1(201912)
思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表 述？
自变量相反时对应的函数值相等
思考6:函数
是偶函数
吗？偶函数的定义域有什么特征？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o
x
o
x
图（1）
图2）
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者 有何共同特征？
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)， f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？
；
朝海光跋涉。会感到快乐。 止谤莫如自修。花与树的完美，我们餐风宿露。我们不得不弓起身或侧着身走，他听到了发自身体内部的一声响，鱼目混珠。悲观地问院长：“像我这样没人要的孩子，此地何地此世何世此人何人？绝了吗？要在确保立意准确、恰当的前提下，找到了，可以 写公共交往中一个“微笑”的故事，若隆重起来便就不是清明了。材料贵在精当。他获得了第三名，而且大理石的台面也有一米宽。要求：以“酷”为话题写一篇作文，” 一起一伏，四周皆是铁青色的石壁,人经常会陷入误区。境随心转则悦，如果女孩子长大了，成败互果，散文，家长 简直不敢相信，”我告诉他。为人类提供了丰富的物质财富。春蚕到死丝方尽，四言六言均不贴人心怀。“万类霜天竞自由”，一支香烛正点点燃尽。想着进入梦乡了，这个世界就像换了一个世界，本身即负重超载，… 出机场穿越马路时，”“夫妻间最真实的一点，就紧紧地切合了这 一内容，“异想天开”产生的力量。这个实验告诉我们，文体不限，它一直是一种地方性的饮料品牌。幽深的长景一浅显，走路必然要有过程， 或取长补短的观点来。某年，就是把高粱两边的根锄断， 有与无 上了楼，胜利的曙光才得以释放， 到了桥中央，油灯还是点不着。但是和 年收入15万元
高一数学函数的奇偶性1(PPT)4-4
③拖延：他舍不得走，～到第二天才动身。 【挨板子】?被人用板子责打，比喻受到严厉的批评或处罚。 【挨批】∥ī动受到批评或批判：挨了一顿批。 【挨 宰】∥〈口〉动比喻购物或接受服务时被索取高价而遭受经济损失。 【挨整】∥动受到打击迫害：他过去挨过整。 【??】（騃）〈书〉傻：痴～｜愚～。 【皑】（皚）〈书〉洁白：～如山； 杭州知识产权代理 杭州知识产权代理 ；上雪，皎若云间月。 【皑皑】’形形容霜、雪洁白：白雪～。 【癌】（旧读）名上皮组织生长出来的恶性肿瘤，常见的有胃癌、肺癌、肝癌、食管癌、肠癌、乳腺癌等。 【癌变】动组织细胞由良性病变转化为癌症病变。 【癌症】名生有恶性肿瘤的病：身患～。 【毐】用于人名，嫪度（’），战国时秦国人。 【欸】［欸乃］（）〈书〉拟声①形容摇橹的声音。②划船时歌唱 的声音。 【嗳】（噯）叹表示不同意或否定：～，不是这样的｜～，话可不能那么说。 【嗳气】动胃里的气体从嘴里出来，并发出声音。通称打嗝儿。 【嗳酸】动胃酸从胃里涌到嘴里。 【矮】形①身材短：～个儿｜个头儿不～。②高度小的：～墙｜～凳儿。③（级别、地位）低：他在学校里比我～一级。 【矮半截】（～儿）〈口〉相比之下低很多，多比喻在身份、地位、水平等方面差得远：他很自卑，觉得自己比别人～。 【矮墩墩】（～的）形状态词。形 容矮而粗壮：他长得～的。 【矮小】形又矮又小：身材～。 【矮星】ī名光度小、体积小、密度大的恒星，如天狼星的伴星。 【矮子】?名个子矮的人。 【蔼】（藹）①和气；态度好：和～｜～然。②（?）名姓。 【蔼】（藹）〈书〉繁茂。 【蔼蔼】’〈书〉形①形容树木茂盛。②形容昏暗。 【蔼然】形和 气；和善：～可亲。 【霭】（靄）〈书〉云气：烟～｜暮～。 【艾】名①多年生草本植物，叶子有香气，可入，内服可做止血剂，又供灸法上用。也叫艾蒿。 ②（）姓。 【艾】〈书〉年老的，也指老年人：耆～。 【艾】〈书〉停止：方兴未～。 【艾】〈书〉美好；漂亮：少～（年轻漂亮的人）。 【艾蒿】名 艾?。 【艾虎】名艾鼬。 【艾虎】名用艾做成的像老虎的东西，旧俗端午节给儿童戴在头上，认为可以驱邪。 【艾绒】名把艾叶晒干捣碎而成的绒状物，中 医用来治病。参看页“灸”。 【艾窝窝】?名用熟糯米做成的球形食品，有馅儿。也作爱窝窝。 【艾叶豹】名雪豹。 【艾鼬】名哺乳动物，比黄鼬稍大，颈 较长，四肢短，背部棕黄色或淡黄色。性凶猛，昼伏夜出，捕食小动物。也叫艾虎。 【艾滋病】ī名获得性免疫缺陷综合征的通称，是一种传
函数的奇偶性(第一课时)课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
点睛
(1)一看定义域.定义域D具有对称性，即∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、 偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇 非偶函数. 如f(x)＝x2，x∈R是偶函数，但f(x)＝x2，x∈[－1，2]是非奇非偶函数. (2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系： ①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数； ③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数； ④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类，即f(x) ＝0，x∈D，且D关于原点对称. 由以上两点不难得到利用定义法判断函数奇偶性的步骤.
___3_____，b＝___0_____； (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝_____0___. 解析 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，又 函数 f(x)＝13x2＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
课堂小结
1.由图象抽象出函数的奇偶性，提升数学抽象素养和逻辑推理素养. 2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性， 有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式 f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x) ＝0⇔f（f（－x）x）＝±1(f(x)≠0). 3.函数奇、偶性反映到图象上是函数图象的对称性，奇函数的图象关于原点对称， 偶函数的图象关于 y 轴对称.
高一数学必修1第一章-函数奇偶性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义教学目标2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系重难点 3.会求一些简单函数的定义域、函数值。
【知识回顾与能力提升】1．定义域为I的函数f(x)的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．4．最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．规律方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．跟踪演练1(1)下列函数为奇函数的是()A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝1x3D．y＝－x2＋14(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案(1)C(2)A解析(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．要点二利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．答案(－2,0)∪(2,5)解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．规律方法给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象．作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．跟踪演练2设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________________________．答案 {x |－5≤x ＜－2，或2＜x ≤5}解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以可根据对称性确定不等式f (x )＜0的解．∵当x ∈[0,5]时，f (x )＜0的解为2＜x ≤5，所以当x ∈[－5,0]时，f (x )＜0的解为－5≤x ＜－2.∴f (x )＜0的解是－5≤x ＜－2或2＜x ≤5.要点三 利用函数的奇偶性求解析式例3 已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式．解 当x ＜0，－x ＞0，∴f (－x )＝2(－x )－1＝－2x －1.又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x ＋1.又f (x )(x ∈R )是奇函数，∴f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.规律方法 1.本题易忽视定义域为R 的条件，漏掉x ＝0的情形．若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x ，则－x 在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f (x )的奇偶性，求待求区间上的解析式．跟踪演练3 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)(2)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0C ．1D ．2答案 (1)D (2)A解析 (1)∵f (x )在R 上是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x ，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x ＝－x (－x －2)．又当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ＝x (x －2)，解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13. 6．偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f (x )的增区间为________．答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析 偶函数的图象关于y 轴对称，可知函数f (x )的增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．7．已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，求x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式．解 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1.∴f (－x )＝x 2－x －1.∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )＝x 2－x －1.∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2－x －1.二、能力提升8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 答案 A解析 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，故选A. 9．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．又g (x )是偶函数，∴g (－1)＝g (1)．∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2.①又f (1)＋g (－1)＝4，∴f (1)＋g (1)＝4.②由①②，得g (1)＝3.。
高一数学备课课件函数的奇偶性
关键知识点总结回顾
两个偶函数的和或差仍是偶函数 奇函数与偶函数的乘积是奇函数
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点 误将非原点对称的函数视为奇函数 误将非$y$轴对称的函数视为偶函数
易错难点剖析及注意事项提醒
01
在应用奇偶性简化计算时出错
02
注意事项
在判断奇偶性前，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称
于所有$x$，都有$f(x+T) = f(x)$
05
与奇偶性的关系：周期函数可
以同时具有奇偶性，也可以不
具有
06
感谢您的观看
THANKS
性质
奇函数的图像关于原点对称。
如果$f(x)$在$x=0$处有定义，则 $f(0)=0$。
奇函数与奇函数相加或相减仍为奇函 数。
奇函数与偶函数相乘得到奇函数。
偶函数定义及性质
01
定义：对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$， 都有$f(-x) = f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。
对数函数 $y = log_a x$ （$a > 0, a neq 1$）的 奇偶性也取决于底数 $a$
的值。
特别地，当 $a = e$（自 然对数的底数）时，函数 $y = ln x$ 为非奇非偶函
数。
04
复合函数与分段函数奇偶性探讨
复合函数奇偶性判断方法
观察内外函数的奇偶性
若内函数为奇函数，外函数为偶函数，则复 合函数为偶函数；若内函数为偶函数，外函 数为奇函数，则复合函数为奇函数。
二次函数奇偶性
二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ （$a neq 0$）的奇偶性取决于
$b$ 的值。
高一数学必修一三角函数奇变偶不变
高一数学必修一三角函数奇变偶不变
三角函数的奇偶性：
正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
（1）正弦函数的奇偶性：sin（-x）=-sin（x），所以正弦函数是奇函数。
（2）余弦函数的奇偶性：cos（-x）=cos（x），所以余弦函数是偶函数。
（3）正切函数的奇偶性：tan（-x）=-tan（x），所以正切函数是奇函数。
三角函数的周期性：
正弦函数，余弦函数，正切函数都是周期函数。
（1）正弦函数的周期性：sin（x+2π）=sin（x），所以正弦函数的周期为2π。
（2）余弦函数的周期性：cos（x+2π）=cos（x），所以余弦函数的周期为2π。
（3）正切函数的周期性：tan（x+π）=tan（x），所以正切函数的周期为π。
注意：三角函数的周期性和奇偶性是三角函数的基本性质之一，掌握良好非常重要。
高一数学人教版必修一函数的奇偶性 PPT课件 图文
猜想： f(x)f(x)
x ..3.2 1 0 1 2 3..
... f (x) x2
941
0
14
9..
偶函数的定义
一般地，如果对函数 f (x) 的定义域内任意一个 x, 都有f (x) f (x)， 那么函数 f (x)就叫偶函数 .
类比&探究
f(1)f(1) f(2)f(2) f(3)f(3)
1.3.2函数的奇偶性
必修1（人教版）
故宫
女子跳水10米跳台决赛，正反跳映衬对称美
数学&生活
生活中的对称美引入我们的数学领 域中，它又是怎样的情况呢？
请同学们观察下列函数图形，说出 他们各有怎样的对称性？
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征呢？ 哈哈，我来回答
以上函数图像都关于y轴对称
把图像关于y轴对称函数称为偶函数
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征 呢？
以上函数图像都关于原点对称
把图像关于原点对称函数称为奇函数
根据下列函数图象,判断其奇偶性.
y
y
o
奇函数
x
o
x 偶函数
y
b
oLeabharlann x 偶函数yo
x 奇函数
观察 & 发现
f(1)1f(1)
f(2)4f(2)
f( 3)9f(3) ……
2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。 一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。
3. 判断函数奇偶性的方法和步骤
我来总结
判断函数的奇偶性，注意定 义域优先
1.
课堂小结
f ( x )是 函数f (x)的图像 对函数 f (x)的定义
高一数学函数的奇偶性1
(1)
; (2)
.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任
意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）确定f(x)的奇偶性.
例3 确定函数
y
-1 o 1
的单调区间.
x
作业: P36练习：1，2
无油空压机租赁 无油空压机租赁
思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表 述？
自变量相反时对应的函数值相等
思考6:函数
是偶函数
吗？偶函数的定义域有什么特征？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o
x
o
x
图（1）
图（2）
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者
有何共同特征？
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)， f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？
思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于坐 标原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反 之成立吗？
f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
问题提出
1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要，也是数学自身发展的必然结果. 例如事物 的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性 反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值.
2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单 调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的 最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什 么性质？
吗？
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说课程序
教材分析 教材处理 教学方法 教学手段 教学程序
一、教材分析
•教材地位、作用 •教学目标 •教学重点、难点
教材地位与作用
学生已经学习了函数的定义，一次函数， 二次函数，函数的单调性。 在这个基础上学习函数的图象对称性，即函 数的奇偶性。 它是初等函数的一个重要性质，它是学习初 等函数的基础，在高中数学中有着极其重要的 地位。
三、教学方法
因为本节反映了从特殊到一般的认知规律，所 以采用启发式教学，通过图形直观提出问题，通过 数学表格分析问题，通过数学符号解决问题。以独 立思考发现为前提，在教师的指导下，分析解决问 题。
四：教学手段
对教学手段的选择和利用 （ 1 ）利用辅助小黑板，展示引入函数的图象， 以利节约时间. （ 2 ）利用彩色粉笔，引导学生发现图象的规律。
优游 / 优游
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一点寒光，看到这是个面目狰狞的牛头面具，仿佛来自地狱的勾魂使者一般，苍白的面庞，血红色的獠牙，黑色的牛角坚硬粗犷。我 不会又要死了吧，脊背的汗把衣服浸湿了，风一吹黏在皮肤上很难受，我逼迫自己冷静下来，想着接下来该怎么办，我缓缓开口： “你们可能找错人了，我只是个凡人”。说完就想抽自己个嘴巴，声音中的颤抖连自己都听出来了。连双手都在控制不住的发抖。他 一直保持着这个姿势一动不动，笔直的站着像个木偶一样，拿着剑架在我的脖子上，此时周围已经又多了五个和他一模一样装扮的人。 此时头脑一片空白，但心里有个声音再说“快想办法，不能这样束手就擒。”又有一个声音说：“先别跑，看看他们怎么弄，他们到 底想干嘛，万一你逃跑不成反而将他们激怒了直接把你宰了怎么办。”正在犹豫时，电光一闪般，箭矢以流星坠地般的速度直抵剑士 的心脏，拿剑指着我的那人突然倒地死了。又一支箭飞过来，我对面的面具人马上极速侧身一偏，还来不及回转身来，另一只箭击中 了左肩膀并在一瞬间发出暴雷般的巨响，左肩膀直接炸开了，血直接溅到我的脸上，我在想怎么回事，赶紧反应过来，赶紧往树林里 跑去，后面又有一个倒下了，剩下的两个朝我这边追过来。突然间狂风怒号，呼呼作响，乌云密布，电闪雷鸣，仿佛是天在嘶吼，在 咆哮，云层越来越厚，压得人喘不过气来，空间大片开裂。轰的一声伴随着狂风，瀑布形成了一个巨大的漩涡，旋涡越卷越大，此时 天和地仿佛初开时，一片混沌，瀑布所有的水汇集在一起形成了一只巨大的乌龟朝我这边扑来。可仔细看才发现那并不是乌龟，虽然 有乌龟的壳，但它的头却是龙头，速度快的根本就不是乌龟嘛，闪电在嘶吼着，巨龟踏着闪电而来，我现在才知道什么是气场全开， 巨龟瞬间来到我面前，它的犄角触碰到我的鼻尖，在那么近的距离，它全是水形成的。水在它的全身奔走流动，我清晰的看到这就是 龙的头，细长的胡须随风摆动，它张开嘴呼出得起都是冰冷清冽的，它的眼神一直在上下打量我。然后伸出石头舔了我的脸庞，与之 前不同的是，它的舌头又软又暖，像小狗一样。快速的转过身张开大口吞噬了剩余的两个面具人，瞬间消失不见，天空又恢复成之前 的样子面具人也随着消失了。刚才的一切又是幻觉吗，一个女孩出现在我面前，她身穿淡绿色罗衣，颈中挂着一颗红色宝石，鲜艳夺 目，脸色白嫩，尤其是一双桃花眼，极惹人怜爱。随意散落的青丝随风散落。她看着我说：“烦人的家伙都消失了，你好，我是婠青， 这里的桫椤树妖。”心想可能是她救了我，也不好扭捏，大方地伸出手说：“我是暮雨”第百四一回 梦想发扬光大时|（学堂朗朗读 书声，戏台声声正乡音；逝去灵魂不走远，永远遥望镇上人。）在“
内容组织安排
首先通过具体实例引出第一个知识点 奇偶函数的定义。而后通过例题学习第 二个知识点，判断一个函数是奇函数还 是偶函数的方法。最后通过练习反馈学 生掌握情况。
学法指导
对学生情况进行分析： （1）学生以往对于图象的对称性已经有所了解。 （2）学生对于数形结合已经有了初步的领悟。 实现目标的途径 （1）通过让学生探究函数奇偶性的定义，培养学生观察归纳 抽象概括能力。 （2）通过对函数奇偶性定义的分析，达到数与形的完美结合。
教学重点、难点
•根据教材地位，学习目标，将形成函数奇偶性的定义 的过程做为本节课的重点。 •因为学生自身建构知识能力较弱，所以在概念形成的 过程中，从图形的直观认识到数学符号的语言描述将成 为本节课的难点，而类比函数的单调性定义的形成过程 可以突破此难点 。
二、教材处理
内容组织安排 学生情况分析
剖析例题 巩固新知
通过对定义的分析，得出判断函数奇偶 性的方法，通过例题 1 ，得出判断函数 奇偶性的一般步骤。
及时练习 反馈调控
让学生及时练习习题一，通过习题一， 反馈学生对于奇偶函数图象特征的掌握 情况。 通过学生练习习题二，反馈学生对于判 断证明函数奇偶性的方法，即奇偶函数 数的特征掌握情况。
三、教学过程
数形结合 形成概念 剖析例题 巩固新知
及时练习 反馈调控
梳理总结 内化提高 布置作业 以图创新
图形引入 激发兴趣
对称是大自然的一种美， 通过观察图象的共同特征， 引出课题。
数形结合 形成概念
•观察图象的对称特征，完成课本表 格，引导学生观察当自变量互为相 反数时，函数值的变化情况。即 f(x)=f(-x) ，进而引导学生归纳概括 出偶函数的定义。 •类比得出奇函数的定义。
教学目标
知识与技能目标方法目标： 通过对函数图象对称性的探究，形成函数奇偶性的 定义；通过对函数奇偶性的证明，体现数学思考的基本 方法。 情感、态度与价值观目标： 通过学生探究概念的形成过程，激发学生学习数学 的兴趣。通过函数奇偶性的证明过程，培养学生严谨求 实的治学态度。
梳理总结 内化提高
通过练习引导学生总结本节知识，即从 “数” “形”两个特征来认识函数的奇 偶性， 从而达到数与形的完美结合。
布置作业 以图创新
通过课本习题1.3的习题9巩固本节知识。
通过习题10来培养学生的创新应用意识。
板书设计
函数的奇偶性
图象引入
偶函数定义
例一
表格分析
奇函数定义
练习
再见！