2015年深圳市一模文科数学试题答案及评分标准 (纯word版)

2015年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（文科）试题与参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（ ）
A.φ B 。

}2,0{ C 。

}5,1{ D 。

}5,1,0,2{
2、i 是虚数单位，复数)1(2-i i 的虚部是（ ）
A.i B 。

i - C 。

1 D 。

－1
3、在四边形ABCD 中，“AD AB AC +=”是“ABCD 是平行四边形”的（ ）
A. 充分不必要条件
B.充要条件
C. 必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4、若函数b a y x +=的部分图象如图1所示，则
A.01,10<<-<<b a B 。

10,10<<<<b a
C.01,1<<->b a D 。

5、已知实数y x ,满足不等式组301≤⎪⎩
⎪⎨⎧+≥≥y x y x ，则y x 2+的最大值为（ ） A.3 B 。

3 C 。

4 D 。

5
6、如图2，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则该三棱
锥的侧视图（投影线平行于BD ）的面积为（ ）
A.2 B 。

2 C 。

22 D 。

32
7、在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若A ＝060，3=
a ，3=+c
b ，则ABC ∆的面积为（ ） A. 43 B 。

2
3 C 。

3 D 。

2 8、已知21,F F 分别是双曲线1:22
22=-b
y a x C （0,>b a ）的左、右焦点，点P 在C 上，若211F F PF ⊥，且211F F PF =，则C 的离心率是（ ）
A.12- B 。

215+ C 。

12+ D 。

15- 9、函数ax
x x f 1)(+=在)1,(--∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.),1[+∞ B 。

]1,0()0,(U -∞ C 。

]1,0( D 。

),1[)0,(+∞-∞U
10、在平面直角坐标系xoy 中，设点M 与曲线i C 上任意一点距离的最小值为)2,1(=i d i 。

若21d d <，则称1C 比2C 更靠近点M ，下列为假命题的是（ ）
A.1C ：0=x 比2C ：0=y 更靠近)2,1(-M
B 。

1
C ：x
e y =比2C ：1=xy 更靠近)0,0(M
C.若1C ：1)2(22=+-y x 比2C ：1)2(22=-+y x 更靠近点)2,(m m M ，则0>m
D.若1>m ，则1C ：x y 42=比2C ：0=+-m y x 更靠近点)0,1(M
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分满分20分。

本大题分
为必做题和选做题两部分
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。

11、已知函数⎩
⎨⎧<>--=00,3,3)(22x x x x x f ，则=-+)2015()2015(f f 12、将容量为n 的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图。

若批1至第5个
长方形的面积之比3：4：5：2：1，且最后两组数据的频数之各等于15，则n 等于
13、执行图3的程序框图，则输出S 的值为
O x
y 图1 1 -1
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。

14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)3,2(π到直线3cos =θρ的距离等于
15、（几何证明选讲选做题）如图4，在ABC Rt ∆中，030=∠A ，090=∠C ，D 是
AB 边上的一点，以BD 为直径的⊙O 与AC 相切于点E 。

若BC ＝6，则DE 的长为
三、解答题
16．（本小题满分12分）
函数π
()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π．
（1）求5π
()12f 的值；
（2）若0()f x =3，且)3,12(0π
π∈x ，求02sin x 的值．
17．（本题满分12分）
空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了AQI 实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：
（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：
空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染
AQI 值范围 [0,50) [50，100） [100,150) [150,200)
城市个数
（2）现从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式确定6个城市，省环保部门再从中随机选取2个城市组织专家进行调研，则选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的概率是多少？
18、（本小题满分14分）
如图5，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是平行四边形，侧SBC 是正三角形，
点E 是SB 的中点，且AE ABC 平面⊥。

（1）证明：ACE SD 平面//；（2）若AS AB ⊥，2=BC ，求点S 到平面ABC 的
距离。

城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI
数值
广州 118 东莞 137 中山 95 江门 78 云浮 76 茂名 107 揭阳 80
深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇庆 48 清远 47
佛山 160 惠州 113 汕头 88 汕尾 74 阳江 112 韶关 68 梅州 84
19、（本小题满分14分）
已知各项为正的等差数列}{n a 的公差为1=d ，且32113221=+a a a a 。

（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足：λ=1b ，111)
1(+++-=+n n n n n b a b a （N n ∈），是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？
若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

20、（本小题满分14分） 如图5，A ，B 分别是椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是｜AF ｜与｜FB ｜的等差中项，3是｜AF ｜与｜FB ｜的等比中项。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，
若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q 。

证明：Q ，P ，B 三点共线。

21、（本小题满分14分）
已知R b a ∈,，函数x ax x f ln )2()(+=，54)(2
-+=x bx x g ，且曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在1=x 处有相同的切线。

（1）求b a ,的值；（2）证明：当1≠x 时，曲线)(x f y =恒在曲线)(x g y =的下方；
（3）当],0(k x ∈时，不等式)()12()()12(x g x x f k +≤+恒成立，求实数k 的取值范围。