平差习题

1.1 观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？

1.2 测量误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测成果有何影响？ 1.3 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？

1.4 测量平差的任务是什么？带有系统误差的观测值能否参加平差？

2.1 观测量的真值i L ~

及真误差i ∆各是怎样定义的？它们与观测值i L 之间有怎样的关系？ 2.2 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？ 2.3 偶然误差∆服从什么分布？它的数学期望与方差各是多少？

2.4 何谓精度？通常采用哪几种衡量精度的指标？它们各自是怎样定义的？

2.5 在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？在相同的观测条件下所测得的观测值，能否理解为误差小的观测值一定比误差大的观测值的精度高？

2.6 为什么通常采用中误差作为衡量精度的标准？它的几何意义是什么？ 2.7 什么是极限误差？它的理论依据是什么？

2.8 已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm ，660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？它们的最大限差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对精度是否相等。

2.9 有一段距离，其观测值及中误差为345.675m ±15mm ，试估计这个观测值误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差？

3.1 协方差传播律是用来解决什么问题的？

3.2 相关观测值向量1

,n X 的协方差阵是怎样定义的？试说明n

n xx D ,中各个元素的含义。当向量

1

,n X 中的各个分量是两两互相独立时，其协方差阵有什么特点？

3.3 已知观测值21,L L 的中误差,21σσσ==协方差012=σ。设

2112-=5+2=L L Y L X ,，Y X T L L Z +==21,，试求X 、Y 、Z 、T 的中误差。

3.4 已知独立观测值21,L L 的中误差为1σ和2σ，试求下列函数的中误差： （1）212L L X -= （2）212

12

1L L L Y +=

（3）)sin(/sin 211L L L Z += 3.5 已知观测值向量1

,31,21,3

21,,n n n L L L 及其协方差阵为

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322131211D D D D D D 对称, 组成函数⎪⎩⎪

⎨⎧+=+=+=03020

1C CL Z B BL Y A AL X

式中A,B,C 为系数阵，000C B A ,,为常数阵。令T T T

T

Z Y X

W ][=，

试求协方差阵WW D 。 3.6 设有观测值向量1

3,L ，其协方差阵为⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=212141216LL

D

试分别求下列函数的方差：（1）321123L L L F -+= （2）213

22

1

2L L L F ++= 3.7 由已知点A （无误差）引出支点P ，0α为起算方位角，其中误差为0σ，观测角β和观测边长S 的中误差分别为βσ和s σ。试求P 点坐标X 、Y 的协方差阵。

3.8 在三角形ΔABP 中（见下图），A 、B 为已知点，1L 、2L 、3L 为同精度独立观测值，其中误差为±1″，试求平差后P 点坐标X 、Y 的协方差阵。

3.9 为确定测站A 上B 、C 、D 方向间的关系（见上图），同精度观测了三个角，其值为

1L =45°02′，2L =85°00′，3L =40°01′设测角中误差σ=±1″，试求：

（1）观测角平差值的协因数阵；

（2）∠BAC ，∠CAD 角平差值的协方差；

3.10 在高级水准点A 、B （其高程无误差）间布设附合水准路线，P1、P2为待定点，路线长1S =2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每公里观测高差的中误差为±=σ 1.0mm 。试求： （1）将闭合差按距离分配之后的1P 、2P 两点间高差的中误差； （2）分配闭合差后1P 点高程的中误差。

3.11 若要在坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于±5.0mm ，欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm ，问该路线长度最多可达几公里？

3.12 有一角度测20测回，得中误差±0.42″，问再增加多少测回，其中误差为±0.28″。 3.13 为什么权可以作为比较观测值之间精度高低的一种数字指标？某一量z 权的大小是唯

一的吗？ 在220i

i p σσ=中，2

0σ的意义是什么？什么叫做单位权？什么叫做单位权观测值？

3.14 在同样观测条件下，作了四条路线的水准测量，它们的长度分别为S 1=10.5km ，S 2=8.8km ，S 3=3.9km ，S 4=15.8km ，试求各条路线的权，并说明单位权观测的线路长度。 3.15 已知观测值向量1

,2L 的协因数阵为⎥

⎦

⎤

⎢

⎣⎡--=2113LL Q ，试求观测值的权1L P 和2L P 。

3.16 设有观测值向量T

L L L ],[211,2=的权阵为⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=595

3

535

6LL P ，单位权方差320

=σ。试求

21σ、2

2

σ、12σ以及1

L P 和2

L P 。 3.17 已知a ，b ，c 的权分别为30,3,2====x p p p c b a °，60=y °（无误差），试求函数A=y x c x b x a cos sin 2cos sin 2++的权A p 。 3.18 设有函数y f x f F 21+=，其中

⎩

⎨

⎧+++=+++=n n n

n L L L y L a L a L a x βββ 22112211 ,i i βα,为无误差的常数，而n L L L ,,,21 的权分别为n p p p ,,,21 ，试求函数F 的权倒数

F

p 1

。 3.19 已知观测值21,X X 的协因数阵⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=2112XX Q ,求向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21211211X X Y Y Y 的协因数阵yy Q 。

3.20 已知观测值21,X X 的协因数阵⎥

⎦

⎤

⎢

⎣⎡=1221XX Q ,设有函数X Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211;X Z ⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡=1112;Z Y W +=2,试求协因数阵YY Q ，YZ Q ，ZZ Q ，YW Q ，ZW Q ，WW Q 。

3.21 在一个测站上观测了4个方向，令方向观测值i l 的协因数阵为I Q ll =，试求角度观测值i L 的协因数阵LL Q 。

3.22 已知独立观测值向量,1

,n L 其协因数阵为单位阵。组成方程

1

,1

,,1

,n t t n n L X B V -=

0=-L B BX B T T

式中B B T

为可逆阵。由上式得解向量 L B B B X T

T 1)(-= 后，即可计算改正数向量V 和平

差值向量 V L L

+=ˆ