河南省漯河市2013届高三上学期期末考试文科数学试卷

2012－2013学年度上学期期末考试高三数学（文科）参考答案一 选择题 1----5 BDBBD 6------10 CCDCA 11-----12 AC二 填空题 1314．4 15．①③④ 16．a b c >>17.解: （Ⅰ）在ABC ∆中, 45,75,CAB DBC ∠=∠= 又则754530ACB ∠=-= ，由正弦定理得到, sin 45sin 30BC AB=, 将AB =4代入上式, 得到 BC =（米）5分 （Ⅱ） 在CBD ∆中, 90CDB ∠= , BC =所以75sin 24=DC .因为30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin +=+=,得到42675sin += , 则 322+=DC , 所以 3.70 3.70 3.4647.16DE =+≈+≈（米）.答： BC 的长为米；壁画顶端点C 离地面的高度为7.16米. …………………………12分 18．解：（Ⅰ）当1=n 时，1a =51当2≥n 时，()1524521221-=+⋅⋅⋅++nn a n a a ①()1524512122121-=-+⋅⋅⋅++--n n a n a a ②①-②得125-=n n a n，所以125-=n n n a ， ……………4分 经验证1=n 时也符合，所以125-=n n na ……………6分（II ）n b n n 2151log 125-==-，则n b n 211--=+， ……………8分所以)121121(21)12)(12(111+--=+-=+n n n n b b n n ， ……………10分因此13221111++⋅⋅⋅++n n b b b b b b =12121121513131121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+-+-n nn n ……………12分19．解：(b,c)的所有可能的取值有: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), 4,6) ,(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), 共36种。

………………2分（Ⅰ） 要使方程x 2+bx+c=0有实根，必须满足△=b 2－4c ≥0，符合条件的有：(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)，共19种。

∴ 方程x 2+bx+c=0有实根的概率为1936P =。

………………6分 201（Ⅱ） 先后两次出现的点数中有5的可能结果有：(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5),(5,6), (6,5), 共11种。

其中使方程x 2+bx+c=0有实根的结果有：(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5), 共7种。

∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2+bx+c=0有实根的概率为711P =。

………………12分 20. 解：（Ⅰ） 抛物线C 的焦点1(0,)4F m，-------------------------------------------1分 ∴112344R RF y m m =+=+=，得14m =。

----------------------------4分（Ⅱ）联立方程2220y mx x y ⎧=⎨-+=⎩，消去y 得2220mx x --=，设221122(,),(,)A x mx B x mx ，则121222x x mx x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩（*），-------------------------------------------------------------6分P 是线段AB 的中点，∴221212(,)22x x mx mx P ++，即1(,)p P y m， 11(,)Q m m ∴， --8分 得2211221111(,),(,)QA x mx QB x mx m m m m=--=-- ，若存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形，则0QA QB ⋅=10分即2212121111()()()()0x x mx mx m m m m-⋅-+--=，结合（*）化简得24640m m--+=，即22320m m --=，2m ∴=或12m =-（舍去）， ∴存在实数2m =，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形。

-------------------12分21（Ⅰ）a x x f -='23)(，过点A （1，0）作曲线C 的切线，设切点()),(00x f x ，则切线方程为：)1)(3(20--=x a x y将()),(00x f x 代入得：b ax x x a x x f +-=--=0300200)1)(3()(即0322030=-+-b a x x （*） ……………………………………………………3分 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根。

令b a x x x u -+-=2332)(，)1(6662-=-='x x x x u ，显然有两个极值点x ＝0与x ＝1，于是0)0(=u 或0)1(=u 当0)0(=u 时，b a =；当0)1(=u 时，1=-b a ，此时)1)(1(1)(23a x x x a ax x x f -++-=-+-=经过（1，0）与条件不符所以b a = …………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为存在0x R +∈，使()000xf x x e a >⋅+，即03000xx ax a x e a -+>⋅+所以存在0x R +∈，使03000x x ax x e ->⋅，得020x x a e ->，即020xa x e <-成立 设)0()(2>-=x e x x g x，问题转化为)(x g a <的最大值…………………………8分x e x x g -='2)(，x e x g -=''2)(，令0)(=''x g 得2ln =x ，当)2ln ,0(∈x 时0)(>''x g 此时)(x g '为增函数，当),2(ln +∞∈x 时0)(<''x g ，此时)(x g '为减函数，所以)(x g '的最大值为)12(ln 222ln 22ln 2)2(ln 2ln -=-=-='eg12ln <，∴)(x g '的最大值0)2(ln <'g ，得0)(<'x g所以)(x g 在),0(+∞上单调递减，1)0()(-=<g x g 因此1-≤a 。

……………………………………………………12分22. （Ⅰ）证明：连接OC ,,OAOC OCA OAC =∴∠=∠ , 又,DAC OAC DAC OCA ∠=∠∴∠=∠.//,ADOC CD AD ∴⊥又，OC CD ∴⊥，即DC 是⊙O 的切线. …… 5分（Ⅱ）证明：因为CA 是∠BAF 的角平分线,90CDA CMA ∠=∠= ，所以CD CM =.由（Ⅰ）知2DC DF DA =⋅，又2CM AM MB =⋅.所以AM ·MB =DF ·DA . ………………………………10分23（Ⅰ）由已知得圆心)6sin 3,6cos3(ππC ，半径1，圆的方程为1)23(23322=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 2分即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ5分（Ⅱ）把直线方程代入圆方程得26)90,30t t -+++=∆=> 7分设21,t t 是方程两根126)t t ∴+=-+所以1232t t PC +== 10分24（Ⅰ）恒成立R x k x x ∈∀≥+-+-,323 即,323min k x x -≥-+-）（2分 又12323=+--≥-+-x x x x 2,3123min ≥-≥=-+-k k x x 解得）（5分（Ⅱ）当2≤x 时，256,5665≤<∴>>x x x ，解得当32<<x 时，32,3223<<∴>>x x x ，解得当3≥x时，34≥∴->x x ，综上，解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,56 10分。