高二数学选修第3章综合素质检测
优化设计人教高中数学选修第三章章末综合检测
(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：选A.10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝3i －i 2＝1＋3i.2．z 是纯虚数的一个充要条件是( ) A ．z ＋z ≠0 B ．z －z ≠0 C ．z ·z ≠0D.z ＝－z (z ≠0)解析：选D.(1)设z ＝b i(b ≠0)，则z ＝－b i ，所以z ＋z ＝0，所以z ＝－z .(2)设z ＝a ＋b i(z ≠0)，则z ＝a －b i ，因为z ＝－z ，所以a －b i ＝－(a ＋b i)，即a ＝0，又z ≠0，所以b ≠0，所以z 是纯虚数，由(1)，(2)知z 是纯虚数的一个充要条件是z ＝－z (z ≠0)． 3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以O A →，O B →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．4．复数1＋3i 3－i等于( )A ．iB ．－i C.3＋iD.3－i解析：选A.1＋3i 3－i ＝(1＋3i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝3＋i ＋3i －34＝i.5．已知下列命题：①复数a ＋b i 不是实数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数． 其中正确的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .6．下列命题正确的是( ) A ．若z ∈C ，则z 2＞0B ．若z 1，z 2∈C 且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2 C ．若a ＞b ，则2a ＋i ＞2b ＋iD ．虚数的共轭复数一定是虚数解析：选D.对A ，当z ＝0或z 为虚数时不成立，两复数不能比较大小，B 、C 不成立，故选D.7．若复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A. 2B.23C ．－23D ．2解析：选C.因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.8．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2C ．πD ．2π解析：选B.因为z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，再由选择项验证得θ＝π2.9．已知复数a i1＋i(a ∈R )对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则a的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(－7，7)D ．(－2,0)∪(0,2) 解析：选A.因为a i 1＋i ＝a i (1－i )2＝a 2＋a i 2，所以复数a i1＋i(a ∈R )对应的点为Z ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2.又复数a i1＋i (a ∈R )对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＜2，即－2＜a ＜2.10．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C. 3D.12解析：选C.由(x －2)2＋y 2＝3，得(x －2)2＋y 2＝3.∴yx可理解为圆上的点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，可知相切时最大，如图∠COP ＝π3，∴yx＝k ＝ 3.二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在题中横线上)11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________. 解析：依题意，y ＝4i(x ＋i)－2x i ＝4i 2＋2x i ＝－4＋(1－i )2i1＋i＝－4＋2＋2i1＋i＝－4＋2＝－2.答案：－212．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)间的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.答案：3 13．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________．解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， |x ＋1＋y i|＝(x ＋1)2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝(y －1)2＋x 2， 则(x ＋1)2＋y 2＝(y －1)2＋x 2.∴复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1,0)和(0,1)距离相等的直线． 答案：直线14．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)15．在复数集C 内，方程2x 2－(5－i)x ＋6＝0的解为________．解析：设x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入原方程整理得(2a 2－2b 2－5a ＋6－b )＋(4ab ＋a －5b )i＝0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－2b 2－5a ＋6－b ＝0，4ab ＋a －5b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－32，所以x ＝1＋i 或x ＝32－32i. 答案：x ＝1＋i 或x ＝32－32i三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知x 、y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，求x 、y 的值．解：x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i 可写成x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10.5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i ， (5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5. 17．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，求f (1)＋f (2i)＋f ⎝⎛⎭⎫12i ＋f (3i)＋f ⎝⎛⎭⎫13i ＋f (4i)＋f ⎝⎛⎭⎫14i 的值． 解：f (1)＝121＋12＝12，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x2＝1.f (1)＋f (2i)＋f ⎝⎛⎭⎫12i ＋f (3i)＋f ⎝⎛⎭⎫13i ＋f (4i)＋f ⎝⎛⎭⎫14i ＝12＋1＋1＋1＝72. 18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.19．已知z ＝1＋i ，(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；(2)如果z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i －1＋3－3i －4＝－1－i. (2)由(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，得(2＋a )i ＋a ＋b ＝1＋i ，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．解：依题意得z 1＋z 2为实数，∵z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.∴a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫38，－1，OZ 2→＝(－1,1)． ∴OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.。
高中数学人教a版高二选修2-3章末综合测评2有答案
章末综合测评(二)随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是()A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】 C2．(2016·吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于C18C15＋C14C16 C112C111的是()A．P(X＝0)B．P(X≤2) C．P(X＝1) D．P(X＝2)【解析】由已知易知P(X＝1)＝C18C15＋C14C16C112C111.【答案】 C3．(2016·长沙高二检测)若X的分布列为则E(X)＝()A.45 B.12C.25 D.15【解析】由15＋a＝1，得a＝45，所以E(X)＝0×15＋1×45＝45.【答案】 A4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04【解析】 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】 C5．如果随机变量X ～N (4,1)，则P (X ≤2)等于( ) (注：P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A ．0.210 B ．0.022 8 C ．0.045 6 D ．0.021 5【解析】 P (X ≤2)＝(1－P (2<X ≤6))×12＝[1－P (4－2<X ≤4＋2)]×12＝(1－0.954 4)×12＝0.022 8.【答案】 B6．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )【导学号：97270056】A.49B.29C.427D.227【解析】 连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49.【答案】 A7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是( ) A.165 B.6425 C.1625D.645【解析】 由题意知成活棵数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，所以成活棵数X 的方差为4×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝1625.故选C.【答案】 C8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()A.35 B.25C.110 D.59【解析】记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝C16C19 C110C19＝3 5，P(AB)＝C16C15C110C19＝13.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝59.【答案】 D9．(2016·长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102πe－(x－80)2200，则下列命题中不正确的是()A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选 B.【答案】 B10．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝() A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2【解析】因为P(ξ＝k)＝110，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<72，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝310＝0.3.【答案】 A11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )A.B ．乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C ．两人的产品质量一样好 D ．无法判断谁的产品质量好一些【解析】 ∵E (X 甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E (X 乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9. ∵E (X 甲)>E (X 乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些． 【答案】 B12．(2016·深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )A.827B.113C.1681D.6581【解析】 记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，E (η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η， E (ξ)＝1＋E (η)＝113.故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.【解析】 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335.【答案】 133514．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．【解析】 由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49.【答案】 4915．(2016·福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.【解析】如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，所以n (AB )＝1， P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.【答案】 1416．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________. 【导学号：97270057】【解析】 ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}． 则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错； ④每次取到红球的概率P ＝23， 所以至少有一次取到红球的概率为 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627， 故④正确． 【答案】 ①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝42＋4＝23. P (B )＝1－P (B )＝13. (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.18．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？ 【解】 因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．19．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.【解】 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.21．(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E (ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解】 (1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为E (ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为E (η)＝2α－2β＝4α－2. 依题意得4α－2≥14， 故916≤α≤1.22．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【解】 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54. 这表明，获得的分数X 的均值为负， 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。
高二数学人教B选修第章综合素质检测
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 [答案] C[解析] ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b 为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．2．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° [答案] B[解析] 建立空间直角坐标系，可求AB 1→·BC 1→＝0，故成90°.3．已知△ABC ，AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，用向量a ，b ，c 的数量积的形式表示△ABC 为锐角三角形的充要条件是( )A ．b·c >0，a·c >0B ．a·b >0，b·c >0，a·c >0C ．a·b >0D ．a·b >0，b·c >0，a·c <0[答案] D[解析] 由数量积的意义知D 成立．4．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，若存在点D, 使得DB ∥AC ，DC ∥AB ，则点D 的坐标为( )A ．(－1,1,1)B ．(－1,1,1)或(1，－1，－1)C ．(－12，12，12)D ．(－12，12，12)或(1，－1,1)[答案] A[解析] 代入坐标运算得D (－1,1,1)，故选A.5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° [答案] C[解析] ∵A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)， ∴AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)． ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴选C.6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CN 所成的角的余弦值是( )A.32B.102C.35D.25 [答案] D[解析] 以D 为坐标原点DA →、DC →、DD 1→为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则AM→＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos θ＝|AM →·CN →||AM →||CN →|＝25(用基向量表示亦可)．7．下面命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] D[解析] ①②③④均正确，故选D.8．直线l 1的方向向量v 1＝(1,0，－1)；直线l 2的方向向量v 2＝(－2,0,2)，则直线l 1 与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或重合 [答案] D[解析] ∵v 2＝－2v 1，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．9．如图，在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )A.92B. 3C.655D ．2[答案] D[解析] 以AB →、AD →、AA 1→为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立直角坐标系，则M (32，0,3)，N (0，32，3)，A (0,0,0)，∵n ＝(2,2，－1)，AB →＝(3,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝2，故选D.10．如右图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( )A.12 B.21015 C.23 D.1115[答案] B[解析] 以DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，则DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝(1，－12，0)，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015. 11．在棱长为a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，则异面直线A ′F 与C ′E 所成角的大小为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不确定[答案] B[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设AE ＝BF ＝x ，则A ′(a,0，a )、F (a －x ，a,0)、C ′(0，a ，a )、E (a ，x,0)，A ′F →－(－x ，a ，－a )，C ′E →＝(a ，x －a ，－a )，∴A ′F →·C ′E →＝－xa ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A ′F ⊥C ′E .12．如图，四面体P －ABC 中，PC ⊥面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －P A －C 的余弦值为( )A.22B.33C.77D.57[答案] C[解析] 如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，P A ＝PB ＝2，AB ＝1，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋2BD →·DE →＋2DE →＋EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →＝－14.∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77.∴cos 〈DB →，EC →〉＝77.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设|m |＝1，|n |＝2,2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则〈a ，b 〉＝________. [答案] 0[解析] 由于(2m ＋n )·(m －3n )＝0， 可得：m ·n ＝－2，则： a·b ＝(4m －n )·(7m ＋2n )＝18. |a |＝(4m －n )2＝6， |b |＝(7m ＋2n )2＝3，cos 〈a ，b 〉＝186×3＝1，∴〈a ，b 〉＝0.14．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为________．[答案]1510[解析] 如图所示，AD ⊥面BCD ，AD ＝32，BD ＝CD ＝BC ＝12，∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510.15．如图所示，在三棱锥P —ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，则P A 与底面ABC 所成的角为________．[答案] 60°[解析] 由于P A ＝PB ＝PC ，故P 在底面ABC 上的射影为△ABC 外心，由于△ABC 为直角三角形，不妨设OB ＝OC ，所以OP ⊥面ABC ，∠P AO 为所求角，不妨设BC ＝1，则OA ＝12，cos ∠P AO ＝12，所以∠P AO ＝60°.16．已知A 、B 、C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为零的实数λ、m 、n 使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值等于________．[答案] 0[解析] 由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，得OA →＝－m λOB →－n λOC →.根据空间直线的向量参数方程有－m λ－nλ＝1⇔－m －n ＝λ⇒m ＋n ＋λ＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O →是平面P AC 的法向量．[解析] 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2.则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，由于OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，及OB 1→·AP →＝－2＋2＝0，∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →.∴AC ∩AP ＝A ，∴OB 1→⊥平面P AC ， 即OB 1→是平面P AC 的法向量．18．(本小题满分12分)(2009·陕西)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的大小．[解析] (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC . 如图，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB →＝(1,0,0)， A 1C →＝(0，3，－3)，∵AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .(2)解：如图，可取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量， 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )， 则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，又BC →＝(－1，3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0，∴l ＝3m ，n ＝m . 不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋1212＋02＋02＝155， ∴二面角A －A 1C －B 的大小为arccos155. 19．(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，经平面AEFG 所截后得到的图形，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面ADG ；(2)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．[解析] (1)证明：在△BAD 中，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°，由余弦定理得，BD ＝3， ∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD ，又GD ⊥平面ABCD ，∴GD ⊥BD ， GD ∩AD ＝D ，∴BD ⊥平面ADG ，(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则有A (1,0,0)，B (0，3，0)，G (0,0,1)，E (0，3，2)， AG →＝(－1,0,1)，AE →＝(－1，3，2)， 设平面AEFG 法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AG →＝－x ＋z ＝0m ·AE →＝－x ＋3y ＋2z ＝0，取m ＝(1，－33，1)，平面ABCD 的一个法向量n ＝DG →＝(0,0,1)， 设平面AEFG 与面ABCD 所成锐二面角为θ， 则cos θ＝|m·n ||m ||n |＝217.20．(本小题满分12分)(2008·江苏)如图，设动点P 在棱长为1正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．[解析] 由题设可知，以DA →、DC →、DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)．由D 1B →＝(1 ,1，－1)得D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＝cos<P A →，PC →>＝P A →·PC →|P A →|·|PC →|<0，这等价于P A →·PC →<0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得13<λ<1.因此，λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.21．(本小题满分12分)(2009·山东)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．(1)证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)求二面角B －FC 1－C 的余弦值．[解析] (1)因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ， 因此四边形AFCD 为平行四边形， 所以AD ∥FC .又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1⊂平面ADD 1A 1， 所以EE 1∥平面FCC 1.(2)过D 作DR ⊥CD 交于AB 于R ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 则F (3，1,0)，B (3，3,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2) 所以FB →＝(0,2,0)，BC 1→＝(－3，－1,2)，DB →＝(3，3,0)． 由FB ＝CB ＝CD ＝DF ，所以DB ⊥FC . 又CC 1⊥平面ABCD ，所以DB →为平面FCC 1的一个法向量． 设平面BFC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥FB →n ⊥BC 1→得⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )，(0，2，0)＝0(x ，y ，z )，(－3，－1，2)＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，－3x －y ＋2z ＝0.取x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0z ＝32，因此n ＝⎝⎛⎭⎫1，0，32， 所以cos<DB →，n >＝DB →·n |DB →||n |＝33＋9×1＋34＝17＝77. 故所求二面角的余弦值为77. 22．(本小题满分14分)已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝3，棱BB 1＝4，连接B 1C ，过点B 作B 1C 的垂线交于CC 1于E ，交B 1C 于F .(1)求证：A 1C ⊥平面EBD ；(2)求点A 到平面A 1B 1C 的距离；(3)求ED 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．[解析] (1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设|CE |＝a ，则C (3,3,0)，B 1(3,0,4)，A 1(0,0,4)，B (3,0,0)，D (0,3,0)．设E (3,3，a )，则A 1C →＝(3,3，－4)，B 1C →＝(0,3，－4)，BD →＝(－3,3,0)，BE →＝(0,3，a )．由BE ⊥B 1C ，知BE →·B 1C →＝0，即0·0＋3·3＋a ·(－4)＝0.∴a ＝94. ∴E (3,3，94)，BE →＝(0,3，94)， ∴A 1C →·BE →＝0，A 1C →·BD →＝0，∴A 1C ⊥BE ，A 1C ⊥BD .又BE ∩BD ＝B ，∴A 1C ⊥平面EBD .(2)易证A 1B 1⊥BE ，∴BE →可看作平面A 1B 1C 的法向量n ＝(0,3，94)， CA →＝(－3，－3,0)．∴点A 到平面A 1B 1C 的距离d ＝|CA →·n ||n |＝125.(3)ED →＝(－3,0，－94)， 设ED 与平面A 1B 1C 所成角为θ.则sin θ＝|DE →·n ||DE →||n |＝|3·0＋0·3＋94＋94|32＋02＋(94)2·02＋32＋(94)2＝925 即ED 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为925.。
人教A版数学高二选修2-3检测综合质量评估
综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线的对数共有( )A.12B.24C.36D.48 【解析】选B.每条侧棱对应4对,由分步乘法计数原理得:4×6=24对.2.若=42,则的值为( )A.6B.7C.35D.20【解析】选C.因为=42=×2×1,解得n=7,所以===35.3.已知随机变量ξ+η=8,若ξ～B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【解析】选B.因为ξ～B(10,0.6),所以E(ξ)=10×0.6=6,D(ξ)=10×0.6×0.4=2.4,因为ξ+η=8,所以E(η)=E(8-ξ)=2,D(ξ)=D(8-ξ)=2.4.4.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为( )A.3B.5C.6D.10【解析】选B.因为T k+1=(3x2)n-k=(-2)k3n-k x2n-5k,当2n-5k=0时,2n=5k,又因为n∈N,k∈N,所以n是5的倍数,故选B.5.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于( )A. B. C. D.【解析】选C.投掷两枚骰子共有6×6种情况,甲骰子点数大于4的情况有2×6=12种,甲骰子的点数大于4,且甲、乙两骰子的点数之和等于7的情况有2种,所以P(B|A)===.6.(2017·济南高二检测)6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( )A. B. C.6 D.【解析】选A.甲得2本有,乙从余下的4本中取2本有,丙得余下的2本,共计.7.(2017·武汉高二检测)甲、乙两工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如表所列:工人甲乙废品数0 1 2 3 0 1 2 3概率0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0则有结论( )A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些C.两人的产品质量一样好D.无法判断谁的质量好一些【解析】选B.甲生产废品期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙生产废品期望是1×0.5+2×0.2=0.9,所以甲生产废品期望大于乙生产废品期望,故应选B.8.为考察数学成绩与物理成绩的关系,在高二随机抽取了300名学生,得到下面的列联表:数学85～100分数学85分以下总计物理85～100分37 85 122 物理85分以下35 143 178 总计72 228 300现判断数学成绩与物理成绩有关系,则犯错误的概率不超过( ) A.0.005 B.0.01 C.0.02 D.0.05【解析】选 D.因为K2的观测值k=≈4.514>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩与物理成绩有关系.9.(2017·临沂高二检测)设随机变量X的分布列如下X 1 2 3P 0.5 x y若E(X)=,则D(X)等于( )A. B.C. D.【解析】选D.由得所以D(X)=×+×+×=,故选D. 10.如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( )A.180种B.120种C.96种D.60种【解析】选A.按区域分四步:第1步,A区域有5种颜色可选;第2步,B区域有4种颜色可选;第3步,C区域有3种颜色可选;第4步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案. 11.(2017·泰安高二检测)二项式(2-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数绝对值之和是a,所有项的二项式系数之和是b,则+的最小值是( )A.2B.C.D.【解析】选B.由题意知,(2-x)n的展开式中所有项的系数绝对值之和即(2+x)n的所有项的系数和,令x=1,可得a=3n.又因为b=2n,所以=,=,所以+=+.观察可知,当n=1时,+取得最小值.12.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是,反复这样投掷,数列{a n}定义如下:a n=若S n=a1+a2+…+a n(n∈N*),则事件“S8=2”的概率,事件“S2≠0,S8=2”的概率分别是( )A.,B.,C.,D.,【解析】选B.根据定义事件“S8=2”是指8次投掷中5次正面3次反面,其概率为P==;事件{S2≠0,S8=2}是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率为P==.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2017·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.【解析】(3x)2=54x2,即=6,解得n=4.答案:414.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为________.【解析】两个数之积的数学期望为E(X)=×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.答案:8.515.一个电路如图所示,a,b,c,d,e,f为六个开关,其闭合的概率是,且是相互独立的,则灯亮的概率是________.【解析】P=1-=.答案:16.( 2017·长沙高二检测)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x 1 2 3 4 5命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小李这5天的平均投篮命中率为________;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________.【解析】因为==0.5,==3,利用线性回归方程中系数计算公式得:=0.01,=0.47,所以线性回归方程为=0.01x+0.47,令x=6,得y=0.53.答案:0.5 0.53三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知展开式中的所有二项式系数和为512.(1)求展开式中的常数项.(2)求展开式中所有项的系数之和.【解析】(1)由2n=512得n=9,则第r+1项为T r+1=()9-r=2r(r=0,1,2,…,9).令-r=0得r=3,故常数项为T4=23=672.(2)由(1)知,n=9,令x=1,得展开式中所有项的系数和为39.18.(12分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表所示:商店名称 A B C D E销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9利润额(y)/百万元 2 3 3 4 5(1)画出销售额和利润额的散点图.(2)若销售额和利润额具有相关关系,用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程=x+,其中=,=-.(3)若获得利润是4.5百万元时估计销售额是多少(千万元)?【解析】(1)散点图如图所示:(2)由已知数据计算得:==6,==3.4,=200,x i y i=112,所以==0.5,则=-=3.4-0.5×6=0.4,所以利润额y对销售额x的回归直线方程为=0.5x+0.4.(3)当y=4.5时,4.5=0.5x+0.4,计算得出x=8.2,所以若获得利润是4.5百万元时估计销售额是8.2千万元.19.(12分)已知集合A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数?【解析】由1<log2x<3,得2<x<8,又x∈N*,所以x为3,4,5,6,7,即A={3,4,5,6,7},所以A∪B={3,4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素,可以组成=120个三位数.(2)若从集合A中取元素3,则3不能是千位上的数字,有··=180个满足题意的自然数;若不从集合A中取元素3,则有=384个满足题意的自然数. 所以满足题意的自然数共有180+384=564个.20.(12分)甲、乙两射手在同样条件下进行射击,根据以往的记录,他们的成绩分布列如下:环数8环9环10环射手甲0.3 0.1 0.6乙0.2 0.5 0.3(1)试比较甲、乙两射手射击水平的高低.(2)谁的射击水平比较稳定.【解析】(1)设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别是X1,X2,则E(X1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3;E(X2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1.由E(X1)>E(X2),知甲射手射击所得环数的数学期望比乙射手射击所得环数的数学期望高,故甲射手射击水平比乙射手高.(2)D(X1)=(8-9.3)2×0.3+(9-9.3)2×0.1+(10-9.3)2×0.6=0.81;D(X2)=(8-9.1)2×0.2+(9-9.1)2×0.5+(10-9.1)2×0.3=0.49.由D(X1)>D(X2),知乙射手射击水平比甲射手稳定.21.(12分)(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率. (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2=【解析】(1)记事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”为事件B,记事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C,则P(A)=P(B)·P(C),P(B)=5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)=0.62,P(C)=5×(0.068+0.046+0.010+0.008)=0.66,所以P(A)=0.4092.(2)箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2=≈15.705>6.635,所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)方法一:因为新养殖法的箱产量分布图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5.故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+≈52.35.方法二:由图可知,中位数位于50～55kg,首先计算小于50kg之前的频率为:(0.004+0.020+0.044)×5=0.340,设中位数为xkg,则(x-50)×0.068=0.5-0.340=0.16,解之得:x=52.35.方法三:1÷5=0.2,0.1-(0.004+0.020+0.044)=0.032,0.032÷0.068=,×5≈2.35,50+2.35=52.35,所以中位数为52.35.22.(12分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高[10, [15, [20, [25, [30, [35,气温15) 20) 25) 30) 35) 40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 【解析】(1)由题意得,X的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知P==,P==,P==,所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为:X 200 300 500P(2)①当200≤n≤300时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P=.若X=300时,则Y=n=2n,P=,若X=500时,则Y=n=2n,P=.所以Y的分布列为:Y 800-2n 2n 2nP所以E(Y)=×+×2n+×2n=n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).②当300<n≤500时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=.若X=300时,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1200-2n,P(Y=1200-2n)=.若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列为:Y 800-2n 1 200-2n 2nP所以E(Y)=×(800-2n)+×(1200-2n)+×2n=-n+640<-×300+640=520(元).综上,当n为300瓶时,Y的数学期望达到最大值.。
高二数学选修1-2全册第3章综合素质检测
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·安徽文，2)已知i 2＝－1，则i (1－3i )＝( ) A.3－i B.3＋iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] B[解析] 该题考查复数的四则运算i(1－3i)＝－3i 2＋i ＝3＋i ，故选B.2．复数z ＝－1＋i1＋i ＋1在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝－1＋i1＋i ＋1＝1＋i ，故复数z 所对应的点为(1,1)，在第一象限．3．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i1＋i 10的值是( )A ．－1B ．1C ．－32D ．32[答案] A[解析] 本题主要考查复数的基本运算，1－i1＋i ＝－i ，(－i )10＝－1，故选A.4．若z 1＝(x －2)＋yi 与z 2＝3x ＋i (x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x ，y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，∴z 1＝－3－i ，故选C.5．对于复平面，下列命题中真命题的是( )A ．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B ．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的C ．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D ．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的[答案] D[解析] 复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系，其中实数对(a ，b )对应复数的实部与虚部．6．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i[答案] D[解析] 方法一：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则x ＋yi ＋|x －yi |＝2＋i ，即x ＋x 2＋y 2＋yi ＝2＋i ，∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1把y ＝1代入x ＋x 2＋y 2＝2中， 得x 2＋1＋x ＝2，∴x ＝34，∴z ＝34＋i .方法二：代入法验证答案易得．7．复数z 满足方程|z ＋21＋i |＝4，那么复数z 的对应点P 组成的图形为() A ．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆B ．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆C ．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆D ．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆[答案] C[解析] |z ＋21＋i |＝|z ＋(1－i )|＝|z －(－1＋i )|＝4，设－1＋i 的对应点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．8．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于()A ．1＋52i B ．－1＋52i C ．1－52i D ．－1－52i [答案] D [解析] 设x ＝it (t ∈R 且t ≠0)，于是2ti －1＋i ＝y －(3－y )i ，∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12t ＋1＝－(3－y )∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝－52y ＝－1∴x ＋y ＝－1－52i . 9．已知复数(x －2)＋yi (x ，y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( ) A.32B.33C.12D. 3[答案] D[解析] 因为|(x －2)＋yi |＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤y x ≤ 3.10．设复数z 为虚数，条件甲：z ＋1z是实数，条件乙：|z |＝1，则( ) A ．甲是乙的必要非充分条件B ．甲是乙的充分非必要条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件[答案] C[解析] 本题考查复数的运算和充要条件的判断．设z ＝a ＋bi (b ≠0且a ，b ∈R )，则z ＋1z ＝a ＋bi ＋1a ＋bi ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i .因为z ＋1z 为实数，所以b ＝b a 2＋b 2.因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝1，所以|z |＝1.而当|z |＝1，a 2＋b 2＝1，条件甲显然成立．11．如果复数z 满足条件|2z ＋1|＝|z －i |，那么在复平面内z 对应的点的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案] A[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|(2a＋1)＋2bi|＝|a＋(b－1)i|，所以(2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1)2，化简，得3a2＋3b2＋4a＋2b＝0，此为圆的方程．12．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D．z一定为实数[答案] C[解析]∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z对应的点关于实轴对称．∴C项正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．(2010·上海文，4)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________.[答案]6－2i[解析]本题考查了复数的基本运算．∵z·z＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.14．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋i sinβ，则复数z1·z2的实部是__________ [答案]cos(α＋β)[解析]z1·z2＝(cosα＋i sinα)(cosβ＋i sinβ)cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i故z1·z2的实部为cos(α＋β)．15．实数m满足等式|log3m＋4i|＝5，则m＝________.[答案]27或1 27[解析]本题考查有关复数模的运算．由|log3m＋4i|＝5，得(log3m)2＋16＝25，(log3m)2＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝1 27.16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．[答案] π4或54π [解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝π4或54π. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i (3z )＝1－3i ，求z .[解析] 将方程两边化成a ＋bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解．设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则x 2＋y 2－i [3(x ＋yi )]＝1－(3i )，即x 2＋y 2－3y －3xi ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3y ＝1－3x ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3 ∴z ＝－1或z ＝－1＋3i .18．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i (x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2.方程②的解为x ＝－3或x ＝6.所以实数x 的值为－3.[点评] 本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件．19．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ，(1)求w ＝z 2＋3z －4(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b . [解析] (1)w ＝－1－i(2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋ai ＋b (1＋i )2－1－i ＋1＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝(a ＋2)－(a ＋b )i∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i∴a ＝－1 b ＝220．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3abi ＝4－6i ，求a 和b .[解析] ∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋yi (x ，y ∈R )则b ＝x －yi ，由(a ＋b )2－3abi ＝4－6i ，得(2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 2＝4－3(x 2＋y 2)＝－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1y 2＝1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1y ＝±1 ∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ；a ＝1－i ，b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i .21．(本题满分12分)证明：在复数范围内，方程|z |2＋(1－i )z －(1＋i )z ＝5－5i 2＋i无解． [证明] 原方程可化简为|z |2＋(1－i )z －(1＋i )z ＝1－3i .设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，代入上述方程，整理得x 2＋y 2－2xi －2yi ＝1－3i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， ①2x ＋2y ＝3. ② 将②代入①，消去y 整理，得8x 2－12x ＋5＝0.因为Δ＝－16<0，所以上述方程无实数解．所以原方程在复数范围内无解．[点评] 本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解．22．(本题满分14分)复数z 满足|z ＋i |＋|z －i |＝2，求|z ＋1＋i |的最大值与最小值．[解析] 在复平面内，|z ＋i |＋|z －i |＝2表示复数z 对应的点Z 到点A (0，－1)，B (0,1)的距离之和为2，而|AB |＝2，所以点Z 的轨迹为以A ，B 为端点的线段(包括两端点)．而|z ＋1＋i |＝|z －(－1－i )|表示点Z 到点C (－1，－1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB 上的点到点C 的距离的最大值与最小值，如右图．易知|z＋1＋i|max＝|BC|＝5，|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.[点评]本题主要考查复数|z－z1|的几何意义，即|z－z1|表示复数z与z1对应的两点之间的距离．利用数形结合法是求解本题的关键．。
高中数学(苏教版 选修2-3)第3章 章末综合测评 Word版含答案
章末综合测评(三)统计案例(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．将答案填在题中的横线上)．在直线回归方程＝＋中，表示(填序号)．①当增加一个单位时，增加的数量；②当增加一个单位时，增加的数量；③当增加一个单位时，的平均增加量；④当增加一个单位时，的平均增加量．【答案】③．线性回归方程＝＋所表示的直线必经过点．【答案】(，)．经调查某地若干户家庭的年收入(万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系，并得到关于的线性回归直线方程：＝＋，由线性回归直线方程可知，家庭年收入每增加万元，年饮食支出平均增加万元．【解析】∵关于的线性回归直线方程：＝＋，①∴年收入增加万元时，年饮食支出＝(＋)＋，②②－①可得：年饮食支出平均增加万元．【答案】．对于线性回归方程＝＋，下列说法中不正确的序号是．①增加一个单位时，平均增加个单位；②样本数据中＝时，可能＝；③样本数据中＝时，一定有＝.【解析】线性回归方程＝＋中，增加一个单位时，平均增加个单位，故①正确；线性回归方程＝＋中，样本数据中＝时，可能有＝，也可能有≠，故②正确，③不正确．【答案】③．已知，的取值如下表，如果与呈线性相关，且线性回归方程为＝＋，则＝.【解析】又∵线性回归方程过样本中心点，且＝＝，＝＝，∴回归方程过点()，∴＝＋，∴＝－.【答案】－．若线性回归直线方程中的回归系数＝，则相关系数等于.【导学号：】【解析】由于在回归系数的计算公式中，与相关系数的计算公式中，它们的分子相同，所以＝.【答案】．在一组样本数据(，)，(，)，…，(，)(≥，，，…，不全相等)的散点图中，若所有样本点(，)(＝，…，)都在直线＝＋上，则这组样本数据的样本相关系数为．(填序号)①－；②；③；④【解析】当所有样本点都在一条直线上时，相关系数为.故填④.【答案】④．观察图中各图形：图其中两个变量，具有相关关系的图是．【解析】由散点图知③④具有相关关系．【答案】③④。
北师版数学选修2-3：第3章 章末综合测评3
章末综合测评(三)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④正确．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错误．【答案】 D3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C.12D．1【解析】样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，正相关最强，其相关系数为1.【答案】 D4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是()A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以上C．她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右D．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C.【答案】 C5．已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则y＝()A．58.5 B．46.5C．60 D．75【解析】∵x＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x－，y－)，∴y－＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】 A6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；。
2022高中数学 第3章综合素质检测 新人教B版选修2-1
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中1．在以下命题中，不正确的个数为①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若错误!1C1C1C|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________[答案] 0[解析] 由于2m＋n·m－3n＝0，可得：m·n＝－2，则：a·b＝4m－n·7m＋2n＝18|a|＝错误!＝6，|b|＝错误!＝3，co〈a，b〉＝错误!＝1，∴〈a，b〉＝014．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C 为60°，点D到平面ABC的距离为________．[答案] 错误![解析] 如图所示，AD⊥面BCD，AD＝错误!，BD＝CD＝BC＝错误!，∴V A－BCD＝错误!×AD×S△BCD又∵V A－BCD＝V D－ABC＝错误!×h×S△ABC，∴由等积法可解得h＝错误!15．如图所示，在三棱锥、n使λ错误!错误!＋n的值等于________．[答案] 0[解析] 由λ错误!错误!错误!－错误!＝1⇔－m－n＝λ⇒m＋n＋λ＝0三、解答题本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．本小题满分12分在正方体ABCD－A1B1C1D1中，1C1C1C1C1C＝错误!1C，n，则错误!∴＝错误!m，n＝m不妨取m＝1，则n＝错误!，1,1．co〈m，n〉＝错误!＝错误!＝错误!，∴二面角A－A1C－B的大小为arcco错误!19．本小题满分12分如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°1求证：BD⊥平面ADG；2求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．[解析] 1证明：在△BAD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得，BD＝错误!，∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD，又GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD，GD∩AD＝D，∴BD⊥平面ADG，2以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－，则有A1,0,0，B0，错误!，0，G0,0,1，E0，错误!，2，错误!＝，，，则错误!＝1，－错误!，1，平面ABCD的一个法向量n＝错误!＝错误!20．本小题满分12分2022·江苏如图，设动点P在棱长为1正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记错误!＝λ当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．[解析] 由题设可知，以错误!、错误!、错误!为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－，则有A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，D10,0,1．由错误!＝1 ,1，－1得错误!＝λ错误!＝λ，λ，－λ，所以错误!＝错误!＋错误!＝－λ，－λ，λ＋1,0，－1＝1－λ，－λ，λ－1，错误!＝错误!＋错误!＝－λ，－λ，λ＋0,1，－1＝－λ，1－λ，λ－1．显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于co∠APC＝co＝错误!1C1A1A＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!故所求二面角的余弦值为错误!22．本小题满分14分已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过点B作B1C的垂线交于CC1于E，交B1C于F1求证：A1C⊥平面EBD；2求点A到平面A1B1C的距离；3求ED与平面A1B1C所成角的正弦值．[解析] 1证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A－，设|CE|＝a，则C3,3,0，B13,0,4，A10,0,4，B3,0,0，D0,3,0．设E3,3，a，则错误!＝3,3，－4，错误!＝0,3，－4，错误!＝－3,3,0，错误!＝0,3，a．由BE⊥B1C，知错误!·错误!＝0，即0·0＋3·3＋a·－4＝0∴a＝错误!∴E3,3，错误!，错误!＝0,3，错误!，∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0，∴A1C⊥BE，A1C⊥BD又BE∩BD＝B，∴A1C⊥平面EBD2易证A1B1⊥BE，∴错误!可看作平面A1B1C的法向量n＝0,3，错误!，错误!＝－3，－3,0．∴点A到平面A1B1C的距离d＝错误!＝错误!3错误!＝－3,0，－错误!，设ED与平面A1B1C所成角为θ则inθ＝错误!＝错误!＝错误!即ED与平面A1B1C1所成角的正弦值为错误!。
高中数学 第三章综合素质检测 新人教B版选修2
第三章综合素质检测时间120分钟，总分值150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．非零向量a 、b ，及平面α，假设向量a 是平面α的法向量，那么a·b ＝0是b 所在直线平行于α或在α内的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 假设a ·b ＝0，那么a ⊥b ，∵b ≠0，a 是平面α的法向量， b 所在直线平行于α或在α内，反之结论也成立． 2．以下说法中不正确的选项是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线时，D 才正确．3．矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，那么以下等式中可能不成立的是( ) A.DA →·PB →＝0 B.PC →·BD →＝0 C.PD →·AB →＝0D.P A →·CD →＝0[答案] B[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0； ④假设BD →·PC →＝0，那么BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ， 但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，应选B.4．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A5．a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，假设a ∥b ，那么λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数k ，使b ＝k a ，即：(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ kλ＋k ＝62μ－1＝02λ＝2k，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝12λ＝2k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ＝－3k ＝－3，应选A.6. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，假设AB ＝2BB 1，那么AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°[答案] B[解析] 解法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，AB ＝2，那么 |a |＝|b |＝2，|c |＝1，a ·c ＝0，b ·c ＝0，a ·b ＝1. ∴AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝BC →＋CC 1→＝(b －a )＋c ，∵AB 1→·BC 1→＝a ·b －|a |2＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＋|c |2＝0， ∴AB 1→⊥BC 1→，即AB 1⊥C 1B .解法二：取AC 中点D ，建立如下图的坐标系．设AB ＝1，那么B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，22，A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，22， ∴cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝0.∴AB 1与C 1B 所成的角为90°.7．在以下条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C[解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA →＋yAB →＋zAC →且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对．8．如图，P 是边长为a 的正六边形ABCDEF 平面外一点，P A ⊥AB ，P A ⊥AF ，为求P 与CD 的距离作PQ ⊥CD 于Q ，那么( )A ．Q 为CD 的中点B ．Q 与D 重合C ．Q 与C 重合D ．以上都不对 [答案] C9．如图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝12MA ，N 为BC 中点，那么MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－13a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c [答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－13OA →＝12(b ＋c )－13a ＝－13a ＋12b ＋12c . 应选B.10．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的选项是．．．．．．( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60° [答案] D[解析] 正方体中，BD ∥B 1D 1，且BD ⊄面CB 1D 1，知BD ∥平面CB 1D 1，A 正确；AC 1在面ABCD 内的射影为AC ，又AC ⊥BD ，由三垂线定理知AC 1⊥BD .故B 正确；同理可得AC 1⊥B 1D 1，AC 1⊥CD 1，且B 1D 1∩CD 1＝D 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1，故C 正确；由AD ∥BC 知，∠B 1CB 为AD 与CB 1所成的角，应为45°，故D 错误．11．A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，那么AC →与AB →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°[答案] C[解析] AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)．设〈AB →，AC →〉＝θ，那么cos θ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝332·2＝12， ∴θ＝60°.12．△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，那么AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，那么AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝04y ＋1＝－3z －24(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝－215z ＝225，∴|BD →|＝5.解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，那么(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5.二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过二面角α－l －β内一点P 作P A ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，假设P A ＝5，PB ＝8，AB ＝7，那么二面角α－l －β为________．[答案] 120°[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a |2 ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49， ∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.14．假设△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，那么PM 的最小值为________．[答案] 27[解析] 由条件知PC 、AC 、BC 两两垂直，设CA →＝a ，CB →＝b ，CP →＝c ，那么a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∵∠BAC ＝60°，AB ＝8，∴|a |＝CA ＝8cos60°＝4，|b |＝CB ＝8sin60°＝4 3.|c |＝PC ＝4，设AM →＝xAB →＝x (b －a )，那么PM →＝PC →＋CA →＋AM →＝－c ＋a ＋x (b －a )＝(1－x )a ＋x b －c ，|PM →|2＝(1－x )2|a |2＋x 2|b |2＋|c |2＋2(1－x )x a ·b －2x b ·c －2(1－x )a ·c ＝16(1－x )2＋48x 2＋16＝32(2x 2－x ＋1)＝64⎝⎛⎭⎫x －142＋28， ∴当x ＝14时，|PM →|2取最小值28，∴|PM →|min ＝27.15．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，那么直线AD 与平面B 1DC 所成的角的正弦值为________．[答案] 45[解析] 不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如右图所示空间直角坐标系，其中x 轴垂直于AB ，y 轴平行于AB .那么C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫33，－12，2，那么CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2，CB 1→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0n ·CB 1→＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA →，n 〉|＝45.16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为________． [答案] 120°[解析] 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，那么A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )，∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )， 设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 那么n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0， ∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ， 令z ＝1，那么n ＝(1,0,1)，同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)， cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－12，而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题总分值12分)假设e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，那么向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75.即c ＝15a －75b .∵a 、b 不共线，∴a 、b 、c 共面．18．(本小题总分值12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →.[解析] ∵BG ＝2GD ，∴BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c . 19．(本小题总分值12分)如下图，空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心．求证：PQ ∥平面ACD .[证明] ∵P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心． ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13AD →. ∴PQ →∥AD →即PQ ∥AD ， 又PQ平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD .20．(本小题总分值12分)空间三点A (0,2,3)，B (－2，1,6)，C (1，－1,5)．假设|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a .[解析] 设a ＝(x ，y ，z )， 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1.所以a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21．(本小题总分值12分)如图，正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，在直线CC ′上是否存在一点N ，使得MN ⊥AB ′？假设存在，请指出它的位置；假设不存在，请说明理由．[解析] 假设在直线CC ′上存在一点N ，使得MN ⊥AB ′，设CN →＝xCC ′→.∵MN →＝MC →＋CN →＝12BC →＋xCC ′→，AB ′→＝AB →＋BB ′→＝AB →＋CC ′→，∴MN →·AB ′→＝⎝⎛⎭⎫12BC →＋xCC ′→·(AB →＋CC ′→)＝0， 即12BC →·AB →＋12BC →·CC ′→＋xCC ′→·AB →＋xCC ′→2＝0， 12|BC →||AB →|cos 〈BC →，AB →〉＋4x ＝0. ∴－14＋4x ＝0，∴x ＝116.即在直线CC ′上存在一点N ， 当|CN →|＝18时，MN ⊥AB ′.22．(本小题总分值14分)(2022·重庆·理，19)如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)假设AD ＝3，求二面角A —EC —D 的平面角的余弦值． [解析] 解法一： (1)如以下图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离．因P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥AB ，由P A ＝AB 知△P AB 为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面P AB ，故BC ⊥AE ，从而AE ⊥平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离．在Rt △P AB 中，P A ＝AB ＝6，所以AE ＝12BP ＝12P A 2＋AB 2＝ 3.(2)过点D 作DF ⊥CE ，交CE 于F ，过点F 作FG ⊥CE ，交AC 于G ，那么∠DFG 为所求的二面角的平面角．由(1)知BC ⊥平面P AB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面P AB ，故AD ⊥AE ，从而DE ＝AE 2＋AD 2＝ 6. 在Rt △CBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 6.由CD ＝6，所以△CDE 为等边三角形，故点F 为CE 的中点，且DF ＝CD ·sin π3＝322.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，FG 綊12AE ，从而FG ＝32，且G 点为AC 的中点．连接DG .那么在Rt △ADC 中， DG ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝32.所以cos ∠DFG ＝DF 2＋FG 2－DG 22·DF ·FG ＝63.解法二：(1)如右图，以A 为坐标原点，射线 AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)，那么B (6，0,0)，C (6，a,0)，P (0,0，6)，E (62，0，62)． 因此AE →＝(62，0，62)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(6，0，－6)．那么AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线 AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)因为|AD →|＝3，那么D (0，3，0)，C (6，3，0)．设平面AEC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0. 又AC →＝(6，3，0)，AE →＝(62，0，62)，故⎩⎪⎨⎪⎧6x 1＋3y 1＝0，62x 1＋62z 1＝0，所以y 1＝－2x 1，z 1＝－x 1.可取x 1＝－2，那么n 1＝(－2，2，2)． 设平面DEC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么n 2·DC →＝0，n 2·DE →＝0，用心 爱心 专心 11 又DC →＝(6，0,0)，DE →＝(62，－3，62)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0，62x 2－3y 2＋62z 2＝0.所以x 2＝0，z 2＝2y 2，可取y 2＝1，那么n 2＝(0,1，2)．故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63. 所以二面角A －EC －D 的平面角的余弦值为63. [点评] 利用法向量解决立体几何问题时要注意正确写出点的坐标，求出法向量，从而表示出所要求的距离及角．。
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高中化学学习材料唐玲出品章末综合测评(一) 原子结构与性质(时间45分钟，满分100分)一、选择题(本题包括12小题，每小题4分，共48分)1．下列有关物质结构的表述正确的是( )A．次氯酸的电子式：H Cl OB．二氧化硅的化学式：SiO2C．硫原子的最外层电子排布式：2s22p4D．钠离子的结构示意图：【解析】次氯酸的电子式应为，A错误；二氧化硅的化学式为SiO2，B正确；S是16号元素，其核外电子排布式为1s22s22p63s23p4，C错误；钠离子是钠原子失去了最外层的1个电子，其结构示意图为，D错误。
【答案】 B2．下列说法错误的是( ) 【导学号：90990027】A．n s电子的能量不一定高于(n－1)p电子的能量B．6C的电子排布式1s22s22p2x违反了洪特规则C．电子排布式(21Sc)1s22s22p63s23p63d3违反了能量最低原理D．电子排布式(22Ti)1s22s22p63s23p10违反了泡利原理【解析】A不正确，各能级能量的大小顺序为1s＜2s＜2p＜3s＜3p＜4s＜3d＜4p＜5s……n s电子的能量一定高于(n－1)p电子的能量；B违反了洪特规则；C原子2p能级有3个能量相同的原子轨道，最后2个电子应该以自旋方向相同的方式分布在2个不同的2p轨道上；C违反了能量最低原理，21Sc最后3个电子应先排满4s轨道，再排3d轨道，应为1s22s22p63s23p63d14s2；D违反了泡利原理，对于22Ti来说，3p能级共有3个轨道，最多可以排6个电子，不能排10个电子。
【答案】 A3．A原子的结构示意图为。
则x、y及该原子3p能级上的电子数分别为( ) A．18、6、4 B．20、8、6C．18、8、6 D．15～20、3～8、1～6【解析】第三能层上有3s、3p、3d三个能级，因为第四能级上已经含有电子，故3s、3p能级上已经排满，3d能级可以排0～10个电子，故8≤y≤18，则20≤x≤30，只有B符合。
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高中化学学习材料唐玲出品章末综合测评(二) 分子结构与性质(时间45分钟，满分100分)一、选择题(本题包括12小题，每小题4分，共48分)1．雪花象征了同学之间的友谊，简单而纯洁。
当不断地升高温度时，实现“雪花→水→水蒸气→氧气和氢气”的变化，在变化的各阶段被破坏的粒子间的主要相互作用力依次是( )A ．氢键；分子间作用力；非极性键B ．氢键；氢键；极性键C ．氢键；极性键；分子间作用力D ．分子间作用力；氢键；极性键【解析】 雪实际上是固态的水，当固态水变为液态水和液态水变为气态水时主要破坏了水分子之间的氢键，而水变为氧气和氢气时破坏的是O —H 极性键。
【答案】 B2．在下列化学反应中，所断裂的共价键中，仅仅断裂σ键的是( )A ．N 2＋3H 2=====高温、高压催化剂2NH 3B ．2C 2H 2＋5O 2=====点燃2H 2O ＋4CO 2C ．Cl 2＋H 2=====催化剂2HClD ．C 2H 4＋H 2――→催化剂△C 2H 6 【解析】 两个原子间形成共价单键时，只形成σ键；两个原子间形成双键或三键时，除了形成σ键，还会形成π键。
N 2分子中存在共价三键，故A 项中还断裂π键；H 2、Cl 2分子中都只有σ键，C 项符合；C 2H 2分子中存在三键、C 2H 4分子中存在双键，故B 、D 两项中还同时断裂π键。
【答案】 C3．已知以下反应中的四种物质由三种元素组成，其中a 的分子立体构型为正四面体形，组成a物质的两种元素的原子序数之和小于10，组成b物质的元素为第三周期元素。
下列判断正确的是( ) 【导学号：90990064】A．四种分子中的化学键均是极性键B．a、c分子中中心原子均采用sp3杂化C．四种分子中既有σ键，又有π键D．b、d分子中共价键的键能：b>d【解析】由题意可知，a是甲烷，b为氯气。
四种分子中氯气分子所含的化学键为非极性键，A错；四种分子中均只存在σ键而没有π键，C错；b为氯气，所含共价键Cl—Cl的键长比H—Cl的键长长，故键能小于氯化氢中的H—Cl的键能，D错。
苏教版数学高二 选修1-2章末综合测评 第3章
章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上)1.若复数z 满足z i ＝1-i ，则z ＝________.【解析】 法一：由z i ＝1-i 得z ＝1-i i ＝1i -1＝-1-i.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z i ＝1-i ，得(a ＋b i)i ＝1-i ，即-b ＋a i ＝1-i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ -b ＝1，a ＝-1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝-1，b ＝-1.∴z ＝-1-i.【答案】 -1-i2.在复平面内，复数z ＝i(1＋3i)对应的点位于第____________象限.【解析】 ∵z ＝i(1＋3i)＝i ＋3i 2＝-3＋i ，∴复数z 对应的点为(-3,1)在第二象限.【答案】 二3.(2015·全国卷Ⅱ改编)若a 为实数，且(2＋a i)(a -2i)＝-4i ，则a ＝________.【解析】 ∵(2＋a i)(a -2i)＝-4i ，∴4a ＋(a 2-4)i ＝-4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2-4＝-4.解得a ＝0. 【答案】 04.设z 为纯虚数，且|z -1-i|＝1，则z ＝________.【解析】 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则|z -1-i|＝|(b -1)i-1|，∴(b -1)2＋1＝1，∴b ＝1，则z ＝i.【答案】 i5.(2016·辽宁三校高二期末)复数z 满足方程|z -(-1＋i)|＝4，那么复数z 在复平面内对应的点P 的轨迹方程是________.【解析】 设z ＝x ＋y i ，由|z -(-1＋i)|＝4得|(x ＋1)＋(y -1)i|＝4，即(x ＋1)2＋(y -1)2＝4，则(x ＋1)2＋(y -1)2＝16.【答案】 (x ＋1)2＋(y -1)2＝166.在复平面内，若复数(-6＋k 2)-(k 2-4)i 所对应的点位于第三象限，则实数k 的取值范围是________.【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧-6＋k 2<0，k 2-4>0，∴4<k 2<6， ∴k ∈(-6，-2)∪(2，6).【答案】 (-6，-2)∪(2，6)7.设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11-7i 1-2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________.【解析】 a ＋b i ＝11-7i 1-2i ＝(11-7i )(1＋2i )(1-2i )(1＋2i )＝25＋15i 5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.【答案】 88.a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝______________. 【解析】 a ＋i i ＝(a ＋i )·(-i )i·(-i )＝1-a i ， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1-a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.【答案】 39.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )且a 1-i ＋b 1-2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限.【解析】 ∵a ，b ∈R 且a 1-i ＋b 1-2i ＝53＋i， 即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3-i 2，∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15-5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝-5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝-10，∴z ＝7-10i.∴z 对应的点位于第四象限.【答案】 四10.若z ＝a -i(a ∈R 且a >0)的模为2，则复数z 的共轭复数z ＝________.【解析】 ∵a 2＋(-1)2＝2，且a >0， ∴a ＝1，则z ＝1-i ，∴z ＝1＋i.【答案】 1＋i11.已知复数z ＝3＋i (1-3i )2，则|z |＝________. 【解析】 z ＝3＋i(1-3i )2＝3＋i -2-23i ＝(3＋i )(-2＋23i )(-2-23i )(-2＋23i )＝-34＋14i ，则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫-342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝12. 【答案】 12 12.若复数z 满足|z |2-2|z |-3＝0，则复数z 对应的点Z (x ，y )的轨迹方程是________.【解析】 由|z |2-2|z |-3＝0，得(|z|＋1)(|z|-3)＝0.∵|z|＋1>0，∴|z|-3＝0，则|z|＝3.故x2＋y2＝9.【答案】x2＋y2＝913.已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m-1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为______.【解析】z1z2＝(1＋2i)[m＋(m-1)i]＝[m-2(m-1)]＋[2m＋(m-1)]i＝(2-m)＋(3m-1)i，所以2-m＝3m-1，即m＝34，且能使2-m＝3m-1>0，满足题意.【答案】3 414.(2016·阜宁调研)若复数z＝i＋i2 014，则z＋10z的模等于________.【导学号：97220042】【解析】z＝i＋i2014＝i＋i2＝-1＋i，则z＝-1-i，∴z＋10z＝(-1-i)＋10-1＋i＝-1-i-5(1＋i)＝-6-6i，∴|z＋10z|＝|-6-6i|＝62，即z＋10z的模为6 2.【答案】6 2二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，w＝z2＋i，且|w|＝52，求ω.【解】设ω＝x＋y i(x，y∈R)，由ω＝z2＋i，得z＝ω(2＋i)＝(x＋y i)(2＋i).依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋y i)(2＋i)＝(-x-7y)＋(7x-y)i.∵(1＋3i)z为实数.∴7x -y ＝0.①又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝-1，y ＝-7.∴ω＝1＋7i 或ω＝-1-7i.16.(本小题满分14分)已知z ＝(1＋i )2＋3(1-i )2＋i， (1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 (1)z ＝2i ＋3-3i 2＋i ＝3-i 2＋i ＝(3-i )(2-i )5＝5-5i 5＝1-i. ∴|z |＝ 2.(2)把z ＝1-i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，(1-i)2＋a (1-i)＋b ＝1＋i ，得：a ＋b -(2＋a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝-1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-3，b ＝4，所以实数a ，b 的值分别为-3,4.17.(本小题满分14分)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数.(1)求复数z ；(2)若ω＝z 2＋i ，求复数ω的模|ω|. 【解】 (1)(1＋3i)(3＋b i)＝(3-3b )＋(9＋b )i ，∵(1＋3i)z 是纯虚数，∴3-3b ＝0且9＋b ≠0，则b ＝1，从而z ＝3＋i.(2)ω＝z 2＋i ＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )(2-i )(2＋i )(2-i )＝75-15i. ∴|ω|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫-152＝ 2. 18.(本小题满分16分)已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝-cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB →对应的复数为z . (1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值.【解】 (1)z ＝z 2-z 1＝-cos 2θ-sin 2θ＋i(cos 2θ-1)＝-1-2sin 2θ·i.(2)点P 的坐标为(-1，-2sin 2θ).由点P 的直线y ＝12x 上得-2sin 2θ＝-12，∴sin 2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝56π.19.(本小题满分16分)已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3-i.(1)求点C ，D 对应的复数；(2)求▱ABCD 的面积.【解】 (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3-i ，∴向量AC →对应的复数为(3-i)-(1＋2i)＝2-3i.又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2-3i)＝4-2i.∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3-i ，即AD →＝(3，-1).设D (x ，y )，则AD →＝(x -2，y -1)＝(3，-1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -2＝3，y -1＝-1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0，∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3-25×10＝152＝210. ∴sin B ＝7210，∴S ▱ABCD ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.20.(本小题满分16分)(2016·启东中学月考)已知z 是复数，z ＋2i 、z 2-i 均为实数(i 为虚数单位).(1)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a 的取值范围；(2)若复数z 1＝cos θ＋isin θ(0≤θ≤π)，求|z -z 1|的取值范围.【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，z 2-i ＝15×(x ＋y i)(2＋i)＝15×[(2x -y )＋(x ＋2y )i]，∵z ＋2i ，z 2-i 均为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，y ＋2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y＝-2，∴z ＝4-2i.(1)(z ＋a i)2＝[4＋(a -2)i]2＝16-(a -2)2＋8(a -2)i ＝(12＋4a -a 2)＋8(a -2)i.∵(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限内∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a -a 2>0，8(a -2)>0，解之得2<a <6. 即实数a 的取值范围是(2,6).(2)z -z 1＝(4-cos θ)-(2＋sin θ)i ，则|z -z 1|2＝(4-cos θ)2＋[-(2＋sin θ)]2＝21＋45sin(θ-φ)，∴21-45<|z -z 1|2<21＋45，∴25-1<|z -z 1|<25＋1.。
高中数学(北师大版,选修11)：选修系列综合素质检测(4套)综合素质检测3
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·北师大附中期中)已知f ′(x 0)＝a ，则lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx的值为( )A ．－2aB ．2aC ．aD ．－a[答案] B[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ，∴lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3Δx )2Δx＝12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋32lim Δx →0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx ＝a 2＋3a2＝2a ，故选B. 2．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 3．f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )A ．－43B ．－3C ．－1D ．3[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 4．函数y ＝x 2－1x 的导数是( )A ．y ′＝x 2－1xB ．y ′＝x 2＋1x 2C ．y ′＝x 2－1x 2D ．y ′＝1－x 2x[答案] B[解析] y ′＝(x 2－1x )′＝(x 2－1)′x －x ′(x 2－1)x 2＝2x 2－x 2＋1x 2＝x 2＋1x2.5．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[答案] A[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， ∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.6．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为k ，当k ＝3时，P 点坐标为( ) A ．(－8，－2) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)[答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，∴k ＝3x 20＝3，∴x 0＝±1，∴P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．7．物体运动方程为s ＝14t 4－3t 2，则t ＝4时的瞬时速度为( )A ．4B ．64C ．16D ．40[答案] D[解析] ∵s ′＝(14t 4－3t 2)′＝t 3－6t ，∴s ′(4)＝43－6×4＝40.8．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图像过原点，且满足lim Δx →f (Δx )Δx＝－1，则f ′ (0)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图像过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1，∴选B.9．(2013·烟台质检)已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图像为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′ ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．设f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝12，则lim Δx →0 f (x 0＋3Δx )Δx ＝________.[答案] 32[解析] lim Δx →f (x 0＋3Δx )Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim Δx →f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝3f ′(x 0)＝32.12．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′(π3)＝________.[答案] －23＋2 3[解析] f ′(x )＝(1sin x ＋1cos x )′＝－cos x sin 2x ＋sin xcos 2x ，∴f ′(π3)＝－12(32)2＋32(12)2＝－23＋2 3.13．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．14．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．[答案] 4 [解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )， 令x ＝0得，y ＝a2， 令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.15．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝____________. [答案] 6[解析] ∵f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)． ∴f ′(2)＝－12. ∴f ′(x )＝6x －24. ∴f ′(5)＝30－24＝6.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列函数的导数． (1)y ＝e x ＋x ln x ； (2)y ＝sin x －x x.[答案] (1)y ′＝e x ＋ln x ＋1 (2)y ′＝x ·cos x －sin xx 2[解析] (1)y ′＝(e x )′＋(x ln x )′＝e x ＋ln x ＋x ·1x ＝e x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝(sin x －x )′·x －x ′(sin x －x )x 2＝(cos x －1)x －sin x ＋x x 2＝x ·cos x －sin x x 2.17．求曲线y ＝f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x 在(3，f (3))处切线的斜率及切线方程．[答案] 斜率23 切线方程y ＝23x －132＋2ln3[解析] 由已知x >0， ∴f ′(x )＝x －3＋2x.曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.又f (3)＝92－9＋2ln3＝－92＋2ln3.∴方程为y －(－92＋2ln3)＝23(x －3)，即y ＝23x －132＋2ln3.18．求过原点作曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x －1的切线方程． [答案] x ＋y ＝0或23x －4y ＝0 [解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)∵切点在曲线C ，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1，①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)，②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1， ∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12)即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0. 19．求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是一元三次函数，且f (0)＝0，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(3)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [答案] (1)f (x )＝12x 3－94x 2 (2)f (x )＝2x 2＋2x ＋1[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0＝df ′(0)＝0＝cf ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3f ′(3)＝0＝27a ＋6b ＋c，解之，得a ＝12，b ＝－94，c ＝0，d ＝0.故f (x )＝12x 3－94x 2.(2)由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数． 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1中，x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， 由多项式恒等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0b －2c ＝0c －1＝0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.20．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )，g (x )的表达式．[答案] f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16 [解析] ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8，∴f (x )＝2x 3－8x . ∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16.综上，可知f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.21．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行，(1)求直线l 的方程；(2)求以F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． [答案] (1)y ＝－1 (2)x 2＝4y[解析] (1)令y ＝f (x )＝13x 3－4x ＋4，得f ′(x )＝x 2－4，∴f ′(2)＝22－4＝0.∴直线l 的斜率为0，直线方程为y ＝－1.(2)抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，设抛物线方程为x 2＝2px ，则p2＝1，即p ＝2，∴x 2＝4y.。
数学第三章综合检测题
第三章综合检测题一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．±2425[答案] C[解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±35，当sin(α＋β)＝35时，sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝35×45－⎝⎛⎭⎫－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－35时，sin β＝－35×45－⎝⎛⎭⎫45×35＝0.又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin β＞0，故sin β＝2425. [点评] (1)可用排除法求解，∵π2＜β＜π，∴sin β＞0.故排除A ，B ，D.(2)由cos(α＋β)＝－45及sin α＝35可得sin β＝43(1＋cos β)代入sin 2β＋cos 2β＝1中可解得cos β＝－1或－725，再结合π2<β<π可求sin β.2．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2 B.5π4＜θ＜7π4 C.3π2＜θ＜2π D.π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin 2θ＜0，即sin θ＞22或sin θ＜－22，又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.3．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位得到 B ．向右平移π8个单位得到C ．向左平移π4个单位得到D ．向右平移π4个单位得到[答案] C[解析] y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＝2sin2(x ＋π8)y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＝2sin2(x －π8)其中x ＋π8＝(x ＋π4)－π8∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象．4．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215° [答案] B[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，排除A.cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，故选B. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.62 B.54 C.32 D.23[答案] B[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54.6．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( )A ．－433B ．－4 3C ．4 3D ．8[答案] D[解析] f (x )＝2tan x ＋cos x12sin x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2·1sin x ·cos x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4sin π6＝8.7．若－π2≤x ≤π2，则函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－12 C ．2，－1 D ．2，－2[答案] C[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴f (x )最小值为－1，最大值为2.8．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－3D ．－4 [答案] D[解析] f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4. 9．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 [答案] C[解析] ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ＝1－cos C ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12， 又∵0<C <π，∴C ＋π6＝5π6，故C ＝2π3.10．锐角三角形的内角A 、B 满足1tan tan sin 2A B A-=，则有（ ）A 、sin 2cos 0AB -= B 、sin 2cos 0A B +=C 、sin 2sin 0A B -=D 、sin 2sin 0A B +=二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把准确答案填在题中横线上) 11．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是[解析] 由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，得⎩⎨⎧sin 2x －2sin x sin y ＋sin 2y ＝49cos 2x －2cos x cos y ＋cos 2y ＝49，相加得cos(x －y )＝59，∵x 、y 均为锐角且sin x －sin y <0，∴－π2<x －y <0，∴sin(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝－2145，故选B.12．已知tan()a αβ+=，则tan α＋tan β＋a tan αtan β＝________. [答案] 3[解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋3tan20°·tan40° ＝3－3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3. 13.1sin10°－3sin80°的值为________． [答案] 4[解析] 原式＝cos10°－3sin10°sin10°·cos10°＝2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°)12sin20°＝4cos70°sin20°＝4.14．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案] －5665[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45.∵β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－5665.15．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin(2)3x π-，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中准确命题的序号是________．(注：把你认为准确的命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①准确．T ＝2π2＝π，即②准确．由2k π≤2x －π12≤2k π＋π得，k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③准确．将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不准确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. (本题满分12分) 已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+。
高中数学选修三综合测试题题型总结及解题方法(带答案)
高中数学选修三综合测试题题型总结及解题方法单选题1、有甲､乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（ ） A ．27B ．514C ．730D ．57 答案：B分析：先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概率的方法求得答案.记B 1表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，B 2表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A 表示最后抽到有奖票.所以P (B 1)=36=12,P (A|B 1)=37，P (B 2)=36=12,P (A|B 2)=27，于是P (A )=37×12+27×12=514. 故选：B.2、某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ） A ．0.2B ．0.25 C ．0.4D ．0.8 答案：B分析：根据正态分布的对称性得到对称轴为ξ=4，得到摄像头在4年内能正常工作的概率为12，再计算概率得到答案.P (ξ≥2)=0.8，P (ξ≥6)=0.2，所以P (ξ<2)=P (ξ>6)=0.2. 所以正态分布曲线的对称轴为ξ=4，即P (ξ≤4)=12，即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为12.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×12=14.故选：B.3、某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X∼N(μ1,σ12)，Y∼N(μ2,σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值答案：A分析：根据正态分布密度曲线的对称轴为x=μ，图像越瘦高数据越稳定可得.由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.故选：A4、在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A．11位B．12位C．13位D．14位答案：B，由每场得分为2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求n 分析：设参赛选手共有n位，则总场次为n(n−1)2值，并判断n值的合理性即可.设参赛选手共有n位，则总比赛场次为C n2，即n(n−1)场，且n∈N+，n≥2，2由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为n(n−1)分且为偶数，∴当n(n−1)=132，得n=12；当n(n−1)=134，n无整数解；∴n=12(位).故选：B.小提示：关键点点睛：根据每场得分为2易知总得分为偶数，设参赛人数为n，利用组合数求比赛总场次，列方程求参赛人数.5、(1+x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为（）A．5B．10C．15D．20答案：C分析：先求出项式(1+x)5的展开式的通项为C5r x r，进而可以求出(1+x2)(1+x)5的展开式中含x4的项，由此即可求出结果.因为二项式(1+x)5的展开式的通项为C5r x r，所以(1+x2)(1+x)5的展开式中含x4的项为1×C54x4+x2×C52x2=15x4，所以x4的系数为15.故选：C．6、第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A．0.75B．0.7C．0.56D．0.38答案：A分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得：P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.7，P(A2|B1)=0.8，则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75.故选：A.7、某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．下面关于相关系数的比较，正确的是（ ）A ．r 4<r 2<r 1<r 3B ．r 2<r 4<r 1<r 3C ．r 2<r 4<r 3<r 1D ．r 4<r 2<r 3<r 1 答案：C分析：根据散点图的分布可得相关性的强弱，即可比较大小.由图可知：r 3，r 1所对应的图中的散点呈现正相关 ，而且r 1对应的相关性比r 3对应的相关性要强，故0<r 3<r 1，r 2，r 4所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知r 2<r 4<0,因此r 2<r 4<r 3<r 1， 故选：C8、在(x2−y)(x +y )6的展开式中，x 3y 4的系数是（ ） A ．20B ．152C ．−5D ．−252 答案：D解析：根据(x2−y)(x +y )6=x2(x +y )6−y (x +y )6，转化为求(x +y )6的展开式x 2y 4和x 3y 3的系数，求出通项即可得到答案.(x2−y)(x +y )6=x2(x +y )6−y (x +y )6，(x +y )6的展开式的通项是T r+1=C 6r x 6−r y r ，令6−r =2，则r =4，则(x +y )6的展开式中x 2y 4的系数为C 64=15， 令6−r =3，则r =3，则(x +y )6的展开式中x 3y 3的系数为C 63=20，故(x 2−y)(x +y )6展开式中x 3y 4的系数是12×15−20=−252. 故选：D.小提示：本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题. 多选题9、对于m,n ∈N ∗关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）A ．C n m =C n n−mB ．C n+1m =C n m−1+C n m C ．A n m =C n m A m m D ．A n+1m+1=(m +1)A n m答案：ABC分析：利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.对于A ，由组合数的性质知，C n m =C nn−m 成立，A 正确； 对于B ，C n m−1+C n m =n!(m−1)!(n−m+1)!+n!m!(n−m)!=m⋅n!m!(n−m+1)!+(n−m+1)⋅n!m!(n−m+1)! =(n+1)!m!(n−m+1)!=C n+1m ，B 正确；对于C ，因C n m =A n m A mm ，因此A n m =C n m A m m成立，C 正确；对于D ，因A n+1m+1A nm =(n+1)!(n−m)!⋅(n−m)!n!=n +1≠(m +1)，即A n+1m+1=(m +1)A n m不成立，D 不正确.故选：ABC10、“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm ）服从正态分布，其密度函数为φ(x)=10√2π−(x−100)2200,x ∈(−∞,+∞)，则下列说法正确的是（ ）A ．该地水稻的平均株高为100cmB ．该地水稻株高的方差为10C ．该地水稻株高在120cm 以上的数量和株高在80cm 以下的数量一样多D ．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)（单位：cm ）的概率一样大 答案：AC解析：根据密度函数为φ(x)=10√2π⋅e−(x−100)230，易知μ=100,σ=10可判断AB ，根据正态曲线的对称性可判断CD.因为密度函数为φ(x)=10√2πe−(x−100)230，所以μ=100,σ=10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选：AC．11、为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（）A．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多B．被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关不会受到被调查的男女生人数影响D．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关会受到被调查的男女生人数影响答案：BD分析：根据统计图，结合图中所提供的数据逐一判断即可.因为不知道被调查的学生中，男生与女生的人数，所以不能确定喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多，因此选项A不正确；由统计图中可以确定被调查的男生中喜欢登山的人数的百分比为80%，所以被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多，因此选项B正确；因为不知道被调查的学生中，男生与女生的人数，所以不能由卡方公式进行计算判断，所以选项C不正确，选项D正确，故选：BD 填空题12、若二项式(1+2x )n (n ∈N*)的展开式中所有项的系数和为243，则该二项式展开式中含有x 3项的系数为__________． 答案：80解析：令x =1，可得3n =243解得n =5，再写出二项式展开式的通项，令x 的指数位置等于3即可求解. 令x =1，可得3n =243，解得：n =5，所以(1+2x )5的展开式通项为：T k+1=C 5k 2k x k， 令k =3可得T 4=C 5323x 3=80x 3，所以该二项式展开式中含有x 3项的系数为80. 所以答案是：80.13、某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值） 答案：37200分析：根据给定条件分两类，再用分步乘法计数原理，排列，组合分类计算作答. 计算不同的安排数有两类办法：(1)甲、乙、丙中只选两人，有C 32种选法，再从余下6人中任选4人有C 64选法，将选取的6人安排到周一到周六有A 66种，因此，共有不同安排种数为:C 32C 64A 66，(2)当甲、乙、丙三人都参加时，从余下6人中任选3人有C 63选法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有C 63A 22种，另3天安排所选3人有A 33种，共有不同安排数为：C 63(C 63A 22)A 33，由分类加法计数原理得：共有不同的安排数为C 32C 64A 66+C 63(C 63A 22)A 33=3×15×720+20×20×2×6=37200． 故答案为:37200.14、随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________． 答案：572分析：根据题意求出5家快递公司进行排名与测试之前的排名，比较出现2家公司排名不变的概率，根据题意可知满足二项分布，根据二项分布概率公式计算即可.首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为C 52×2A 55=20120=16， 其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为P =16，故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为C 32×(16)2×56=572.所以答案是：572． 解答题15、某药厂主要从事治疗某种呼吸道慢性疾病B 的药物的研发和生产.在研发过程中，为了考察药物A 对治疗慢性呼吸道疾病B 的效果，对200个志愿者进行了药物试验，根据统计结果，得到如下2×2列联表.(2)该药厂研制了一种新药，宣称对治疗疾病B 的有效率为90%，随机选择了5个病人，经过该药治疗后，治愈的人数不超过3人，你是否怀疑该药厂的宣传？并说明理由. 附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n =a +b +c +d .答案：(1)列联表答案见解析，没有90%的把握，理由见解析；(2)可以不怀疑，理由见解析.分析：（1）完善2×2列联表，计算K2的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）根据随机事件的定义可得出结论.(1)解：2×2列联表如下：K2=≈2.667<2.706，50×150×100×100所有没有90%的把握认为药物A对治疗慢性呼吸道疾病B有效.(2)解：因为治愈人数不超过3人为一个随机事件，在某一次试验中可能发生.所以，可以不怀疑.。
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第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知二次函数y ＝ax 2＋(a 2＋1)x 在x ＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是( ) A.2516 B.258 C.254 D.2522．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线( )A ．不存在B ．存在，有且仅有一条C ．存在，有且恰有两条D ．存在，但条数不确定 3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝04．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞) 5．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 的单调区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 6．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4＋27．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( ) A ．20B ．9C ．－2D ．28．已知f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( ) A ．4x ＋3B ．4x －1C ．4x －5D ．4x －39．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确10．函数f (x )＝x 2＋(2－a )x ＋a －1是偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝－xD ．y ＝－x ＋2 11．设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )12．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴，直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．14．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．15．曲线y ＝－133－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－53处的切线的倾斜角为________．16．函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)、Q (－1，12)．求：(1)曲线在点P 处，点Q 处的切线斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程．18．(本题满分12分)已知f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a 、b 的值．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋12(a －1)x 2＋bx (a ，b 为常数)在x ＝1和x ＝4处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,2]时，y ＝f (x )的图象在直线5x ＋2y －c ＝0的下方，求c 的取值范围．20．(本题满分12分)(2010·陕西文，21)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．21．(本题满分12分)已知x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m <0.(1)求m 与n 的关系表达式． (2)求f (x )的单调区间．22．(本题满分14分)若t 为大于－2的常数，求函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，t ]上的最值．1[答案] B[解析] y ′＝2ax ＋a 2＋1，∵y ′|x ＝1＝2a ＋a 2＋1＝1， ∴a 2＋2a ＝0，a ＝0或a ＝－2，又∵a ≠0，a ＝－2，y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －542＋258，∴函数的最大值为258，故选B. 2[答案] C[解析] y ′＝(x 3)′＝3x 2，令3x 2＝1，得x ＝±33，切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，故选C.3[答案] A[解析] 考查斜率与导数及直线方程基本知识．因为y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1.而x ＝1时y ＝1，故l 方程为4x －y －3＝0. 4[答案] B[解析] 由导数几何意义知，在(－∞，2]上f ′(x )<0，故单调递减． 5[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1) ＝3(x ＋1)2≥0对x ∈R 恒成立，所以f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 在R 上为增函数，故选A. 6[答案] B[解析] 把答案代入验证，排除A 、C 、D ，故选B. 7[答案] C[解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9， 又点(2，－1)在抛物线上， ∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C. 8[答案] A[解析] ∵f (x －1)＝2x 2－x ，令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝2(t ＋1)2－(t ＋1)＝2t 2＋3t ＋1， ∴f (x )＝2x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝4x ＋3，故选A. 9[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7， 由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立， ∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D. 10[答案] A[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f (x )为偶函数得a ＝2，即f (x )＝x 2＋1，从而f ′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y ＝2x .11[答案] D[解析] 由y ＝f (x )图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.12[答案] A[解析] y ＝x sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2处切线为y ＝－x ，所围成的三角形面积为π22.13[答案] ⎝⎛⎭⎫22，＋∞[解析] f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )>0得x >a 或x <－a ， 令f ′(x )<0得－a <x <a ，∴当x ＝－a 时，f (x )取极大值f (－a )＝2a 3＋a ， ∵a >0，∴2a 3＋a >0，当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝a －2a 3，由题意得a －2a 3<0， 又a >0，∴1－2a 2<0，∴a >22. 14[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15[答案] 135°[解析] y ′|x ＝－1＝－1，所以k ＝－1，即倾斜角为135°. 16[答案] [－2,1)[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1.易知(－∞，－1)上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减．故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值条件为⎩⎪⎨⎪⎧a <1，10－a 2>1，f (1)≥f (a ).所以－2≤a <1.17[解析] ∵－1＝1t －2，∴t ＝1 ∴y ＝11－x， ∴y ′＝1(1－x )2. (1)当P 为切点时，k 1＝y ′|x ＝2＝1， 当Q 为切点时，k 2＝y ′|x ＝－1＝14.(2)当P 为切点时，方程为x －y －3＝0； 当Q 为切点时，x －4y ＋3＝0.18[解析] 显然a ≠0(否则f (x )＝b 与题设矛盾)，由f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]得，x ＝0.(1)当a >0时，列表：由上表知，f (x )在[f (x )在[0,2]上是减函数．且当x ＝0时，f (x )有最大值，从而b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3， ∵a >0，∴f (－1)>f (2)，从而f (2)＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2.(2)当a <0时，用类似的方法可判断当x ＝0时，f (x )有最小值，当x ＝2时，f (x )有最大值， 从而f (0)＝b ＝－29，f (2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2. 综上，a ＝2、b ＝3或a ＝－2、b ＝－29. 19[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋b .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝1＋(a －1)＋b ＝0，f ′(4)＝16＋4(a －1)＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4.所以f (x )＝13x 3－52x 2＋4x .(2)由题设知f (x )<－12(5x －c )，即c >23x 3－5x 2＋13x .设Q (x )＝23x 3－5x 2＋13x ，x ∈[－2,2]，所以c 只要大于Q (x )的最大值即可．Q ′(x )＝2x 2－10x＋13，当x ∈(－2,2)时Q ′(x )>0.所以Q (x )max ＝Q (2)＝343，所以c >343. 20[解析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力．f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝ax，解得a ＝e2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)．21[解析] (1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ，∵x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴3m －6(m ＋1)＋n ＝0，∴n ＝3m ＋6.(2)函数f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3(x －1)[mx －(m ＋2)]＝3m (x －1)⎝⎛⎭⎫x －m ＋2m ＝3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m .∵m <0，∴1＋2m<1，令f ′(x )>0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0，∴1＋2m<x <1， 故函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤1＋2m ，1，令f ′(x )<0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0，∴x >1或x <1＋2m， 故函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m 和(1，＋∞)．22[解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，知f (x )在区间[－2，－1]，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减．①当t ∈(－2，－1)时，f (x )在区间[－2，t ]上单调递增． 所以f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .②当t ∈[－1,1]时，f (x )在(－2，－1)上单调递增，在(－1，t )上单调递减．由f (t )≥f (1)＝－2＝f (－2)知f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (－1)＝2.③当t ∈(1，＋∞)时，f (x )在区间(－2，－1)上递增，在区间(－1,1)上递减，在(1，t )上递增，所以f (x )的最小值为f (－2)，f (1)中较小者．因为f (－2)＝f (1)＝－2，所以f (x )min ＝－2.令f (t )＝2，即t 3－3t －2＝0○ ，据f (－1)＝2知t ＝－1是○ 式的一个根．所以t 3－3t －2＝(t ＋1)(t 2－t －2)＝(t ＋1)2(t －2)，所以t ＝2也为○ 式的根，即f (2)＝2.由f (x )的单调性知，当t ∈(1,2]时，f (x )max ＝f (－1)＝2，当t ∈(2，＋∞)时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .综上，f (x )min ＝－2.f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，t ∈[－1，2]，t 3－3t ，t ∈(－2，－1)∪(2，＋∞).[点评] 利用导数求最值，关键是极值点与端点值比较，最大的为f (x )最大值，最小的为f (x )最小值．本题按照导数为0的点与区间的位置关系进行讨论．进而对最值情况展开讨论．。