高二数学选修第3章综合素质检测
优化设计人教高中数学选修第三章章末综合检测
(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：选A.10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝3i －i 2＝1＋3i.2．z 是纯虚数的一个充要条件是( ) A ．z ＋z ≠0 B ．z －z ≠0 C ．z ·z ≠0D.z ＝－z (z ≠0)解析：选D.(1)设z ＝b i(b ≠0)，则z ＝－b i ，所以z ＋z ＝0，所以z ＝－z .(2)设z ＝a ＋b i(z ≠0)，则z ＝a －b i ，因为z ＝－z ，所以a －b i ＝－(a ＋b i)，即a ＝0，又z ≠0，所以b ≠0，所以z 是纯虚数，由(1)，(2)知z 是纯虚数的一个充要条件是z ＝－z (z ≠0)． 3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以O A →，O B →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．4．复数1＋3i 3－i等于( )A ．iB ．－i C.3＋iD.3－i解析：选A.1＋3i 3－i ＝(1＋3i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝3＋i ＋3i －34＝i.5．已知下列命题：①复数a ＋b i 不是实数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数． 其中正确的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .6．下列命题正确的是( ) A ．若z ∈C ，则z 2＞0B ．若z 1，z 2∈C 且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2 C ．若a ＞b ，则2a ＋i ＞2b ＋iD ．虚数的共轭复数一定是虚数解析：选D.对A ，当z ＝0或z 为虚数时不成立，两复数不能比较大小，B 、C 不成立，故选D.7．若复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A. 2B.23C ．－23D ．2解析：选C.因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.8．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2C ．πD ．2π解析：选B.因为z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，再由选择项验证得θ＝π2.9．已知复数a i1＋i(a ∈R )对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则a的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(－7，7)D ．(－2,0)∪(0,2) 解析：选A.因为a i 1＋i ＝a i (1－i )2＝a 2＋a i 2，所以复数a i1＋i(a ∈R )对应的点为Z ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2.又复数a i1＋i (a ∈R )对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＜2，即－2＜a ＜2.10．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C. 3D.12解析：选C.由(x －2)2＋y 2＝3，得(x －2)2＋y 2＝3.∴yx可理解为圆上的点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，可知相切时最大，如图∠COP ＝π3，∴yx＝k ＝ 3.二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在题中横线上)11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________. 解析：依题意，y ＝4i(x ＋i)－2x i ＝4i 2＋2x i ＝－4＋(1－i )2i1＋i＝－4＋2＋2i1＋i＝－4＋2＝－2.答案：－212．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)间的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.答案：3 13．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________．解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， |x ＋1＋y i|＝(x ＋1)2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝(y －1)2＋x 2， 则(x ＋1)2＋y 2＝(y －1)2＋x 2.∴复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1,0)和(0,1)距离相等的直线． 答案：直线14．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)15．在复数集C 内，方程2x 2－(5－i)x ＋6＝0的解为________．解析：设x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入原方程整理得(2a 2－2b 2－5a ＋6－b )＋(4ab ＋a －5b )i＝0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－2b 2－5a ＋6－b ＝0，4ab ＋a －5b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－32，所以x ＝1＋i 或x ＝32－32i. 答案：x ＝1＋i 或x ＝32－32i三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知x 、y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，求x 、y 的值．解：x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i 可写成x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10.5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i ， (5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5. 17．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，求f (1)＋f (2i)＋f ⎝⎛⎭⎫12i ＋f (3i)＋f ⎝⎛⎭⎫13i ＋f (4i)＋f ⎝⎛⎭⎫14i 的值． 解：f (1)＝121＋12＝12，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x2＝1.f (1)＋f (2i)＋f ⎝⎛⎭⎫12i ＋f (3i)＋f ⎝⎛⎭⎫13i ＋f (4i)＋f ⎝⎛⎭⎫14i ＝12＋1＋1＋1＝72. 18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.19．已知z ＝1＋i ，(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；(2)如果z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i －1＋3－3i －4＝－1－i. (2)由(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，得(2＋a )i ＋a ＋b ＝1＋i ，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．解：依题意得z 1＋z 2为实数，∵z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.∴a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫38，－1，OZ 2→＝(－1,1)． ∴OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.。
高中数学人教a版高二选修2-3章末综合测评2有答案
章末综合测评(二)随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是()A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】 C2．(2016·吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于C18C15＋C14C16 C112C111的是()A．P(X＝0)B．P(X≤2) C．P(X＝1) D．P(X＝2)【解析】由已知易知P(X＝1)＝C18C15＋C14C16C112C111.【答案】 C3．(2016·长沙高二检测)若X的分布列为则E(X)＝()A.45 B.12C.25 D.15【解析】由15＋a＝1，得a＝45，所以E(X)＝0×15＋1×45＝45.【答案】 A4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04【解析】 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】 C5．如果随机变量X ～N (4,1)，则P (X ≤2)等于( ) (注：P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A ．0.210 B ．0.022 8 C ．0.045 6 D ．0.021 5【解析】 P (X ≤2)＝(1－P (2<X ≤6))×12＝[1－P (4－2<X ≤4＋2)]×12＝(1－0.954 4)×12＝0.022 8.【答案】 B6．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )【导学号：97270056】A.49B.29C.427D.227【解析】 连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49.【答案】 A7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是( ) A.165 B.6425 C.1625D.645【解析】 由题意知成活棵数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，所以成活棵数X 的方差为4×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝1625.故选C.【答案】 C8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()A.35 B.25C.110 D.59【解析】记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝C16C19 C110C19＝3 5，P(AB)＝C16C15C110C19＝13.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝59.【答案】 D9．(2016·长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102πe－(x－80)2200，则下列命题中不正确的是()A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选 B.【答案】 B10．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝() A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2【解析】因为P(ξ＝k)＝110，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<72，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝310＝0.3.【答案】 A11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )A.B ．乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C ．两人的产品质量一样好 D ．无法判断谁的产品质量好一些【解析】 ∵E (X 甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E (X 乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9. ∵E (X 甲)>E (X 乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些． 【答案】 B12．(2016·深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )A.827B.113C.1681D.6581【解析】 记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，E (η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η， E (ξ)＝1＋E (η)＝113.故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.【解析】 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335.【答案】 133514．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．【解析】 由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49.【答案】 4915．(2016·福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.【解析】如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，所以n (AB )＝1， P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.【答案】 1416．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________. 【导学号：97270057】【解析】 ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}． 则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错； ④每次取到红球的概率P ＝23， 所以至少有一次取到红球的概率为 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627， 故④正确． 【答案】 ①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝42＋4＝23. P (B )＝1－P (B )＝13. (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.18．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？ 【解】 因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．19．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.【解】 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.21．(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E (ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解】 (1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为E (ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为E (η)＝2α－2β＝4α－2. 依题意得4α－2≥14， 故916≤α≤1.22．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【解】 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54. 这表明，获得的分数X 的均值为负， 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。
高二数学人教B选修第章综合素质检测
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 [答案] C[解析] ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b 为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．2．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° [答案] B[解析] 建立空间直角坐标系，可求AB 1→·BC 1→＝0，故成90°.3．已知△ABC ，AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，用向量a ，b ，c 的数量积的形式表示△ABC 为锐角三角形的充要条件是( )A ．b·c >0，a·c >0B ．a·b >0，b·c >0，a·c >0C ．a·b >0D ．a·b >0，b·c >0，a·c <0[答案] D[解析] 由数量积的意义知D 成立．4．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，若存在点D, 使得DB ∥AC ，DC ∥AB ，则点D 的坐标为( )A ．(－1,1,1)B ．(－1,1,1)或(1，－1，－1)C ．(－12，12，12)D ．(－12，12，12)或(1，－1,1)[答案] A[解析] 代入坐标运算得D (－1,1,1)，故选A.5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° [答案] C[解析] ∵A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)， ∴AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)． ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴选C.6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CN 所成的角的余弦值是( )A.32B.102C.35D.25 [答案] D[解析] 以D 为坐标原点DA →、DC →、DD 1→为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则AM→＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos θ＝|AM →·CN →||AM →||CN →|＝25(用基向量表示亦可)．7．下面命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] D[解析] ①②③④均正确，故选D.8．直线l 1的方向向量v 1＝(1,0，－1)；直线l 2的方向向量v 2＝(－2,0,2)，则直线l 1 与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或重合 [答案] D[解析] ∵v 2＝－2v 1，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．9．如图，在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )A.92B. 3C.655D ．2[答案] D[解析] 以AB →、AD →、AA 1→为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立直角坐标系，则M (32，0,3)，N (0，32，3)，A (0,0,0)，∵n ＝(2,2，－1)，AB →＝(3,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝2，故选D.10．如右图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( )A.12 B.21015 C.23 D.1115[答案] B[解析] 以DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，则DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝(1，－12，0)，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015. 11．在棱长为a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，则异面直线A ′F 与C ′E 所成角的大小为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不确定[答案] B[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设AE ＝BF ＝x ，则A ′(a,0，a )、F (a －x ，a,0)、C ′(0，a ，a )、E (a ，x,0)，A ′F →－(－x ，a ，－a )，C ′E →＝(a ，x －a ，－a )，∴A ′F →·C ′E →＝－xa ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A ′F ⊥C ′E .12．如图，四面体P －ABC 中，PC ⊥面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －P A －C 的余弦值为( )A.22B.33C.77D.57[答案] C[解析] 如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，P A ＝PB ＝2，AB ＝1，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋2BD →·DE →＋2DE →＋EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →＝－14.∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77.∴cos 〈DB →，EC →〉＝77.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设|m |＝1，|n |＝2,2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则〈a ，b 〉＝________. [答案] 0[解析] 由于(2m ＋n )·(m －3n )＝0， 可得：m ·n ＝－2，则： a·b ＝(4m －n )·(7m ＋2n )＝18. |a |＝(4m －n )2＝6， |b |＝(7m ＋2n )2＝3，cos 〈a ，b 〉＝186×3＝1，∴〈a ，b 〉＝0.14．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为________．[答案]1510[解析] 如图所示，AD ⊥面BCD ，AD ＝32，BD ＝CD ＝BC ＝12，∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510.15．如图所示，在三棱锥P —ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，则P A 与底面ABC 所成的角为________．[答案] 60°[解析] 由于P A ＝PB ＝PC ，故P 在底面ABC 上的射影为△ABC 外心，由于△ABC 为直角三角形，不妨设OB ＝OC ，所以OP ⊥面ABC ，∠P AO 为所求角，不妨设BC ＝1，则OA ＝12，cos ∠P AO ＝12，所以∠P AO ＝60°.16．已知A 、B 、C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为零的实数λ、m 、n 使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值等于________．[答案] 0[解析] 由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，得OA →＝－m λOB →－n λOC →.根据空间直线的向量参数方程有－m λ－nλ＝1⇔－m －n ＝λ⇒m ＋n ＋λ＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O →是平面P AC 的法向量．[解析] 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2.则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，由于OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，及OB 1→·AP →＝－2＋2＝0，∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →.∴AC ∩AP ＝A ，∴OB 1→⊥平面P AC ， 即OB 1→是平面P AC 的法向量．18．(本小题满分12分)(2009·陕西)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的大小．[解析] (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC . 如图，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB →＝(1,0,0)， A 1C →＝(0，3，－3)，∵AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .(2)解：如图，可取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量， 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )， 则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，又BC →＝(－1，3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0，∴l ＝3m ，n ＝m . 不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋1212＋02＋02＝155， ∴二面角A －A 1C －B 的大小为arccos155. 19．(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，经平面AEFG 所截后得到的图形，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面ADG ；(2)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．[解析] (1)证明：在△BAD 中，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°，由余弦定理得，BD ＝3， ∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD ，又GD ⊥平面ABCD ，∴GD ⊥BD ， GD ∩AD ＝D ，∴BD ⊥平面ADG ，(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则有A (1,0,0)，B (0，3，0)，G (0,0,1)，E (0，3，2)， AG →＝(－1,0,1)，AE →＝(－1，3，2)， 设平面AEFG 法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AG →＝－x ＋z ＝0m ·AE →＝－x ＋3y ＋2z ＝0，取m ＝(1，－33，1)，平面ABCD 的一个法向量n ＝DG →＝(0,0,1)， 设平面AEFG 与面ABCD 所成锐二面角为θ， 则cos θ＝|m·n ||m ||n |＝217.20．(本小题满分12分)(2008·江苏)如图，设动点P 在棱长为1正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．[解析] 由题设可知，以DA →、DC →、DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)．由D 1B →＝(1 ,1，－1)得D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＝cos<P A →，PC →>＝P A →·PC →|P A →|·|PC →|<0，这等价于P A →·PC →<0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得13<λ<1.因此，λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.21．(本小题满分12分)(2009·山东)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．(1)证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)求二面角B －FC 1－C 的余弦值．[解析] (1)因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ， 因此四边形AFCD 为平行四边形， 所以AD ∥FC .又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1⊂平面ADD 1A 1， 所以EE 1∥平面FCC 1.(2)过D 作DR ⊥CD 交于AB 于R ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 则F (3，1,0)，B (3，3,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2) 所以FB →＝(0,2,0)，BC 1→＝(－3，－1,2)，DB →＝(3，3,0)． 由FB ＝CB ＝CD ＝DF ，所以DB ⊥FC . 又CC 1⊥平面ABCD ，所以DB →为平面FCC 1的一个法向量． 设平面BFC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥FB →n ⊥BC 1→得⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )，(0，2，0)＝0(x ，y ，z )，(－3，－1，2)＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，－3x －y ＋2z ＝0.取x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0z ＝32，因此n ＝⎝⎛⎭⎫1，0，32， 所以cos<DB →，n >＝DB →·n |DB →||n |＝33＋9×1＋34＝17＝77. 故所求二面角的余弦值为77. 22．(本小题满分14分)已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝3，棱BB 1＝4，连接B 1C ，过点B 作B 1C 的垂线交于CC 1于E ，交B 1C 于F .(1)求证：A 1C ⊥平面EBD ；(2)求点A 到平面A 1B 1C 的距离；(3)求ED 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．[解析] (1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设|CE |＝a ，则C (3,3,0)，B 1(3,0,4)，A 1(0,0,4)，B (3,0,0)，D (0,3,0)．设E (3,3，a )，则A 1C →＝(3,3，－4)，B 1C →＝(0,3，－4)，BD →＝(－3,3,0)，BE →＝(0,3，a )．由BE ⊥B 1C ，知BE →·B 1C →＝0，即0·0＋3·3＋a ·(－4)＝0.∴a ＝94. ∴E (3,3，94)，BE →＝(0,3，94)， ∴A 1C →·BE →＝0，A 1C →·BD →＝0，∴A 1C ⊥BE ，A 1C ⊥BD .又BE ∩BD ＝B ，∴A 1C ⊥平面EBD .(2)易证A 1B 1⊥BE ，∴BE →可看作平面A 1B 1C 的法向量n ＝(0,3，94)， CA →＝(－3，－3,0)．∴点A 到平面A 1B 1C 的距离d ＝|CA →·n ||n |＝125.(3)ED →＝(－3,0，－94)， 设ED 与平面A 1B 1C 所成角为θ.则sin θ＝|DE →·n ||DE →||n |＝|3·0＋0·3＋94＋94|32＋02＋(94)2·02＋32＋(94)2＝925 即ED 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为925.。
人教A版数学高二选修2-3检测综合质量评估
综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线的对数共有( )A.12B.24C.36D.48 【解析】选B.每条侧棱对应4对,由分步乘法计数原理得:4×6=24对.2.若=42,则的值为( )A.6B.7C.35D.20【解析】选C.因为=42=×2×1,解得n=7,所以===35.3.已知随机变量ξ+η=8,若ξ～B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【解析】选B.因为ξ～B(10,0.6),所以E(ξ)=10×0.6=6,D(ξ)=10×0.6×0.4=2.4,因为ξ+η=8,所以E(η)=E(8-ξ)=2,D(ξ)=D(8-ξ)=2.4.4.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为( )A.3B.5C.6D.10【解析】选B.因为T k+1=(3x2)n-k=(-2)k3n-k x2n-5k,当2n-5k=0时,2n=5k,又因为n∈N,k∈N,所以n是5的倍数,故选B.5.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于( )A. B. C. D.【解析】选C.投掷两枚骰子共有6×6种情况,甲骰子点数大于4的情况有2×6=12种,甲骰子的点数大于4,且甲、乙两骰子的点数之和等于7的情况有2种,所以P(B|A)===.6.(2017·济南高二检测)6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( )A. B. C.6 D.【解析】选A.甲得2本有,乙从余下的4本中取2本有,丙得余下的2本,共计.7.(2017·武汉高二检测)甲、乙两工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如表所列:工人甲乙废品数0 1 2 3 0 1 2 3概率0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0则有结论( )A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些C.两人的产品质量一样好D.无法判断谁的质量好一些【解析】选B.甲生产废品期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙生产废品期望是1×0.5+2×0.2=0.9,所以甲生产废品期望大于乙生产废品期望,故应选B.8.为考察数学成绩与物理成绩的关系,在高二随机抽取了300名学生,得到下面的列联表:数学85～100分数学85分以下总计物理85～100分37 85 122 物理85分以下35 143 178 总计72 228 300现判断数学成绩与物理成绩有关系,则犯错误的概率不超过( ) A.0.005 B.0.01 C.0.02 D.0.05【解析】选 D.因为K2的观测值k=≈4.514>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩与物理成绩有关系.9.(2017·临沂高二检测)设随机变量X的分布列如下X 1 2 3P 0.5 x y若E(X)=,则D(X)等于( )A. B.C. D.【解析】选D.由得所以D(X)=×+×+×=,故选D. 10.如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( )A.180种B.120种C.96种D.60种【解析】选A.按区域分四步:第1步,A区域有5种颜色可选;第2步,B区域有4种颜色可选;第3步,C区域有3种颜色可选;第4步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案. 11.(2017·泰安高二检测)二项式(2-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数绝对值之和是a,所有项的二项式系数之和是b,则+的最小值是( )A.2B.C.D.【解析】选B.由题意知,(2-x)n的展开式中所有项的系数绝对值之和即(2+x)n的所有项的系数和,令x=1,可得a=3n.又因为b=2n,所以=,=,所以+=+.观察可知,当n=1时,+取得最小值.12.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是,反复这样投掷,数列{a n}定义如下:a n=若S n=a1+a2+…+a n(n∈N*),则事件“S8=2”的概率,事件“S2≠0,S8=2”的概率分别是( )A.,B.,C.,D.,【解析】选B.根据定义事件“S8=2”是指8次投掷中5次正面3次反面,其概率为P==;事件{S2≠0,S8=2}是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率为P==.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2017·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.【解析】(3x)2=54x2,即=6,解得n=4.答案:414.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为________.【解析】两个数之积的数学期望为E(X)=×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.答案:8.515.一个电路如图所示,a,b,c,d,e,f为六个开关,其闭合的概率是,且是相互独立的,则灯亮的概率是________.【解析】P=1-=.答案:16.( 2017·长沙高二检测)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x 1 2 3 4 5命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小李这5天的平均投篮命中率为________;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________.【解析】因为==0.5,==3,利用线性回归方程中系数计算公式得:=0.01,=0.47,所以线性回归方程为=0.01x+0.47,令x=6,得y=0.53.答案:0.5 0.53三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知展开式中的所有二项式系数和为512.(1)求展开式中的常数项.(2)求展开式中所有项的系数之和.【解析】(1)由2n=512得n=9,则第r+1项为T r+1=()9-r=2r(r=0,1,2,…,9).令-r=0得r=3,故常数项为T4=23=672.(2)由(1)知,n=9,令x=1,得展开式中所有项的系数和为39.18.(12分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表所示:商店名称 A B C D E销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9利润额(y)/百万元 2 3 3 4 5(1)画出销售额和利润额的散点图.(2)若销售额和利润额具有相关关系,用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程=x+,其中=,=-.(3)若获得利润是4.5百万元时估计销售额是多少(千万元)?【解析】(1)散点图如图所示:(2)由已知数据计算得:==6,==3.4,=200,x i y i=112,所以==0.5,则=-=3.4-0.5×6=0.4,所以利润额y对销售额x的回归直线方程为=0.5x+0.4.(3)当y=4.5时,4.5=0.5x+0.4,计算得出x=8.2,所以若获得利润是4.5百万元时估计销售额是8.2千万元.19.(12分)已知集合A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数?【解析】由1<log2x<3,得2<x<8,又x∈N*,所以x为3,4,5,6,7,即A={3,4,5,6,7},所以A∪B={3,4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素,可以组成=120个三位数.(2)若从集合A中取元素3,则3不能是千位上的数字,有··=180个满足题意的自然数;若不从集合A中取元素3,则有=384个满足题意的自然数. 所以满足题意的自然数共有180+384=564个.20.(12分)甲、乙两射手在同样条件下进行射击,根据以往的记录,他们的成绩分布列如下:环数8环9环10环射手甲0.3 0.1 0.6乙0.2 0.5 0.3(1)试比较甲、乙两射手射击水平的高低.(2)谁的射击水平比较稳定.【解析】(1)设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别是X1,X2,则E(X1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3;E(X2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1.由E(X1)>E(X2),知甲射手射击所得环数的数学期望比乙射手射击所得环数的数学期望高,故甲射手射击水平比乙射手高.(2)D(X1)=(8-9.3)2×0.3+(9-9.3)2×0.1+(10-9.3)2×0.6=0.81;D(X2)=(8-9.1)2×0.2+(9-9.1)2×0.5+(10-9.1)2×0.3=0.49.由D(X1)>D(X2),知乙射手射击水平比甲射手稳定.21.(12分)(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率. (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2=【解析】(1)记事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”为事件B,记事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C,则P(A)=P(B)·P(C),P(B)=5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)=0.62,P(C)=5×(0.068+0.046+0.010+0.008)=0.66,所以P(A)=0.4092.(2)箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2=≈15.705>6.635,所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)方法一:因为新养殖法的箱产量分布图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5.故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+≈52.35.方法二:由图可知,中位数位于50～55kg,首先计算小于50kg之前的频率为:(0.004+0.020+0.044)×5=0.340,设中位数为xkg,则(x-50)×0.068=0.5-0.340=0.16,解之得:x=52.35.方法三:1÷5=0.2,0.1-(0.004+0.020+0.044)=0.032,0.032÷0.068=,×5≈2.35,50+2.35=52.35,所以中位数为52.35.22.(12分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高[10, [15, [20, [25, [30, [35,气温15) 20) 25) 30) 35) 40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 【解析】(1)由题意得,X的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知P==,P==,P==,所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为:X 200 300 500P(2)①当200≤n≤300时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P=.若X=300时,则Y=n=2n,P=,若X=500时,则Y=n=2n,P=.所以Y的分布列为:Y 800-2n 2n 2nP所以E(Y)=×+×2n+×2n=n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).②当300<n≤500时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=.若X=300时,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1200-2n,P(Y=1200-2n)=.若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列为:Y 800-2n 1 200-2n 2nP所以E(Y)=×(800-2n)+×(1200-2n)+×2n=-n+640<-×300+640=520(元).综上,当n为300瓶时,Y的数学期望达到最大值.。
高二数学选修1-2全册第3章综合素质检测
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·安徽文，2)已知i 2＝－1，则i (1－3i )＝( ) A.3－i B.3＋iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] B[解析] 该题考查复数的四则运算i(1－3i)＝－3i 2＋i ＝3＋i ，故选B.2．复数z ＝－1＋i1＋i ＋1在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝－1＋i1＋i ＋1＝1＋i ，故复数z 所对应的点为(1,1)，在第一象限．3．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i1＋i 10的值是( )A ．－1B ．1C ．－32D ．32[答案] A[解析] 本题主要考查复数的基本运算，1－i1＋i ＝－i ，(－i )10＝－1，故选A.4．若z 1＝(x －2)＋yi 与z 2＝3x ＋i (x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x ，y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，∴z 1＝－3－i ，故选C.5．对于复平面，下列命题中真命题的是( )A ．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B ．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的C ．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D ．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的[答案] D[解析] 复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系，其中实数对(a ，b )对应复数的实部与虚部．6．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i[答案] D[解析] 方法一：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则x ＋yi ＋|x －yi |＝2＋i ，即x ＋x 2＋y 2＋yi ＝2＋i ，∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1把y ＝1代入x ＋x 2＋y 2＝2中， 得x 2＋1＋x ＝2，∴x ＝34，∴z ＝34＋i .方法二：代入法验证答案易得．7．复数z 满足方程|z ＋21＋i |＝4，那么复数z 的对应点P 组成的图形为() A ．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆B ．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆C ．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆D ．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆[答案] C[解析] |z ＋21＋i |＝|z ＋(1－i )|＝|z －(－1＋i )|＝4，设－1＋i 的对应点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．8．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于()A ．1＋52i B ．－1＋52i C ．1－52i D ．－1－52i [答案] D [解析] 设x ＝it (t ∈R 且t ≠0)，于是2ti －1＋i ＝y －(3－y )i ，∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12t ＋1＝－(3－y )∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝－52y ＝－1∴x ＋y ＝－1－52i . 9．已知复数(x －2)＋yi (x ，y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( ) A.32B.33C.12D. 3[答案] D[解析] 因为|(x －2)＋yi |＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤y x ≤ 3.10．设复数z 为虚数，条件甲：z ＋1z是实数，条件乙：|z |＝1，则( ) A ．甲是乙的必要非充分条件B ．甲是乙的充分非必要条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件[答案] C[解析] 本题考查复数的运算和充要条件的判断．设z ＝a ＋bi (b ≠0且a ，b ∈R )，则z ＋1z ＝a ＋bi ＋1a ＋bi ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i .因为z ＋1z 为实数，所以b ＝b a 2＋b 2.因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝1，所以|z |＝1.而当|z |＝1，a 2＋b 2＝1，条件甲显然成立．11．如果复数z 满足条件|2z ＋1|＝|z －i |，那么在复平面内z 对应的点的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案] A[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|(2a＋1)＋2bi|＝|a＋(b－1)i|，所以(2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1)2，化简，得3a2＋3b2＋4a＋2b＝0，此为圆的方程．12．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D．z一定为实数[答案] C[解析]∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z对应的点关于实轴对称．∴C项正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．(2010·上海文，4)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________.[答案]6－2i[解析]本题考查了复数的基本运算．∵z·z＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.14．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋i sinβ，则复数z1·z2的实部是__________ [答案]cos(α＋β)[解析]z1·z2＝(cosα＋i sinα)(cosβ＋i sinβ)cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i故z1·z2的实部为cos(α＋β)．15．实数m满足等式|log3m＋4i|＝5，则m＝________.[答案]27或1 27[解析]本题考查有关复数模的运算．由|log3m＋4i|＝5，得(log3m)2＋16＝25，(log3m)2＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝1 27.16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．[答案] π4或54π [解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝π4或54π. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i (3z )＝1－3i ，求z .[解析] 将方程两边化成a ＋bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解．设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则x 2＋y 2－i [3(x ＋yi )]＝1－(3i )，即x 2＋y 2－3y －3xi ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3y ＝1－3x ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3 ∴z ＝－1或z ＝－1＋3i .18．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i (x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2.方程②的解为x ＝－3或x ＝6.所以实数x 的值为－3.[点评] 本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件．19．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ，(1)求w ＝z 2＋3z －4(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b . [解析] (1)w ＝－1－i(2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋ai ＋b (1＋i )2－1－i ＋1＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝(a ＋2)－(a ＋b )i∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i∴a ＝－1 b ＝220．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3abi ＝4－6i ，求a 和b .[解析] ∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋yi (x ，y ∈R )则b ＝x －yi ，由(a ＋b )2－3abi ＝4－6i ，得(2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 2＝4－3(x 2＋y 2)＝－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1y 2＝1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1y ＝±1 ∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ；a ＝1－i ，b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i .21．(本题满分12分)证明：在复数范围内，方程|z |2＋(1－i )z －(1＋i )z ＝5－5i 2＋i无解． [证明] 原方程可化简为|z |2＋(1－i )z －(1＋i )z ＝1－3i .设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，代入上述方程，整理得x 2＋y 2－2xi －2yi ＝1－3i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， ①2x ＋2y ＝3. ② 将②代入①，消去y 整理，得8x 2－12x ＋5＝0.因为Δ＝－16<0，所以上述方程无实数解．所以原方程在复数范围内无解．[点评] 本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解．22．(本题满分14分)复数z 满足|z ＋i |＋|z －i |＝2，求|z ＋1＋i |的最大值与最小值．[解析] 在复平面内，|z ＋i |＋|z －i |＝2表示复数z 对应的点Z 到点A (0，－1)，B (0,1)的距离之和为2，而|AB |＝2，所以点Z 的轨迹为以A ，B 为端点的线段(包括两端点)．而|z ＋1＋i |＝|z －(－1－i )|表示点Z 到点C (－1，－1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB 上的点到点C 的距离的最大值与最小值，如右图．易知|z＋1＋i|max＝|BC|＝5，|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.[点评]本题主要考查复数|z－z1|的几何意义，即|z－z1|表示复数z与z1对应的两点之间的距离．利用数形结合法是求解本题的关键．。
高中数学(苏教版 选修2-3)第3章 章末综合测评 Word版含答案
章末综合测评(三)统计案例(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．将答案填在题中的横线上)．在直线回归方程＝＋中，表示(填序号)．①当增加一个单位时，增加的数量；②当增加一个单位时，增加的数量；③当增加一个单位时，的平均增加量；④当增加一个单位时，的平均增加量．【答案】③．线性回归方程＝＋所表示的直线必经过点．【答案】(，)．经调查某地若干户家庭的年收入(万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系，并得到关于的线性回归直线方程：＝＋，由线性回归直线方程可知，家庭年收入每增加万元，年饮食支出平均增加万元．【解析】∵关于的线性回归直线方程：＝＋，①∴年收入增加万元时，年饮食支出＝(＋)＋，②②－①可得：年饮食支出平均增加万元．【答案】．对于线性回归方程＝＋，下列说法中不正确的序号是．①增加一个单位时，平均增加个单位；②样本数据中＝时，可能＝；③样本数据中＝时，一定有＝.【解析】线性回归方程＝＋中，增加一个单位时，平均增加个单位，故①正确；线性回归方程＝＋中，样本数据中＝时，可能有＝，也可能有≠，故②正确，③不正确．【答案】③．已知，的取值如下表，如果与呈线性相关，且线性回归方程为＝＋，则＝.【解析】又∵线性回归方程过样本中心点，且＝＝，＝＝，∴回归方程过点()，∴＝＋，∴＝－.【答案】－．若线性回归直线方程中的回归系数＝，则相关系数等于.【导学号：】【解析】由于在回归系数的计算公式中，与相关系数的计算公式中，它们的分子相同，所以＝.【答案】．在一组样本数据(，)，(，)，…，(，)(≥，，，…，不全相等)的散点图中，若所有样本点(，)(＝，…，)都在直线＝＋上，则这组样本数据的样本相关系数为．(填序号)①－；②；③；④【解析】当所有样本点都在一条直线上时，相关系数为.故填④.【答案】④．观察图中各图形：图其中两个变量，具有相关关系的图是．【解析】由散点图知③④具有相关关系．【答案】③④。
北师版数学选修2-3：第3章 章末综合测评3
章末综合测评(三)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④正确．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错误．【答案】 D3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C.12D．1【解析】样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，正相关最强，其相关系数为1.【答案】 D4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是()A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以上C．她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右D．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C.【答案】 C5．已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则y＝()A．58.5 B．46.5C．60 D．75【解析】∵x＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x－，y－)，∴y－＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】 A6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；。
2022高中数学 第3章综合素质检测 新人教B版选修2-1
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中1．在以下命题中，不正确的个数为①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若错误!1C1C1C|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________[答案] 0[解析] 由于2m＋n·m－3n＝0，可得：m·n＝－2，则：a·b＝4m－n·7m＋2n＝18|a|＝错误!＝6，|b|＝错误!＝3，co〈a，b〉＝错误!＝1，∴〈a，b〉＝014．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C 为60°，点D到平面ABC的距离为________．[答案] 错误![解析] 如图所示，AD⊥面BCD，AD＝错误!，BD＝CD＝BC＝错误!，∴V A－BCD＝错误!×AD×S△BCD又∵V A－BCD＝V D－ABC＝错误!×h×S△ABC，∴由等积法可解得h＝错误!15．如图所示，在三棱锥、n使λ错误!错误!＋n的值等于________．[答案] 0[解析] 由λ错误!错误!错误!－错误!＝1⇔－m－n＝λ⇒m＋n＋λ＝0三、解答题本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．本小题满分12分在正方体ABCD－A1B1C1D1中，1C1C1C1C1C＝错误!1C，n，则错误!∴＝错误!m，n＝m不妨取m＝1，则n＝错误!，1,1．co〈m，n〉＝错误!＝错误!＝错误!，∴二面角A－A1C－B的大小为arcco错误!19．本小题满分12分如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°1求证：BD⊥平面ADG；2求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．[解析] 1证明：在△BAD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得，BD＝错误!，∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD，又GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD，GD∩AD＝D，∴BD⊥平面ADG，2以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－，则有A1,0,0，B0，错误!，0，G0,0,1，E0，错误!，2，错误!＝，，，则错误!＝1，－错误!，1，平面ABCD的一个法向量n＝错误!＝错误!20．本小题满分12分2022·江苏如图，设动点P在棱长为1正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记错误!＝λ当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．[解析] 由题设可知，以错误!、错误!、错误!为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－，则有A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，D10,0,1．由错误!＝1 ,1，－1得错误!＝λ错误!＝λ，λ，－λ，所以错误!＝错误!＋错误!＝－λ，－λ，λ＋1,0，－1＝1－λ，－λ，λ－1，错误!＝错误!＋错误!＝－λ，－λ，λ＋0,1，－1＝－λ，1－λ，λ－1．显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于co∠APC＝co＝错误!1C1A1A＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!故所求二面角的余弦值为错误!22．本小题满分14分已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过点B作B1C的垂线交于CC1于E，交B1C于F1求证：A1C⊥平面EBD；2求点A到平面A1B1C的距离；3求ED与平面A1B1C所成角的正弦值．[解析] 1证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A－，设|CE|＝a，则C3,3,0，B13,0,4，A10,0,4，B3,0,0，D0,3,0．设E3,3，a，则错误!＝3,3，－4，错误!＝0,3，－4，错误!＝－3,3,0，错误!＝0,3，a．由BE⊥B1C，知错误!·错误!＝0，即0·0＋3·3＋a·－4＝0∴a＝错误!∴E3,3，错误!，错误!＝0,3，错误!，∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0，∴A1C⊥BE，A1C⊥BD又BE∩BD＝B，∴A1C⊥平面EBD2易证A1B1⊥BE，∴错误!可看作平面A1B1C的法向量n＝0,3，错误!，错误!＝－3，－3,0．∴点A到平面A1B1C的距离d＝错误!＝错误!3错误!＝－3,0，－错误!，设ED与平面A1B1C所成角为θ则inθ＝错误!＝错误!＝错误!即ED与平面A1B1C1所成角的正弦值为错误!。
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第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知二次函数y ＝ax 2＋(a 2＋1)x 在x ＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是( ) A.2516 B.258 C.254 D.2522．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线( )A ．不存在B ．存在，有且仅有一条C ．存在，有且恰有两条D ．存在，但条数不确定 3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝04．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞) 5．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 的单调区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 6．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4＋27．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( ) A ．20B ．9C ．－2D ．28．已知f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( ) A ．4x ＋3B ．4x －1C ．4x －5D ．4x －39．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确10．函数f (x )＝x 2＋(2－a )x ＋a －1是偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝－xD ．y ＝－x ＋2 11．设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )12．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴，直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．14．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．15．曲线y ＝－133－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－53处的切线的倾斜角为________．16．函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)、Q (－1，12)．求：(1)曲线在点P 处，点Q 处的切线斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程．18．(本题满分12分)已知f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a 、b 的值．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋12(a －1)x 2＋bx (a ，b 为常数)在x ＝1和x ＝4处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,2]时，y ＝f (x )的图象在直线5x ＋2y －c ＝0的下方，求c 的取值范围．20．(本题满分12分)(2010·陕西文，21)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．21．(本题满分12分)已知x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m <0.(1)求m 与n 的关系表达式． (2)求f (x )的单调区间．22．(本题满分14分)若t 为大于－2的常数，求函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，t ]上的最值．1[答案] B[解析] y ′＝2ax ＋a 2＋1，∵y ′|x ＝1＝2a ＋a 2＋1＝1， ∴a 2＋2a ＝0，a ＝0或a ＝－2，又∵a ≠0，a ＝－2，y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －542＋258，∴函数的最大值为258，故选B. 2[答案] C[解析] y ′＝(x 3)′＝3x 2，令3x 2＝1，得x ＝±33，切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，故选C.3[答案] A[解析] 考查斜率与导数及直线方程基本知识．因为y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1.而x ＝1时y ＝1，故l 方程为4x －y －3＝0. 4[答案] B[解析] 由导数几何意义知，在(－∞，2]上f ′(x )<0，故单调递减． 5[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1) ＝3(x ＋1)2≥0对x ∈R 恒成立，所以f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 在R 上为增函数，故选A. 6[答案] B[解析] 把答案代入验证，排除A 、C 、D ，故选B. 7[答案] C[解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9， 又点(2，－1)在抛物线上， ∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C. 8[答案] A[解析] ∵f (x －1)＝2x 2－x ，令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝2(t ＋1)2－(t ＋1)＝2t 2＋3t ＋1， ∴f (x )＝2x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝4x ＋3，故选A. 9[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7， 由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立， ∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D. 10[答案] A[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f (x )为偶函数得a ＝2，即f (x )＝x 2＋1，从而f ′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y ＝2x .11[答案] D[解析] 由y ＝f (x )图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.12[答案] A[解析] y ＝x sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2处切线为y ＝－x ，所围成的三角形面积为π22.13[答案] ⎝⎛⎭⎫22，＋∞[解析] f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )>0得x >a 或x <－a ， 令f ′(x )<0得－a <x <a ，∴当x ＝－a 时，f (x )取极大值f (－a )＝2a 3＋a ， ∵a >0，∴2a 3＋a >0，当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝a －2a 3，由题意得a －2a 3<0， 又a >0，∴1－2a 2<0，∴a >22. 14[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15[答案] 135°[解析] y ′|x ＝－1＝－1，所以k ＝－1，即倾斜角为135°. 16[答案] [－2,1)[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1.易知(－∞，－1)上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减．故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值条件为⎩⎪⎨⎪⎧a <1，10－a 2>1，f (1)≥f (a ).所以－2≤a <1.17[解析] ∵－1＝1t －2，∴t ＝1 ∴y ＝11－x， ∴y ′＝1(1－x )2. (1)当P 为切点时，k 1＝y ′|x ＝2＝1， 当Q 为切点时，k 2＝y ′|x ＝－1＝14.(2)当P 为切点时，方程为x －y －3＝0； 当Q 为切点时，x －4y ＋3＝0.18[解析] 显然a ≠0(否则f (x )＝b 与题设矛盾)，由f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]得，x ＝0.(1)当a >0时，列表：由上表知，f (x )在[f (x )在[0,2]上是减函数．且当x ＝0时，f (x )有最大值，从而b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3， ∵a >0，∴f (－1)>f (2)，从而f (2)＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2.(2)当a <0时，用类似的方法可判断当x ＝0时，f (x )有最小值，当x ＝2时，f (x )有最大值， 从而f (0)＝b ＝－29，f (2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2. 综上，a ＝2、b ＝3或a ＝－2、b ＝－29. 19[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋b .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝1＋(a －1)＋b ＝0，f ′(4)＝16＋4(a －1)＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4.所以f (x )＝13x 3－52x 2＋4x .(2)由题设知f (x )<－12(5x －c )，即c >23x 3－5x 2＋13x .设Q (x )＝23x 3－5x 2＋13x ，x ∈[－2,2]，所以c 只要大于Q (x )的最大值即可．Q ′(x )＝2x 2－10x＋13，当x ∈(－2,2)时Q ′(x )>0.所以Q (x )max ＝Q (2)＝343，所以c >343. 20[解析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力．f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝ax，解得a ＝e2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)．21[解析] (1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ，∵x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴3m －6(m ＋1)＋n ＝0，∴n ＝3m ＋6.(2)函数f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3(x －1)[mx －(m ＋2)]＝3m (x －1)⎝⎛⎭⎫x －m ＋2m ＝3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m .∵m <0，∴1＋2m<1，令f ′(x )>0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0，∴1＋2m<x <1， 故函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤1＋2m ，1，令f ′(x )<0，得3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m <0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m >0，∴x >1或x <1＋2m， 故函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m 和(1，＋∞)．22[解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，知f (x )在区间[－2，－1]，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减．①当t ∈(－2，－1)时，f (x )在区间[－2，t ]上单调递增． 所以f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .②当t ∈[－1,1]时，f (x )在(－2，－1)上单调递增，在(－1，t )上单调递减．由f (t )≥f (1)＝－2＝f (－2)知f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (－1)＝2.③当t ∈(1，＋∞)时，f (x )在区间(－2，－1)上递增，在区间(－1,1)上递减，在(1，t )上递增，所以f (x )的最小值为f (－2)，f (1)中较小者．因为f (－2)＝f (1)＝－2，所以f (x )min ＝－2.令f (t )＝2，即t 3－3t －2＝0○ ，据f (－1)＝2知t ＝－1是○ 式的一个根．所以t 3－3t －2＝(t ＋1)(t 2－t －2)＝(t ＋1)2(t －2)，所以t ＝2也为○ 式的根，即f (2)＝2.由f (x )的单调性知，当t ∈(1,2]时，f (x )max ＝f (－1)＝2，当t ∈(2，＋∞)时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .综上，f (x )min ＝－2.f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，t ∈[－1，2]，t 3－3t ，t ∈(－2，－1)∪(2，＋∞).[点评] 利用导数求最值，关键是极值点与端点值比较，最大的为f (x )最大值，最小的为f (x )最小值．本题按照导数为0的点与区间的位置关系进行讨论．进而对最值情况展开讨论．。