【数学】福建省泉州市2020届高三上学期单科质量检查 数学(理)试题(PDF版)
福建泉州市2020年高三数学(理)5月质检试卷附答案解析
福建泉州市2020年高三数学（理）5月质检试卷一、单选题1．已知集合{}10A x x =-+≥，{}2210B x xx =--≤，则A B =U （ ）A ．(,1]-∞B ．1[1,]2-C ．1[,1]2-D ．1[,)2-+∞ 2．7(1)(2)x x --的展开式中6x 的系数为（ ） A ．14B ．28C ．70D ．983．已知向量()1,2AB =u u u r ，()4,2AC =-u u u r，则ABC V 的面积为（ ）A ．5B ．10C ．25D ．504．平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点4()3,M -，则sin(2)πα-=（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-5．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ） A ．“宫、商、角”的频率成等比数列 B ．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C ．“商、羽、角”的频率成等比数列 D ．“徵、商、羽”的频率成等比数列6．函数())lnf x kx =的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知2(sin 2)a =，sin 22b =，12log (sin 2)c =，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．283π C ．9πD ．253π 9．每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为I ，II 两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019年I ，II 两类渔船的台风遭损率分别为15%和5%．2020年初，在修复遭损船只的基础上，对I 类渔船中的20%进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为3%，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是（ ）A ．2019年投保的渔船的台风遭损率为10%B ．2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例不超过80%C ．预估2020年I 类渔船的台风遭损率会小于II 类渔船的台风遭损率的两倍D ．预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于II 类渔船因台风遭损的数量 10．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,M N ．点在E 的渐近线上，120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，3MPN π∠=，则E 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．53D ．11．若0>ω，函数()3sin 4cos f x x x ωω=+（03x π≤≤）的值域为[]4,5，则cos()3ωπ的取值范围是（ ） A ．71,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．7,125⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．73,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．以,,,,A B C D E 为顶点的多面体中，AC CB ⊥，AD DB ⊥，AE EB ⊥，10AB =，6CD =，则该多面体的体积的最大值为（ ）A ．B ．80C ．90D ．二、填空题13．在复平面中，复数12,z z 对应的点分别为()()121,2,2,1Z Z -．设1z 的共轭复数为1z ，则12z z ⋅=_______．14．已知点()1,0A -，()10B ,，过A 的直线与抛物线24y x =相交于,P Q 两点．若P 为AQ 中点，则PB QB=_______．15．ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin cos ,3a B A a ==．若点D 在边BC 上，且2BD DC =，则AD 的最大值是_______．16．若存在过点(1,)2a的直线l 与函数()x f x x e =+，()a x g x x e -=-的图象都相切，则a =_______．三、解答题 17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12,2(1)n n a S n a ==+．（1）求n S ； （2）若11n n n n a b S S ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：n 1T 2<．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BAD ︒∠=，2AB =．平面PCD ⊥平面ABCD ，PC PD =，E ，F 分别是BC ，PD 的中点．（1）求证：EF //平面PAB ；（2）若直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值．19．已知圆22:3O x y +=，直线PA 与圆O 相切于点A ，直线PB 垂直y 轴于点B ，且2PB PA =．（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）直线PA 与E 相交于,P Q 两点，若POA V 的面积是QOA △的面积的两倍，求直线PA 的方程．20．“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A ，B 两套测试方案，现各抽取100名员工参加A ，B 两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如下频率分布表．（1）从预测试成绩在[25,35)[85,95]U 的员工中随机抽取6人，记参加方案A 的人数为X ，求X 的最有可能的取值；（2）由于方案A 的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A 进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩x 与绩效等级优秀率y ，如下表所示：根据数据绘制散点图，初步判断，选用xy μλ=e 作为回归方程．令ln z y =，经计算得0.642z =-，7172210.02i i i ii x znxz xnx==-≈-∑∑，ln0.15 1.9≈-．（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩2~(,)x N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？ 参考公式与数据：（1）ln3.32 1.2≈，ln5.2 1.66≈，20s ≈．（2）线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x ynxy bxnx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-． （3）若随机变量，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=．21．已知函数2211()()ln 24f x x ax x x ax =--+． （1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．22．直角坐标系xOy 中，圆1:C 2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为42sin cos ρθθ=-．（1）求2C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）设l 与两坐标轴分别相交于,A B 两点，点Q 在2C 上，求QAB V的面积的最大值．23．已知函数()23f x x x mx =++-+．（1）当1m =时，求不等式()8f x ≤的解集；（2）当01m <≤时，证明：()3f x ≥．解析福建泉州市2020年高三数学（理）5月质检试卷一、单选题1．已知集合{}10A x x =-+≥，{}2210B x xx =--≤，则A B =U （ ）A ．(,1]-∞B ．1[1,]2-C ．1[,1]2-D ．1[,)2-+∞ 【答案】A【解析】解一元二次不等式化简集合B ，再求并集，即可得答案； 【详解】集合(]{}21{|10},1,|210,12A x x B x x x ⎡⎤=-+≥=-∞=--≤=-⎢⎥⎣⎦，∴(],1A B ⋃=-∞．故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．7(1)(2)x x --的展开式中6x 的系数为（ ） A ．14 B ．28 C ．70 D ．98【答案】D【解析】将()72x -展开，从而得到含6x 的项为()()()12162577122C x x C x -⋅-+⋅-，计算其系数，即可得答案； 【详解】将()72x -展开，得()()()()01270716257077772222C x C x C x C x -+-+-++-L ， 则原展开式中含6x 的项为()()()12162577122C x x C x -⋅-+⋅-，整理可知其系数为98．故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3．已知向量()1,2AB =u u u r ，()4,2AC =-u u u r，则ABC V 的面积为（ ）A ．5B ．10C ．25D ．50【答案】A【解析】根据向量的坐标可得向量垂直，从而得到三角形为直角三角形，求出向量的模长，即可得答案； 【详解】因为AB AC ==0AB AC ⋅=u u u r u u u r，所以90BAC ∠=︒，所以152ABCS ==V ．【点睛】本题考查向量的模、数量积的坐标运算，考查逻辑推理能力、运算求解能力.4．平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点4()3,M -，则sin(2)πα-=（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-【答案】D【解析】由三角函数的定义得34cos ,sin 55αα=-=，再利用诱导公式和倍角公式，即可得答案； 【详解】由题意，角α的终边过点()3,4M-，求得5OM==，由三角函数的定义得34cos ,sin 55αα=-=， 所以()4324sin 2sin22sin cos 25525παααα⎛⎫-===⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数的定义和三角恒等变换中的诱导公式和倍角公式，考查运算求解能力.5．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ） A ．“宫、商、角”的频率成等比数列 B ．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C ．“商、羽、角”的频率成等比数列 D ．“徵、商、羽”的频率成等比数列【答案】A【解析】根据等差等比通项公式，分别计算“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，再对照选项，即可得答案； 【详解】设“宫”的频率为a ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是32a ； “徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是98a ， “商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是2716a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a ， 由于981,,864a a a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列． 故选：A ．本题考查等差、等比数列在数学文化中的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6．函数())lnf x kx =的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】假设函数为奇函数和偶函数时，分别根据图象求得k 的值，即可得答案； 【详解】因为A 、B 选项中，图像关于原点对称， 所以()f x 为奇函数，()()0f x f x +-=，即))lnln0,kx kx +=()()22222ln 1ln1,10x k x k x+-=-=，所以1k =±．当()1,k f x =的图像为选项A ；当()1,kf x =-的图像为选项B ．而C 、D 选项中，图像关于y 轴对称， 所以()f x 为偶函数，()()f x f x =-，即))ln ln,0kx kx kx ==，所以0k =．当()0,0k f x =≥，故()f x 的图像为选项D ，故()f x 的图像不可能为C ．故选：C ． 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求7．已知2(sin 2)a =，sin 22b =，12log (sin 2)c =，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】B【解析】先判断01,1,01a b c <<<，再引入中间变量12，比较,a c 的大小，即可得答案； 【详解】 因为3224ππ<<sin21<<，故01,1,01a b c <<<． 又()()22112211sin2,log sin2log 2222a c ⎛⎛⎫=>==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b a c >>． 故选：B ． 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意中间变量的引入.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．283π C ．9πD ．253π 【答案】B【解析】由三视图可得该几何体为四棱锥B ACDE -，确定外接球的球心O ，利用勾股定理求出半径R ，再代入表面积公式，即可得答案； 【详解】由三视图可得该几何体为四棱锥B ACDE -，平面ABC ⊥平面ACDE ．设等边ABC V 的外接圆圆心为1O ，正方形ACDE 的外接圆圆心为2O ，过1O 作直线1l 垂直平面ABC ，过2O 作直线2l 垂直平面ACDE ，设12l l O ⋂=，则O 为该几何体外接球的球心． 取AC 中点M ，易得四边形12OO MO 为矩形，121OO O M ==，1223r O B ===，设所求外接球的半径为R ， 在1Rt OO B V中，22221728,433R r OO S R ππ=+===． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的表面积计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.9．每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为I ，II 两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019年I ，II 两类渔船的台风遭损率分别为15%和5%．2020年初，在修复遭损船只的基础上，对I 类渔船中的20%进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为3%，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是（ ）A ．2019年投保的渔船的台风遭损率为10%B ．2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例不超过80%C ．预估2020年I 类渔船的台风遭损率会小于II 类渔船的台风遭损率的两倍D ．预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于II 类渔船因台风遭损的数量 【答案】D【解析】设全体投保的渔船为t 艘，对A 渔船的台风遭损率为60%15%40%5%⋅+⋅；对B ，Ⅰ类渔船所占的比例为60%15%60%15%40%5%⋅⋅+⋅；对C ，2020年Ⅰ类渔船的台风遭损率20%3%80%15%12.6%⋅+⋅=，即可得答案；【详解】设全体投保的渔船为t 艘．对A ，2019年投保的渔船的台风遭损率为60%15%40%5%11%⋅+⋅=，故A 错； 对B ，2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，Ⅰ类渔船所占的比例为60%15%9860%15%40%5%1110⋅=>⋅+⋅，故B 错；对C ，预估2020年Ⅰ类渔船的台风遭损率()20%3%80%15%12.6%25%⋅+⋅=>⋅，故C 错；对D ，预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量60%20%3%t ⋅⋅⋅少于Ⅱ类渔船因台风遭损的数量40%5%t ⋅⋅，故D 正确；故选：D ． 【点睛】本题考查统计中饼图的应用，考查数据处理能力，求解时注意通过图中提取有用信息进行问题求解. 10．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,M N ．点在E 的渐近线上，120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，3MPN π∠=，则E 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．53D ．【答案】B【解析】如图所示，不妨设P 是渐近线在第一象限上的点，根据MN =，可得,a b 的关系，再代入离心率公式，即可得答案； 【详解】不妨设P 是渐近线在第一象限上的点，因为120PF PF ⋅=u u u v u u u u v，所以12290,F PF PO OF c ︒∠===．又P 在渐近线by x a=上，所以可得P 点的坐标是(),a b ，所以12PN F F ⊥． 在直角三角形PNM 中，3MPN π∠=，所以MN =，即2,b a a ==．所以3e ====．故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线离心率求解、渐近线的概念，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 11．若0>ω，函数()3sin 4cos f x x x ωω=+（03x π≤≤）的值域为[]4,5，则cos()3ωπ的取值范围是（ ） A ．71,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．7,125⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．73,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】利辅助角公式可得()()5sin f x x ωϕ=+（其中43sin ,cos ,0552πϕϕϕ==<<），再利用换元法令tx ωϕ=+，从而得到cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.【详解】 因为()()5sin f x x ωϕ=+（其中43sin ,cos ,0552πϕϕϕ==<<）．令(),5sin tx g t t ωϕ=+=，因为0,03xπω>剟，所以3t πϕωϕ+剟．因为()4gϕ=，且02πϕ<<，所以()4,52g g ππϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 故23ππωϕπϕ+-剟，即223ππϕωπϕ--剟． 当022x πϕπϕπ<--<剟时，cos y x =单调递减，因为()2241697cos sin ,cos 2cos2sin cos 25252525πϕϕπϕϕϕϕ⎛⎫-==-=-=-=-=⎪⎝⎭，所以74cos ,3255πω⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 故选D ． 【点睛】本题考查辅助角公式、换元法求函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12．以,,,,A B C D E 为顶点的多面体中，AC CB ⊥，AD DB ⊥，AE EB ⊥，10AB =，6CD =，则该多面体的体积的最大值为（ ）A ．B ．80C ．90D ．【答案】C【解析】取AB 的点O ．因为,,AC CB AD DB AE EB ⊥⊥⊥，所以OA OB OC OD OE ====，故点,,C D E 在以AB 为直径的球面O 上．设,A B 到平面CDE 的距离分别为12,d d ，则12d d AB +„，从而得到所以((1632CDE S r r ⨯⨯=+V „，再根据复合函数的单调性求最值，即可得答案； 【详解】取AB 的点O ．因为,,AC CB AD DB AE EB ⊥⊥⊥，所以OA OB OC OD OE ====，故点,,C D E 在以AB 为直径的球面O 上．设,A B 到平面CDE 的距离分别为12,d d ，则12d d AB +„，所以该多面体的体积()121133A CDEB CDE CDE CDE V V V S d d S AB --=+=⋅+⋅V V „， 过点,,CDE 作球的截面圆O '，设圆O '的半径为r ，则3r …，且12r AB „即5r „，所以35r ≤≤，又点E 到CD 的距离最大值为r r =，所以((1632CDE S r r ⨯⨯=+V „，因为函数()f r r =+[]3,5单调递增，所以()()max 5549f r f ==+=，从而1010399033CDE V S AB ⋅⨯⨯=V 剟． 故选：C ． 【点睛】本题考查利用导数研究多面体体积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意构造函数研究函数的最值，从而解决问题.二、填空题13．在复平面中，复数12,z z 对应的点分别为()()121,2,2,1Z Z -．设1z 的共轭复数为1z ，则12z z ⋅=_______．【答案】5i -【解析】利用复数的共轭复数概念及复数的乘法运算，即可得答案； 【详解】由题意，得1212,2z i z i =+=-，所以112z i =-，故()()121225z z i i i ⋅=-⋅-=-．故答案为：5i -. 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知点()1,0A -，()10B ,，过A 的直线与抛物线24y x =相交于,P Q 两点．若P 为AQ 中点，则PBQB=_______． 【答案】12【解析】易知抛物线24y x =的焦点B ，准线1x =-，分别作点P Q 、到准线的垂线段，垂足分别为点D C 、，根据抛物线的定义，有,PB PD QB QC ==，即可求得PB QB的值.【详解】易知抛物线24y x =的焦点B ，准线1x =-．分别作点P Q 、到准线的垂线段，垂足分别为点D C 、．根据抛物线的定义，有,PB PD QB QC ==，因为//PD QC ，且P 为AQ 中点， 所以PD 是AQC V 的中位线，12PD QC =， 即12PB QB =．故12PB QB =． 故答案为：12. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平面几何知识的运用.15．ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，sin cos ,3a B A a ==．若点D 在边BC 上，且2BD DC =，则AD 的最大值是_______．1【解析】在ABC V中，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，根据1AD AO OD R OD ≤+=+=，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，可求得AD 的最大值.【详解】在ABC V中，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以tan A =又因为0A π<<，所以3A π=；设ABC V 外接圆的圆心为O ，半径为R ，则由正弦定理得32sin 2sin 3a R A π===⨯， 如图所示，取BC 的中点M ，在t R BOM V中，3,22BC BM OM =====；在t R DOM V中，1,12DM BD BM OD =-====；1AD AO OD R OD ≤+=+=，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，所以AD1，故答案为：1． 【点睛】本题考查正弦定理解三角形、线段的最值，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．若存在过点(1,)2a的直线l 与函数()x f x x e =+，()a x g x x e -=-的图象都相切，则a =_______． 【答案】2【解析】利用导数的几何意义分别求出两条切线的方程，从而根据切线方程为同一条，可求得参数的值. 【详解】Q ()()1,1x a x f x e g x e -''=+=+，设直线l 与函数()f x 的图象相切于点()111,x x x e +，则切线斜率111xk e =+，切线l 的方程为()()()11111xxy x e e x x -+=+-．设直线l 与函数()gx 的图象相切于点()222,a x x x e --，则切线斜率221a x k e-=+，切线l 的方程为()()()22221a x a x y x ee x x ----=+-．因为过点1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与函数()(),x a xf x x eg x x e -=+=+的图象都相切，所以()()()()()()()()()121122112211*********x a x x x a x a x e e ax e e x a x e e x ---⎧⎪+=+⎪⎪-+=+-⎨⎪⎪--=+-⎪⎩L L L 由（1）得12x a x =-，将21x a x =-代入（3），得()()()1111112x x aa x e e x a ---=++-， 所以()()()()11111142x xa x e e x a -++=++-L ；由（2）+（4）得()()1120xe a +-=，因为110x e +≠，所以2a =． 故答案为：2a =. 【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线的公切线方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于较难试题.三、解答题 17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12,2(1)n n a S n a ==+．（1）求n S ； （2）若11n n n n a b S S ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：n 1T 2<．【答案】（1）()*(1)n S n n n N=+∈（2）证明见解析【解析】（1）利用-1(2)n n n a S S n =-≥的关系代入已知条件得111n n n S S n -+=-，再利用累乘法，即可求得答案； （2）利用裂项相消法求出n T ，即可证明不等式成立. 【详解】 （1）由()21n n S n a =+得()()()*n 121,2,n n S n S S n n N -=+-≥∈．整理得()()111n n n S n S --=+，即111n n n S S n -+=-，所以n 1231111112123n n n n n nn n n S S S S n n n n n n ---+++-==⋅=⋅⋅------ ()()1111154311233212n n n n n S a n n n n n ++-==⋅⋅⋅⋅==+---L L ．因为112S a ==，所以1S 也满足()1n S n n =+，所以()()*1n S n n n N =+∈．（2）Q 1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-⋅⋅()()()11112n n n n =-+++1111112n n n n ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．111111111111122323343445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦L1111111111112n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11111212n n ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()11212n n =-+⋅+． 因为*N n ∈，所以()()1112122n T n n =-<+⋅+．【点睛】本题考查数列递推关系、裂项相消法求和等基础知识，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 18．如图，四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BAD ︒∠=，2AB =．平面PCD ⊥平面ABCD ，PC PD =，E ，F 分别是BC ，PD 的中点．（1）求证：EF //平面PAB ；（2）若直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2 【解析】（1）取PA 中点M ，连接,BM MF ，证明四边形MBEF 是平行四边形，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；（2）分别以,,OA OC OP u u u r u u u r u u u r所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面PBC的一个法向量(n =r，设DE 与平面PBC 所成角为α，代入公式sin cos ,DE n α=u u r r u ，即可得答案； 【详解】（1）取PA 中点M ，连接,BM MF ，,M F Q 分别是,PA PD 的中点，//MF AD ∴，且12MF AD =， 菱形ABCD 中，E 是BC 的中点，//BE AD ∴，且12BE AD =， //MF BE ∴，且MF BE =，∴四边形MBEF 是平行四边形，//EF BM ∴，又EF⊄平面,PAB BM ⊂平面PAB ，//EF ∴平面PAB ．（2）取CD 中点O ，连接,,PO AO AC ，,PC PD PO CD =∴⊥Q ．∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面,ABCD CD PO =⊂平面PCD ，PO ∴⊥平面ABCD ，则PBO ∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBO ∠=︒．在BCO V 中，2,1,120BCCO BCO ==∠=︒，22221212cos1207,BO BO ∴=+-⨯⨯⨯︒=∴=Rt POE △中，tan451,POPO BO=︒== 如图，分别以,,OA OC OP u u u r u u u r u u u r所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则()(())30,1,0,,0,1,0,2,0,,02C P D BE ⎫-⎪⎪⎝⎭，)(5,0,,,02CB CP DE ⎫∴==-=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ．设平面PBC 的一个法向量(),,n x y z =r，由0,0,CB n CP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r得0,0,y y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令(x n ==r设DE 与平面PBC 所成角为α，1||||sin cos ,3n DE n DE D n E α⋅=====u u u r ru r u u r r u r u u ，∴直线DE 与平面PBC所成角的正弦值为31． 【点睛】本题考查线面平行、面面平行、面面垂直，直线与平面所成的角度等基础知识，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力、运算求解能力．19．已知圆22:3O x y +=，直线PA 与圆O 相切于点A ，直线PB 垂直y 轴于点B ，且2PB PA =．（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）直线PA 与E 相交于,P Q 两点，若POA V 的面积是QOA △的面积的两倍，求直线PA 的方程．【答案】（1）221(0)43x y x +=≠（2）22y x =±+或22y x =±-．【解析】（1）设(),P x y ，则2222||33PA PO x y =-=+-，22||PB x = ，代入2PB PA =中可求得轨迹方程；（2）当直线PA 的斜率不存在时，不满足题意，设直线()()1122:,,,,PA y kx m P x y Q x y =+,由直线与圆相切和面积关系，可求得,m k 的值，从而求得直线的方程. 【详解】 （1）设(),P x y ，则2222||33PA PO x y =-=+-，22||PB x = ，由2PB PA =得，22|4|PB PA =，所以()22243x x y =+-，化简得22143x y +=．故点P 的轨迹E 的方程为()221043x y x +=≠．（2）当直线PA 的斜率不存在时，不满足题意． 设直线()()1122:,,,,PA y kx m Px y Q x y =+．由直线PA 与圆O()2231m k ==+．由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()2223484120k x kmx m +++-=， 所以12221228,34412.34km x x km x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由2POAQOA S S =V V得，112,2,22PA QA PA QA ⎛⎫== ⎪⎝⎭又|||PA QA ==，所以224||||9OQ OP -=，()()2222112249xy x y +-+=()()2222112249x y x y +-+=，12||2||x x =因为2212224121203434m k x x k k-==>++，所以122x x =．因为()()()()222222122222122816116344123434334km k x x k m k m x x k k m k -⎛⎫⎪+++⎝⎭===-++-+， ()()22122221222922x x x x x x x ++==， 所以()221619,342k k m k +===+． 故直线PA的方程为22y x =±+或22y x =±-【点睛】本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．20．“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A ，B 两套测试方案，现各抽取100名员工参加A ，B 两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如下频率分布表．（1）从预测试成绩在[25,35)[85,95]U 的员工中随机抽取6人，记参加方案A 的人数为X ，求X 的最有可能的取值；（2）由于方案A 的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A 进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩x 与绩效等级优秀率y ，如下表所示：根据数据绘制散点图，初步判断，选用xy μλ=e 作为回归方程．令ln z y =，经计算得0.642z =-，7172210.02i i i ii x znxz xnx==-≈-∑∑，ln0.15 1.9≈-．（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩2~(,)x N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？ 参考公式与数据：（1）ln3.32 1.2≈，ln5.2 1.66≈，20s ≈．（2）线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x ynxy bxnx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-． （3）若随机变量，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=．【答案】（1）X 最有可能的取值为1．（2）（ⅰ）0.498．（ⅱ）0.1587．【解析】（1）随机变量X 服从超几何分布，记这6人中接受方案A 预测试的人数为k ，则()6520625k kC C P X k C -⋅==，其中{}0,1,2,3,4,5k ∈，可得()()max 1P x k P x ===，即可得答案；（2）（i ）依题意，xy e μλ=⋅两边取对数，得ln ln y x μλ=+，求得回归方程故0.020.15ˆxye =⋅，再将当60x =代入，即可得答案；（ii ）由（i ）及提供的参考数据可知，63,20x s μσ≈=≈≈，记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A ，则()()830.1587PA P x =≥=，即可得答案；【详解】（1）预测试成绩在[)[]25,3585,95⋃的员工中，接受方案A 测试的有()1000.020.035⨯+=人；接受方案B 测试的有()1000.160.0420⨯+=人．依题意，随机变量X 服从超几何分布，记这6人中接受方案A 预测试的人数为k ，则()6520625k kC C P X k C -⋅==，其中{}0,1,2,3,4,5k ∈． 152406334251520520520520520520C C C C C C C C C C C C ⋅>⋅>⋅>⋅>⋅>⋅，得()()max 1Px k P x ===，即1X =的可能性最大，故X 最有可能的取值为1．（2）（i ）依题意，xy e μλ=⋅两边取对数，得ln ln y x μλ=+，即ln z x μλ=+，其中63x=，由提供的参考数据，可知0.02μ=，又0.6420.0263ln λ-=⨯+，故ln 1.9λ≈-，由提供的参考数据，可得0.15λ≈，故0.020.15ˆxye =⋅，当60x =时，ˆ0.498y≈． （ii ）由（i ）及提供的参考数据可知，63,20x s μσ≈=≈≈．0.78y ≥，即0.020.150.78x e ⋅≥，可得0.02ln5.2x ≥，即83x ≥．又83μσ+=，且()0.6826P X μσμσ-<<+=， 由正态分布的性质，得()183[1()]0.15872P x P x μσμσ≥=--<<+=， 记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A ，则()()830.1587PA P x =≥=，所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率等于0.1587． 【点睛】本题考查超几何分布、不等式、回归分析、正态分布等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、推理论证能力、创新意识；考查统计与概率思想、化归与转化思想. 21．已知函数2211()()ln 24f x x ax x x ax =--+． （1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（1）1a =．（2）0,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）对函数进行求导得()()ln f x x a x =-'，由()f x 在()0,+∞单调递增，得()0f x '≥，即()ln 0x a x -≥ ，利用分析法，对x 进行分类讨论，即可得答案；（2）利用隐零点法求出函数()gx 最小值为()()000011ln 24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，得()000031ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数令()31ln ln (1)42x x x x x x e ϕ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，的值域，即可得答案； 【详解】 （1）()()ln f x x a x =-'．因为()f x 在()0,+∞单调递增，所以()0f x '≥，即()ln 0x a x -≥（i ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤； （ii ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；（iii ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥． 综上述，1a =． （2）()()()()211111ln ,ln ,24242f x a a g x x a x x a g x x g x xx x x '⎛⎫==--+=-+=+ ⎝⎭''⎪．因为1344a e <<，所以()0g x ''>，所以()g x '在()0,+∞单调递增 又因为()()1310,04e 4a g a g e ''=-+=-+， 所以存在()01,x e ∈，使()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．故()gx 最小值为()()000011ln 24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭． 由()00g x '=，得00011ln 24a x x x =+，因此()000031ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()()11ln ,1,24x x x x x e τ=+∈，则()13ln 024x x τ=+>'， 所以()x τ在区间()1,e 上单调递增．又因为1344a e <<，且()()131,44e e ττ==， 所以01x e <<，即0x 取遍(1,)e 的每一个值, 令()31ln ln (1)42x x x x x x e ϕ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则()()()21131ln ln 2ln 3ln 102444x x x x x ϕ=--+=-+->'， 故函数()x ϕ在(1,)e 单调递增．又()()e 10,4e ϕϕ==，所以()e 04x ϕ<<，故函数()h a 的值域为e 0,4⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查函数的单调性与极值、导数的应用等基础知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意构造函数，再借助导数研究函数的图象与性质的运用.22．直角坐标系xOy 中，圆1:C 2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为42sin cos ρθθ=-．（1）求2C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）设l 与两坐标轴分别相交于,A B 两点，点Q 在2C 上，求QAB V的面积的最大值． 【答案】（1）2214x y +=，240x y -+=（2）4+，【解析】（1）把cos ,sin x y ρθρθ==代入直线的极坐标方程，可得240x y -+= ；求出曲线2C 的参数方程为2,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），再消参化成普通方程；（2）不妨设()()4,0,0,2AB -，所以AB ==()2cos ,sin Q θθ，令Q 点到直线l 的距离为d ，利用三角形的面积公式和三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】 （1）由42sin cos ρθθ=-得2sin cos 4ρθρθ-=．把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式可得直线l 的直角坐标方程为240x y -+=因为圆1C 的参数方程为2,2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．设()00,x y 为圆1C 上任意一点，在已知的变换下变为2C 上的点(),x y ，则有00,1,2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩因为002,2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以222x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩，曲线2C 的参数方程为2,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．可得普通方程为2214x y +=．（2）不妨设()()4,0,0,2A B -，所以AB ==设()2cos ,sin Qθθ，令Q 点到直线l 的距离为d ，则QAB V的面积12S AB d =⨯⨯，d ==当且仅当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即74πθ=时，max d =所以max142S =⨯=+ 所以QAB V面积的最大值4+，相应Q点的坐标为2⎫-⎪⎪⎭．【点睛】本题考查参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，曲线的伸缩变换等基础知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 23．已知函数()23f x x x mx =++-+．（1）当1m =时，求不等式()8f x ≤的解集；（2）当01m <≤时，证明：()3f x ≥．【答案】（1）7,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）证明见解析【解析】（1）当1m =时，作出函数()f x 的图象，令218x -+=，解得72x =-，从而得到不等式的解集； （2）利用三角不等式得到235x x ++-…，所以()5f x mx +…，再证明53mx +≥，即可得答案；【详解】（1）当1m =时，()23f x x x x =++-+，所以()31,3,235,23,21,2,x x f x x x x x x x x -⎧⎪=++-+=+-<⎨⎪-+<-⎩…„且()()38,23f f =-=，作出函数()f x 的图象，如图，令218x -+=，解得72x =-， 由图可知()8f x „的解集为7,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）因为()()23235x x x x ++-+--=…， 当且仅当()()230x x +-≤即23x -≤≤时等号成立，所以()5f x mx +…． 又[]2,3x ∈-时，5253mx m +≥-+≥， 所以()3f x …． 【点睛】本题考查绝对值不等式、均值不等式等基础知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
2020届福建省高三毕业班3月质量检测考试数学(理)试题(解析版)
2．若复数 满足
,则
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计
算公式求解．
【详解】
由（z+1）i＝1+i，得 z+1
，
∴z＝﹣i，则|z|＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．经统计,某市高三学生期末数学成绩
则
，解得 n
，
∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C
，
令 f（k）
（k
），则 f′（k）
，
令 f′（k）＝0 可得 k
或 k （舍），
∴当 k
时，f′（k）＞0，当
k
时，f′（k）＜0，
∴当 k
时，f（k）取得最大值 f（ ）
．
故选：D．
【点睛】 本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方 法，属于较难题．
2020 届福建省高三毕业班 3 月质量检测考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
【答案】C
【解析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】
= D．
，
；
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 故选：C． 【点睛】
考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．
14．若 【答案】60
展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是______.
【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x
福建省泉州市2020届高三上学期单科质量检查数学(文)(答题全析——解答题部分)
整理，得 3 sin A sin Acos C cos Asin C ，即 3 sin A sin( A C) ，····························4 分
又因为 A B C π ，所以 sin B 3 sin A ，································································ 5 分 所以 b 3 ．············································································································ 6 分
数学建模等核心素养的关注．
【试题简析】
解法
1:（1）在 △ABC
中，由正弦定理，得
a sin
A
b sin B
c sin C
，··········································
1
分
从而由 a( 3 cos C) c cos A ，可得 sin A( 3 cos C) sin C cos A ，······························ 2 分
解法 2：（1）同解法 1；······································································································ 6 分
（2）由（1）知， BN // 平面 ADM ，
所以点 N 到平面 ADM 的距离等于点 B 到平面 ADM 的距离，··········································· 8 分
福建省泉州市2020届高三上学期单科质量检查物理试题(解析版)
泉州市2020 届普通高中毕业班单科质量检查物理试题（满分：100 分考试时间：90 分钟）注意事项：1．考试前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确黏贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(40分)一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分。
1-6选项中只有一个正确，7-10有多个选项正确，全选对得4分，选对不全得2分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一质点在某段时间内沿曲线从a点运动到b点，在a、b两处该质点的速率均不为零，则在这段时间内（）A. 该质点的加速度方向一定不断改变B. 该质点所受的合外力大小一定不断改变C. 合外力对该质点做的功一定不为零D. 合外力对该质点的冲量一定不为零2.如图，重型自卸车利用液压装置使车厢缓慢倾斜到一定角度，车厢内的石块就会自动滑下。
在石块下滑前，下列说法正确的是（）A. 车厢对石堆的摩擦力随倾角的增大而减小B. 石堆对车厢的压力随倾角的增大而增大C. 石堆中间某个石块受到周围其它石块的作用力不变D. 石堆中间某个石块受到周围其它石块的作用力变小N的两端用导线ab直接连起来。
当闭合S后，铁芯吸住衔铁A，开关触头B就将高压电路接通；当断开S 时，衔铁仍被铁芯吸住，一会儿后才被弹簧C拉上去，从而实现延时断开电路的目的。
下列说法正确的是（）A. 起延时效果的主要部件是线圈MB. 闭合S电路稳定工作后，导线ab中有从a流向b的感应电流C. 断开S瞬间，导线ab中有从a流向b的感应电流D. 电源E的正负极对调接入后，该装置就没有延时效果4.一小石子从靠近竖直墙面的a点由静止开始落下。
泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查(理科数学)2020市4月质检解答题参考答案
理科数学试题答案及评分参考
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置。
13．2
14． 4 3
15． ( 3 , 0) ， 27
4
4
16． ( 2 7 , 2] 7
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
4
4
思路探求 2：由题目已知条件∠DAC 2∠ACB ，可将所要的角转化到 △ACD 中，利用正弦定理求
市质检数学（理科）参考解答与评分标准 第 2页 共 12页
出 AC ，再将 AC 用 Rt△ABC 中边角来表示，最后再由等量代换求解即可得.
（2）解法二
设∠ACB= ， AB x ，
则∠DAC 2 ， DC 3x .......................................................................7 分
4sin θ cos θ sin θ
解得 cos θ 3 即 cos∠ACB= 3 .....................................................................12 分
又∠DAC 2∠ACB= π ，∠ADC= π ，
3
3
所以 △ADC 为等边三角形，所以 AD 2 .......................................................................4 分
在 △ABD 中，由余弦定理得， BD2 AB2 AD2 2AB AD cos∠BAD ，
福建省泉州市2019-2020学年高三上学期第一次综合质量检查理科数学(理)试题
福建省泉州市2019-2020学年高三上学期期末质检文数学试题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-≥，则A =R （ ） A ．(,0]-∞B ．[2,)+∞C ．(0,2)D ．(,0][2,)-∞+∞2．若复数(2i)(1i)a -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．若ππ2sin()cos()445αα--=-，则cos2=α（ ） A ．45- B ．25- C ．25 D ．454．新中国成立70周年，社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国，其中，“快闪”因其独特新颖的传播方式吸引大众眼球.根据腾讯指数大数据，关注“快闪”系列活动的网民群体年龄比例构成，及男女比例构成如图所示，则下面相关结论中不正确的是（ ）A ．35岁以下网民群体超过70%B ．男性网民人数多于女性网民人数C ．该网民群体年龄的中位数在15～25之间D ．25～35岁网民中的女性人数一定比35～45岁网民中的男性人数多5．设E 是中心在坐标原点的双曲线．若(2,0)A 是E 的一个顶点，(4,0)F -是E 的一个焦点，则E 的一条渐近线方程为（ ）A ．13y x =B ．y x =C ．y =D ．3y x =6．已知等差数列{}n a 中，36+8a a =，则475+a a =（ ）A ．32B ．27C ．24D ．167．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于（ ）A ．12B ．8C ．6D ．48．函数()sin f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．10．若直线0x ay -=与函数e ()xf x x=的图象有且只有一个公共点，则a 的取值范围为（ ）A ．24(,0)(,)e-∞+∞ B ．24(,)e +∞ C ．2e (,)4+∞ D ．21e (,)e 411．若椭圆E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E 的离心率等于（ ）A B C ．12 D12．已知函数π()sin()(0,02f x x ωϕωϕ=+><<）．若π()8f x -为奇函数，π()8f x +为偶函数，且()2f x =在π(0,) 6至多有2个实根，则ω的最大值为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．18第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知向量,a b ，且()=3,2a -，()=52a b +，，则b =____________. 14．若,x y 满足约束条件0,10,220,x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则32z x y =+的最大值为___________.15．已知直线:(1)10()l mx m y m R +--=∈与圆22:8O x y +=交于,A B 两点，,C D 分别为,OA AB 的中点，则AB CD ⋅的最小值为____________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在棱1AA 上，四棱锥11P BDD B -的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积取值范围是_____________．三、解答题17．记数列{}n a 的前n 项和为n S ．若233n n S a =-.（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设9log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 18．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知cos )cos a C c A =． （1）求b a； （2）求cos A 的最小值．19．如图，MA ⊥平面ABCD ，CN ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，1CN =，3AM =.（1）证明：//BN 平面ADM ；（2）求三棱锥N ADM -的体积.20．已知抛物线E 的顶点在原点，焦点在y 轴上，过点(1,0)A 且斜率为2的直线与E 相切．（1）求E 的标准方程；（2）过A 的直线l 与E 交于,P Q 两点，与y 轴交于点R ，证明：2AR AP AQ =⋅． 21．已知函数2()(1)ln 2a f x x a x x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，e ()2f x -≥，求a 的取值范围． 22．在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标． 23．已知函数1()||||f x x a x a =++-． （1）证明：()2f x ≥；（2）当12a =时，()f x xb +≥，求b 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再进行集合的补运算，即可得答案.【详解】 因为{}220A x x x =-≥，所以(,0][2,)A =-∞+∞，则(0,2)A =R . 故选：C ．【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、补集的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．A【解析】【分析】先对得数进行乘法运算，再利用纯虚数的概念，得到实数a 的值.【详解】复数(2i)(1i)a -+(2)(2)i a a =++-为纯虚数，所以20a +=，解得2a =-.故选：A.【点睛】本题考查复数的四则运算、纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3．A【解析】【分析】 先利用倍角公式得到π4sin(2)25α-=-，再利用诱导公式求得cos2α的值. 【详解】 因为ππ1ππ2sin()cos()2sin()cos()442445αααα--=⋅⋅--=-，所以π4sin(2)25α-=-，即4cos 25α=-. 故选：A ．【点睛】 本题考查倍角公式、诱导公式的应用，考查基本运算求解能力，求解时注意符号的正负. 4．D【解析】【分析】对A ，利用频率分布直方图可得比例；对B ，由男女比例构成图可得结论；对C ，由频率分布直方图可估计中位数；对D ，无法判断；故可得答案.【详解】对A ，依题意可得，35岁以下网民群体所占比例为74%，故A 正确；对B ，由男女比例构成图可得男性所占比例为55%，故B 正确；对C ，因为15岁以下所占比例为23%，35岁以下所占比例为54%，故该网民群体年龄的中位数在15～25之间，故C 正确；对D ，答案无法判断，故D 错误．故选：D.【点睛】本题考查统计中的频率分布直方图和丙图，考查数据处理能力和阅读理解能力，求解时要充分提取图中的信息，防止对问题的片面理解.5．C【解析】【分析】由已知条件得,,a b c 的值，从而得到双曲线的方程，再利用渐近线方程的定义，求得答案.【详解】由已知双曲线的焦点在x 轴上，2a =，4c =，所以b ==，所以双曲线E 的渐近线方程为b y x a=±，即y =. 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线方程、渐近线方程，考查基本运算求解能力，属于基础题.6．C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，将等式36+8a a =化成关于1,a d 的方程，再整体代入，求得式子475+a a 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差d ，则361278a a a d +=+=，所以471156213(27)24a a a d a d +=+=+=.故选：C ．【点睛】本题考查等差数列中的基本量运算，考查整体思想的运用，求解的关键是将1278a d +=整体代入所求的式子，考查运算求解能力.7．C【解析】【分析】根据几何体的三视图可得该几何体为直三棱柱，再利用体积的计算公式求得答案.【详解】由已知可得该“堑堵”是直三棱柱， 所以体积123262V =⨯⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题以数学文化为背景，考查三视图还原几何体的直观图，并求柱体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力.8．B【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除两个选项，再根据π[0,]2上的单调性，即可得到正确答案.【详解】因为()sin f x x x =的定义域为R 关于原点对称，且()()[sin()]()f x x x f x -=--=， 所以()f x 为偶函数，故排除C ，D ；因为'()sin cos 0f x x x x =+≥在π[0,]2x ∈恒成立， 所以()sin f x x x =在π[0,]2上单调递增.故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性选择函数图象，考查数形结合思想的运用，求解时要注意排除法的应用.9．C【解析】【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示.【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n n a a ----⋅=.故选：C.【点睛】 本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.10．B【解析】【分析】 由0e xx ay y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得2(0)e x x a x =≠，将问题转化为直线y a =与曲线2(0)e x x y x =≠恰有一个公共点，利用导数研究函数2(0)ex x y x =≠的图象，从而求得a 的取值范围. 【详解】 由0e x x ay y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得2(0)e x x a x =≠，则依题意，可知直线y a =与曲线2(0)e x x y x =≠恰有一个公共点， 令2()(0)ex x f x x =≠，则22'22e e 2()(e )e x x x x x x x x f x ⋅-⋅-==， 当'()002f x x >⇒<<；当'()00f x x <⇒<或2x >；所以()f x 在(,0),(2,)-∞+∞单调递减，在(0,2)单调递增，如图所示，作出y a =与2(0)e x x y x =≠的图象， 因为两个函数图象有且只有一个公共点， 所以24ea >.故选：B【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合思想的运用，求解时要注意利用导数的工具性研究函数的单调性，从而作出函数的草图，考查运算求解能力.11．D【解析】【分析】由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只须考虑三种情况，作出图形，从而求得椭圆的离心率.【详解】依题意，由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只须考虑三种情况：（1）如图1，若以顶点D 焦点B 为菱形顶点，C 为中心，则DC BC ⊥，由勾股定理得，2222()()a b a a c ++=+，由222b a c =-化简得220c ac a +-=，两边同除以2a ，得210e e +-=，又因为01e <<，可得e =． （2）如图2，若以焦点A ,B 为菱形顶点，C 为中心，则AC BC ⊥，故45OCB ∠=，易得2c e a ==；（3）如图3，若以焦点B 为菱形的中心，C ,E 为顶点，则CB EB ⊥，易得c e a ==，故选D.【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的对称性性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是画出几何图形，并能进行完整的分类讨论.12．A【解析】先根据函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，求出π4ϕ=后，再利用换元法，求出()f x=在π(0,)6至多有2个实根时，ω的取值范围，从而得到ω的最大值.【详解】由题意，得π(0)8-，为()f x的图象的对称中心，直线π8x=为()f x的图象的一条对称轴，所以1122ππ8,ππ+π82kk kkωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩Ζ（），两式相加得12ππ42k kϕ+=+，又因为π2ϕ<<，所以π4ϕ=，代入2ππ+π82kωϕ+=，得82()k kω=+∈Ζ，因为π(0,)6x∈时，ππππ(,)4464t xωω=+∈+，即由已知可得sin2t=，πππ(,)464tω∈+至多有2个实根，即ππ11π644ω+≤，由此可得015ω<≤，又因为82()k kω=+∈Ζ，所以1k=时ω的最大值为10，故选：A．【点睛】本题考查三角函数的图象和性质的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意三角函数的周期性特点，同时要注意换元法的灵活运用.13．【解析】【分析】先根据向量的坐标运算求得b的坐标，再代入向量模的公式中.【详解】因为()(2,4)b a b a=+-=，所以224b=+=故答案为：本题考查向量坐标运算及模的求解，属于基础题.14．4【解析】【分析】作出约束条件所表示的可行域，再根据直线截距的最大值，求得目标函数的最大值.【详解】不等式组表示的可行域如图所示：由32z x y =+得322z y x =-+在y 轴上的截距越大，z 越大， 所以当直线322z y x =-+过点()0,2A 时，z 取得最大值， 所以z 的最大值为4.故答案为：4【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合思想的运用，求解时要注意将目标函数的最大值看成直线在y 轴上截距的最大值.15．【解析】【分析】先求出直线l 恒过点(1,1)P ，再观察AB CD ⋅中可转化成只含||AB 的变量，进而研究||AB 的最小值，即可得到答案.【详解】直线l 的方程可化为()10m x y y -+-=，由0,10,x y y -=⎧⎨-=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩，直线l 恒过点(1,1)P ，因为,C D 分别为,OA AB 的中点，所以12CD OB =.当OP AB ⊥时，AB 最小，此时AB =所以AB CD AB ⋅故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想、转化与化归思想的运用，求解的关键是找到以||AB 为变量进行研究最值.16．25π[3π,]8【解析】【分析】设11,O P x O G y ==，根据几何关系得到222R x y =+，22222R y ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到,x y 的关系，再利用消元法，得到222254R x y y =+=+，最后利用一元二次函数的性质，得到2R 的取值范围，从而得到球O 的表面积取值范围.【详解】如图，设球O 的球心为G ，1AA 的中点1O ，1CC 的中点2O ，12O O 的中点O ，且1OO =，OA OB ==因为11,,,B D D B 在球面上，所以球心在线段2OO 上，点P 也在球面上，GP GB R ==.设11,O P x O G y ==.则2OG y =-. 在1Rt O PG △中，222R x y =+…………①在Rt BOG △中，222R y ⎛=+ ⎝⎭⎝⎭…………②,联立①②，得254x =-，因为102x ≤≤，所以28y ≤.所以2222253325([,]424432R x y y y =+=-+=-+∈， 所以球O 的表面积取值范围为25[3π,π]8. 故答案为：25π[3π,]8【点睛】 本题考查四棱锥与球的切接问题、球的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，求解的关键是先确定以什么为变量进行研究. 17．（1）证明见解析；（2）n T =41n n +. 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到()132n n a n a -=≥，从而证明数列{}n a 为等比数列；（2）根据对数运算得到2n n b =，再利用裂项相消法对数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭进行求和. 【详解】（1）由已知，得233n n S a =-，……①当2n ≥时，11233n n S a --=-，……②①—②，得-1-122(33)(33)n n n n S S a a -=---，即-1233n n n a a a =-， 整理，得()132n n a n a -=≥， 又由11233S a =-，得1=30a ≠，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得=3n n a ，所以9log 32n n n b ==， 所以()11411=4()11n n b b n n n n +=-++， 故n T =111111144()+4()++4()4(1)1223111n n nn n ---=-=+++. 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列的定义、裂项相消法求和，考查转化与化归思想的运用， 考查基本运算求解能力.18．（1（2. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将等式cos )cos a C c A =进行“边化角”得到sin()A A C =+，再利用三角形的内角及正弦定理进行“角化边”，从而求得b a的值；（2）利用余弦定理求得cos A 的表达式，再利用基本不等式求得最小值.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C ==，从而由cos )cos a C c A =，可得sin cos )sin cos A C C A =，sin cos cos sin A A C A C =+sin()A A C =+，又因为πA B C ++=，所以sin B A =，所以b a=（2）由（1）不妨设b ==11c <<， 在ABC 中，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，所以22222cos ()3A c c ===+≥，当2c c =即c =cos A 取到最小值为3． 【点睛】本题考查正余弦定理、三角形内角和、三角恒等变换的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，求解cos A 的最小值时，要注意基本不等式的运用及取到最值的条件验证.19．（1）证明见解析；（2.【解析】【分析】（1）证明平面//BCN 平面ADM ，从而得到线面平行；（2）由（1）知，//BN 平面ADM ，所以点N 到平面ADM 的距离等于点B 到平面ADM 的距离．取AD 的中点E ，连接BE ，BD ．证明BE ⊥平面ADM ，故所以点N 到平面ADM 的距离为BE ，再将数据代入体积公式求解．【详解】（1）因为MA ⊥平面ABCD ，CN ⊥平面ABCD ，所以//MA NC ，又MA ⊂平面ADM ，NC ⊄平面ADM ，所以//NC 平面ADM .因为四边形ABCD 是菱形，所以//BC AD ，又AD ⊂平面ADM ，BC ⊄平面ADM ，所以//BC 平面ADM ，又BC NC C =，BC ⊂平面BCN ，CN ⊂平面BCN ，所以平面//BCN 平面ADM ，又BN ⊂平面BCN ，所以//BN 平面ADM .（2）由（1）知，//BN 平面ADM ，所以点N 到平面ADM 的距离等于点B 到平面ADM 的距离．取AD 的中点E ，连接BE ，BD ．因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以ABD △是边长为2的等边三角形，所以BE AD ⊥，且BE =又因为MA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以MA BE ⊥，又MA AD A =，MA ⊂平面ADM ，AD 平面ADM ，所以BE ⊥平面ADM ，故所以点N 到平面ADM 的距离为BE ．所以三棱锥N ADM -的体积11123332N ADM ADM V S BE -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查线面平行、面面平行的位置关系、三棱锥体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，在证明平行关系时，注意定理条件的完整性.20．（1）22x y =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由判别式等于0，求得抛物线方程中的参数值，进而得到抛物线的方程；（2）设l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，利用两点间的距离公式，并进行消参，将线段AR AP AQ ，，分别用k 进行表示，从而证明等式成立.【详解】（1）过点(1,0)A 且斜率为2的直线方程为2(1)y x =-，即22y x =-，设E 的方程为2(0)x ay a =≠， 由222,,y x x ay =-⎧⎨=⎩消去y ，得2220x ax a -+=， 因为直线与E 相切，所以2480a a ∆=-=，解得0a =（舍去）或2a =，所以E 的标准方程为22x y =.（2）设l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ．令0x =，得y k =-，即(0,)R k -，由2(1),2,y k x x y =-⎧⎨=⎩消去y ，得2220x kx k -+=， 因为l 与E 相交，所以2480k k ∆=->，解得2k >或k 0<，设，则12122,2x x k x x k +==，11AP =-，21AQ =-， 从而222211212(1)11(1)()11AP AQ k x x k x x x x k ⋅=+--=+-++=+， 又221AR k =+， 所以2AR AP AQ =⋅. 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解、考查弦长公式、韦达定理等知识，考查方程思想、转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，求解时注意变量思想和消元思想的灵活运用.21．（1）答案见解析；（2）1[,)e +∞.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再利用导数对函数进行求导，对参数分0a ≤和0a >两种情况讨论后，得到函数的单调区间；（2）先证当0a ≤不等式在1x ≥不会成立，再进一步证明0a >时，()f x 在1(0,)a单调递减，在1()a +∞，单调递增．再对a 分1a ≥和01a <<两种情况，研究各自的最小值大于等于e 2-，从而求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--==， 当0a ≤时，10ax ，则()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减；当0a >时，令()0f x '>，得1x a >；令()0f x '<，得10x a<<， 故()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1()a +∞，单调递增. 综上，可得当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递减； 当0a >时，()f x 在1(0,)a 单调递减，在1()a +∞，单调递增. （2）①当0a ≤时，因为242e (e )e (1)e 2222a f a =+--<-<-，所以0a ≤不符合题意； ②当0a >时，由（1），知()f x 在1(0,)a 单调递减，在1()a+∞，单调递增． （ⅰ）当11a ≤即1a ≥时，1()(1)()0a x x a f x x-+'=≥，所以()f x 在[1,)+∞单调递增， 故31e ()(1)1222f x f a =->-≥≥，故1a ≥满足题意.（ⅱ）当11a >即01a <<时，()f x 在1[1,)a 单调递减，在1(,)a+∞单调递增， 故min 111()()1ln 2f x f a a a ==--， 当1x ≥时，e ()2f x -≥，当且仅当1e ()2f a -≥， 令1()1ln (0)2g t t t t =-->，则11()02g t t'=--<，故()g t 在(0,)+∞单调递减， 又e (e)2g =-，从而由1e ()2f a -≥即1()(e)g g a ≥，可得1e a ≤，解得11ea <≤， 综上，可得a 的取值范围为1[,)e+∞． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，分类讨论时要做到不重不漏.22．（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）2-或(2 【解析】【分析】（1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.【详解】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……① 将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）． （2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P到直线OA的距离为d==，所以111222OAPS OA d d=⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP△，此时P的坐标为2-或(2.【点睛】本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力.23．（1）证明见解析；（2）1 (,]2 -∞.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围. 【详解】（1）111()||||||||||2f x x a x a aa a a=++-+=+=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b +≥，当且仅当(2)2f b +≥，解得12b =， 故b 的取值范围为1(,]2-∞．【点睛】 本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。
2020届泉州市高三毕业班线上质量检测理科数学试题(带答案解析)
绝密★启用前2020届泉州市高三毕业班线上质量检测理科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．集合}230A x x x =-<，2{}0|B x x =-≥，则()A B =R I ð( ) A ．{|02}x x <≤ B ．{} 2|0x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{}|03x x <<2．设复数()2112i z i+=-，则z =( )A ．5B ．25C D ．433．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度() / mg ml 的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:h )，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值()1,2,3i =. 记i V 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则123,,V V V 中最小的，123,,T T T 中最大的分别是( )○…………外…………线…………○……○…………内…………线…………○……A ．23,V TB ．22,V TC ．13,V TD ．12,V T4．已知{}n a 是公差为3的等差数列.若124,,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S =( ) A ．165B ．138C ．60D ．305．若()()()()()()523450123452111111x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则4a =( )A ．10B ．10-C ．80D ．80-6．已知函数()f x 满足()()2 f x f x +=-，且当1x >时，()3f x x =，则()f x 的图象在()()0, 0f 处的切线方程为( ) A ．128y x =+ B ．128y x =-+ C ．128y x =- D ．128y x =--7．已知函数2,0()32,0xx b x f x b x ⎧++>=⎨+≤⎩，若()f x 在实数集上为增函数，则常数b 满足（ ） A ．0b <B ．0b >C ．01b ≤≤D ．1b >8．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )…………装…………○……学校:___________姓名：___________班级：____…………装…………○……A ．32 B ．3 C ．23D ．439．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式:设ABC V 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin sin 5C c A =，且()()40,a b c a b c +---+=则利用“三斜求积”公式可得ABC V 的面积S =( ) A ．2B ．2C ．4 D10．已知双曲线：()22221,0x y a b a b-=>，点P 的坐标为()1,2-，斜率为18-的直线与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，直线AP 交双曲线于另一点C ，直线BP 交双曲线于另一点D .当直线CD 的斜率为18-时，此双曲线的离心率为（ ）A B ．32C D ．52二、多选题11．如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数，则下列结论正确的是( )…线…………○………线…………○……A．()39f=B．()()71f=C．若()6f t≥，则[]212,512N()t k k k∈++∈D．不论t为何值，()()()4?8f t f t f t++++是定值12．已知()f x是定义在R上的奇函数，()()11f x f x+=-.若()11f=，则( )A．()f x是周期函数B．当n为偶数时，()0f n=C．()()()()222122336616f f f f+++⋅⋅⋅+=D．()()()()()22222233 (4242881)1f f f n f n n n++++++=++第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．已知向量(1,1),a=(2,1)b=r，若()()a b a bλ-⊥+r rr r，则实数λ的值为________.14．已知数列{}n a的各项均为正数，且2*116N()nn nnaa a na++=+∈，则4725a aa a+=+__________.15．已知()2:20C y px p=>的准线l与x轴交于点A，点,B P在C上，ABFV是面积为2的等腰直角三角形，则C的方程为__________；PFPA的最小值为__________.16．已知三棱锥P ABC-中，平面PAB⊥平面30ABC PAB∠=︒,，…………○…………装………订…………○……学校:___________姓名：_________考号：___________…………○…………装………订…………○……6,10AB PA CA CB ==+=.设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为__________. 四、解答题17．如图，已知在平面四边形ABCD 中，,CAB a ABC ACB βγ∠=∠=∠=,，且()()2cos sina sin sin cosa cos γβγβ+=--.（1）证明:2CA CB AB +=；（2）若21CA CB DA DC ===,，求四边形ABCD 的面积的取值范围.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4,D 是AC 的中点，E 在11A C 边上，113EC A E =.（1）证明:平面1BC D ⊥平面11ACC A ；（2）若F 是侧面11ABB A 内的动点，且//EF 平面1BC D .①在答题卡中作出点F 的轨迹，并说明轨迹的形状(不需要说明理由)； ②求二面角1C BD F --的余弦值的最大值.19．设椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点.（1）若2AF FB =u u u r u u u r，求l 的方程；（2）设过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点P ，若M 是PAB △的外心，证明:ABMF为定值.20．某游戏棋盘上标有第0,1,2,,100⋅⋅⋅站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明:11119)3(183n n n n P P P P n +-+=+≤≤；（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平. 21．已知函数()xaxf x x lnx e =-+. （1）当1a ≥-时，讨论()f x 的极值点个数； （2）若0x >时，()f x e ≤-，求a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为4,,x t y kt =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k=，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线C .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 的极坐标方程； （2）已知点,A B 在C 上，4AOB π∠=，求AOB V 的面积的最大值.23．已知关于x 的不等式2321x x a x -+-≥-的解集为R . （1）求a 的最大值m ；（2）在（1）的条件下，若1p >，且22pq p q m --=-，求p q +的最小值.参考答案1．B 【解析】 【分析】利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】}{}{(3)003A x x x x x =-<=<<，}{2B x x =≥，}{2R B x x =<ð，则(){}{}{}03202R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<ð， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算以及复数模的求法即可求解. 【详解】复数()2124212125i i iz i i +-+===--，5z == 则复数z， 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】根据图像，依据题意逐个判断得出答案. 【详解】①设(),i i i A x y ，则ii iy V x =，即直线i OA 的斜率，由图可知，直线2OA 的斜率最小，即2V 最小；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应132,,A A A 在首次降到峰值一半时对应点，不妨记为132,,B B B ，由图可知2A 到2B 经历的时间最长，所以123,,T T T 中最大的是2T . 故选：B. 【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力以及转化与化归的思想，考查了图中量的几何意义，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】利用等比中项以及等差数列的通项公式求出13a =，再利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由124,,a a a 成等比数列得2214a a a =即()()211139a a a +=+解得13a =，101109101034531652S a d ⨯=+⨯=⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】由()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用二项式展开式的通项即可求解. 【详解】()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，通项()()515211rrrr T C x -+=+-⎡⎤⎣⎦，故当1r =时，()()()511411+15=211801T C x x -+-=-+⎡⎤⎣⎦，所以480a =-.故选：D 【点睛】本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据题意可得()f x 关于直线1x =对称，从而可得()()028f f ==，且()'012k f ==-，利用点斜式即可求解. 【详解】依题意由()()2 f x f x +=-，可得()()1 1f x f x +=-， 所以()f x 关于直线1x =对称， 所以()()028f f ==，当1x >时，()3f x x =，则21x -<所以()()()332226128f x f x x x x x =-=-=-+-+， 所以()231212f x x x '=-+-()'012k f ==-，故切线为：128y x =-+， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的对称性以及导数的几何意义，求出函数的导函数以及切点，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R 上递增，则有0221b b b -≤⎧⎨+≥+⎩，解得不等式，即可求出结果． 【详解】因为()f x 在实数集上为增函数，所以001221b b b b -≤⎧⇒≤≤⎨+≥+⎩，故选C. 【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果． 8．A 【解析】 【分析】根据三视图得出几何体的直观图，然后再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -的边长为3，,M N 分别为AB ，1DD 的三等分点，且11BM D N ==.三棱锥1N B MB -即为所求三棱锥，11313322V ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，同时考查了椎体的体积公式，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得5ac =，代入()()40,a b c a b c +---+=可得2226a c b +-=，再由三斜求体即可解答. 【详解】因为2sin sin 5C c A =，由正弦定理得25c c a =，5ac =，又因为()2240a c b --+=，所以222246a c b ac +-=-=，代入2S ===. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理以及新定义，需熟记定理的内容，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】利用点差法可表示出,M N y y ，由平行关系易知,,P M N 三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入,M N y y 整理可得到,a b 关系，利用双曲线222c a b =+得到关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(),M M M x y22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+2218M M x b a y =⋅=- 228M M b y x a∴=-⋅…①设()33,C x y ，()44,D x y ，线段CD 的中点(),N N N x y同理可得：228N N b y x a=-⋅…②AB CD k k =Q //AB CD ∴，易知,,P M N 三点共线2211N M M N y y x x --∴=++，将①②代入得：2222882211M N M N b b x x a a x x -⋅--⋅-=++即()22410M N b x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ ∴()222244a b c a ==-，即2245c a =e ∴==故选：C 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到点差法的应用；关键是能够利用三点共线得到斜率相等，从而构造出关于,a c 的齐次方程，解齐次方程求得离心率；需要注意的是，在处理弦中点问题时，常采用点差法来得到弦的斜率和中点坐标之间的关系. 11．BD 【解析】 【分析】以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，从而点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐一判断选项即可求解.【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP 在()t s 内所转过的角度为t ，则66POx t ππ∠=-.则点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数()6sin 366f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；()36sin 3326f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，选项A 错误；()16sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()776sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()()17f f =，选项B 正确；由()6f t ≥得，1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭解得[]()212,612t k k k N ∈++∈，选项C 错误；由()()()37486sin()36sin 36sin 3666666f t f t f t t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫++++=-+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得()()()489f t f t f t ++++=为定值，选项D 正确；故答案为：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的应用、解三角不等式，两角和与差的正弦公式，属于基础题. 12．ABD 【解析】 【分析】根据函数为奇函数以及()()11f x f x +=-，结合周期定义即可判断A ；由函数的周期为4 即可判断B ；根据题意可得()()111f f -=-=-，结合B 项以及函数的周期为4即可求解；由函数的周期为4以及当n 为偶数时，()0f n =即可求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又()()11f x f x +=-， 所以()()()2f x f x f x +=-=-.所以()()()42f x f x f x +=-+=，可得函数()f x 的周期为4，选项A 正确；()()()2200f f f -=-=-=，即()()()220f f f -==，又因为函数周期为4，所以当n 为偶数时，()0f n =，选项B 正确； 因为()()111f f -=-=-，周期4T=，所以()()()()22222122336613517f f f f +++⋅⋅⋅+=-+=，所以选项C 是错的；()()()()()()222222221223342421357941f f f n f n n +++⋅⋅⋅+++=-+-++⋅⋅⋅++()()()22222215397(41)41n n ⎡⎤=+-+-+⋅⋅⋅--++⎣⎦()()1235794141n n =+++++⋅⋅⋅+-++⎡⎤⎣⎦()()223411212448812n n n n n n ++=+⨯=++=++所以选项D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，属于中档题. 13．85【解析】 【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可. 【详解】()()a b a b λ-⊥+r r r r Q , ()()0a b a b λ∴-⋅+=r rr r ,23(1)50λλ+--=,解得85λ=， 故答案为：85【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题. 14．9 【解析】 【分析】根据递推关系式可得()()11320n n n n a a a a ++-+=，从而可得{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由2116n n n na a a a ++=+可得：221160n n n n a a a a ++--=，即()()11320n n n n a a a a ++-+=， 因为0n a >，所以13n n a a +=，所以{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列， 所以222472525259a a a q a q q a a a a ++===++. 故答案为：9 【点睛】本题考查了递推关系式研究函数的性质，等比数列的通项公式，属于基础题. 15．24y x =2【解析】 【分析】 根据题意可得到122p p ⋅⋅=，故可求出C 的方程；设(0P x ，焦点()1,0F ，()1,0A -，利用抛物线的定义以及勾股定理可得01,PF x PA =+=，从而PF PA=≥即可求解.【详解】由已知可得AFP ∠为直角，故122p p ⋅⋅=，解得2p =， 所以C 的方程为24y x=；由对称性，不妨设(0P x ，因为抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，()1,0A -，01,PF x PA =+==PF PA==≥，当且仅当01x =时取等号，PF PA取最小值2.故答案为：24y x =；【点睛】本题考查了抛物线的定义以及抛物线的标准方程，需熟记抛物线的定义以及几何性质，属于中档题. 16．34【解析】 【分析】利用余弦定理求出PAB △是直角三角形，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，易得PD =，连接CD ，可得PD ⊥平面ABC，进而可得tan PD CD θ==CD y =，CA x =，即10CB x =-，由180CDA CDB ∠+∠=︒，利用余弦定理可得：()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，化简配方即可求解. 【详解】由已知易得PAB △是直角三角形， 过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得93,22PD AD BD ===， 连接CD ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理，可得PD ⊥平面ABC ， 所以PCD θ∠=，tan PD CD θ=CD 取最小值时，tan θ最大. 设CD y =，CA x =，则10CB x =-.因为180CDA CDB ∠+∠=︒，所以cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，即()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，所以y =，可得当152x =时，y取得最小值，最小值为即CD 的最小值所以tan θ34=. 故答案为：34【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.17．（1）证明见解析；（2）⎦⎝. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=，然后再利用两角和的正弦公式的逆应用可得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=，从而可得sin sin 2sin βαγ+=，再利用正弦定理即可求解.（2）由（1）可得ABC ∆为是等边三角形，设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈，利用三角形的面积公式可得21sin 4ABCD S AC ϕ=，在ADC V 中，由余弦定理求出AC ，然后利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由cos (sin sin )sin (2cos cos )γαβγαβ+=--得 cos sin cos sin 2sin sin cos sin cos γαγβγγαγβ+=--.整理得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=， 即得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=. 因为在ABC V 中，αβγπ++=，所以()()()sin sin sin ,sin sin αγπβββγα+=-=+=， 所以sin sin 2sin βαγ+=. 由正弦定理得2CA CB AB +=.（2）因为CA CB =，2CA CB AB +=， 所以CA CB AB ==,ABC V 为是等边三角形. 设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈， 则ABCD ACD ABC S S S =+△△ 211sin sin 6022DA DC AC ϕ=⋅⋅+ﾟ21sin 4AC ϕ= 在ADC V 中，由余弦定理得22252cos cos 4AC DA DC DA DC ADC ϕ=+-⋅∠=-.15sin cos 44ABCD S ϕϕ⎫=-⎪⎝⎭()1sin 4ϕϕ=1sin 23πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为0ϕπ<<，所以2333πππϕ-<-<，所以sin 13πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，得11sin 232πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.1sin 23πϕ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭.因此，四边形ABCD 面积的取值范围为⎦⎝. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . 【解析】【分析】（1）证出1AA BD ⊥，BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定定理即可证出面面垂直.（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，可得点F 的轨迹；②以DA 、DB 所在的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1DBC 的一个法向量以及平面DBF 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）在正三棱柱1ABC ABC -中，因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以1AA BD ⊥.在等边ABC V 中，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1AA AC A =I ,所以BD ⊥平面11ACC A .又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11ACC A .（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . ②由图可知当点F 与点N 重合时，二面角1C BD F --的余弦值取到最大值. 以DA 、DB 所在的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D，(0,B ，()12,0,4C -，()()N F，()0,DB =u u u r，()12,0,4DC =-u u u u r，()DF =u u u r设平面1DBC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r.由10,0,DB m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v得1110,240,x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩令12x =，解得11z =.所以()2,0,1m =u r.设平面DBF 的一个法向量为()222,,n x y z =r由0,0,DB n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v得12220,40,x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令24x =，解得21z =-. 所以()4,0,1n =-r.因此cos ,85m nm n m n ⋅===⋅v vv v v v . 故二面角1C BD F --的余弦值得最大值为85. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，空间向量法求面面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题. 19．（1）)1y x =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程消x ，根据韦达定理求出两根之和、两根之积，由2AF FB =u u u r u u u r，可得122y y =-，两根之和、两根之积即可求解. （2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，利用弦长公式求出AB ，根据题意可得AB 的垂直平分线方程22343434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，求出点M 的坐标，进而求出MF ，进而可求解. 【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得()2234690t y ty ++-=，设()()1112,,,A x y B y y ，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+ 若2AF FB =u u u r u u u r，则122y y =-，解得t = 所以，l的方程为)1y x =-（2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以()212221213434t AB y y t t +=-==++ 因为M 是PAB △的外心，所以M 是线段AB 的垂直平分线与AP 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线为22343434ty t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭令0y =，得2134x t =+，即21,034M t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 所以，22213413434t MF t t +=-=++ ()22221211234433334t AB t t MFt ++===++，所以AB MF 为定值. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.20．（1）分布列见解析，4；（2）证明见解析；（3）不公平.【解析】【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、根据独立重复实验的概率计算公式求出概率即可.（2）当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -，从而112133n n n P P P +-=+，同时加上13n P 即可证出.（3）由（2）可得9998972133P P P =+，由1009813P P =，概率不相等，即可得出结论. 【详解】 （1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、 ()()2213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()842134564279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）依题意，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -. 所以，112133n n n P P P +-=+. 同时加上13n P 得()1111211119833333n n n n n n n P P P P P P P n +--⎛⎫+=++=+≤≤ ⎪⎝⎭； （3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为,9998972133P P P =+， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009813P P =. 所以10099P P <，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21．（1）一个极值点；（2）1e a e -≤-.【解析】【分析】（1）求出()()1x x e x a x f x e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=，令()x e g x a x =+，求出()g x '，利用导数判断()g x 的单调性，从而判断函数()f x 的单调性，从而由极点的定义即可求解.（2）等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立，令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤，利用导数求()min h x 即可.【详解】（1）()()()11'1x x x e x a x a f x x ex e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎝⎭ 令()xe g x a x=+ 则()()21'x e x g x x-=，当01x <<，()'0g x <，当0,'()0x g x >>， 所以()g x 在()0,1递减在(1,)+∞递增，所以()()min 1g x g a e ==+因为1a ≥-所以0a e +>，()0g x >恒成立，则当()'0f x >时，()01,'0x f x <<<时，1x >所以()f x 在()0,1递增，(1,)+∞递减，所以1x =是()f x 唯一极值点，所以()f x 只有一个极值点（2）因为0x >，不等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立， 令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤ 因为()()()21ln 1x x x x e e x h x ---+'=，令()l 1x nx x e ϕ=--+，则()11'1x x x xϕ-=-= 当()()()0,10,1,0,'(),'x x x x ϕϕ∈>∈+∞<，所以()x ϕ在()0,1递增，(1,)+∞递减. 有()()221130,120,0e e e e e ϕϕϕ⎛⎫=--<=->= ⎪⎝⎭. 所以()x ϕ在()0,1存在唯一零点0x ，在(1,)+∞存在唯一零点x e =，当00x x <<时，()()0,'0x h x ϕ<<，当01x x <<时，()()0,'0x h x ϕ>>，当1x e <<时，()()0,'0x h x ϕ><，当()(),'0,'0x e x h x ϕ><>，所以()h x 在()00,x 和()1,e 上为减函数在()0,1x 和(,)e +∞上为增函数，所以()min h x 是()0h x 与()h e 较小者，()1e h e e -=-，因为()000ln 10x x x e ϕ=--+=，所以010x e x e +-=，所以()()00001000ln x x e x x e e h x e e x x ---==-=- 综上，()1min e h x e -=-，所以1e a e -≤-.所以，满足题意的a 的取值范围是1e a e -≤-.【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用，在研究函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.22．（1）4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（2）2+.【解析】【分析】（1）将直线1l 化为普通方程，与直线2l 联立消去k ，得C 的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式可得1sin cos 244AOB S OA OB ππθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由4x t y kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()4y k x =-， 设(),P x y ，由题意得()4,1.y k x y x k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去k 得C 的普通方程2240(0)x y x y +-=≠.把222x y p +=，cos x ρθ=代入上式，24cos 0ρρθ-=，可得C 的坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）.（2）由题意可设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，121sin cos 2444AOB S OA OB p p ππθθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()4k k Z πθπ=-∈时， AOB V的面积取得最大值，其最大值为2+.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题.23．（1）4；（2）7.【解析】【分析】（1）当1x =时，解得a R ∈；当1x ≠时，分离参数可得2321x x a x -+-≤-，令()2321x x g x x -+-=-，只需()min a g x ≤，根据绝对值的几何意义求出()min g x 即可；（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=，从而()()123p q p q +=-+-+，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）当1x =时，20a ≥⋅恒成立，此时a R ∈.当1x ≠时，原不等式可等价转化为2321x x a x -+-≤-.令()2321x x g x x -+-=-，则原不等式恒成立，只需()min a g x ≤.因为()23244411x x x g x x x -+--=≥=--， 当且仅当23x ≤或2x ≥时，“=”号成立， 所以()min 4g x =，即4a ≤.综上知，a 的最大值4m =.（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=.因为10p ->，所以()20q ->，()()12337p q p q +=-+-+≥=.当且仅当12p q -=-，即3,4p q ==时“=”成立，所以p q +的最小值为7.【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.。
福建省泉州市2020届高三数学毕业班第一次质量检查试题 理参考答案
在 Rt△CDE 中， CE DC sin D 3x sin 3 x ；.........................................8 分 32
在 Rt△ACE
中，
AC
CE sin CAE
3x 2sin 2θ
3x 4sin θ cos θ
...................................9
解：解法一：（1）依题意知，因为 CD ^ BE ，所以 PE ^ BE ，·················································1 分 当平面 PBE ^ 平面 ABED 时, 平面 PBE 平面 ABCD = BE ， PE Ì 平面 PBE ， 所以 PE ^ 平面 ABCD ，··········································································· 2 分 因为 AB 平面 ABCD ,所以 PE ^ AB ，······················································ 3 分 由已知， DBCD 是等边三角形，且 E 为 CD 的中点， 所以 BE ^ CD ， AB // CD ，所以 AB ^ BE ， ············································· 4 分 又 PE BE = E ，所以 AB ^ 平面 PBE ，·····················································5 分 又 AB Ì 平面 PAB ，所以平面 PAB ^ 平面 PBE . ·········································
福建省泉州市2020届高三上学期单科质量检查物理试题(解析版)
泉州市2020 届普通高中毕业班单科质量检查物理试题（满分：100 分考试时间：90 分钟）注意事项：1．考试前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确黏贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(40分)一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分。
1-6选项中只有一个正确，7-10有多个选项正确，全选对得4分，选对不全得2分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一质点在某段时间内沿曲线从a点运动到b点，在a、b两处该质点的速率均不为零，则在这段时间内（）A. 该质点的加速度方向一定不断改变B. 该质点所受的合外力大小一定不断改变C. 合外力对该质点做的功一定不为零D. 合外力对该质点的冲量一定不为零2.如图，重型自卸车利用液压装置使车厢缓慢倾斜到一定角度，车厢内的石块就会自动滑下。
在石块下滑前，下列说法正确的是（）A. 车厢对石堆的摩擦力随倾角的增大而减小B. 石堆对车厢的压力随倾角的增大而增大C. 石堆中间某个石块受到周围其它石块的作用力不变D. 石堆中间某个石块受到周围其它石块的作用力变小N的两端用导线ab直接连起来。
当闭合S后，铁芯吸住衔铁A，开关触头B就将高压电路接通；当断开S 时，衔铁仍被铁芯吸住，一会儿后才被弹簧C拉上去，从而实现延时断开电路的目的。
下列说法正确的是（）A. 起延时效果的主要部件是线圈MB. 闭合S电路稳定工作后，导线ab中有从a流向b的感应电流C. 断开S瞬间，导线ab中有从a流向b的感应电流D. 电源E的正负极对调接入后，该装置就没有延时效果4.一小石子从靠近竖直墙面的a点由静止开始落下。
泉州市2020届高三毕业班适应性线上测试(一)理科数学3.14(PDF版含答案)(20200802200612).pdf
(1)证明 :CA+CB=2AB;
(2)若 CA = CB, DA=2DC=1, 求 四边形 ABCD 的 面积 的取 值 范围 .
18. (12 分)
如 图 ,正 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 的所 有 棱长 都为 4， D 是 AC 的中点 , E 在 A1C1 边 上， EC1 = 3A1E.
B. {x|0<x<2}
2.设复数 z = (1+ i )2 , 则 |z|= 1- 2i
C. {x|2 ≤x<3}
D. {x|0<x<3}
A. 10 5
B. 2 5
C. 2 5 5
D. 4 3
3.下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度 ( mg/ml ) 的变化情况， 其中点 Ai 的横坐标表示服用第 i 种
| PA |
16.已知三 棱锥 P-ABC 中 ,平 面 PAB ⊥平 面 ABC, ∠ PAB=30 °，AB= 6 ，PA = 3 3, CA+CB=10. 设 直 线 PC
与平 面 ABC 所成的 角 为 θ，则 tanθ的最大值为 ___.
四、解答题 : 共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第
17~21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一 )必考题 :共 60 分 。
17. (12 分) 如 图，已知 在 平 面四 边形 ABCD 中，∠ CAB= α,∠ ABC= β，∠ ACB= γ,且 cosγ(sinα+sinβ)=sin γ(2-cosα-cosβ).
21.(12 分)
ax 已知 函 数 f ( x) = ex - x + ln x.
2020届福建省泉州市高三第一次质量检查(理)数学试题(解析版)
2020届福建省泉州市高三第一次质量检查（理）数学试题一、单选题1．已知集合{}012M =,,，{}2|20N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1--【答案】B【解析】用列举法写出集合N ，再根据交集的定义写出M N ⋂． 【详解】解：因为{}2|20N x x x =∈+-≤Z 所以{}2,1,0,1N =--，又{}012M =,, {}0,1M N ∴=I故选：B 【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题． 2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4【答案】C 【解析】计算3121ii i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121ii i+=+-Q，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3．某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ） A ．1.4，1.4 B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.6【答案】B【解析】根据众数和中位数的定义解答即可； 【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2； 故众数为：1.4，中位数为：1.5， 故选：B 【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知25a =-，416S =-，则6S =（ ） A ．－14 B ．－12C ．－17D ．12【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列出方程组，再根据前n 项和公式计算可得； 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()14154414162a d S a d +=-⎧⎪⎨⨯-=+=-⎪⎩解得172a d =-⎧⎨=⎩，所以()616616122S a d ⨯-=+=-故选：B 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 5．5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10B ．38C ．70D ．240【解析】首先求出二项式5(2)x -展开式的通项为()5152rr rr T C x -+=-，再令53r -=，54-=r 分别求出系数，由555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-即可得到展开式中4x 的系数. 【详解】解：因为555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-，而5(2)x -展开式的通项为()5152rr rr T C x -+=-，当54-=r 即1r =时，()114425210T C x x =-=-，当53r -=即2r =时，()223335240T C x x =-=故5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为()4031010+⨯-=故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2xy =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7．松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：当1n =时，152x =，4y =，满足进行循环的条件， 当2n =时，454x =，8y =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358x =，16y =满足进行循环的条件，当4n =时，40516x =，32y =不满足进行循环的条件， 故输出的n 值4． 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-【答案】D【解析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x x f x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f x g x 即可得a 的取值范围. 【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9．已知函数()sin 2cos 2f x a x b x =-，0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是（ ）A ．aB ．012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】依题意，利用辅助角公式得到()()2f x x ϕ=-，且3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值，从而sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ，即可得到()2sin 26f x b x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而一一验证可得； 【详解】解：因为()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=，cos ϕ=0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以3x π=是图象的对称轴，此时，函数取得最大sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ；则1sin 2ϕ==，cos ϕ==，所以a ，故A 正确；()2sin 26f x b x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则2sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 17172sin 22sin 22sin 2sin 556563030f b b b b πππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⨯--=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，221317172sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确；22192sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 4421332sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即D 错误；故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题.10．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5nf ()*n N ∈的前2020项的和为（ ）A ．101051+B ．1010514-C ．1010512-D ．101051-【答案】D【解析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯， 所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．11．若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（ ）A ．B ．43C D ．2【答案】AD【解析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】解：当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3， 可得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2m n e m-==． 当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3，可得：3m n-=，3n m =-，所以双曲线的离心率为：23n m e n-==． 故选：AD ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题.二、多选题12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥uu u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g ，12B C =u u u r，2BD =u u u r ，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ， 则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.三、填空题13．已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，则a b +=r r _________.【答案】2【解析】由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，算出1k=，再代入算出a b +r r即可.【详解】Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，()0,2a b ∴+=r r，则2a b +=r r .故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.14．在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a +=____________. 【答案】43【解析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解； 【详解】解：因为11a =，23a =，21n n a a +=， 所以131a a =，即31a =，241a a =，所以413a =351a a =，所以51a =， 461a a =，所以63a =L L由此可得数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为3、13、3、13L L 所以2019202014133a a +=+= 故答案为：43【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题.15．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA =点M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________.【答案】7⎛⎤⎥ ⎝⎦【解析】如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A ，(C ，设(),4,M x z ，(0z <<，由AM MC ⊥，则0AM MC =u u u u r u u u u rg ，即可得到动点M 的轨迹方程，连接1A M ，1B M ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，从而11111tan A B A MB MB ∠=，即可求出1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()4,0,23A ，()14,0,0A ，()0,4,23C ，设(),4,M x z ，()023z <<则()4,4,23AM x z =--u u u u r ，(),0,23CM x z =-u u u u r，因为AM MC ⊥，所以0AM MC =u u u u r u u u u rg ，()()24230x x z -+-=，即()()222234x z -+-=，()023z <<，连接1A M ，1B M ，则1227B M ≤<，所以17112MB <≤， 依题意可得11A B ⊥面11BCC B ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，111111427tan ,2A B A MB MB MB ⎛⎤∠==∈ ⎥ ⎝⎦故答案为：27,27⎛⎤⎥ ⎝⎦【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题.四、双空题16．设F 是抛物线E ：23y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为___________，||4||AF BF +的最小值为__________. 【答案】3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭274【解析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用1233||4||444AF BF x x ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭以及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为23y x =，23p =，所以32p =，故焦点F 的坐标为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的性质可得B 点关于x 轴对称的点1B 恰在直线AF 上，且1||||B F BF =，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得2343y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化简的22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以12916x x =，所以121233151527||4||4444444AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当124x x =时取等号，当直线1AB 的斜率不存在时，A 点与B 点重合，15||4||52AF BF p +==，综上可得||4||AF BF +的最小值为274故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；274. 【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.五、解答题17．在平面四边形ABCD 中，2ABC π∠=，2DAC ACB ∠=∠，3ADC π∠=.（1）若6ACB π∠=，3BC =BD ；（2）若3DC =，求cos ACB ∠. 【答案】（1）7BD =2）3cos 4ACB ∠=【解析】（1）在Rt ABC ∆中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC ∆为等边三角形，再利用余弦定理即求出7BD =.（2）由题目已知条件2DAC ACB ∠=∠，可将所要的角转化到ACD ∆中，再将AC 用Rt ABC ∆中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，由6ACB π∠=，3BC =得1AB =，3BAC π∠=，2AC =又23DAC ACB π∠=∠=，3ADC π∠=，所以ADC ∆为等边三角形，所以2AD =在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯∠， 即222212212cos73BD π=+-⨯⨯⨯=，解得7BD = （2）设ACB θ∠=，AB x =， 则2DAC θ∠=，3DC x =,在Rt ABC ∆中，sin sin AB xAC θθ==， 在ACD ∆中，根据正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，即3sin sin 3xxθπ=， 3sinsin 23sin x x πθθ⋅=⋅，332sin cos 2sin xx θθθ⋅=⋅解得3cos 4θ=，即3cos 4ACB ∠=【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18．如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABED ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；（2）求二面角B PA E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】（1）依题意可得PE BE ⊥，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD ，从而得到PE AB ⊥，再证AB BE ⊥，即可得到AB ⊥平面PBE ，从而得证；（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量求二面角的余弦值； 【详解】解：（1）依题意知，因为CD BE ⊥，所以PE BE ⊥， 当平面PBE ⊥平面ABED 时，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，所以PE AB ⊥，由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点， 所以BE CD ⊥，//AB CD ，所以AB BE ⊥，又PE BE E ⋂=，PE ⊂平面PBE ，BE ⊂平面PBE ， 所以AB ⊥平面PBE ，又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，3,0)B ，3,0)A ，(0,0,1)EP =u u u r ，3,0)EA =u u u r ，(2,0,0)BA =u u u r，3,1)PA =-u u u r，设平面PAB 的一个法向量()111,,m x y z =u r ，平面PAE 的一个法向量()222,,n x y z =r由00BA m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得11112020x x z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩；令11y =，解得1z =10x =，所以m =u r，由00EP n EA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得222020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩；令22y =-，解得2x =，20z =，所以2,0)n =-r，cos ,7m n m n m n ⋅====-⋅u r ru r r u r r .. 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19．已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上.（1）求C 的方程； （2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.【答案】（1）22143x y +=（2）5【解析】（1）由已知可得221a b -=，再点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得到方程组，解得即可； （2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由1212340x x y y +=，解得22t =，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得；【详解】解：（1）由己知得221a b -=，因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b +=所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12yx t =+， 联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()21212220x x t x x t +++=（）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（）式，解得22t =，由于圆心O 到直线l的距离为d ==， 所以直线l 被圆O截得的弦长为l ===【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注.20．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？ A 材料 B 材料合计 成功 不成功 合计（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为12，第三个环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为2.2万元/吨【解析】（1）写出列联表，根据列联表求出2K 的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元，易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可． 【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：2K的观测值2100(4520530)1250507525k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元. 易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.202122(0)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212124(0.1)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 222122(0.2)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，202111(0.3)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 212112(0.4)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，222111(0.5)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：修复费用的期望：111111()00.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性. 21．已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞（2）12a ≤【解析】（1）首先求出函数的导函数()cos 2xf x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin x g x e x '=-，分析()g x 的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得(0)0f '=，记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-，利用导数分析()h x '的单调性，即可得到()cos x h x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-，再对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）当0a =时，()cos 2xf x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，所以()sin 0xg x e x '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，因为()()0f x g x '=>，所以()f x 在(0,)+∞为增函数；当0x <时，1x e <，1cos 1x -≤≤，所以()cos 20xf x e x '=+-<， 所以()f x 在(0,)+∞为减函数.综上所述，()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞.·（2）由题意可得()cos 22xf x e x ax '=+--，(0)0f '=. 记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-.下面证明()cos xh x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点：令()()x h x ϕ'=，则()sin xx e x ϕ'=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是增函数，所以()(0)2x πϕϕϕ⎛⎫'''-<< ⎪⎝⎭.又02πϕ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，(0)0ϕ'>， 所以存在1,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()10x ϕ'=，且当1,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<，()1,0x x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ，即()h x '在1,2x π⎛⎫-⎪⎝⎭为减函数，在()1,0x 为增函数， 又02h π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，(0)0h '=，所以()10h x '<， 根据零点存在性定理，存在01,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()00h x '= 所以当()0,0x x ∈，()0h x '<， 又0x >，()cos 0xh x e x '=->，所以()h x ，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-.①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x ，即()f x '为增函数， 又(0)0f '=，所以当()0,0x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，0x =是()f x 的极小值点，所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()1xx e x =--，0x > 因为0x >，所以()10x u x e '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即有1x e x >+ 故2(2)sin 2221sin 220ag a ea a a a a '=-->+--≥，又()sin 2xg x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=， 当(0,)x m ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)0f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12a ≤. 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.【答案】（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化； （2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=，22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤， 当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12； 当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34.所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23．记函数1()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++.【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 当1122x -<≤，1()12f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 当12x >时，1()12f x f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以min ()1m f x ==解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩如图当12x =时，min ()1m f x ==解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立.当12x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，因为111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥=⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以0ab bc ca ++≥>，0a b c ++≥>，又因为1abc =，所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，()()9ab bc ac a b c ++++≥所以9ab bc ca a b c++≥++，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭，由柯西不等式得：2111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥+= ⎪⎝⎭成立， 所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。
福建省泉州市普通中学2020届高中数学毕业班质量检查试题 理
泉州市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 复数()1i i +等于A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -2. 已知集合{}13A x x =<<，{}21log 2B x x =<<，则A B I 等于A.{}03x x << B.{}23x x << C.{}13x x << D.{}14x x <<3. 已知(2,1),(1,3)a b ==--r r ，则||a b -r r等于ABC ．5D ．254. 执行右侧框图所表达的算法，如果最后输出的S 值为12012，那么判断框中实数a 的取值范围是 A ．20112012a ≤< B ．20112012a <≤ C ．20112012a ≤≤ D ．20122013a ≤<5. 下列四个条件：①x ，y ，z 均为直线； ②x ，y 是直线，z 是平面；③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面. 其中，能使命题“,x y y z x z ⊥⇒⊥P ”成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知实数,x y 满足2220,0,4,x y x y x y ⎧-+≥⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值是 A ．5 B ．-1 C ．2D.7. 已知二次函数2()f x ax bx =+，则“(2)0f ≥”是“函数()f x 在()1,+∞单调递增”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件8. 已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为A ．49 B ．23 C ．59D．39. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3， (100)（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A.88%B. 90%C. 92%D.94%10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90o就得到函数2y x =的图象.若把双曲线2213x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知等差数列}{n a 中, 51a =,322a a =+,则11S = . 12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .123侧视图正视图13. 在ABC V中，60,B AC ==oABC V 周长的最大值为 .14. 已知{}()(),min ,a b a a b a b b ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，设()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线x e =所围成的封闭图形的面积为 .15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：10位的回文数总共有 个.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离. （Ⅰ）试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程.（Ⅱ）是否存在过(4,2)N 的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？17.（本小题满分13分）将边长为1的正三角形ABC 按如图所示的方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合.记边AB 所在直线的倾斜角为θ，已知0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）试用θ表示BC uuu r的坐标（要求将结果化简为形如(cos ,sin )αα的形式）；（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点()11,P x y 、()22,Q x y ，称1212x x y y -+-为P 、Q 两点间的“taxi 距离” ，并用符号PQ 表示.试求BC 的最大值.18.（本小题满分13分）已知12310,,,,A A A A L 等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12. （Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按12310,,,,A A A A L 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分13分）如图，侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，13AA AB AC ++=，(0)AB AC t t ==>，P 是侧棱1AA 上的动点.C 11C（Ⅰ）当1AA AB AC ==时，求证：11A C ABC ⊥平面； （Ⅱ）试求三棱锥1P BCC -的体积V 取得最大值时的t 值；（Ⅲ）若二面角1A BC C --的平面角的余弦值为10，试求实数t 的值. 20.（本小题满分14分）已知()0xf x x e =⋅，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x -'=（n N *∈）.(Ⅰ)请写出()n f x 的表达式（不需证明）； (Ⅱ)设()n f x 的极小值点为(),n n n P x y ，求n y ；(Ⅲ)设()()22188n g x x n x n =--+-+， ()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，试求a b -的最小值.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换若二阶矩阵M 满足127103446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求二阶矩阵M ；（Ⅱ）把矩阵M 所对应的变换作用在曲线223861x xy y ++=上，求所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y θθ=⎧⎨=⎩（t 为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点A 、B ，且10OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()24f x x x =-+-的最小值为m ，实数,,,,,a b c n p q 满足222222a b c n p q m ++=++=.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：4442222n p q a b c++≥．参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1． A 2．B 3．C 4．A 5．C6． D 7．C 8．D 9．B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．33 12．1 13. ．5415．90000三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线1x =-为准线的抛物线， ………………2分 其方程为24y x =. ………………5分（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分①当直线m 的斜率不存在时，不合题意. ………………7分②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为2(4)y k x -=-，………8分联立方程组22(4)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去y ，得2222(844)(24)0k x k k x k --++-=，（*） ………………9分∴21228448k k x x k -++==，解得1k =. ………………10分 此时，方程（*）为2840x x -+=，其判别式大于零， ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分 且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分易判断直线m 不可能垂直y 轴， ………………7分 ∴设直线m 的方程为4(2)x a y -=-，………8分联立方程组24(2)4x a y y x -=-⎧⎨=⎩，消去x ，得248160y ay a -+-=， ………………9分∵216(1)480a ∆=-+>,∴直线与轨迹C 必相交. ………………10分 又1244y y a +==，∴1a =. ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法三：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分∵1122(,),(,)A x y B x y 在轨迹C 上，∴有2112224142y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩L L （）（），将(1)(2)-，得2212124()y y x x -=-. ………8分当12x x =时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ………9分 ∴12121241y y x x y y -==-+，即直线AB 的斜率1k =, ………10分注意到点N 在曲线C 的张口内（或：经检验，直线m 与轨迹C 相交）…11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）解法一：因为()cos ,sin B θθ，cos ,sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……2分 所以cos cos ,sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r ………3分22cos ,sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………7分解法二：平移BC uuu r 到AD u u u r（B 移到A ，C 移到D ），………2分由BC uuu r 的坐标与AD u u u r的坐标相等，都等于点D 的坐标. ………3分由平几知识易得直线AD 的倾斜角为23πθ+， ∵||1AD =u u u r ，∴根据三角函数的定义可得22cos ,sin 33D ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22cos ,sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r . ………7分（Ⅱ）解法一：22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分∵0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22[,]33ππθπ+∈， ………9分 ∴22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………11分 512πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………12分所以当12πθ=时，BC . ………13分解法二： cos cos sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分 ∵03πθ≤≤，∴2333πππθπ≤+≤<，即03πθθπ≤<+<， ∴cos cos cos cos()33ππθθθθ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭. ………9分 ∵03πθ≤≤，∴()232πππθθ-≥+-，∴sin sin sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ………10分 ||||BC =cos cos()3πθθ-++sin sin 3πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭5sin()cos())6612πππθθθ=+++=+, ………12分所以当12πθ=时，BC . ………13分18. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为12，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为2821011122P C ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭451024=. ………4分（Ⅱ）设该同学共参加了i 次考试的概率为i P （110,i i Z ≤≤∈）.∵91,19,21,102i i i i Z P i ⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：………7分所以2991111(12910)2222E a ξ=⨯+⨯++⨯+⨯L ， ………8分 令29111129222S =⨯+⨯++⨯L , (1)则2391011111128922222S =⨯+⨯++⨯+⨯L , …（2） 由（1）-（2）得291011111922222S =+++-⨯L ，所以2891111192222S =++++-⨯L ， ………11分所以289911111191022222E a ξ⎛⎫=++++-⨯+⨯ ⎪⎝⎭L 911122a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭L 10112112a -=-101212a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1023512a =(元). ………13分 19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解：（Ⅰ）证法一：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵1AA AC =，∴四边形11AAC C 是正方形， ∴11AC A C ⊥. ………1分∵11111,,,,AB AC AB AA AA AC AAC C AA AC A ⊥⊥⊂=I 平面， ∴11AB AAC C ⊥平面. ………2分又∵111AC AAC C ⊂平面, ∴1AB AC ⊥. ………3分 ∵111,,AB AC ABC AB AC A ⊂=I 平面, ∴11A C ABC ⊥平面. ………4分证法二：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ，11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==u u u r u u u u r u u u r ， ∴1110,0AC AC AC AB ⋅=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r ， …2分 ∴111,AC AC AC AB ⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u r . …3分 又∵111,,AB AC ABC AB AC A ⊂=I 平面 ∴11A C ABC ⊥平面. …4分证法三：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥.又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ,11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==u u u r u u u u r u u u r. 设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =r，则100n AC y z n AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩r u u u u r r u u u r，解得0x y z =⎧⎨=-⎩. 令1z =，则(0,1,1)n =-r， ……3分∵1AC n =-u u u r r , ∴11A C ABC ⊥平面. ……4分 （Ⅱ）∵111AA BB C C P 平面，∴点P 到平面11BB C C 的距离等于点A 到平面11BB C C 的距离 ∴1112231113(32)(0)6232P BCC A BCC C ABC V V V V t t t t t ---====-=-<<, …5分 '(1)V t t =--，令'0V =，得0t =（舍去）或1t =，∴当1t =时，max 6V =. …8分 （Ⅲ）分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(0,,32),(,0,0),(0,,0),(0,0,32)A C t t B t C t A t --,11(0,,23),(0,,32),(,0,0)AC t t AC t t AB t =-=-=u u u r u u u u r u u u r ， 1(0,0,32)CC t =-u u u u r，(,,0)BC t t =-u u u r . ……9分设平面1ABC 的法向量1111(,,)n x y z =u r，则111111(32)00n AC ty t z n AB tx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，解得111023x t y z t =⎧⎪⎨-=⎪⎩,令1z t =，则1(0,23,)n t t =-u r. …10分 设平面1BCC 的法向量2222(,,)n x y z =u u r，则2222120(32)0n BC tx ty n CC t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r . 由于302t <<，所以解得2220x y z =⎧⎨=⎩.令21y =，则2(1,1,0)n =u u r. …11分设二面角1A BC C --的平面角为θ，则有1212|||cos|||||n nn nθ⋅===⋅u r u u ru r u u r.化简得2516120t t-+=,解得2t=（舍去）或65t=.所以当65t=时，二面角1A BC C--的平面角的余弦值为10. …13分20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分14分．解：(Ⅰ)()()xnf x x n e=+⋅（n N*∈）. ……4分(Ⅱ)∵()()1xnf x x n e'=++⋅，∴当()1x n>-+时，()0nf x'>；当()1x n<-+时，()0nf x'<.∴当()1x n=-+时，()nf x取得极小值()()()11nnf n e-+-+=-，即()1nny e-+=-（n N*∈）. ……8分(Ⅲ)解法一：∵()()()()2213ng x x n n=-+++-，所以()2((1))3na g n n=-+=-.……9分又()()()11nnb f n e-+=-+=-，∴()()213na b n e-+-=-+，令()()()()2130xh x x e x-+=-+≥，则()()()123xh x x e-+'=--. ……10分∵()h x'在[)0,+∞单调递增，∴()()106h x h e-''≥=--，∵()430h e-'=-<，()5420h e-'=->，∴存在()3,4x∈使得()00h x'=. ……12分∵()h x'在[)0,+∞单调递增，∴当0x x≤<时，()00h x'<；当x x>时，()00h x'>，即()h x在[),x+∞单调递增，在[)00,x单调递减，∴()()()0minh x h x =，又∵()43h e -=，()541h e -=+，()()43h h >， ∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分 解法二： ∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2((1))3n a g n n =-+=-.……9分又()()()11n n b f n e -+=-+=-，∴()()213n a b n e -+-=-+，令()()213n n c n e-+=-+，则1211125n n n n c c n e e +++-=-+-，……10分当3n ≥时，1211125n n n n c c n ee+++-=-+-，又因为3n ≥，所以251n -≥，210n e+>，1101n e+<<，所以2111250n n n e e ++-+->，所以1n n c c +>.……12分又1232341114,1,c c c e e e=+=+=，123c c c >>，∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分21.（1）选修4—2:矩阵与变换本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）记矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2A =-，故1213122A --⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭. ……2分 由已知得121710710123146461122M A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……3分 （Ⅱ）设二阶矩阵M 所对应的变换为1211x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy x y '=+⎧⎨'=+⎩， 解得2x x y y x y ''=-+⎧⎨''=-⎩， ……5分又223861x xy y ++=，故有223(2)8(2)()6()1x y x y x y x y ''''''''-++-+-+-=，化简得2221x y ''+=.故所得曲线的方程为2221x y +=. ……7分（2）选修4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）∵0t ≠，∴可将曲线C 的方程化为普通方程：2224x y t+=. ……1分①当1t =±时，曲线C 为圆心在原点，半径为2的圆； ……2分 ②当1t ≠±时，曲线C 为中心在原点的椭圆. ……3分 （Ⅱ）直线l 的普通方程为：40x y -+=. ……4分联立直线与曲线的方程，消y 得222(4)4x x t++=，化简得2222(1)8120t x t x t +++=.若直线l 与曲线C 有两个不同的公共点，则422644(1)120t t t ∆=-+⋅>，解得23t >.……5分又22121222812,,11t t x x x x t t+=-=++ ……6分 故12121212(4)(4)OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++u u u r u u u r121224()1610x x x x =+++=.解得23t =与23t >相矛盾. 故不存在满足题意的实数t . ……7分（3）选修4—5；不等式选讲 本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）法一： 26(4)()242(24)26(2)x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-+≤⎩，……2分 可得函数的最小值为2.故2m =. ……3分法二：()24(2)(4)2f x x x x x =-+-≥---=， ……2分 当且仅当24x ≤≤时，等号成立，故2m =. ……3分（Ⅱ）Θ222222222[()()()]()n p q a b c a b c++⋅++2222()n p q a b c a b c ≥⋅+⋅+⋅ ……5分即：444222()2n p q a b c ++⨯≥2222()4n p q ++=,故4442222n p q a b c++≥. ……7分。
2020届福建省泉州市高三上学期单科质量检查数学(理)试题(解析版)
2020届福建省泉州市高三上学期单科质量检查数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}2|0,|1M x x x N x x =-<=>，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =R UD ．M N ⋂=∅【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合M ，由此判断出正确选项. 【详解】由()210x x x x -=-<解得01x <<，故{}|01M x x =<<，由于{}|1N x x =>，所以M N ⋂=∅. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于基础题.2．若复数z 满足(1)23z i i -=+，则z =（ ） A ．1522i -- B ．15i 22-+ C ．5122i - D ．5122i + 【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得z .再根据共轭复数的概念即可求得z . 【详解】()123z i i -=+Q ，223(23)(1)253151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++∴====-+--+. 因此，1522z i =--. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于基础题.3．若,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则42z x y =+的最小值为（ ）A．-17 B ．-13 C ．163D ．20【答案】B【解析】根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线22zy x =-+，由直线的平移即可求得该直线在y 轴截距最小时对应的最优解，代入42z x y =+计算即可. 【详解】,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,由此可得可行域如下图所示:该可行域是一个以1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,2)B ,37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域（包括边界）.目标函数42z x y =+可化为22z y x =-+当动直线22z y x =-+过点37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值， 此时min 37421322z ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给出下列四个命题： ①若//,m αββ⊂，则//m α；②若//,m n n α⊂，则//m α； ③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥. 其中为真命题的编号是（ ）A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】由面面平行的性质可判断①；对于②, m 可能在α内；对于③,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面α内找到直线1m 使得1//m m ,即可判断④ 【详解】①中,若//αβ,则β内任一直线与α平行,①为真命题；②中,若//,m n n α⊂,则m 可能平行于α,也可能在α内,②为假命题；③中,若,m αβα⊥⊂,则m 可能垂直于β,也可能平行于β,也可能与β相交但不垂直,③为假命题；④中,若//m α,则可在α内作一直线1m 使1//m m ,又因为m β⊥,所以1m β⊥,又1m α⊂,则αβ⊥,④为真命题；综上,①④为真命题, 故选:C 【点睛】本题考查线面、面面的空间位置关系的判定,属于基础题 5．函数()2ln f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解. 【详解】解：()2ln f x x x =Q 定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()()22ln ln f x x x x xf x ∴-=--=-=-即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，由0x ≠，()f x 为奇函数，排除B ；又120e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C ； 当0x >时，()2ln 2f x x '=+，令()2ln 20f x x '=+=，解得1ex =， 所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，排除A ； 故选：D 【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ）A ．22123x y -=B ．22143x y -= C ．22149x y -=D ．221169x y -= 【答案】C【解析】根据实轴得到a 的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到b ，从而得到C 的方程.【详解】因为实轴长24a =，所以2a =，(),0F c -，由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等， 不妨取渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 点(),0F c -到渐近线的距离bcd b c===， 所以3b =，所以C 的方程为22149x y -=，故选：C. 【点睛】本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题.7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．-1010B ．-1009C ．1009D ．1010【答案】D【解析】根据程序框图,先计算出N 和T 的含义,再根据S N T =-即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解. 【详解】依题意：得1352019N =+++⋯+,02462018T =++++⋯+.解法一：(10)(32)(54)(20192018)1010S N T =-=-+-+-++-=L , 故选:D. 解法二：(12019)1010101010102N +⨯==⨯,(02018)1010100910102T +⨯==⨯,所以10101010101010091010(10101009)1010S N T =-=⨯-⨯=⨯-=, 故选:D. 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=⨯大吕黄钟太簇()23=⨯大吕黄钟夹钟()23⨯太簇黄钟夹钟等比数列{}n a 中，k a =（ ） A ．11n k n n a a --+⋅ B ．11n k n n a a --+⋅C ．111n k k n a a ---⋅D ．111k n k n a a ---⋅【答案】C【解析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=.故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9．已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =（ ） A ．9 B ．12C ．18D ．72【答案】A【解析】解法一：根据A 为线段CF 的中点，得到A 坐标，从而得到直线AF ，与抛物线联立得到12x x +，从而得到12y y +，利用抛物线焦点弦公式，得到AB 的长；解法二：延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，由DMA DNB ∆∆∽，得到AM ADBN DB=，得到BF ，再根据3AF AM ==，得到AB 的长. 【详解】依题意得4p =，焦点()0,2F ， 如图，因为A 为线段CF 的中点，所以1A y =，代入抛物线方程得到A x =-所以()A -，解法一：4AF k ==，所以直线AF 的方程为24y x =+，将其代入28x y =，得2160x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=)121212224454444y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12549AB y y p =++=+=， 故选：A.解法二：（几何法）延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ， 过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，FDH ∆中原点O 是线段FH 的中点，所以点C 是线段DF 的中点.易得4FH =，3AM AF AC ===，39AD AC ==，设BF BN k ==， 因为DMA DNB ∆∆∽，所以AM ADBN DB=， 即3912k k=+， 解得6k =，因此369AB =+=， 故选：A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，求抛物线的焦点弦的长，属于中档题. 10．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线29y x =-A ，B 两点，且2AO AB ⋅=u u u r u u u r，则k =（ ）A．3B．22C．1 D．3【答案】C【解析】根据直线方程得到l过定点()4,0P-，过圆心O作OM l⊥于M，由2AO AB⋅=u u u r u u u r，得到2AB=，再利用弦长公式，得到k的值，从而得到答案.【详解】直线40kx y k-+=，即()40k x y++=，所以直线l过定点()4,0P-，曲线29y x=-是圆心为原点，半径3r=的上半圆.过圆心O作OM l⊥于M，即122AO AB AM AB AB AB⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r，所以2AB=，圆心到直线l的距离()222411kdkk==++-，2222422921kAB r dk⎛⎫=-=⨯-=⎪+⎝⎭，解得1k=±，因为曲线29y x=-是上半圆，结合图像可得0k>，所以1k=.故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题.12．已知正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都为3，D是11B C的中点，E是线段1A D上的动点.若三棱锥E ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的取值范围为（ ） A ．218,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．27316,16ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．273,2116ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[16,21]ππ【答案】D【解析】由题可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,设球O 的半径为R ,1O E x =,1O O y =,则222222R OA O A O O ==+且222211R OE O E O O ==+,易得23O A =,则222R x y =+,()()22233R y =+-,可得2126x y =-,代入222R x y =+中,则()2233R y =-+,由x 的范围可得y 的范围,即可得到2R 的范围,进而求得球的表面积的范围 【详解】如图所示,依题意可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,连接OA 、OE ,设OA OE R ==,1O E x =,1O O y =；在1Rt OO E ∆中,22211OE O E O O =+得222R x y =+；在2Rt AOO ∆中,2233332O A =⨯=,23OO R =-, 由22222OA O A O O =+得2223)(3)R y =+-；由222R x y =+和2223)(3)R y =+-得22223)(3)y x y +-=+整理得2126x y =-,所以222612(3)3R y y y =-+=-+,又因为03x ≤≤得322y ≤≤； 当2y =时,2R 的最小值为4；当32y =时,2R 的最小值为214；所以22144R ≤≤, 由球O 的表面积24S R π=得1621S ππ≤≤, 故选:D 【点睛】本题考查棱锥的外接球的表面积问题,考查空间想象能力二、填空题13．已知向量(),2a x =v ，()2,1b =v ，且//a b v v ，则a =v______【答案】【解析】根据向量共线的公式求解得4x =,再根据模长公式求解即可. 【详解】由//a b r r 得，1220x ⋅-⨯=，即4x =，所以||a ===r故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的平行公式与模长公式,属于基础题型.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若120n n a a +-=，593S =，则5a =______. 【答案】3【解析】由题意可知，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，利用593S =结合等比数列求和公式可求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】120n n a a +-=Q ，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为公比的等比数列， 1551113129311612a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴===-，解得148a =，因此，45111483216a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：3. 【点睛】本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()13f x f x +=；当(]0,1x ∈时，()()ln 2f x x =+，则()()0e f f +-=__________.【答案】9-【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数()()f e f e -=-，()00f =，再依题意求出()f e 即可得解.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f e f e -=-，()00f =，又23e <<，021e <-<，所以()()()()31929ln 229f e f e f e e =-=-=-+=， 故()()09f f e +-=-. 故答案为：9- 【点睛】本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)2ππ单调，且在(0,)3π存在极值点，则ω的取值范围为___________ 【答案】413ω<≤【解析】先通过函数()f x 在(0,)3π存在极值点，求出ω的范围，再根据在(,)2ππ单调，求出k 和ω之间的不等关系，再结合已求出的ω的范围，得最终ω的范围. 【详解】解：因为函数()f x 在(0,)3π存在极值点，所以362πππω+>，即1ω>，当,,,26266x x ππωππππωωπ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,)2ππ单调，所以3,,()26622k k k N ωπππππωπππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即262362k k ωππππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得24233k k ω+≤≤+，只能取0k =，即2433ω≤≤， 综上，413ω<≤，故答案为：413ω<≤. 【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于k 和ω之间的不等关系，是中档题.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，AE PD ⊥.（1）证明：AE ⊥平面PCD ；（2）若AP AB =，求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】（1）由PA ⊥平面ABCD 及底面ABCD 是正方形可证得CD ⊥平面PAD ,则CD AE ⊥,又由AE PD ⊥,即可求证；（2）以A 为原点,分别以AB AD AP 、、所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,由（1）可知AE u u u r 为平面PCD 的一个法向量,求得平面PBC 的一个法向量m r,进而利用数量积求解即可【详解】（1）证明:因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以PA CD ⊥,因为底面ABCD 是正方形,所以AD CD ⊥, 又PA AD A ⋂=,所以CD ⊥平面PAD , 因为AE ⊂平面PAD ,所以CD AE ⊥,又因为,AE PD CD PD D ⊥⋂=,,CD PD ⊂平面PCD , 所以AE ⊥平面PCD（2）因为PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥,以A 为原点,分别以AB AD AP 、、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz-（如图所示）,设1==PA AB,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P,因为AE PD⊥,所以E为PD中点,所以110,,22E⎛⎫⎪⎝⎭,所以11(1,0,1),(1,1,1),0,,22PB PC AE⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r,由（1）得110,,22AE⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r为平面PCD的一个法向量,设平面PBC的一个法向量为(),,m x y zr=,由PB mPC m⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r,即x zx y z-=⎧⎨+-=⎩,令1x=,则1,0z y==,所以()1,0,1m=r,因此112cos,2122m AEm AEm AE⋅〈〉===⋅⨯u u u rru u u rru u u rr,由图可知二面角B PC D--的大小为钝角,故二面角B PC D--的余弦值为12-【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识,考查空间想象能力及运算能力18．记n S为数列{}n a的前n项和.已知0na>，2634n n nS a a=+-.（1）求{}n a的通项公式；（2）设2211n nnn na aba a+++=，求数列{}n b的前n项和n T.【答案】（1）31n a n =+（2）()92434n nT n n =++【解析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差可得2211633n n n n n a a a a a --=+--，再对其因式分解，即可得到13n n a a --=，最后根据等差数列的通项公式计算可得. （2）由（1）可得n b 的通项公式，再用分组求和及裂项相消法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）.因为2634n n n S a a =+-①，所以当2n …时，2111634n n n S a a ---=+-②， 由①－②得2211633n n n n n a a a a a --=+--， 所以()()1130n n n n a a a a --+--=. 又0n a >，所以13n n a a --=.因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 故()43131n a n n =+-=+.（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++， 所以333333222471031347n T n n =+-++-+++-++L ()333333922477103134434n n n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+ ⎪+++⎝⎭L 【点睛】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.19．ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o的面积为 （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值.【答案】（1）23;（2）633- 【解析】（1）利用1sin 2ABC AB B S BC =⋅⋅⋅V 求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE V 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF V 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF V 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 【详解】解：（1）因为60,2,B AB ==o所以1133sin 222ABC AB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=V ， 又23ABC S =V ，所以4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以23AC =；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE V 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()23sin 60θ︒=+，所以()3sin 60DE θ︒=+， 在CDF V 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=o ，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFS DE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅V==当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-V故DEF V 的面积的最小值为6-【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.20．已如椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点A ⎭在E 上. （1）求E 的方程：（2）斜率不为0的直线l 经过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，且与E 交于P ，Q 两点，试问：是否存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）22143x y +=（2）存在x 轴上的定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠【解析】（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点C ，对称性可知设(),0C m ，根据PCB QCB ∠=∠，得到0PC QC k k +=，即得12120y y x m x m+=--，直线l 的方程为：12x ty =+与椭圆联立，得到12y y +，12y y ，从而得到m 和t 的关系式，根据对t ∈R恒成立，从而得到m 的值.【详解】（1）因为椭圆E 的离心率12e a ==，所以2234a b =①，点A ⎭在椭圆上，所以223314a b +=②， 由①②解得24a =，23b =.故E 的方程为22143x y +=.（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠.由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(),0C m .因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=. 设直线l 的方程为：12x ty =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得()22121612450t y ty ++-=， ()()()()222212412164514418012160t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，所以122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+， 因为0PC QC k k +=，所以12120y y x m x m+=--， 所以()()12210y x m y x m -+-=，即122111022y ty m y ty m ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 整理得()12121202ty y m y y ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭， 所以224511220121621216t t m t t -⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()219012201216t m t t ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=+. 所以1901202t t m ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即1901202m t ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对t ∈R 恒成立， 即()96120m t -=对t ∈R 恒成立，所以8m =. 所以存在定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.21．已知函数()()21e xf x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()21e 1xg x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）211em -<…【解析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e xf x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得；（2）依题意可得()()21e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >，01m <<三种情况讨论可得. 【详解】解：（1）因为()()21xf x x ax e =++，所以()()221e xf x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，即()()()11e xf x a x x =++'+.由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数. ③当0a <时，()11a -+>-，由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+； 所以()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；当0a >时，()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数；当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. （2）因为()()21e 1xg x x mx =+--，所以()()21e x g x m x =+'-，①当0m …时，()0g x '…，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点.②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<； 所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.（ⅱ）当1m >时，()00g '<，()()210m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=，且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.所以()()000g x g <=，又()()()22221e 1110mg m m m m m =+-->+--=，根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m >时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点.又()()000g x g <=，所以()10g -…即()2110eg m -=+-…，所以21e m -…，即当211em -<…时()g x 在[)1,-+∞有两个零点.综上，m 的取值范围为211em -<…【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养. 22．在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．【答案】（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）)2-或(2 【解析】（1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.【详解】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……① 将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）． （2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P 到直线OA的距离为d ==，所以111222OAP S OA d d =⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP △，此时P的坐标为2 (2,)2-或2(2,)2-.【点睛】本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力.23．已知函数1()||||f x x a xa=++-．（1）证明：()2f x≥；（2）当12a=时，()f x x b+≥，求b的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1(,]2-∞.【解析】（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围. 【详解】（1）1111()||||||||||2||||2f x x a x a a aa a a a=++-+=+⋅=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b+≥，当且仅当(2)2f b+≥，解得12b=，故b的取值范围为1(,]2-∞．【点睛】本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。
福建省泉州市2020届高三毕业班线上质量检测理科数学试题 Word版含解析
泉州市2020届高三毕业班适应性线上测试（一）理科数学一、单项选择题:本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}230A x x x =-<，2{}0|B x x =-≥，则()A B =R( )A. {|02}x x <≤B. {}2|0x x << C. {|23}x x ≤< D. {}|03x x <<【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】}{}{(3)003A x x x x x =-<=<<，}{2B x x =≥，}{2RB x x =<，则(){}{}{}03202RA B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题.2.设复数()2112i z i+=-，则z =( )10B.2525D.43【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算以及复数模的求法即可求解.【详解】复数()2124212125i i iz i i +-+===--，22422555z -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则复数z 25， 故选：C.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题.3.如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度()/mg ml的变化情况，其中点iA的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:h)，点i A的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值()1,2,3i=. 记iV为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记iT为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则123,,V V V中最小的，123,,T T T中最大的分别是( )A.23,V T B.22,V T C.13,V T D.12,V T【答案】B【解析】【分析】根据图像，依据题意逐个判断得出答案.【详解】①设(),i i iA x y，则iiiyVx=，即直线iOA的斜率，由图可知，直线2OA的斜率最小，即2V最小；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应132,,A A A在首次降到峰值一半时对应点，不妨记为132,,B B B，由图可知2A到2B经历的时间最长，所以123,,T T T中最大的是2T.故选：B.【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力以及转化与化归的思想，考查了图中量的几何意义，属于基础题.4.已知{}n a是公差为3的等差数列.若124,,,a a a成等比数列，则{}n a的前10项和10S=( )A. 165B. 138C. 60D. 30【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项以及等差数列的通项公式求出13a =，再利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】由124,,a a a 成等比数列得2214a a a =即()()211139a a a +=+解得13a =，101109101034531652S a d ⨯=+⨯=⨯+⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.5.若()()()()()()523450123452111111x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则4a =( )A. 10B. 10-C. 80D. 80-【答案】D 【解析】 【分析】由()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用二项式展开式的通项即可求解.【详解】()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，通项()()515211rrr r T C x -+=+-⎡⎤⎣⎦，故当1r =时，()()()511411+15=211801T C x x -+-=-+⎡⎤⎣⎦，所以480a =-.故选：D【点睛】本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题.6.已知函数()f x 满足()()2 f x f x +=-，且当1x >时，()3f x x =，则()f x 的图象在()()0, 0f 处的切线方程为( )A. 128y x =+B. 128y x =-+C. 128y x =-D. 128y x =--【答案】B【解析】 【分析】根据题意可得()f x 关于直线1x =对称，从而可得()()028f f ==，且()'012k f ==-，利用点斜式即可求解.【详解】依题意由()()2 f x f x +=-，可得()()1 1f x f x +=-， 所以()f x 关于直线1x =对称， 所以()()028f f ==，当1x >时，()3f x x =，则21x -<所以()()()332226128f x f x x x x x =-=-=-+-+， 所以()231212f x x x '=-+-()'012k f ==-，故切线为：128y x =-+， 故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称性以及导数的几何意义，求出函数的导函数以及切点，属于基础题.7.已知函数2,0()32,0xx b x f x b x ⎧++>=⎨+≤⎩，若()f x 在实数集上为增函数，则常数b 满足（ ） A. 0b < B. 0b >C. 01b ≤≤D. 1b >【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R 上递增，则有0221b b b -≤⎧⎨+≥+⎩，解得不等式，即可求出结果．【详解】因为()f x 在实数集上为增函数，所以001221b b b b -≤⎧⇒≤≤⎨+≥+⎩，故选C. 【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．8.如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )A.32B. 3C.23D.43【答案】A【解析】【分析】根据三视图得出几何体的直观图，然后再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D-的边长为3，,M N分别为AB，1DD的三等分点，且11BM D N==.三棱锥1N B MB-即为所求三棱锥，11313322V⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，同时考查了椎体的体积公式，属于基础题.9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式:设ABC三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，面积为S，则“三斜求积”公式为S =若2sin sin 5C c A =，且()()40,a b c a b c +---+=则利用“三斜求积”公式可得ABC 的面积S =( )B. 2C. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得5ac =，代入()()40,a b c a b c +---+=可得2226a c b +-=，再由三斜求体即可解答.【详解】因为2sin sin 5C c A =，由正弦定理得25c c a =，5ac =，又因为()2240a c b --+=，所以222246a c b ac +-=-=，代入2S ==. 故选：B【点睛】本题考查了正弦定理以及新定义，需熟记定理的内容，属于基础题.10.已知双曲线：()22221,0x y a b a b-=>，点P 的坐标为()1,2-，斜率为18-的直线与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，直线AP 交双曲线于另一点C ，直线BP 交双曲线于另一点D .当直线CD 的斜率为18-时，此双曲线的离心率为（ ）A.62B.325 D.52【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法可表示出,M N y y ，由平行关系易知,,P M N 三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入,M N y y 整理可得到,a b 关系，利用双曲线222c a b =+得到关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(),M M M x y22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+2218M M x b a y =⋅=- 228M M b y x a∴=-⋅…①设()33,C x y ，()44,D x y ，线段CD中点(),N N N x y同理可得：228N N b y x a=-⋅…②AB CD k k = //AB CD ∴，易知,,P M N 三点共线2211N MM N y y x x --∴=++，将①②代入得：2222882211M N M N b b x x a a x x -⋅--⋅-=++即()22410M N b x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ ∴()222244a b c a ==-，即2245c a =2252c e a ∴==故选：C【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到点差法的应用；关键是能够利用三点共线得到斜率相等，从而构造出关于,a c 的齐次方程，解齐次方程求得离心率；需要注意的是，在处理弦中点问题时，常采用点差法来得到弦的斜率和中点坐标之间的关系.二、多项选择题:本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，选出全部正确选项的得5分.11.如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数，则下列结论正确的是( )A. ()39f =B. ()()71f =C. 若()6f t ≥，则[]212,512 N ()t k k k ∈++∈D. 不论t 为何值，()()()4?8f t f t f t ++++是定值 【答案】BD【解析】 【分析】以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，从而点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐一判断选项即可求解.【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP 在()t s 内所转过的角度为t ，则66POx t ππ∠=-.则点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数()6sin 366f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；()36sin 333326f ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，选项A 错误；()16sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()776sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()()17f f =，选项B 正确；由()6f t ≥得，1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭解得[]()212,612t k k k N ∈++∈，选项C 错误；由()()()37486sin()36sin 36sin 3666666f t f t f t t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫++++=-+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得()()()489f t f t f t ++++=为定值，选项D 正确；故答案为：BD.【点睛】本题考查了三角函数的应用、解三角不等式，两角和与差的正弦公式，属于基础题.12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()1 1f x f x +=-.若()11f =，则( ) A. ()f x 是周期函数 B. 当n 为偶数时，()0f n =C. ()()()()22212 2336 616f f f f +++⋅⋅⋅+=D. ()()()()()22222233...42428811f f f n f n n n ++++++=++ 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数为奇函数以及()()11f x f x +=-，结合周期定义即可判断A ；由函数的周期为4 即可判断B ；根据题意可得()()111f f -=-=-，结合B 项以及函数的周期为4即可求解；由函数的周期为4以及当n 为偶数时，()0f n =即可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又()()11f x f x +=-， 所以()()()2f x f x f x +=-=-.所以()()()42f x f x f x +=-+=，可得函数()f x 的周期为4，选项A 正确；()()()2200f f f -=-=-=，即()()()220f f f -==，又因为函数周期为4，所以当n 为偶数时，()0f n =，选项B 正确； 因为()()111f f -=-=-，周期4T=，所以()()()()22222122336613517f f f f +++⋅⋅⋅+=-+=，所以选项C 是错的；()()()()()()222222221223342421357941f f f n f n n +++⋅⋅⋅+++=-+-++⋅⋅⋅++()()()22222215397(41)41n n ⎡⎤=+-+-+⋅⋅⋅--++⎣⎦()()1235794141n n =+++++⋅⋅⋅+-++⎡⎤⎣⎦()()223411212448812n n n n n n ++=+⨯=++=++所以选项D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题考查了函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，属于中档题.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相位置.13.已知向量(1,1),a =(2,1)b =，若()()a b a b λ-⊥+，则实数λ的值为________. 【答案】85【解析】 【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可. 【详解】()()a b a b λ-⊥+,()()0a b a b λ∴-⋅+=,23(1)50λλ+--=,解得85λ=， 故答案为：85【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题.14.已知数列{}n a 的各项均为正数，且2*116N ()n n n na a a n a ++=+∈，则4725a a a a +=+__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据递推关系式可得()()11320n n n n a a a a ++-+=，从而可得{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由2116n n n na a a a ++=+可得：221160n n n n a a a a ++--=， 即()()11320n n n n a a a a ++-+=， 因为0n a >，所以13n n a a +=，所以{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列， 所以222472525259a a a q a q q a a a a ++===++. 故答案为：9【点睛】本题考查了递推关系式研究函数的性质，等比数列的通项公式，属于基础题. 15.已知()2:20C y px p =>的准线l 与x 轴交于点A ，点,B P 在C 上，ABF 是面积为2的等腰直角三角形，则C 的方程为__________；PFPA的最小值为__________. 【答案】 (1). 24y x =【解析】 【分析】 根据题意可得到122p p ⋅⋅=，故可求出C 的方程；设(0P x ，焦点()1,0F ，()1,0A -，利用抛物线的定义以及勾股定理可得01,PF x PA =+=，从而2PF PA=≥即可求解.【详解】由已知可得AFP ∠为直角，故122p p ⋅⋅=，解得2p =， 所以C 的方程为24yx =；由对称性，不妨设(0P x ，因为抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，()1,0A -，01,PF x PA =+==PF PA==≥，当且仅当01x =时取等号，PF PA取最小值2. 故答案为：24y x =；2【点睛】本题考查了抛物线的定义以及抛物线的标准方程，需熟记抛物线的定义以及几何性质，属于中档题.16.已知三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面30ABC PAB ∠=︒,，6,10AB PA CA CB ==+=.设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为__________. 【答案】34【解析】 【分析】利用余弦定理求出PAB △是直角三角形，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得PD =，连接CD ，可得PD ⊥平面ABC，进而可得tan PD CD θ==CD y =，CA x =，即10CB x=-，由180CDA CDB ∠+∠=︒，利用余弦定理可得：()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，化简配方即可求解. 【详解】由已知易得PAB △是直角三角形， 过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得93,22PD AD BD ===， 连接CD ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理，可得PD ⊥平面ABC ， 所以PCD θ∠=，tan PD CD θ==CD 取最小值时，tan θ最大. 设CD y =，CA x =，则10CB x =-.因为180CDA CDB ∠+∠=︒，所以cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，即()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，所以y =，可得当152x =时，y取得最小值，最小值为即CD的最小值所以tan θ34=.故答案为：34【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题:共60分.17.如图，已知在平面四边形ABCD 中，,CAB a ABC ACB βγ∠=∠=∠=,，且()()2cos sina sin sin cosa cos γβγβ+=--.（1）证明:2CA CB AB +=；（2）若21CA CB DA DC ===,，求四边形ABCD 的面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）383,1616⎛+ ⎦⎝. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=，然后再利用两角和的正弦公式的逆应用可得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=，从而可得sin sin 2sin βαγ+=，再利用正弦定理即可求解.（2）由（1）可得ABC ∆为是等边三角形，设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈，利用三角形的面积公式可得213sin 4ABCD S AC ϕ=，在ADC 中，由余弦定理求出AC ，然后利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由cos (sin sin )sin (2cos cos )γαβγαβ+=--得cos sin cos sin 2sin sin cos sin cos γαγβγγαγβ+=--.整理得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=， 即得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=. 因为在ABC 中，αβγπ++=，所以()()()sin sin sin ,sin sin αγπβββγα+=-=+=， 所以sin sin 2sin βαγ+=. 由正弦定理得2CA CB AB +=.（2）因为CA CB =，2CA CB AB +=， 所以CA CB AB ==,ABC 为是等边三角形. 设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈， 则ABCD ACD ABC S S S =+△△ 211sin sin 6022DA DC AC ϕ=⋅⋅+ﾟ21sin 4AC ϕ= 在ADC 中，由余弦定理得22252cos cos 4AC DA DC DA DC ADC ϕ=+-⋅∠=-.15sin cos 44ABCD S ϕϕ⎫=+-⎪⎝⎭()1sin 4ϕϕ=1sin 23πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为0ϕπ<<，所以2333πππϕ-<-<，所以sin 13πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，得11sin 232πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.1sin 23πϕ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭.因此，四边形ABCD面积的取值范围为3853,⎛⎤+⎥⎦⎝.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于中档题.18.如图，正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都为4,D是AC的中点，E在11A C边上，113EC A E=.（1）证明:平面1BC D⊥平面11ACC A；（2）若F是侧面11ABB A内的动点，且//EF平面1BC D. ①在答题卡中作出点F的轨迹，并说明轨迹的形状(不需要说明理由)；②求二面角1C BD F--的余弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）①取1AA的中点M，11A B的中点N，连接MN，则点F的轨迹就是线段MN785【解析】【分析】（1）证出1AA BD⊥，BD AC⊥，利用线面垂直判定定理可得BD⊥平面11ACC A，再利用面面垂直的判定定理即可证出面面垂直.（2）①取1AA的中点M，11A B的中点N，连接MN，可得点F的轨迹；②以DA、DB所在的直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系D xyz-，求出平面1DBC的一个法向量以及平面DBF 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）在正三棱柱1ABC ABC -中，因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以1AA BD ⊥.在等边ABC 中，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1AA AC A =,所以BD ⊥平面11ACC A .又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11ACC A .（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . ②由图可知当点F 与点N 重合时，二面角1C BD F --的余弦值取到最大值. 以DA 、DB 所在的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D，(0,B ，()12,0,4C -，()()N F，()0,DB =，()12,0,4DC =-，()1,DF =设平面1DBC 的一个法向量为()111,,m x y z =.由10,0,DB m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1110,240,x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令12x =，解得11z =. 所以()2,0,1m =.设平面DBF 的一个法向量为()222,,n x y z =由0,0,DB n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得12220,40,x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令24x =，解得21z =-.所以()4,0,1n =-.因此cos ,855m n m n m n ⋅===⋅⋅.故二面角1C BD F --的余弦值得最大值为. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，空间向量法求面面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.19.设椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点.（1）若2AF FB =，求l 的方程；（2）设过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点P ，若M 是PAB △的外心，证明:ABMF为定值.【答案】（1）)1y x =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程消x ，根据韦达定理求出两根之和、两根之积，由2AF FB =，可得122y y =-，两根之和、两根之积即可求解. （2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，利用弦长公式求出AB ，根据题意可得AB 的垂直平分线方程22343434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，求出点M 的坐标，进而求出MF ，进而可求解.【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得()2234690t y ty ++-=，设()()1112,,,A x y B y y ，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+若2AF FB =，则122y y =-，解得5t =±，所以，l 的方程为)1y x =- （2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以()212212134t AB y t +=-==+ 因为M 是PAB △的外心，所以M 是线段AB 的垂直平分线与AP 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线为22343434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭令0y =，得2134x t =+，即21,034M t ⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以，22213413434t MF t t +=-=++()22221211234433334t ABt t MFt ++===++，所以AB MF 为定值. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.20.某游戏棋盘上标有第0,1,2,,100⋅⋅⋅站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明:11119)3(183n n n n P P P P n +-+=+≤≤；（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）分布列见解析，4；（2）证明见解析；（3）不公平. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、根据独立重复实验的概率计算公式求出概率即可.（2）当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -，从而112133n n n P P P +-=+，同时加上13n P 即可证出.（3）由（2）可得9998972133P P P =+，由1009813P P =，概率不相等，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、 ()()2213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()842134564279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）依题意，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -.所以，112133n n n P P P +-=+.同时加上13n P 得()1111211119833333n n n n n n n P P P P P P P n +--⎛⎫+=++=+≤≤ ⎪⎝⎭；（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为,9998972133P P P =+， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009813P P =. 所以10099P P <，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数()xaxf x x lnx e =-+. （1）当1a ≥-时，讨论()f x 的极值点个数； （2）若0x >时，()f x e ≤-，求a 的取值范围. 【答案】（1）一个极值点；（2）1e a e -≤-. 【解析】 【分析】（1）求出()()1x x e x a x f x e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=，令()x e g x a x =+，求出()g x '，利用导数判断()g x 的单调性，从而判断函数()f x 的单调性，从而由极点的定义即可求解.（2）等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立，令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤，利用导数求()min h x 即可.【详解】（1）()()()11'1x x x e x a x a f x x ex e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎝⎭ 令()xe g x a x=+ 则()()21'x e x g x x-=，当01x <<，()'0g x <，当0,'()0x g x >>， 所以()g x 在()0,1递减在(1,)+∞递增，所以()()min 1g x g a e ==+因为1a ≥-所以0a e +>，()0g x >恒成立，则当()'0f x >时，()01,'0x f x <<<时，1x >所以()f x 在()0,1递增，(1,)+∞递减，所以1x =是()f x 唯一极值点，所以()f x 只有一个极值点（2）因为0x >，不等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立， 令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤ 因为()()()21ln 1x x x x e e x h x ---+'=，令()l 1x nx x e ϕ=--+，则()11'1x x x xϕ-=-= 当()()()0,10,1,0,'(),'x x x x ϕϕ∈>∈+∞<，所以()x ϕ在()0,1递增，(1,)+∞递减. 有()()221130,120,0e e e e e ϕϕϕ⎛⎫=--<=->= ⎪⎝⎭. 所以()x ϕ在()0,1存在唯一零点0x ，在(1,)+∞存在唯一零点x e =，当00x x <<时，()()0,'0x h x ϕ<<，当01x x <<时，()()0,'0x h x ϕ>>，当1x e <<时，()()0,'0x h x ϕ><，当()(),'0,'0x e x h x ϕ><>，所以()h x 在()00,x 和()1,e 上为减函数在()0,1x 和(,)e +∞上为增函数，所以()min h x 是()0h x 与()h e 较小者，()1e h e e -=-，因为()000ln 10x x x e ϕ=--+=，所以010x e x e +-=，所以()()00001000ln x x e x x e e h x e e x x ---==-=- 综上，()1min e h x e -=-，所以1e a e -≤-.所以，满足题意的a 的取值范围是1e a e -≤-.【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用，在研究函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.（二）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为4,,x t y kt =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线C .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 的极坐标方程；（2）已知点,A B 在C 上，4AOB π∠=，求AOB 的面积的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（2）2+.【解析】【分析】（1）将直线1l 化为普通方程，与直线2l 联立消去k ，得C 的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式可得1sin cos 244AOB S OA OB ππθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由4x t y kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()4y k x =-， 设(),P x y ，由题意得()4,1.y k x y x k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去k 得C 的普通方程2240(0)x y x y +-=≠.把222x y p +=，cos x ρθ=代入上式，24cos 0ρρθ-=， 可得C 的坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）.（2）由题意可设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭， 121sin cos 2444AOB S OA OB p p ππθθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()4k k Z πθπ=-∈时， AOB 的面积取得最大值，其最大值为2+.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知关于x 的不等式2321x x a x -+-≥-的解集为R .（1）求a 的最大值m ；（2）在（1）的条件下，若1p >，且22pq p q m --=-，求p q +的最小值.【答案】（1）4；（2）7.【解析】【分析】（1）当1x =时，解得a R ∈；当1x ≠时，分离参数可得2321x x a x -+-≤-，令()2321x x g x x -+-=-，只需()min a g x ≤，根据绝对值的几何意义求出()min g x 即可；（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=，从而()()123p q p q +=-+-+，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）当1x =时，20a ≥⋅恒成立，此时a R ∈.当1x ≠时，原不等式可等价转化为2321x x a x -+-≤-.令()2321x x g x x -+-=-，则原不等式恒成立，只需()min a g x ≤.因为()23244411x x x g x x x -+--=≥=--， 当且仅当23x ≤或2x ≥时，“=”号成立， 所以()min 4g x =，即4a ≤.综上知，a 的最大值4m =.（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=.因为10p ->，所以()20q ->，()()12337p q p q +=-+-+≥=.当且仅当12p q -=-，即3,4p q ==时“=”成立，所以p q +的最小值为7.【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.。
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目要求的．
1．已知集合 M x x2 x 0 ， N x x 1 ，则
A． M N
B． N M
C． M N R
D． M N
【解析】因为 M x x2 x 0 x 0 x 1， N x x 1 ，所以 M N ，故选 D．
2．若复数 z 满足 z(1 i) 2 3i ，则 z
A． 1 5 i 22
B． 1 5 i 22
C． 5 1 i 22
D． 5 1 i 22
【解析】由已知得 z 2 3i (2 3i)(1 i) 2 5i 3i 2 1 5i ，则 z 1 5 i ，故选 A．
1 i (1 i)(1 i)
2
2
22
x y 2≤0， 3．若 x ， y 满足约束条件 3x y 1≥0，则 z 4x 2 y 的最小值为
2
4．已知 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不重合的平面．给出下列四个命题： ①若 ， m ，则 m ；②若 m n ， n ，则 m ； ③若 ， m ，则 m ；④若 m ， m ，则 ．
其中为真命题的编号是
A．①②④
B．①③
C．①④
【解析】①中，若 ，则 内任一直线与 平行，①为真命题．
太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有 大吕= 黄钟 太簇 ， 大吕= 3 黄钟2 夹钟 ，
太簇= 3 黄钟 夹钟2 ．据此，可得正项等比数列 an 中， ak =
A． n k 1
a nk 1
an
B．
nk
1
a1
a nk n
C．
n 1
a nk 1
ank 1
D．
n 1
a1k
1
a nk n
【解析】解法一：因为 an
D．②④
②中，若 m n ， n ，则 m 可能平行于 ，也可能在 内，②为假命题．
③中，若 ， m ，则 m 可能垂直于 ，也可能平行于 ，也可能与 相交但不垂直，③为
假命题．
④中，若 m ，则可在 内作一直线 m1 使 m1 m ，又因为 m ，所以 m1 ，又 m1 ， 则 ，④为真命题．
2x 16 0 ， 设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， 则
x1 x2 2
2 ， y1 y2
2 4
x1
2
2 4
x2
2
2 4
( x1
x2 )
4
2 2 4
2 4 5 ，所以
AB y1 y2 p 5 4 9 ，故选 A．
解法二：（几何法）延长 BC 交准线 y 2 于 D ，过点 A 作 AM 垂直准线交准线于 M ，过点 B 作 BN
垂直准线交准线于 N ，准线与 y 轴交于点 H ， FDH 中原点 O 是线段 FH 的中点，所以点 C 是线
段 DF 的中点．易得 FH 4 ， AM AF AC 3 ， AD 3 AC 9 ，设 BF BN k ，因
为 DMA∽DNB ，
所以
AM BN
AD DB
，即
3 k
9 12
相等，不妨取渐近线为 y b x ，即 bx ay 0 ，点 F (c,0) 到渐近线的距离 d b (c) 0 bc b ，
a
a2 b2 c
所以 b 3 ，所以 C 的方程为 x2 y2 1，故选 C． 49
7．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为
A． 1010
B． 1009
A．
8π,
21 2
π
B．
16π,
273 16
π
C．
273 16
π,
21π
D．16π, 21π
【解析】解法一：如图所示，依题意可知，三棱锥 E ABC 的外接球的球心 O 在上底面等边 A1B1C1 的
中心 O1 与下底面等边 ABC 的中心 O2 的连线的线段 O1O2 上，设球 O 的半径为 R ，当动点 E 在点 A1
段 CF 的中点，则 AB
A． 9
B． 12
【解析】依题意得 p 4 ，焦点 F (0,2) ，
C． 18
D． 72
解法一：因为 A 为线段 CF 的中点，所以 A(2
2,1) ，kAF
2 1 0 (2
2)
2 ，所以直线 AF 的方 4
程为 y
2 x 2 ， 将 其 代 入 x2 8y 得 x2 2 4
2
2
2
2
2
2
保密★启用前
泉州市 2020 届高中毕业班单科质量检查
理科数学
注意事项：
2020．1
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答 题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
R2 3 2 3 y 2 得 （ 3）2 （3-y）2 =x2 y2 整 理 得 x2 12 6 y ， 所 以
R2 y2 6y 12 =（y-3）2 3 ，又因为 0≤x≤ 3 得 3 ≤y≤2 ；当 y 2 时， R2 的最小值为 4 ； 2
当
y
3 2
时，
R2
的最小值为
与下底面等边 ABC 的中心 O2 的连线的线段 O1O2 上，连接 OA 、OE ，设 OA OE R ，O1E x ，
O1O y ；在 RtOO1E 中， OE 2 O1E 2 O1O2 得 R2 x2 y2 ；在 RtAOO2 中， AO2 3 ，
OO2 =3 R ， 由 OA2 O2 A2 O2O2 得 R2 （ 3）2 （3-y）2 ； 由 R2 x2 y2 和
C．1009
D．1010
【解析】依题意，得 N 1 3 5 2019 ，T 0 2 46 2018．
解法一： S N T (1 0) (3 2) (5 4) (2019 2018) 1010 ，故选 D．
解法二： N (1 2019) 1010 1010 1010 ，T (0 2018) 1010 1009 1010 ，
1) 32
93 ，则 a1
48 ，故 a5
a1 q4
3．
2
15 ． 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 x 0 时 ， f (x 1) 3 f (x) ； 当 x 0,1 时 ，
1 2
1 2
(ln
π2 e2
ln
e)
1 ln 2
π2 e3
0
，
c
1 2
1 2
(ln
e4 π2
ln e)
1 ln 2
e3 π2
0
，则 b
1 2
c，a
log π
e=
1 2
log π e 2
1 2
，
a c 1 (2 ln π) 1 ln π 2 0 ，所以 b c a ，故选 B．
ln π
a1q n1 ，所以 q=n1
an a1
，
所以 ak =a1 n1
an a1
k 1
=a1
an a1
k 1
n1
nk
=a1 n1
k 1
an n1
=n1 a1nk
ank 1
，故选
C．
解法二：（特值法）（具体略）．
9．已知抛物线 E : x2 8y 的焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 E 交于 A, B 两点，与 x 轴交于点 C ．若 A 为线
21 4
；所以
4≤R2≤
21 4
，由球
O
的表面积
S
4
R2
得16π≤S≤21π
，
故选 D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 a x, 2 ， b 2,1 ，且 a b ，则 a =
．
【解析】由 a b 得： x 1 2 2 0 ，即 x 4 ，所以 a = 42 +22 = 20=2 5 ．
3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案
使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
6．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 的实轴长为
4，左焦点 F
到C
的一条渐近线的距离为 3 ，则 C
的方程为
A． x2 y2 23
B． x2 y2 1 43
C． x2 y2 1 49
D． x2 y2 1 16 9
【解析】因为实轴长 2a 4 ，所以 a 2 ， F (c,0) ，由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离
42
4
4
解法二：圆心到直线 l 的距离 d
4k
4k ，
k 2 (1)2 k 2 1
AB 2 r 2 d 2 2
9
4k k2
1
2
2 ，解得 k
1 ，故选 C．
12．已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都为 3 ， D 是 B1C1 的中点， E 是线段 A1D 上的动点．若三棱 锥 E ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积的取值范围为
综上，①④为真命题，故选 C．
5．函数 f (x) x ln x2 的图象大致为
A．
B．
C．
D．
市单科质检数学（理科）试题 第 2 页（共 8 页）