山西省忻州市静乐县第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷word版

数学试题
（考试时间120分钟总分120分）
一、选择题(每小题5分，共60分）
1.在△ABC中,a=,b=,B=60°,则角A等于().
A.135°
B.90°
C.45°
D.30°
2.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin x的图象().
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向上平移个单位长度
D.向下平移个单位长度
3.半径为2,圆心角为的扇形的面积为().
A. B.π C. D.
4.已知向量a=,b=(x+1,2),其中x>0,若a∥b,则x的值为().
A.8
B.4
C.2
D.0
5.已知数列{a n}和{b n}都是等差数列,若a2+b2=3,a4+b4=5,则a7+b7=( ).
A.7
B.8
C.9
D.10
6.函数f(x)=sin 2-sin 2是( ).
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数 7.在△ABC 中,B=120°,AB=,A 的角平分线AD=
,则AC=( ).
A.
B.
C. D.
8.已知a 1=2,a n+1-a n =2n+1(n ∈N *),则a n =( ). A.n+1 B.2n+1 C.n 2+1 D.2n 2+1
9.在△ABC 中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是( ). A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
10.已知两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且=,
则的值为( ).
A .
B .
C .
D .
11．O 为ABC ∆所在平面上动点，点p 满足
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛++=AC AB OA OP λ,[)+∞∈,0λ,则射线AP 过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 12.设f(x)=sin 4x-sin xcos x+cos 4x,则f(x)的值域是( ). A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题5分，共60分）
13.已知a=(2cos θ,2sin θ),b=(3,),且a与b共线,
θ∈[0,2π),则θ= .
14.已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,
则f(0)=.
15．如图放置的边长为1的正方形ABCD顶点A,D分别
在x轴、y轴正半轴（含原点）滑动，则OC
OB 的
最大值为__________．
16.下列判断正确的是.(填写所有正确的序号)
①若sin x+sin y=,则sin y-cos2x的最大值是;
②函数y=sin的单调递增区间是kπ-,kπ+(k∈Z);
③函数f(x)=是奇函数;
④函数y=tan-的最小正周期是π.
三、解答题(17题10分，其它题每个12分，共70分）
17.已知cos α-sin α=,且π<α<,求的值.
18.已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求: (1)a·b,|a+b|;
(2)a与b的夹角的余弦值.
19.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=a cos B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
20.已知数列{a n}为等差数列,a3=5,公差d≠0,且=.
(1)求数列{a n}的通项公式以及它的前n项和S n;
(2)若数列{b n}满足b n=,T n为数列{b n}的前n项和,求T n.
21.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=3,A=60°,b+c=3.
(1)求△ABC的面积;
(2)求sin B+sin C的值及△ABC中内角B,C的大小.
22.如图,点B,点A是单位圆与x轴的正半轴的交点.
(1)若∠AOB=α,求sin 2α.
(2)已知=+h,=-h,若△OMN是等边三角形,求△OMN的面
积.
(3)设点P为单位圆上的动点,点Q满足=+,
∠AOP=2θ,f(θ)=·,求f(θ)的取值范围.当⊥时,求四边形OAQP的面积.
数学答案
1—5 CACBB 6—10 AACBC 11—12 BA
13. 或14. . 15. 2 16. ④
17.【解析】因为cos α-sin α=,所以1-2sin αcos α=,所以2sin αcos α=.又α∈,所以sin α+cos α=-=-,
所以=
===- .
18.【解析】(1)因为e1=(1,0),e2=(0,1),
所以a=3e1-2e2=(3,-2),b=4e1+e2=(4,1),
所以a·b=3×4+(-2)×1=10,
所以a+b=(7,-1),所以|a+b|==5. (2)设a与b的夹角为θ,
则cos θ===.
19.【解析】(1)由bsin A=acos B及正弦定理=,得sin B=cos B,所以tan B=,所以B=.
(2)由sin C=2sin A及=,得c=2a,
由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得9=a2+c2-ac.所以a=,c=2.
20.【解析】(1)由题意得又∵d≠0,∴∴a n=1+(n-1)×2=2n-1, ∴S n===n2.
(2)∵b n==
=,
∴T n=1-+-+…+-=.
21.(1)由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos 60°,bc=3.
故S△ABC=bcsin A=×=.
(2)因为A=60°,由正弦定理得====,又b+c=3,所以sin B+sin C=.
因为B+C=120°,所以sin(120°-C)+sin C=.
由此得sin(C+30°)=.在△ABC中,C+30°=45°或135°,即由此可求得C=15°,B=105°或C=105°,B=15°.
22.(1)由三角函数定义,可知sin α==,cos α==-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-.
(2)因为=,=+h,=-h,
所以+=+h+-h=2=(-1,).
所以|+|=|(-1,)|=2.
所以等边△OMN的高为1,边长为,
因此△OMN的面积为×1×=.
(3)由三角函数定义,知P(cos 2θ,sin 2θ),所以
=+=(1+cos 2θ,sin 2θ),
所以f(θ)=·=-(1+cos 2θ)+sin 2θ=sin-.
因为≤θ≤,所以≤2θ-≤,即≤sin≤1,
于是0≤f(θ)≤,所以f(θ)的取值范围是.
当⊥时,f(θ)=·=0,
即sin-=0,解得2θ=,
易知四边形OAQP为菱形,此时菱形OAQP的面积为
2××1×1×sin=.。