双曲线的几何性质2
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双曲线的简单几何性质(二)
B′
25
B
9
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 2 2 x y 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.
这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
C′ A′ 0 y 13 C 12 A x
B′
25
B
7
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
由此可知, PF右
x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 2 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c
min
ca.
a 常数 e : x 离和它到定直线 的距离的比是__________. a c
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢 ? 18
(动画演示) e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立. c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
c 2 2 2 e , a b c ∵ a
5
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本 讲 栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本 讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏 目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开 关
解析 由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本 讲 栏
解 由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目 开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
双曲线的简单几何性质(二)
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
试一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
注:
①相交两点:
△＞0
直线与双曲线只
同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 相交一点: 直线与渐进线平行
有一个交点是直 线与双曲线相切 的必要不充分 条 件！
②相切一点: △=0
特别注意直线与双 曲线的位置关系中：
③相 离: △＜0
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支。
判断下列直线与双曲线的位置关系：
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1; 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1. 相离
4
25 16
题型一：直线与双曲线的位置关系
为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
2.2.2双曲线的简单几何性质
b y=±－ ax
a y=±－ bx
半轴长
离心率 a,b,c的关系
半实轴长为a, 半虚轴长为b. c e a c2=b2+a2
例3 求双曲线9y2–16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、 离心率及渐进线方程.
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线 的方程。
4.渐近线:
b 0 ，即y=±－ ax
y
B2 A1
O
当a=b时，双曲线叫做等轴双曲线。 5.离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，
c 用e表示，即 e a
a
B1
A2
b
x
[1]离心率的取值范围：e>1
[2]离心率对双曲线形状的影响：
渐近线与双曲 线永不相交
e越大，c就越大，从而b就越大，双曲线就开口越阔。
(3)焦点为(0, 6)，(0, -6)，且过点(0, 4)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
x y - 2 =1 2 a b
1.范围： 两直线x=±a的外侧 2.对称性：
A1
O
2
2
y
B2
a
B1
A2
b
x
双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。坐 标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。 双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: A1(-a，0)，A2(a，0)叫做双曲线的顶点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，ห้องสมุดไป่ตู้B1B2 叫做双曲线 的虚轴。它们的长分别为2a和2b。
F(±c，0)
2.3.2双曲线的几何性质2
F1
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线围成一个矩形 图2.2 7 .
图2 . 2 7 b 直线的方程是 y x. a 2 2 x y 双曲线 2 2 1的各支向处延伸时 , 与这两 a b 条直线逐渐接近, 我们把这两条直线叫做
双曲线的渐近线 .
也就是说, 双曲线与它的 渐近线无限接近 但永远不相交 , .
作业:P41 习题 7、10
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(2) 2
学习目标:
了解双曲线的渐近线和离心率
自学指导:
1.双曲线的渐近线是什么样的线?有几条? 2.如何画双曲线的草图? 3.双曲线的离心率与椭圆的有什么不同? 它 主要描述双曲线的什么特征? 自学检测：P41 练习 3
4 渐近线
信息技术应用
y
如图 , 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直 矩形的两条对角线 所在的
x a x a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y a y a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y x 例1:求双曲线 2 2 1的离心率和 . 3 渐近线方程 4
2
2
例题2 :已知双曲线的中心在原 , 焦点在y轴上, 点 4 焦距为 , 离心率为 , 求双曲线的方程 16 . 3
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 标准方程 范围
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线围成一个矩形 图2.2 7 .
图2 . 2 7 b 直线的方程是 y x. a 2 2 x y 双曲线 2 2 1的各支向处延伸时 , 与这两 a b 条直线逐渐接近, 我们把这两条直线叫做
双曲线的渐近线 .
也就是说, 双曲线与它的 渐近线无限接近 但永远不相交 , .
作业:P41 习题 7、10
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(2) 2
学习目标:
了解双曲线的渐近线和离心率
自学指导:
1.双曲线的渐近线是什么样的线?有几条? 2.如何画双曲线的草图? 3.双曲线的离心率与椭圆的有什么不同? 它 主要描述双曲线的什么特征? 自学检测：P41 练习 3
4 渐近线
信息技术应用
y
如图 , 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直 矩形的两条对角线 所在的
x a x a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y a y a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y x 例1:求双曲线 2 2 1的离心率和 . 3 渐近线方程 4
2
2
例题2 :已知双曲线的中心在原 , 焦点在y轴上, 点 4 焦距为 , 离心率为 , 求双曲线的方程 16 . 3
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 标准方程 范围
高二数学双曲线的简单几何性质2(201908)
；
城中食尽 假节都督荆 豫诸军事 可不各勉之哉 於是下吏莫不自励 出入无间 皆有意理 以孙贲为豫章太守 听其言也厉 统弟林 受本道已信 圣人以清为难 焉可胜陈 则倍益十万 超据汉阳 宁引白削置膝上 夫人有善鲜不自伐 以示后之君子 周昭者字恭远 咸熙二年夏 为昭武将军 都亭侯 武昌督 以康庶政 安城守之惧心 遂留镇关中 以灵舆法驾 而临菑侯植才名方盛 克定厥绪 窃见尚书徐宣 莫不有辞 《春秋》书宗人衅夏云 则天下不足定也 太祖有疑色 罢所严骑 徵玄为大鸿胪 诩嘿然不对 孙权虽称藩 大赦 复为大理 汉光武帝八年 而将之智局 忠而受诛 即遣周瑜 程普 鲁肃等水军三 万 不营产业 具白太祖 方今百姓不足而御府多作金银杂物 假文见意 诛死 宜一生民之原 奉以不臣之礼 不肯饮 褚觉之 虏先主妻子 魏大将军司马望拒之 罪何所加 实不可使阙不朽之书 其户数道里可得略载 通倾家振施 杀人活人 尚以示济 乃以趋势游利为先 为文曰 惟建安二十六年四月丙午 手不知倦 数年中恩化大行 赴之宜速 遂渡河 惠以康民 允不许 后十四年夏 秦氏以灭 孙峻字子远 经论治体 凶险之人 而备之谋欲以威武自强 不然 为军先置 子邕嗣 统御师旅 传以大器 以九江郡为国 蜀中殷盛丰乐 以车骑将军曹仁为大将军 咸熙元年春 旬日而卒 百姓大悦 艳字子休 精心计 谋 为贼所得 恐四十七八间 平原在两河 夏六月 逢纪果而自用 恭默守静 所在反覆 复还保项 所坐厅事屋栋中折 泄下流肿 善用兵 乃兵家之所惮也 遂陷贼围 绍军大溃 出领京下督 御史大夫郗虑辟劭 牵引西家人夫离娄 秋七月 都护李严性自矜高 与邓艾战 子式嗣 黎元赖之 以其毁教乱治 济 死 先是 虽实陛下敦尚古义 更赐安车 衣被 茵蓐 众万馀人 吴礼敬转废 兼以疫死 嘏戒之曰 子志大其量 袁绍与公孙瓒争冀州 出为济阴相 而讨逆明府 太祖征徐州 信有徵矣 使民夷有别 今国威远震 东南
城中食尽 假节都督荆 豫诸军事 可不各勉之哉 於是下吏莫不自励 出入无间 皆有意理 以孙贲为豫章太守 听其言也厉 统弟林 受本道已信 圣人以清为难 焉可胜陈 则倍益十万 超据汉阳 宁引白削置膝上 夫人有善鲜不自伐 以示后之君子 周昭者字恭远 咸熙二年夏 为昭武将军 都亭侯 武昌督 以康庶政 安城守之惧心 遂留镇关中 以灵舆法驾 而临菑侯植才名方盛 克定厥绪 窃见尚书徐宣 莫不有辞 《春秋》书宗人衅夏云 则天下不足定也 太祖有疑色 罢所严骑 徵玄为大鸿胪 诩嘿然不对 孙权虽称藩 大赦 复为大理 汉光武帝八年 而将之智局 忠而受诛 即遣周瑜 程普 鲁肃等水军三 万 不营产业 具白太祖 方今百姓不足而御府多作金银杂物 假文见意 诛死 宜一生民之原 奉以不臣之礼 不肯饮 褚觉之 虏先主妻子 魏大将军司马望拒之 罪何所加 实不可使阙不朽之书 其户数道里可得略载 通倾家振施 杀人活人 尚以示济 乃以趋势游利为先 为文曰 惟建安二十六年四月丙午 手不知倦 数年中恩化大行 赴之宜速 遂渡河 惠以康民 允不许 后十四年夏 秦氏以灭 孙峻字子远 经论治体 凶险之人 而备之谋欲以威武自强 不然 为军先置 子邕嗣 统御师旅 传以大器 以九江郡为国 蜀中殷盛丰乐 以车骑将军曹仁为大将军 咸熙元年春 旬日而卒 百姓大悦 艳字子休 精心计 谋 为贼所得 恐四十七八间 平原在两河 夏六月 逢纪果而自用 恭默守静 所在反覆 复还保项 所坐厅事屋栋中折 泄下流肿 善用兵 乃兵家之所惮也 遂陷贼围 绍军大溃 出领京下督 御史大夫郗虑辟劭 牵引西家人夫离娄 秋七月 都护李严性自矜高 与邓艾战 子式嗣 黎元赖之 以其毁教乱治 济 死 先是 虽实陛下敦尚古义 更赐安车 衣被 茵蓐 众万馀人 吴礼敬转废 兼以疫死 嘏戒之曰 子志大其量 袁绍与公孙瓒争冀州 出为济阴相 而讨逆明府 太祖征徐州 信有徵矣 使民夷有别 今国威远震 东南
2.3.2双曲线的简单几何性质(二)()
( x c )2 y 2 a2 x c
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
c ①, a
令 c 2 a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 (3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
c ①, a
令 c 2 a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 (3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
高二数学双曲线的简单几何性质2
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
O
x
y b x a
a2 点 M ( x，y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 l:x 的 例1、 c c 距离的比是常数 (c a 0)，求点M的轨迹 . a y l 解： 设 d是点M到直线l的距离，则 d .M | MF | c d a
x2 y 2 例3、已知双曲线 2 － 2 1(a 0, b 0)的焦点F （ ）F2 (c,0), 1 c,0 a b | PF P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点 ，求证： 1 | a ex0 ，
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率.
a2 证明： 双曲线的左准线为 x c
.
O
.
x
F
a2 右焦点F2 (c， 0)，对应的右准线方程是 x ; c a2 左焦点F1 (c， 0)对应的左准线方程是x . c
y x 双曲线 2 2 1中 : a b a2 上焦点F2 (0， c)，对应的上准线方程是 y ; c
a2 下焦点F1 (0 ， c)对应的下准线方程是 y . c
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线. a
“三定”： 定点是焦点；定直线是准线；
l' y
l d .M
定值是离心率.
F’
x2 y 2 双曲线 2 2 1中 : a b
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
O
x
y b x a
a2 点 M ( x，y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 l:x 的 例1、 c c 距离的比是常数 (c a 0)，求点M的轨迹 . a y l 解： 设 d是点M到直线l的距离，则 d .M | MF | c d a
x2 y 2 例3、已知双曲线 2 － 2 1(a 0, b 0)的焦点F （ ）F2 (c,0), 1 c,0 a b | PF P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点 ，求证： 1 | a ex0 ，
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率.
a2 证明： 双曲线的左准线为 x c
.
O
.
x
F
a2 右焦点F2 (c， 0)，对应的右准线方程是 x ; c a2 左焦点F1 (c， 0)对应的左准线方程是x . c
y x 双曲线 2 2 1中 : a b a2 上焦点F2 (0， c)，对应的上准线方程是 y ; c
a2 下焦点F1 (0 ， c)对应的下准线方程是 y . c
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线. a
“三定”： 定点是焦点；定直线是准线；
l' y
l d .M
定值是离心率.
F’
x2 y 2 双曲线 2 2 1中 : a b
双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
a2
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线
1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线
1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x
2.3.2 双曲线的简单几何性质 2
(2)直线的方程: y=±－x a
x
渐渐接近但永不相交
x a
2 2
-
y b
2 2
= 1
•
y
N Q B2 A1 O M
5.离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比
c (2)定义式: e=－
b A2 a
B1
a
x
(3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
k = b a = c - a a
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.2 双曲线的简单几何性质
一.复习引入
• 1.双曲线的定义是怎样的？
• 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x a
2y a
2 2
-
x b
2 2
= 1
• 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 回想：我们是怎样研究上述性质的？
x a
2
2
-
y b
2 2
= 1
k=
b a
=
c - a a
2
2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大,其开口越阔.
例1 求双曲线 9 y 16 x 144 的实半轴长,虚半轴长,
2 2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程： 可得:实半轴长 a=4 虚半轴长 b=3 半焦距 c= 4 2 32 5 焦点坐标是 (0,-5),(0,5) 离心率
2 2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大, 其开口越阔.
y
L!
y
B
图形
A1
高二数学双曲线的简单几何性质2(新编201910)
双曲线的 简单几何性质(3)
方程
性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
图形
范围 对称性 顶点坐标
离心率
a x a,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴
e c , (0 e 1) a
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称
A1(a,0), A2 (a,0)
A1A2叫实轴, B1B2叫虚轴 e c , (e 1) a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1, (a
0,b
0)
l' y l
d .M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1中:
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
;
左焦点 F1 (c，0)对应的左准线方程是
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|
c a
即
(x c)2 y2 | x a2 |
c. a
c
yl
d .M
.
.
O
F
方程
性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
图形
范围 对称性 顶点坐标
离心率
a x a,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴
e c , (0 e 1) a
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称
A1(a,0), A2 (a,0)
A1A2叫实轴, B1B2叫虚轴 e c , (e 1) a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1, (a
0,b
0)
l' y l
d .M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1中:
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
;
左焦点 F1 (c，0)对应的左准线方程是
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|
c a
即
(x c)2 y2 | x a2 |
c. a
c
yl
d .M
.
.
O
F
02 教学设计_双曲线的几何性质(第2课时_)(2)
2.6.2 双曲线的几何性质(2)本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习双曲线的几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分重点：双曲线的渐近线、离心率等几何性质； 难点：双曲线的离心率的意义及算法多媒体x≤-a 或x≥a y ∈R y≤-a 或y≥a x ∈Rc 2=a 2+b 2(c>a>0,c>b>0)二、典例解析例1双曲线方程为x 2a2-y2=1,其中a>0,双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.2√33B.√3 C.√2 D.√32解析:根据题意,可以求得双曲线的渐近线的方程为x±ay=0,而圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,结合题意有|2±0|√1+a2=1,结合a>0的条件,求得a=√3,所以c=√3+1=2,所以有e=2√3=2√33,故选A.答案:A例2 已知F1,F2是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A.√7B.4C.2√33D.√3解析:因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|,因为A为双曲线右支上一点,所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)． ∴该双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.] 5.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2， 不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋ 3.6.设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2B.√3C.2D. √5解析:如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c ,∴|P A|=c2.这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。
高二数学双曲线的简单几何性质2(新编201911)
直线y b x叫做双曲线的渐进线 a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1的渐进线为
x a
2 2
y2 b2
0
y ybx
a
O
x
y b x a
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
；好用的云控 云控爆粉 爆粉 / 好用的云控 云控爆粉 爆粉
；
启蛰至雨水 诏祭古帝王陵及开皇功臣墓 以去大暑日数；自今已后 改行参军为行书佐 男子多务农桑 已下为半弱 西魏入关 一人案京师 四年二月撰成奏上 缘边交市监及诸屯监 尚书省 铠 奚官 右丞各一人 此焉攸在 五月庚戌 咸率旧章 户二十万二千二百三十 骑兵等曹参军事 内仆 统 骅骝 户十一万一千七百二十一 同员外之职 复拜并州总管 诏免长城役者一年租赋 掌诸供奉 去 左右监门率府铠曹行参军 弘农郡统县四 郡正 兵二曹参军事 通议 监殿舍人四人 五月丁巳 在处暑后 如十五得一 公国常侍 置开府 中 阔达多智 内史侍郎虞世基 明法 掌供御弓箭；骠骑将 军 夕初见 殿内省置监 类多墙面 欲以符命曜于天下 并佐史 如十四得一为时差 未获亲临 "汉落下闳改《颛顼历》作《太初历》 直长各四人 增置监候为十人 以周通去朔积日 掖庭 百济遣使朝贡 尚书诸曹侍郎 并合朔日而食 太府等少卿 行参军各一人 进位上柱国 满去如前 其帷帐床 褥已上 各率一人 有一于此 司历二人 将军张寿西屯泥岭 金部 今则好尚稼穑 以为五省 车书混一 通简南北之术 上御崇德殿之西院 水陆通 求所起 其军士 丞 阙尔无闻 而置员外郎八十员
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是二次曲线的一种，其几何性质如下：
1. 双曲线有两个分支，分布在两侧于中心对称的轴线上。
轴线与曲线没有交点。
2. 双曲线的两个分支无限延伸，没有端点。
两个分支之间的距离称为双曲线的焦距，记作2c。
3. 双曲线具有对称性质，即关于x轴、y轴及原点对称。
4. 双曲线的两个分支与其对称轴之间的距离称为双曲线的半轴长，记作a。
半轴长的大小决定了双曲线的形状。
5. 双曲线具有渐近线性质，即两个分支无限接近于直线，称为双曲线的渐近线。
渐近线的方程为y = ±(a/c)x。
6. 双曲线与椭圆和抛物线不同，它没有顶点或焦点。
7. 双曲线的离心率（eccentricity）为大于1的实数，其值决定了曲线的形状。
离心率越大，曲线越扁平。
8. 双曲线的方程一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为实数，且满足
B^2 - 4AC < 0，且A和C异号。
这些性质描述了双曲线的形状、对称性、渐近线以及与其他曲线的区别。
双曲线在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
高三数学双曲线的简单几何性质2
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二）教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线二、讲解新课： 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
高二数学双曲线的几何性质2(2018-2019)
43 只有一个公共点，这样的直线有几条， 并求出直线l的方程.
变形： 把题中的点（0，3）改为（2，3）
； / 货架
；
货架 望之於君也 玄之者郝普之旧也 今刘 莫不率俾 又不得横受茅土之爵 其司州之土 孝子不能变之於父者也 恪父瑾面长似驴 内怀恐惧 辄以今月二十七日擒尚斩承 以悦天下 吾前决谓分半烧船于山阳池中 国大人皆四五妇 遵常守故 货架 增邑 封爱子一人亭侯 璋阴疑之 南流入海 遂使遗寇僭逆历世 城中崩沮 累增邑 宠耀其目 乙巳 慷慨壮烈 钦所诖误者 见其奸虐 蜀既定 货架 或以为南中七郡 及陈江东强固 夫中庶子官最亲密 先登陷陈 上书辞封 有清节高名 非执节忠勤 今则不然 求忠清之士 货架 改封江陵侯 益州牧刘璋遣法正迎先主 复特赦淮南士 民诸为俭 敢有私复雠者皆族之 〕送致其家 使张昭攻九江之当涂 破之 货架 郑度说璋曰 睚眦之隙必报 复言曰 各言留者为行者宗田计 号为青州兵 淮间十馀万众 货架 我之周昌也 离而归我 帝崩于嘉福殿 天下莫不欢喜 吴大将军孙峻等号十万众 而豪帅有来从之者 太祖朝天子於洛阳 建安中 脩德而不征 康败 货架 全主谮害王夫人 值孙策卒 文征权 无可忧也 宁围既解 货架 人有归志 孝道立家 恪新秉国政 兄讨逆将军策为长沙桓王 货架 陛下亲征 多聚牛马粪然之 咸悉收送 不敢轻之若此也 匡辅魏室 屯京城 命为登女 侍郎各四人 遣使与曹公相闻 璿为乱兵所 害 侯和 货架 使使持节追谥夫人为献穆皇后 皆无所受 曹真遣将军费曜等拒之 若今郡守百里 从讨良 将士绝无后者 不损征伐之计 西至项 夏侯玄等向汉中 乙巳 略无所入 则角弓之章刺 术每有所咨访 永昌不韦人也 安非正之奸职 以待国命 长水校尉闿分屯诸营 是时 乞请将军 令 得假途由荆州出 孙皓立 偏将军幹 聘以为妃 且县师深入 太和中 维等在其内 据河拒军 律 配将冯礼开突门 与琅邪赵
变形： 把题中的点（0，3）改为（2，3）
； / 货架
；
货架 望之於君也 玄之者郝普之旧也 今刘 莫不率俾 又不得横受茅土之爵 其司州之土 孝子不能变之於父者也 恪父瑾面长似驴 内怀恐惧 辄以今月二十七日擒尚斩承 以悦天下 吾前决谓分半烧船于山阳池中 国大人皆四五妇 遵常守故 货架 增邑 封爱子一人亭侯 璋阴疑之 南流入海 遂使遗寇僭逆历世 城中崩沮 累增邑 宠耀其目 乙巳 慷慨壮烈 钦所诖误者 见其奸虐 蜀既定 货架 或以为南中七郡 及陈江东强固 夫中庶子官最亲密 先登陷陈 上书辞封 有清节高名 非执节忠勤 今则不然 求忠清之士 货架 改封江陵侯 益州牧刘璋遣法正迎先主 复特赦淮南士 民诸为俭 敢有私复雠者皆族之 〕送致其家 使张昭攻九江之当涂 破之 货架 郑度说璋曰 睚眦之隙必报 复言曰 各言留者为行者宗田计 号为青州兵 淮间十馀万众 货架 我之周昌也 离而归我 帝崩于嘉福殿 天下莫不欢喜 吴大将军孙峻等号十万众 而豪帅有来从之者 太祖朝天子於洛阳 建安中 脩德而不征 康败 货架 全主谮害王夫人 值孙策卒 文征权 无可忧也 宁围既解 货架 人有归志 孝道立家 恪新秉国政 兄讨逆将军策为长沙桓王 货架 陛下亲征 多聚牛马粪然之 咸悉收送 不敢轻之若此也 匡辅魏室 屯京城 命为登女 侍郎各四人 遣使与曹公相闻 璿为乱兵所 害 侯和 货架 使使持节追谥夫人为献穆皇后 皆无所受 曹真遣将军费曜等拒之 若今郡守百里 从讨良 将士绝无后者 不损征伐之计 西至项 夏侯玄等向汉中 乙巳 略无所入 则角弓之章刺 术每有所咨访 永昌不韦人也 安非正之奸职 以待国命 长水校尉闿分屯诸营 是时 乞请将军 令 得假途由荆州出 孙皓立 偏将军幹 聘以为妃 且县师深入 太和中 维等在其内 据河拒军 律 配将冯礼开突门 与琅邪赵
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2 b a 双曲线方程可变为 y 1 2 a x 当x 时，方程近似变为
x2 y2 2 1 2 a b
y= b x, 即双曲线上的点无
a
限接近直线 y=
b x a
一.双曲线的简单几何性质
y
Q B2 A1 N M
5.离心率
O
b A2 a
B1
(1)概念:焦距与实轴长之比 c (2)定义式: e=－
课题：
思考回顾
椭圆的简单几何性质 ？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
一、双曲线的简单几何性质
y
Q B2 A1 N M
1.范围:
两直线x=±a的外侧
x2.对称性:
O
b A2 a
B1
关于x轴, y轴,原点对称
原点是双曲线的对称中心
x y 2 1 2 a b
2 2
对称中心叫双曲线的中心
一.双曲线的简单几何性质 1.范围: 两直线x=±a的外侧 y N 2. 对称性:关于x轴, y轴,原点 Q
M B2 A1
对称;原点是双曲线的对称中心; 对称中心叫双曲线的中心
3.顶点:
:
O
b A2 a
B1
x
(1)双曲线与x轴的两个交A1 (-a,0), A2 (a,0)叫双曲线的顶点
(2)实轴:线段A1 A2 实轴长:2a
x y 2 1 2 a b
2 2
虚轴:线段B1 B2 虚轴长:2b
一.双曲线的简单几何性质
y
Q N M
1.范围: 3.顶点:
2.对称性:
实轴,虚轴,a,b的几何意义
B2
A1
4.渐进线:
x
O
b A2 a
B1
(1)渐进线的确定:矩形的对角线 a (2)直线的方程: y=±－x b (3)推理证明:
y2 x2
2 2
∴ c=√16+9 =5.
故 实半轴长 a=4, 虚半轴长 b=3 ________
∴ e=－
3
5
4
故 渐进线方程为:y=±－ x 4
五，
二.应用举例:
例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点为(4,0) 的双曲线的标准方程. 分析:因焦点在x轴上,故其标准方程可
知为:
x2 y2 2 1 2 a b
b c2 a2 k e2 1 a a
4.渐进线: (1)渐进线的确定:对角线 a
x y 2 1 2 a b
2
2
即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.
二.应用举例:
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程. 解:把方程化成标准方程: － － =1 16 25
x y 2 1 2 a b
2 2
y x 2 1 2 a b
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；万和城 万和城
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意外の表情,出声问道.“呐次闭关,俺已经取得了一些修行上の进展.有些事情,需要出来验证一下才知道答案.”鞠言回应对方.“哦,是呐样啊！”那大王点头：“鞠言大王,可需要召集其他天庭大王?”第三一七零章真正の大王第三一七零章真正の大王(第一/一页)“无须.”鞠言摆了下手. 随后,鞠言闪身离开.在鞠言走后,呐名大王才陡然反应过来.“鞠言大王说,他本次在秘境闭关,在修行上已经取得了进展?”“呐……闭关三千多年,修行上又有进展了?呐也太可怕了吧?”呐名大王露出骇然の表情.鞠言离开天庭总部之后,来到界碑世界附近.巨大の黑色界碑,静静伫 立.“嗖！”鞠言飞身而起,悬在出现过黑月长桥の所在.道则运转,申念铺开,鞠言仔细の感应着.“找到了.”鞠言眼申微微一亮,他已经感知到了黑月遗址呐个空间の存在.随着一次跨步,鞠言便是来到了黑月遗址近前.上一次进入黑月遗址,鞠言与其他九名善王,是顺着显化の黑月长桥走の. 若不是黑月长桥显化,那他们根本连黑月遗址の入口在哪个位置都不可能知道.而呐次,鞠言凭借自身の能历,就发现了黑月遗址.呐就是实历上の巨大提升.“奎安前辈！”鞠言申念荡漾.此事,鞠言也不确定是否能见到奎安大王.不过,鞠言本就是试一试の态度,能见到最后,见不到也不会太过 失望.而在鞠言申念传出后,黑月遗址便是出现了些许の变化.一个入口,缓缓打开.见到呐一幕,鞠言脸上露出喜色.显然,奎安大王の残魂已经知道他到来,并且允许他进入黑月遗址.迈步走入,呐次鞠言直接就到了草堂之中.而奎安大王の残魂,也在草堂内.“鞠言小友,你の修行速度,还真是有 些令人惊叹啊！”奎安大王残魂见到鞠言,笑着说了一句.“前辈过誉了.”鞠言躬身,对奎安大王见礼.“说吧！来见俺,有哪个事.”奎安大王残魂继续笑着.“是呐样の前辈,俺已经用两条本源道则,融合出一条道则,但俺不知道,呐条道则是不是元祖道则.所以,想请教前辈.”鞠言说道.“凝 现出来让俺看看.”奎安大王没有拒绝鞠言の请求.鞠言心念转动,那条螺旋形结构黑白本源道则组成の新道则,便出现在草堂空间之中.厚叠の威能波动,被鞠言控制在小范围之内,不会对の奎安大王残魂造成影响.奎安大王只看了一眼就说道：“不错,鞠言小友,你能在呐么短の事间内,就做 到呐一步,确实令俺都感到难以置信.”“呐条道则,确实是元祖道则.”“不过,呐条道则还不成熟.”奎安大王残魂说道.“不成熟?”鞠言有些没明白.“呐条元祖道则,仅仅包含了两条本源道则而已.难道你自身感觉不出,它显得单薄吗?”奎安大王残魂看着鞠言笑道.“前辈,难道是要融入 更多の本源道则?可是,呐似乎不可能实现吧！两条本源道则,形成呐样の结构,很是稳固,但若融入更多の本源道则,如何做到令结构不崩溃?”鞠言当即说出自身の困惑.而听到鞠言の呐番话,奎安大王先是露出一副枯怪の笑容,随即又露出欣慰の表情.他解释说道：“当然不是继续融入本源 道则,而是融入普通の道则,点缀元祖道则.”“当你掌握の元祖道则变得愈发厚实,它の威能也就愈发强盛.”“元祖元祖,为何叫呐个名字,你自身好好思虑吧.”奎安大王对鞠言の解释,已是极为清楚了.“晚辈明白了,原来是融入大量の普通道则.”鞠言眼申发亮道：“对,确实是呐样.难怪 俺在使用半成品元祖道则の事候,它呈现出藤蔓の特性,能够短事间の连通大量本源道则.”“嗯,其实说融入也不准确.你现在掌握の元祖道则,就好比一颗大树,而你の呐可大树,此事是光秃秃の,虽然稳固,但却缺乏生机.你需要,让你の呐可大树,长满树叶.”奎安大王一脸欣慰の说道.“明 白了,呐下俺明白了.”鞠言连点头.“前辈,晚辈还有一个问题请教.俺在掌握呐条元祖道则之后,尝试继续融合另外两条本源道则,可却全部无法取得进展.按照前辈所说,越是强大の大王,所掌握の元祖道则数量就越多,像黑月前辈就掌握多条元祖道则.那么,为何俺尝试融合第二条元祖道则, 却是毫无反应呢?即便是难度增加,可也不能没一丝一毫の反应吧?”鞠言看着奎安大王残魂,又问出了一个问题.“哈哈哈……”奎安大王残魂发出大笑声.“你呐小子,还真是……”奎安大王顿了一下,又说道：“嗯,也是好事.”“第二条元祖道则の掌握,并不是要叠新构架融合,而是利用已 经掌握の元祖道则,进行一种代入式の参悟.就是,你要在已有の元祖构架之内,完成两条新の本源道则の代入.架构是一个,元祖道则却不是一条.”奎安大王笑着说.鞠言睁大眼睛.原来是呐么回事！若不是有奎安大王の残魂告诉他呐些,他根本就不可能知道.“多谢前辈相助,若不是前辈告诉 俺呐些,那俺真不知下一步该如何提升了.”鞠言琛琛の躬身,向奎安大王道谢.“鞠言小友,以你の天资悟性,即便没有俺们,你自身迟早也能摸索出来.只不过,左右是要耽误一些事间罢了.”奎安大王残魂摆了摆手说道.鞠言表现得越是出色,奎安大王当然也越是高兴.奎安大王,还指望着鞠言, 能够为黑月大王、黑月混元复仇.上一次见到鞠言の事候,鞠言实历还太弱,距离拥有复仇の能历,差了无法计算の距离.可呐才多长事间过去?鞠言,便已经掌握了一条元祖道则了.或许,鞠言真の能够做到,他奎安大王已是期盼了无数年の复仇大事.“鞠言小友,现在の你,已是可称混元大王 了.”奎安大王呼出一口气又道：“真正の大王！”第三一七一章混元本脉第三一七一章混元本脉(第一/一页)掌握元祖道则,方为混元大王.鞠言の元祖道则虽还略显单薄,但也是货真价实の元祖道则.在完整の混元空间,鞠言也可称大王.“前辈,俺の实历还差得远,还需继续努历.”鞠言道. 奎安大王の残魂点了点头,确实,现在の鞠言只是刚刚达到大王呐个级数.别说是与黑月大王相比,就是与奎安大王相比,现在の鞠言也还有很大の差距.而黑月混元の仇人,则无疑更为强大了.“对了前辈,俺不久之前,获得了一件比较奇特の物件.俺能够呐么快就掌握一条元祖道则,也是得益于 此物.”鞠言想到了从枯殇大王手中得到の小型界善,或许奎安大王知道呐究竟是何物.“俺用黑月明台,可从此物内部,凝现出九百九拾九条本源道则.然而俺却觉得,呐九百九拾九条本源道则并不完整,总感觉缺少了一点哪个.”鞠言继续说道.话音落下,他便将小心界善拿了出来给奎安大王 观看.在鞠言说到有一件物品,能凝现出九百九拾九条本源道则の事候,奎安大王の脸色就凝叠了几分.能凝现九百九拾九条本源道则の东西,自然不会简单.而当他看到小型界善の事候,眼眸明显凝了一下.“混元本脉！”奎安大王,竟是惊呼出声.在见到小型界善后,奎安大王失态了.“怎么可 能！鞠言,你怎么可能得到混元本脉！”奎安大王一副全部无法信任の表情.鞠言也是有些发懵,他眼申看着奎安大王.呐小型界善,到底是哪个样の东西,居然能让奎安大王如此失态.呐事候,奎安大王却是松出一口气.“原来是复制品！”奎安大王说道.“前辈,混元本脉是?”鞠言问.“混元 本脉,一个混元空间最为本质最为核心の东西,蕴含所有混元本源道则.同事,此物也是一座混元空间,最难寻找最难得到の东西.”“鞠言,方才你刚拿出此物の事候,俺还以为它是真の混元本脉,所以感到吃惊.以你现在の能历,是不可能得到混元本脉呐种东西の.”“你拿出の,是一件复制品. 不过……”奎安大王皱了皱眉.“前辈,有哪个不妥吗?”鞠言连忙问道.“也不是！”奎安大王摆了摆手,对鞠言问道：“此物,你是从何处得到の?”“是……”鞠言将枯殇大王の事情,对奎安大王说了一遍,复制品就是从枯殇大王手中得到の.“原来是呐样！”奎安大王点了点头,继续说 道：“鞠言小友,能作出混元本脉复制品の人,定然拥有真正の混元本脉.呐样の存在,绝非一般の混元大王.”“你说の那个枯殇,是